2025届福建省仙游县九年级数学第一学期开学调研模拟试题【含答案】

这是一份2025届福建省仙游县九年级数学第一学期开学调研模拟试题【含答案】，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城．在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A城的距离y（千米）与甲车行驶的时间t（小时）之间的函数关系如图所示．则下列结论：①A，B两城相距300千米；②乙车比甲车晚出发1小时，却早到1.5小时；③乙车出发后2.5小时追上甲车；④当甲、乙两车相距40千米时，t＝或t＝，其中正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
2、（4分）如果，那么（ ）
A．B．C．D．x为一切实数
3、（4分）小明家、食堂，图书馆在同一条直线上，小明从家去食堂吃早餐，接着去图书馆读报，然后回家，如图反映了这个过程中，小明离家的距离y（km）与时间x（min）之间的对应关系，根据图象，下列说法正确的是（ ）
A．小明吃早餐用了25min
B．食堂到图书馆的距离为0.6km
C．小明读报用了30min
D．小明从图书馆回家的速度为0.8km/min
4、（4分）数据3，7，2，6，6的中位数是（ ）
A．6B．7C．2D．3
5、（4分）若x、y都是实数，且，则xy的值为
A．0B．C．2D．不能确定
6、（4分）一次函数与的图象如图所示，则下列结论：①k＜0；②a＜0，b＜0；③当x=3时，y1=y2；④不等式的解集是x＜3，其中正确的结论个数是( )
A．0B．1C．2D．3
7、（4分）如果把分式中的x和y都扩大2倍，那么分式的值（ ）
A．扩大为原来的4倍B．扩大为原来的2倍
C．不变D．缩小为原来的倍
8、（4分）如图，边长2的菱形ABCD中，，点M是AD边的中点，将菱形ABCD翻折，使点A落在线段CM上的点E处，折痕交AB于点N，则线段EC的长为
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）如图，在梯形中， ，对角线，且，则梯形的中位线的长为_________.
10、（4分）弹簧原长(不挂重物)15cm，弹簧总长L(cm)与重物质量x(kg)的关系如下表所示：
当重物质量为4kg（在弹性限度内）时，弹簧的总长L(cm)是_________．
11、（4分）下列4种图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的有__________个.

12、（4分）如图，正方形和正方形中，点在上，，，是的中点，那么的长是__________（用含、的代数式表示）.
13、（4分）如图，正方形的边长为4，在这个正方形内作等边三角形（三角形的顶点可以在正方形的边上），使它们的中心重合，则的顶点到正方形的顶点的最短距离是___________．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）规定两数a，b之间的一种运算，记作，如果，那么(a,b)=c，例如：因为21=8，所以(2,8)=1．
（1）根据上述规定，填空：
_____，_____；
（2）小明在研究这种运算时发现一个现象，，小明给出了如下的证明：
设，则，即，
∴，即，
∴
请你尝试用这种方法证明下面这个等式：
15、（8分）已知：如图，在中，，以点为圆心，的长为半径画弧，交线段于点，以点为圆心，长为半径画弧，交线段与点.
（1）根据题意用尺规作图补全图形（保留作图痕迹）；
（2）设
①线段的长度是方程的一个根吗？并说明理由.
②若线段，求的值.
16、（8分）如图，在四边形ABCD中，，，，，E是BC的中点，P是AB上的任意一点，连接PE，将PE绕点P逆时针旋转得到PQ，过A点，D点分别作BC的垂线，垂足分别为M，N．
求AM的值；
连接AC，若P是AB的中点，求PE的长；
若点Q落在AB或AD边所在直线上，请直接写出BP的长．
17、（10分）如图，矩形ABCD中，AB=2，BC=5，E、P分别在AD、BC上，且DE=BP=1．
（1）断⊿BEC的形状，并说明理由；
（2）判断四边形EFPH是什么特殊四边形？并证明你的判断．
18、（10分）如图，点 O 是等边△ABC 内一点，∠AOB＝105°，∠BOC 等于α，将△BOC 绕点 C 按 顺时针方向旋转 60°得△ADC，连接 OD.
（1）求证：△COD 是等边三角形．
（2）求∠OAD 的度数．
（3）探究：当α为多少度时，△AOD 是等腰三角形？
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）如图，正方形ABCD的顶点B，C在x轴的正半轴上，反比例函数y=（k≠0）在第一象限的图象经过顶点A（m，2）和CD边上的点E（n，），过点E的直线l交x轴于点F，交y轴于点G（0，-2），则点F的坐标是
20、（4分）2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较短直角边为a，较长直角边为b，那么（a+b）2的值为_____．
21、（4分）如图，点A在反比例函数的图像上，AB⊥x轴，垂足为B，且，则_____ ．
22、（4分）若关于x的分式方程无解，则m的值为__________．
23、（4分）点A（a，﹣5）和（3，b）关于x轴对称，则ab＝_____．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）甲、乙两位同学参加数学竞赛辅导，三项培训内容的考试成绩如下表，现要选拔一人参赛．
（1）若按三项考试成绩的平均分选拔，应选谁参赛；
（2）若代数、几何、综合分别按20%、30%、50%的比例计算平均分，应选谁参赛．
25、（10分）如图，在□ABCD中，点E、F分别在边CB、AD的延长线上，且BE＝DF，EF分别与AB、CD交于点G、H，求证：AG＝CH.
26、（12分）因式分解：__________.
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、A
【解析】
由图象所给数据可求得甲、乙两车离开A城的距离y与时间t的关系式，可求得两函数图象的交点，进而判断，再令两函数解析式的差为40，可求得t，可得出答案．
【详解】
由图象可知A、B两城市之间的距离为300km，故①正确；
甲行驶的时间为5小时，而乙是在甲出发1小时后出发的，且用时3小时，即比甲早到1小时，故②错误；
设甲车离开A城的距离y与t的关系式为y甲＝kt，
把（5，300）代入可求得k＝60，
∴y甲＝60t，
把y＝150代入y甲＝60t，可得：t＝2.5，
设乙车离开A城的距离y与t的关系式为y乙＝mt+n，
把（1，0）和（2.5，150）代入可得，解得，
∴y乙＝100t﹣100，
令y甲＝y乙可得：60t＝100t﹣100，解得t＝2.5，
即甲、乙两直线的交点横坐标为t＝2.5，
此时乙出发时间为1.5小时，即乙车出发1.5小时后追上甲车，故③错误；
令|y甲﹣y乙|＝40，可得|60t﹣100t+100|＝40，即|100﹣40t|＝40，
当100﹣40t＝40时，可解得t＝，
当100﹣40t＝﹣40时，可解得t＝，
又当t＝时，y甲＝40，此时乙还没出发，
当t＝时，乙到达B城，y甲＝260；
综上可知当t的值为或或或t＝时，两车相距40千米，故④不正确；
故选A．
本题主要考查一次函数的应用，掌握一次函数图象的意义是解题的关键，学会构建一次函数，利用方程组求两个函数的交点坐标，属于中考常考题型．
2、B
【解析】
∵,
∴x≥0,x-6≥0,
∴.
故选B.
3、C
【解析】
根据题意和函数图象中的数据可以判断各个选项中的说法是否正确，本题得以解决．
【详解】
由图象可得，
小明吃早餐用了25﹣8＝17min，故选项A错误；
食堂到图书馆的距离为：0.8﹣0.6＝0.2km，故选项B错误；
小明读报用了58﹣28＝30min，故选项C正确；
小明从图书馆回家的速度为：0.8÷（68﹣58）＝0.08km/min，故选项D错误；
故选C．
本题考查函数图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
4、A
【解析】
将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
【详解】
解：将数据小到大排列 2，3，6，6，7，
所以中位数为6，
故选A．
本题考查了中位数，正确理解中位数的意义是解题的关键．
5、C
【解析】
由题意得，2x−1⩾0且1−2x⩾0，
解得x⩾且x⩽，
∴x=，
y=4，
∴xy=×4=2.
故答案为C.
6、D
【解析】
解：根据一次函数的图象可得：a＜0，b＞0，k＜0，则①正确，②错误；根据一次函数和方程以及不等式的关系可得：③和④是正确的
故选：D.
本题考查一次函数的图象及一次函数与不等式.
7、B
【解析】
依题意，分别用2x和2y去代换原分式中的x和y，利用分式的基本性质化简即可；
【详解】
解：分别用2x和2y去代换原分式中的x和y得，
，
可见新分式扩大为原来的2倍，
故选B.
本题主要考查了分式的基本性质，掌握分式的基本性质是解题的关键.
8、D
【解析】
过点M作于点F，根据在边长为2的菱形ABCD中，，M为AD中点，得到，从而得到，，进而利用锐角三角函数关系求出FM的长，利用勾股定理求得CM的长，即可得出EC的长．
【详解】
如图所示：过点M作于点F，
在边长为2的菱形ABCD中，，M为AD中点，
，，
，
，
，
，
∵AM=ME=1,
．
故选D．
此题主要考查了菱形的性质以及折叠的性质等知识，翻折变换折叠问题实质上就是轴对称变换，解题的关键是从题目中抽象出直角三角形，利用勾股定理计算求解．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、1
【解析】
解：过C作CE∥BD交AB的延长线于E，
∵AB∥CD，CE∥BD，
∴四边形DBEC是平行四边形，
∴CE=BD，BE=CD
∵等腰梯形ABCD中，AC=BD∴CE=AC
∵AC⊥BD，CE∥BD，
∴CE⊥AC
∴△ACE是等腰直角三角形，
∵AC=，
∴AE =AC=10，
∴AB+CD =AB+BE=10，
∴梯形的中位线=AE=1，
故答案为：1．
本题考查了梯形的中位线定理，牢记定理是解答本题的重点，难点是题目中的辅助线的做法．
10、1
【解析】
根据表格数据，建立数学模型，进而利用待定系数法可得函数关系式，当x=4时，代入函数解析式求值即可．
【详解】
解：设弹簧总长L（cm）与重物质量x（kg）的关系式为L=kx+b，
将（0.5，16）、（1.0，17）代入，得： ，
解得： ，
∴L与x之间的函数关系式为：L=2x+15；
当x=4时，L=2×4+15=1（cm）
故重物为4kg时弹簧总长L是1cm，
故答案为1．
吧本题考查根据实际问题列一次函数关系式，解题的关键是得到弹簧长度的关系式．
11、1.
【解析】
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【详解】
A. 是轴对称图形，也是中心对称图形。故正确
B. 不是轴对称图形，也不是中心对称图形。故错误；
C. 不是轴对称图形，不是中心对称图形。故错误；
D. 是轴对称图形，不是中心对称图形。故错误。
故答案为：1
此题考查中心对称图形，轴对称图形，难度不大
12、
【解析】
连接AC、CF，根据正方形的性质得到∠ACF=90°，根据勾股定理求出AF的长，根据直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半计算即可．
【详解】
解：连接AC、CF，
在正方形ABCD和正方形CEFG中，
∠ACG=45°，∠FCG=45°，
∴∠ACF=90°，
∵BC=a，CE=b，
，
由勾股定理得： ,
∵∠ACF=90°，H是AF的中点，
∴CH=AF=.
本题考查的是直角三角形的性质、勾股定理的应用、正方形的性质，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
13、
【解析】
当G，O，C共线时，△EFG的顶点到正方形ABCD的顶点的最短，即点G在对角线上，在△AOE中，∠CAE=45°，∠AOE=60°，OE=r，解三角形可求r，即可求最短距离．
【详解】
如图：当G，O，C共线时，△EFG的顶点到正方形ABCD的顶点的最短，即点G在对角线上．
作EM⊥AC于M
∵ABCD是正方形，AB=4
∴AC=，AO=，∠CAB=45°
∵△EFG是等边三角形
∴∠GOE=120°
∴∠AOE=60°
设OE为r
∵∠AOE=60°，ME⊥AO
∴MO=OE=r，ME=MO=r
∵∠MAE=45°，AM⊥ME
∴∠MAE=∠MEA=45°，
∴AM=ME=r，
∵AM+MO=AO
∴r+r=
∴r=
∵AG=AM=MO+OG=r+r+r=
∴GC=
故答案为：．
本题主要考查了两点间距离最短，由题意分析出距离最短的情况是解题的关键．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（1）1,0；（2）证明见解析.
【解析】
（1）根据材料给出的信息，分别计算，即可得出答案；
（2）设，，根据同底数幂的乘法法则即可得出答案.
【详解】
（1）∵，
∴；
∵，
∴；
（2）设，，
则，，
∴．
∴，
∴．
本题考查了乘方的运算、幂的乘方以及同底数幂的乘法运算，解题的关键是理解题目中定义的运算法则.
15、（1）详见解析；（2）①线段的长度是方程的一个根，理由详见解析；②
【解析】
（1）根据题意，利用尺规作图画出图形即可；
（2）①根据勾股定理求出AD，然后把AD的值代入方程，即可得到答案；
②先得到出边长的关系，然后根据勾股定理，列出方程，解方程后得到答案.
【详解】
（1）解：作图，如图所示：
（2）解：①线段的长度是方程的一个根.
理由如下：依题意得，
在中，
；
线段的长度是方程的一个根
②依题意得：
在中，
本题考查的是基本作图，勾股定理、一元二次方程的解法，掌握一元二次方程的求根公式、勾股定理是解题的关键．
16、（1）12；（2）10；（3）PB的值为或．
【解析】
作等腰梯形的双高，把问题转化为矩形，全等三角形即可解决问题；
如图2中，连接利用勾股定理求出AC，再利用三角形的中位线定理求出PE；
分两种情形分别讨论求解即可解决问题.
【详解】
如图1中，作用M，于N．
，
，
，
四边形AMND是矩形，
，
，
≌，
，
，，
，
，
如图2中，连接AC．
在中，，
，，
，
如图3中，当点Q落在直线AB上时，
∽，
，
，
．
如图4中，当点Q在DA的延长线上时，作交DA的延长线于H，延长HP交BC于G．
设，则．
，
，
，，
，
≌，
，
，
．
综上所述，满足条件的PB的值为或．
本题考查四边形综合题、等腰梯形的性质、全等三角形的判定和性质、矩形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题．
17、（1）△BEC是直角三角形，理由见解析；
（2）四边形EFPH为矩形，证明见解析；
【解析】
（1）由矩形性质得出CD=2，根据勾股定理求出CE和BE，求出CE2+BE2的值，求出BC2，根据勾股定理的逆定理求出即可；
（2）由矩形的性质和平行四边形的判定，推出平行四边形DEBP和AECP，推出EH∥FP，EF∥HP，推出平行四边形EFPH，根据矩形的判定推出即可；
【详解】
（1）△BEC是直角三角形，
理由是：∵矩形ABCD，
∴∠ADC=∠ABP=90°，AD=BC=5，AB=CD=2，
由勾股定理得：CE===，
同理BE=2，
∴CE2+BE2=5+20=25，
∵BC2=52=25，
∴BE2+CE2=BC2，
∴∠BEC=90°，
∴△BEC是直角三角形．
（2）四边形EFPH为矩形，
∵矩形ABCD，
∴AD=BC，AD∥BC，
∵DE=BP，
∴四边形DEBP是平行四边形，
∴BE∥DP，
∵AD=BC，AD∥BC，DE=BP，
∴AE=CP，
∴四边形AECP是平行四边形，
∴AP∥CE，
∴四边形EFPH是平行四边形，
∵∠BEC=90°，
∴平行四边形EFPH是矩形．
考点：1、勾股定理及逆定理；2、矩形的性质和判定；3、平行四边形的性质和判定；4、三角形的面积
18、（1）证明见解析；（2）45°；（3）105°，127.5°或 150°.
【解析】
分析：（1）由旋转的性质得到△BCO≌△ACD， 再由全等三角形对应边相等得到OC＝CD，根据有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形即可得出结论；
（2）由等边三角形的性质、三角形内角和定理以及旋转的性质即可得出结论．
（3）若△AOD 是等腰三角形 ，分三种情况讨论即可．
详解：（1）∵△BOC 旋转 60°得到△ADC，∴△BCO≌△ACD，
∴OC＝CD，且∠OCD＝60°，则△OCD 是等边三角形；
（2）∵△ABC 为等边三角形，∴∠BAO＋∠OAC＝60°，∠ABO＋∠OBC＝60°．
∵∠AOB＝105°，∴∠BAO＋∠ABO＝75°，∴∠OAC＋∠OBC＝120°﹣105°＝45°．
∵△BOC 旋转 60°得到△ADC，∴△BCO≌△ACD，
∴∠DAC＝∠OBC ，∴∠OAD＝∠OAC＋∠CAD＝45°．
（3）若△AOD 是等腰三角形 ．∵由（1）知△OCD 是等边三角形，∴∠COD＝60°．
由（2）知∠OAD＝45°， 分三种情况讨论：
①当 OA＝OD 时，∠AOD＝90°，∠α＝360°﹣105°﹣60°﹣90°＝105°；
②当 OA＝AD 时，∠AOD＝67.5°，∠α＝360°﹣105°﹣60°﹣67.5°＝127.5°；
③当 AD＝OD 时，∠AOD＝45°，∠α＝360°﹣105°﹣60°﹣45°＝150°．
综上所述：当α＝105°，127.5°或 150°时，△AOD 是等腰三角形 ．
点睛：本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等腰直角三角形的判定与性质．解题的关键是要分类讨论．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（，0）．
【解析】
试题分析：∵正方形的顶点A（m，2），
∴正方形的边长为2，
∴BC=2，
而点E（n，），
∴n=2+m，即E点坐标为（2+m，），
∴k=2•m=（2+m），解得m=1，
∴E点坐标为（3，），
设直线GF的解析式为y=ax+b，
把E（3，），G（0，﹣2）代入得，
解得，
∴直线GF的解析式为y=x﹣2，
当y=0时，x﹣2=0，解得x=，
∴点F的坐标为（，0）．
考点：反比例函数与一次函数的交点问题．
20、1
【解析】
根据大正方形的面积即可求得c2，利用勾股定理可以得到a2+b2=c2，然后求得直角三角形的面积即可求得ab的值，根据（a+b）2=a2+b2+2ab=c2+2ab即可求解．
【详解】
∵大正方形的面积是13，∴c2=13，∴a2+b2=c2=13，
∵直角三角形的面积是=3，
又∵直角三角形的面积是ab=3，∴ab=6，∴（a+b）2=a2+b2+2ab=c2+2ab=13+2×6=13+12=1．
故答案为1．
本题考查了勾股定理以及完全平方公式，正确表示出直角三角形的面积是解题的关键．
21、1
【解析】
由=4，根据反比例函数的比例系数的几何意义得到，然后去绝对值即可得到满足条件的的值．
【详解】
∵=4，
∴，
∵点A在第一象限，
∴，
∴．故答案为：1．
本题综合考查了反比例函数系数的几何意义，理解反比例函数的系数的几何意义和图象所在的象限是解决问题的关键．
22、
【解析】
由分式方程无解得到x=5，将其代入化简后的整式方程即可求出答案.
【详解】
将方程去分母得到：x-2（x-5）=-m，即10-x=-m，
∵分式方程无解，
∴x=5，
将x=5代入10-x=-m中，解得m=-5，
故答案为：-5.
此题考查分式方程无解的情况，正确理解分式方程无解的性质得到整式方程的解是解题的关键.
23、1．
【解析】
根据关于x轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数可得a、b的值，继而可求得答案.
【详解】
∵点A(a，-5)和点B(3，b)关于x轴对称，
∴a=3，b=5，
∴ab=1，
故答案为：1.
本题考查了关于x轴对称的点的坐标特征，熟练掌握是解题的关键.
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（1）选择甲；（2）选择乙.
【解析】
(1)分别求出甲、乙的算术平均数进行选择即可；
(2)分别求出甲、乙的加权平均数进行选择.
【详解】
解：（1），
∵
∴选择甲；
（2）
∵
∴选择乙.
故答案为（1）选择甲；（2）选择乙.
本题考查了算术平均数和加权平均数的求法.
25、证明见解析.
【解析】
【分析】根据平行四边形的性质得AD∥BC，AD=BC，∠A=∠C，根据平行线的性质得∠E=∠F，再结合已知条件可得AF=CE，根据ASA得△CEH≌△AFG，根据全等三角形对应边相等得证.
【详解】∵在四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC，∠A=∠C，
∴∠E=∠F，
又∵BE＝DF，
∴AD+DF=CB+BE，
即AF=CE，
在△CEH和△AFG中，
，
∴△CEH≌△AFG，
∴CH=AG.
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质等，熟练掌握相关知识是解题的关键.
26、
【解析】
直接提取公因式3，进而利用平方差公式分解因式即可．
【详解】
解：3a2-27=3（a2-9）
=3（a+3）（a-3）．
故答案为：3（a+3）（a-3）．
此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确掌握公式法分解因式是解题关键．
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
弹簧总长L(cm)
16
17
18
19
20
重物质量x(kg)
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
代数
几何
综合
甲
85
92
75
乙
70
83
90