苏科版九年级数学上学期复习备考高分秘籍专题2.15第6章图形的相似单元测试(培优强化卷)特训(原卷版+解析)

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2022-2023学年九年级数学上学期复习备考高分秘籍 【苏科版】专题2.15第6章图形的相似单元测试（培优强化卷）注意事项：本试卷满分120分，试题共26题，其中选择6道、填空10道、解答11道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置． 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（2022·江苏·无锡市羊尖中学九年级阶段练习）如果两个相似三角形对应边之比是1：4，那么它们的周长之比是（　　）A．1：4 B．1：6 C．1：8 D．1：162．（2022·江苏·宝应县城郊中学九年级阶段练习）已知a、b、c、d是成比例线段，其中a＝3，b＝0.6，c＝2，则线段d的长为（　　）A．0.4 B．0.6 C．0.8 D．43．（2022·江苏·阳山中学九年级阶段练习）如图，在△ABC中，DE∥BC，若AD∶DB=3∶2，AE=6cm，则AC的长为（    ）A．6cm B．5cm C．4cm D．10cm4．（2021·江苏·常州市金坛良常初级中学九年级阶段练习）下列说法正确的是（    ）A．两个直角三角形相似B．两条边对应成比例，一组对应角相等的两个三角形相似C．有一个角为40°的两个等腰三角形相似D．有一个角为100°的两个等腰三角形相似5．（2022·江苏南通·二模）如图，等边三角形ABC中，点P，Q分别在边AB，AC上，BP＝2CQ．过由Q作PQ的垂线，交边BC于点R．若求△ABC的周长，则只需知道（    ）A．四边形APRQ的周长 B．四边形PQCR的周长C．△BPR的周长 D．△APQ的周长6．（2022·江苏·文林中学九年级阶段练习）如图，在矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=10，点E在CD上，将△BCE沿BE折叠，点C恰落在边AD上的点F处；点G在AF上，将△ABG沿BG折叠，点A恰落在线段BF上的点H处，①∠EBG=45°；②△DEF∽△ABG；③S△ABG=32S△FGH；④AG+DF=FG．则下列结论正确的有（  ）A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请把答案直接填写在横线上7．（2022·江苏南京·九年级期末）若xy=23，则x+yy的值为_____．8．（2021·江苏江苏·九年级期末）在比例尺为1：800000的盐城市地图上，大丰实验初中与滨海第一初级中学的图上距离为16cm，则实际距离为_____km．9．（2022·江苏·靖江外国语学校九年级阶段练习）已知点C是AB的黄金分割点（AC>BC），AB=6，则BC=_____．（结果保留根号）10．（2022·江苏·洪泽新区中学九年级阶段练习）两个相似三角形的相似比为4：3，周长之比为___11．（2021·江苏·涟水县红日中学九年级阶段练习）如果四边形ABCD的四条边长分别为54cm、48cm、45cm、63cm，另一个和它相似的四边形的最长边长为21cm，那么这个四边形的最短边的长度为______．12．（2019·江苏·海庆中学九年级期末）已知△ABC，P是边AB上的一点，连接CP．请你添加一个条件，使△ACP∽△ABC，这个条件可以是_______．（写出一个即可）13．（2021·江苏·靖江市靖城中学九年级阶段练习）如图，已知AB∥CD∥EF，AD：AF=3：5，BC=6，则CE的长为______．14．（2022·江苏·苏州市吴江区实验初级中学九年级期中）如图，燃烧的蜡烛AB经小孔O在屏幕上成像A'B'，设AB=30cm，小孔O到AB、A'B'的距离分别为32cm、20cm，则像A'B'的长是____________cm．15．（2022·江苏·宝应县实验初级中学九年级阶段练习）如图，已知A（3，0），B（2，3），将△OAB以点O为位似中心，相似比为2：1，放大得到△OA'B'，则顶点B的对应点B'的坐标为________．16．（2022·江苏·顾山中学九年级阶段练习）如图，在△ABC中，AB=14，AC=6，在AC上取一点D，使AD=2，如果在AB上取点E，使△ADE和△ABC相似，则AE=___________． 三、解答题（本大题共11小题，共88分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（2022·江苏·宜兴市树人中学九年级阶段练习）①若aa+b=23，则ab＝___；②已知x2=y7=z5，则x+y−zx的值为 ___．18．（2022·江苏连云港·九年级期末）如图，一个矩形广场的长AB=120米，宽AD=60米，广场内两条纵向的小路宽为a米，横向的两条小路宽为b米，矩形ABCD∼矩形EFGH．(1)求a:b的值；(2)若a=4，求矩形EFGH的面积．19．（2022·江苏·苏州市吴江区梅堰中学九年级阶段练习）如图，点P在△ABC的边AC上，要使△ABP∽△ACB，还少一个条件，补充一个条件并说明理由．20．（2021·江苏·扬州市梅岭中学九年级阶段练习）如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点 ．ΔABC和ΔDEF的顶点都在边长为1的小正方形的格点上．(1)则∠ABC=_____°，BC=______；(2)判断ΔABC与ΔDEF是否相似．若相似，请说明理由．21．（2022·江苏无锡·九年级期中）如图，四边形ABCD中，E在AD边上，DE=2AE，CE∥AB，BE∥CD．(1)求证：△ABE∽△ECD；(2)已知△ABE面积为3，求四边形ABCD的面积．22．（2022·江苏·宜兴市树人中学九年级阶段练习）（1）如图，4×4的正方形方格中，△ABC的顶点A、B、C在小正方形的顶点上．请在图中画一个△A1B1C1，使△A1B1C1∽△ABC（相似比不为1），且点A1、B1、C1都在小正方形的顶点上．并将此三角形涂上阴影（2）按要求作图，不要求写作法，但要保留作图痕迹：我们知道，三角形具有性质：三边的垂直平分线相交于同一点，三条角平分线相交于一点，三条中线相交于一点，事实上，三角形还具有性质：三条高所在直线相交于一点．请运用上述性质，只用直尺（不带刻度）作图．①如图1，在平行四边形ABCD中，E为CD的中点，作BC的中点F．②如图2，在由小正方形组成的4×3的网格中，△ABC的顶点都在小正方形的顶点上，作△ABC的高AH23．（2022·江苏·宝应县实验初级中学九年级阶段练习） 如图，是一块底边BC长为120mm，高AH为80mm的三角形余料，现要把它加工成正方形DEFG零件，使得正方形的四个顶点D、E、F、G都在三角形三边上，其中E、F在BC边上，求加工后正方形的边长．24．（2022·江苏常州·八年级期末）某天晚上，小明看到人民广场的人行横道两侧都有路灯，想起老师数学课上学习身高与影长的相关知识，于是自己也想实际探究一下．为了探究自己在两路灯下的影长和在两路灯之间的位置关系，小明在网上从有关部门查得左侧路灯（AB）的高度为4.8米，右侧路灯（CD）的高度为6.4米，两路灯之间的距离（BD）为12米，已知小明的身高（EF）为1.6米，然后小明在两路灯之间的线段上行走（如图所示），测量相关数据．(1)若小明站在人行横道的中央（点F是BD的中点）时，小明测得自己在两路灯下的影长FP＝ 米，FQ＝ 米；(2)小明在移动过程中，发现在某一点时，两路灯产生的影长相等（FP＝FQ），请问时小明站在什么位置，为什么？25．（2022·江苏无锡·九年级期中）如图，格点图形中每一个最小正方形的边长为1单位长度，△ABC的顶点都在格点上．(1)在图中建立平面直角坐标系，使得原点为点O，点A、B坐标分别为(−3,−1)、(1,−3)；(2)以点O为位似中心，画出△ABC的位似三角形△A'B'C'，使得△A'B'C'与△ABC相似比为2:1；(3)在边AB上求作M、N两点，使得CM、CN将△ABC面积三等分．26．（2022·江苏·徐州市第十三中学三模）如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点E是CD的中点，P是射线DA上一点，延长EP交直线AB于F，过P作PG⊥EF，分别交射线CB、直线AB于G、H．(1)①当PD=3时，EFPG=______；②点P在AD上取不同位置，EFPG的值是否变化？若不变，求出它的值，若改变，请说明理由；(2)连接FG，当△PFG是等腰直角三角形时，求PD的长；(3)直接写出CG的最小值______．27．（2021·江苏苏州·九年级期中）如图，在平面直角坐标系内，抛物线y＝ax2＋bx﹣4（a≠0）与x轴交于点A，点B，与y轴交于点C，且OB＝2OA．过点A的直线y＝x＋2与抛物线交于点E．点P为第四象限内抛物线上的一个动点，过点P作PH⊥AE于点H．（1）抛物线的表达式中，a＝　 　，b＝　 　；（2）在点P的运动过程中，若PH取得最大值，求这个最大值和点P的坐标；（3）在（2）的条件下，在x轴上求点Q，使以A，P，Q为顶点的三角形与△ABE相似．2022-2023学年九年级数学上学期复习备考高分秘籍 【苏科版】专题2.15第6章图形的相似单元测试（培优强化卷）注意事项：本试卷满分120分，试题共26题，其中选择6道、填空10道、解答11道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置． 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（2022·江苏·无锡市羊尖中学九年级阶段练习）如果两个相似三角形对应边之比是1：4，那么它们的周长之比是（　　）A．1：4 B．1：6 C．1：8 D．1：16【答案】A【分析】由两个相似三角形对应边之比是1：4，又由相似三角形的周长比等于相似比，求得答案．【详解】解：∵两个相似三角形对应边之比是1：4， ∴它们的相似比为1：4， ∴它们的周长之比是1：4． 故选：A．【点睛】此题考查了相似三角形的性质．注意相似三角形对应边的比等于相似比，相似三角形的周长比等于相似比．2．（2022·江苏·宝应县城郊中学九年级阶段练习）已知a、b、c、d是成比例线段，其中a＝3，b＝0.6，c＝2，则线段d的长为（　　）A．0.4 B．0.6 C．0.8 D．4【答案】A【分析】如果四条线段a、b、c、d满足ab=cd、则四条线段a、b、c、d称为比例线段．（有先后顺序，不可颠倒），将a，b及c的值代入即可求得d．【详解】已知a，b，c，d是成比例线段，根据比例线段的定义得：ab=cd，代入a＝3，b＝0.6，c＝2，得：30.6=2d，解得：d＝0.4． 故线段d的长为0.4．故选A．【点睛】本题考查线段成比例的问题．根据线段成比例的定义求解即可．3．（2022·江苏·阳山中学九年级阶段练习）如图，在△ABC中，DE∥BC，若AD∶DB=3∶2，AE=6cm，则AC的长为（    ）A．6cm B．5cm C．4cm D．10cm【答案】D【分析】根据平行线分线段成比例，即可求解．【详解】解∶∵DE∥BC，AD∶DB=3：2，∴AD∶DB=AE∶EC=3∶2，∵AE=6cm，∴6∶EC=3∶2，∴EC=4cm，∴AC=AE+EC=10cm．故选：D【点睛】本题主要考查了成比例线段，熟练掌握平行线分线段成比例基本事实是解题的关键．4．（2021·江苏·常州市金坛良常初级中学九年级阶段练习）下列说法正确的是（    ）A．两个直角三角形相似B．两条边对应成比例，一组对应角相等的两个三角形相似C．有一个角为40°的两个等腰三角形相似D．有一个角为100°的两个等腰三角形相似【答案】D【分析】利用相似三角形的判定方法依次判断即可得解．【详解】解：A、∵两个直角三角形只有一组角相等，∴两个直角三角形不一定相似，故选项A不合题意；B、∵两条边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似，∴两条边对应成比例，一组对应角相等的两个三角形不一定相似，故选项B不合题意；C、∵底角为40°的等腰三角形和顶角为40°的等腰三角形不相似，∴有一个角为40°的两个等腰三角形不一定相似，故选项C不合题意；D、∵有一个角为100°的两个等腰三角形相似，∴选项D符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．5．（2022·江苏南通·二模）如图，等边三角形ABC中，点P，Q分别在边AB，AC上，BP＝2CQ．过由Q作PQ的垂线，交边BC于点R．若求△ABC的周长，则只需知道（    ）A．四边形APRQ的周长 B．四边形PQCR的周长C．△BPR的周长 D．△APQ的周长【答案】C【分析】取PB,PR的中点F,E，连接FE,EQ，过点Q作QD∥AB交BC于点D，过点P作PG∥BC，交AC于点G，根据等边三角形的性质与判定可知△APG,△CDQ是等边三角形，进而证明BFQD是平行四边形，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，EQ=12PR，根据三角形中位线的性质可得EF=12BR，根据平行四边形的性质可得FQ=BR，计算△PBD的周长为2BC，即可求解．【详解】如图，取PB,PR的中点F,E，连接FE,EQ，过点Q作QD∥AB交BC于点D，过点P作PG∥BC，交AC于点G，∵△ABC是等边三角形，∴∠A=60°，AB=BC=AC，∴∠DQC=∠A=60°，∴△CDQ是等边三角形，同理可得△APG是等边三角形，∵AP=AG，则AB−AP=AC−AG，即PB=GC，∵E,F是BP,PR的中点，则EF=12BR,EF∥BR，∵Rt△PQR中，DE是斜边上的中线，∴QE=12PR，∵PB=2QC，PB=GC，∴GC=2CQ，即Q为CG的中点，∵PG∥CD,PE=ER,GQ=CQ，∴PEER=GQCQ，∴EQ∥RC，又FE∥BR，∴EF∥BC,EQ∥BC，∴E,F,Q三点共线，∴△AFQ是等边三角形，∵FQ∥BC,QD∥AB，∴四边形BFQD是平行四边形，∴FQ=BD,BF=DQ，∴FQ+QC=BD+DC=BC，∵PB+PR+BR=2BF+2EQ+2EF=2DC+2EQ+EF=2DC+2FQ=2DC+BD=2BC．∴△BPR的周长等于2BC，等边三角形的周长等于3BC．故选C．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，平行四边形的性质与判定，三角形中位线的性质与判定，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，平行线分线段成比例，综合运用以上知识是解题的关键．6．（2022·江苏·文林中学九年级阶段练习）如图，在矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=10，点E在CD上，将△BCE沿BE折叠，点C恰落在边AD上的点F处；点G在AF上，将△ABG沿BG折叠，点A恰落在线段BF上的点H处，①∠EBG=45°；②△DEF∽△ABG；③S△ABG=32S△FGH；④AG+DF=FG．则下列结论正确的有（  ）A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③【答案】B【分析】根据矩形的性质得出∠A=∠C=∠D=∠ABC=90°，AB=CD=6，BC=AD=10，根据折叠得出∠BAG=∠FBG，∠CBE=∠FBE，AG=GH， BC=BF=10，AB=BH=6，根据勾股定理求出AG=GH=3，再逐个判断即可．【详解】解：根据矩形的性质得出∠A=∠C=∠D=∠ABC=90°，AB=CD=6，BC=AD=10由折叠的性质得，∠CBE=∠FBE，∠ABG=∠FBG，∴∠EBG=∠FBE+∠FBG=12∠ABC=12×90°=45°，故①正确；由折叠的性质得，BF=BC=10，BH=BA=6，∴HF=BF−BH=4在Rt△ABF中，AF=BF2−BA2=8，设GH=x，则GF=8−x，在Rt△GHF中，x2+42=8−x2，解得x=3，∴GF=5，∴AG=3，同理在Rt△FDE中，FD=2，ED=6−EF，由FD2=EF2−ED2得EF=103，∴ED=83，∴EDFD=43≠ABAG=2，∴△DEF与△ABG不相似，故②不正确；∵S△ABG=12×3×6=9，S△FGH=12×3×4=6，∴S△ABGS△FGH=96=32，即S△ABG=32S△FGH，故③正确；∵AG=3，DF=2，FG=5，∴AG+DF=FG=5，故④正确．正确的有①③④故选：B【点睛】本题考查了勾股定理，折叠的性质，矩形的性质、相似三角形的判定等知识点，能灵活运用定理进行推理和计算是解此题的关键．二、填空题7．（2022·江苏南京·九年级期末）若xy=23，则x+yy的值为_____．【答案】53【分析】由xy=23，设x=2k,y=3k(k≠0)，然后再代入求解即可．【详解】解：∵xy=23，设x=2k,y=3k(k≠0)，∴x+yy=2k+3k3k=53，故答案为：53．【点睛】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．8．（2021·江苏江苏·九年级期末）在比例尺为1：800000的盐城市地图上，大丰实验初中与滨海第一初级中学的图上距离为16cm，则实际距离为_____km．【答案】128【分析】根据比例尺直角计算即可．【详解】解：设实际距离为xcm，∵比例尺为1：800000，∴16：x=1：800000x=1280000012800000cm=128km；故答案为：128．【点睛】本题考查了比例线段，解题关键是明确比例尺的意义，注意单位转换．9．（2022·江苏·靖江外国语学校九年级阶段练习）已知点C是AB的黄金分割点（AC>BC），AB=6，则BC=_____．（结果保留根号）【答案】9−35##35−9【分析】根据黄金分割点的定义得到AC=5−12AB，进行计算即可求解．【详解】解：∵点C是AB的黄金分割点（AC>BC），AB=6，∴AC=5−12AB=5−12×6=35−3，∴BC=AB−AC=6−(35−3)=6−35+3=9−35，故答案为：9−35．【点睛】本题主要考查了黄金分割点的定义，即：把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项．10．（2022·江苏·洪泽新区中学九年级阶段练习）两个相似三角形的相似比为4：3，周长之比为___【答案】4∶3##43【分析】根据相似多边形相似比的定义和性质解答即可；【详解】解：两个相似三角形的相似比为4：3，由相似多边形的性质，∴两个相似三角形周长之比为4：3故答案为：4：3；【点睛】本题考查相似多边形的性质：相似多边形对应边的比等于相似比；相似多边形周长的比等于相似比；掌握相似多边形的性质是解题关键．11．（2021·江苏·涟水县红日中学九年级阶段练习）如果四边形ABCD的四条边长分别为54cm、48cm、45cm、63cm，另一个和它相似的四边形的最长边长为21cm，那么这个四边形的最短边的长度为______．【答案】15cm【分析】根据相似多边形的性质求解即可．【详解】解：∵四边形ABCD与另一个四边形相似，∴设另一个四边形的最短边的长度为x，∴x45=2163，解得：x=15．∴这个四边形的最短边的长度为15cm．故答案为：15cm．【点睛】此题考查了相似多边形的性质，解题的关键是熟练掌握相似多边形的性质．相似多边形的对应边成比例，对应角相等．12．（2019·江苏·海庆中学九年级期末）已知△ABC，P是边AB上的一点，连接CP．请你添加一个条件，使△ACP∽△ABC，这个条件可以是_______．（写出一个即可）【答案】∠ACP=∠B或∠APC=∠ACB或APAC=ACAB【分析】根据相似三角形的判定方法解决问题即可．【详解】解：∵∠A=∠A，∴当∠ACP=∠B或∠APC=∠ACB或APAC=ACAB时，△ACP∽△ABC．故答案为：∠ACP=∠B或∠APC=∠ACB或APAC=ACAB．【点睛】本题考查相似三角形的判定．解题的关键是要明确：①三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；②两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；③两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．13．（2021·江苏·靖江市靖城中学九年级阶段练习）如图，已知AB∥CD∥EF，AD：AF=3：5，BC=6，则CE的长为______．【答案】4【分析】由AB∥CD∥EF，推出ADAF=BCBE，推出35=6BE，可得结论．【详解】∵AB∥CD∥EF，∴ADAF=BCBE，∴35=6BE，∴BE=10，∴CE=BE-BD=10-6=4，故答案为：4．【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是掌握平行线分线段成比例定理．14．（2022·江苏·苏州市吴江区实验初级中学九年级期中）如图，燃烧的蜡烛AB经小孔O在屏幕上成像A'B'，设AB=30cm，小孔O到AB、A'B'的距离分别为32cm、20cm，则像A'B'的长是____________cm．【答案】754【分析】过O点作EF⊥AB于点E，交A'B'于点F，即可得EO=32，FO=20，根据AB∥A'B'，可得△AEO∽△A'FO，即有A'OAO=FOEO=2032，再根据AB∥A'B'，可得△ABO∽△A'B'O，即有A'B'AB=A'OAO=2032，问题得解．【详解】过O点作EF⊥AB于点E，交A'B'于点F，如图，由题意可得：AB∥A'B'，∴EF⊥A'B'，∴结合题意有EO=32，FO=20，∵AB∥A'B'，∴△AEO∽△A'FO，∴A'OAO=FOEO=2032，∵AB∥A'B'，∴△ABO∽△A'B'O，∴A'B'AB=A'OAO=2032，∵AB=30cm，∴A'B'=2032×AB=2032×30=754（cm）﹒即A'B'的长为754cm，故答案为：754．【点睛】此题主要考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．15．（2022·江苏·宝应县实验初级中学九年级阶段练习）如图，已知A（3，0），B（2，3），将△OAB以点O为位似中心，相似比为2：1，放大得到△OA'B'，则顶点B的对应点B'的坐标为________．【答案】(4,6)或(−4,−6)##(−4,−6)或(4,6)【分析】利用位似图形坐标变化特征解答即可．【详解】解：由位似图形坐标变化的特征可知：B'(4,6)或B'(−4,−6)．故答案为：(4,6)或(−4,−6)【点睛】本题考查位似图形坐标变化特征：一般地，在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，画出一个与原图形位似的图形，使它与原图形的相似比为k，那么与原图形上的点(x,y)对应的位似图形上的点的坐标为(kx,ky)或(−kx−ky).16．（2022·江苏·顾山中学九年级阶段练习）如图，在△ABC中，AB=14，AC=6，在AC上取一点D，使AD=2，如果在AB上取点E，使△ADE和△ABC相似，则AE=___________． 【答案】143或67【分析】本题应分两种情况进行讨论，①△ABC ∼△AED；②△ABC∼ △ADE；可根据各相似三角形得出的关于AE、AE、AB、AC四条线段的比例关系式求出AE的长．【详解】解：本题分两种情况：①如图：此时△ADE ∼△ACB，∴AB:AC=AE:AD，∵AB=14，AC=6，AD=2，∴AE=143；②如图：此时△ADE ∼△ABC，∴AB:AC=AD:AE，∵AB=14，AC=6，AD=2，∴AE=67，故答案为：143或67．【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质．由于题中没有明确相似三角形的对应角和对应边，因此本题要分情况进行讨论，以免漏解．三、解答题17．（2022·江苏·宜兴市树人中学九年级阶段练习）①若aa+b=23，则ab＝___；②已知x2=y7=z5，则x+y−zx的值为 ___．【答案】     2     2【分析】①先将等式去分母，再进行同类项合并即可得到答案；②将y和z分别转换为含x的代数式，再代入式子即可得到答案．【详解】解：①∵aa+b=23，∴3a=2a+b，∴a=2b，∴ab=2；②∵x2=y7=z5，∴y=7x2，z=5x2，∴x+y−zx=x+72x−5x2x=2．【点睛】本题考查分式的性质，解题的关键是根据分式的性质进行灵活变换．18．（2022·江苏连云港·九年级期末）如图，一个矩形广场的长AB=120米，宽AD=60米，广场内两条纵向的小路宽为a米，横向的两条小路宽为b米，矩形ABCD∼矩形EFGH．(1)求a:b的值；(2)若a=4，求矩形EFGH的面积．【答案】(1)a：b＝2：1(2)6272米2【分析】（1）根据题意可得HE＝（60﹣2b）米，EF＝（120﹣2a）米，根据矩形ABCD∽矩形EFGH．可得HEAD=EFAB，进而可以解决问题；（2）由（1）得2b＝a，根据矩形EFGH的面积＝EF•HE，即可解决问题．【详解】（1）根据题意可知：HE＝（60﹣2b）米，EF＝（120﹣2a）米，∵矩形ABCD∽矩形EFGH．∴HEAD=EFAB，∴60−2b60=120−2a120，整理，得2b＝a，∴a：b＝2：1；（2）∵a＝4，2b＝a，∴b＝2，∴矩形EFGH的面积＝EF•HE＝（120﹣2a）•（60﹣2b）＝（120﹣8）（60﹣4）＝112×56＝6272（米2）．答：矩形EFGH的面积为6272米2．【点睛】本题考查了相似多边形的应用，列代数式，解决本题的关键是掌握相似多边形的性质．19．（2022·江苏·苏州市吴江区梅堰中学九年级阶段练习）如图，点P在△ABC的边AC上，要使△ABP∽△ACB，还少一个条件，补充一个条件并说明理由．【答案】补充一个条件∠ABP=∠C（答案不唯一）理由见解析【分析】由两个角分别对应相等的两个三角形相似，可补充∠ABP=∠C，再证明即可．【详解】解：补充∠ABP=∠C，理由如下：∵∠A=∠A,∠ABP=∠C, ∴△ABP∽△ACB．【点睛】本题考查的是相似三角形的判定，掌握“两个角分别对应相等的两个三角形相似”是解本题的关键．20．（2021·江苏·扬州市梅岭中学九年级阶段练习）如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点 ．ΔABC和ΔDEF的顶点都在边长为1的小正方形的格点上．(1)则∠ABC=_____°，BC=______；(2)判断ΔABC与ΔDEF是否相似．若相似，请说明理由．【答案】(1)135，22(2)ΔABC∽ΔDFE，证明见解析【分析】（1）利用图形以及勾股定理解决问题即可．（2）结论：△ABC∽△DFE．根据两边成比例夹角相等两三角形相似证明即可．【详解】（1）解：观察图形可知，∠ABC＝90°＋45°＝135°，BC=22+22=22．故答案为：135，22（2）结论：△ABC∽△DFE．理由：∵AB＝2，BC＝22，DF=2，EF＝2，∠DFE＝90°＋45°＝135°，∴ABDF=BCEF=2，∵∠ABC＝∠DFE，∴△ABC∽△DFE．【点睛】本题考查了相似三角形的判定、勾股定理、正方形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．21．（2022·江苏无锡·九年级期中）如图，四边形ABCD中，E在AD边上，DE=2AE，CE∥AB，BE∥CD．(1)求证：△ABE∽△ECD；(2)已知△ABE面积为3，求四边形ABCD的面积．【答案】(1)证明见解析(2)四边形ABCD 的面积为21【分析】（1）利用CE∥AB，BE∥CD，得到∠BAE=∠CED，∠ABE=∠ECD，即可证明△ABE∽△ECD；（2）已知DE=2AE，S△ABE=3，根据相似三角形面积比等于相似比的平方，得到S△ECD=12，再根据平行线间距离相等，得到S△BCE=6，三个面积相加即可得到四边形ABCD的面积·【详解】（1）证明：∵CE∥AB，∴∠BAE=∠CED，∠ABE=∠BEC，∵BE∥CD，∴∠BEC=∠ECD，∴∠ABE=∠ECD，在△ABE和△ECD中，∠ABE=∠ECD∠BAE=∠CED，∴△ABE∽△ECD；（2）∵△ABE∽△ECD，DE=2AE，∴ABCE=AEDE=12， ∴S△ABES△ECD=14，∵S△ABE=3，∴S△ECD=12，∵AB∥CE，∴△ABE中AB边上的高和△BCE中CE边上的高相等，∴S△BCE=2S△ABE=6，∴S四边形ABCD=S△ABE+S△BCE+S△ECD=3+6+12=21．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行线间距离相等，熟练掌握相似三角形面积比等于相似比的平方是解题关键．22．（2022·江苏·宜兴市树人中学九年级阶段练习）（1）如图，4×4的正方形方格中，△ABC的顶点A、B、C在小正方形的顶点上．请在图中画一个△A1B1C1，使△A1B1C1∽△ABC（相似比不为1），且点A1、B1、C1都在小正方形的顶点上．并将此三角形涂上阴影（2）按要求作图，不要求写作法，但要保留作图痕迹：我们知道，三角形具有性质：三边的垂直平分线相交于同一点，三条角平分线相交于一点，三条中线相交于一点，事实上，三角形还具有性质：三条高所在直线相交于一点．请运用上述性质，只用直尺（不带刻度）作图．①如图1，在平行四边形ABCD中，E为CD的中点，作BC的中点F．②如图2，在由小正方形组成的4×3的网格中，△ABC的顶点都在小正方形的顶点上，作△ABC的高AH【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②见解析【分析】（1）把△ABC各边放大2倍即可；（2）根据题意三角形的三条中线交于同一点，根据平行四边形的性质，先连接AC和BD得到BD的中点O，再连接BE交CO于P点，则点P为△BCD的重心，延长DP交BC于F点，则F点为BC的中点；（3）根据三角形的三条高所在的直线交于同一点，分别作出AC,AB上的高，交于点O，延长AO至H，则AH即为所求．【详解】如图，△A1B1C1为所作；（2）①如图1，点F为所作；理由：因为三角形的三条中线交于同一点，四边形ABCD是平行四边形，∴O是BD的中点，∵E是CD的中点，根据三条中线交于同一点，连接BE交AC于P，则点P为三条中线的交点，作射线DP交DP于点F，则点F为BC的中点；②如图2，找到格点D，过A点作AD垂直AB，再平移DA得到CE，则CE⊥AB，接着作MN垂直AC，平移MN得到BF，则BF⊥AC，BF与CE的交点O为△ABC的垂心，所以延长AO交BC于H，则AH⊥BC ，AH为所作．理由：∵△ABG≌△DAK∴∠GAB=∠ADK∴∠GAB+∠DAK=∠ADK+∠DAK=90°∴∠BAD=90°∴BA⊥AD平移AD至CJ，并延长，交AB于点E，∴CE⊥AB同理作出BF⊥AC，BF,CE交于点O根据三角形三条高所在的直线交于同一点，延长AO交BC于点H，则AH即为所求．【点睛】本题考查了画相似三角形：根据相似三角形的判定条件作为作图的依据．比较简单的是把原三角形的三边对应的缩小或放大一定的比例即可得到对应的相似图形，也考查了三角形的重心和平行四边形的性质．23．（2022·江苏·宝应县实验初级中学九年级阶段练习） 如图，是一块底边BC长为120mm，高AH为80mm的三角形余料，现要把它加工成正方形DEFG零件，使得正方形的四个顶点D、E、F、G都在三角形三边上，其中E、F在BC边上，求加工后正方形的边长．【答案】加工后正方形的边长为48mm【分析】设正方形的边长为xmm，根据正方形的对边平行可得DG∥BC，然后判断出△ADG∼△ABC，再根据相似三角形的性质进行计算求解即可．【详解】解：设正方形的边长为xmm，∵四边形DEFG是正方形，∴DG∥BC，∴△ADG∼△ABC，∴80-x80=x120，解得x=48，∴加工后正方形的边长为48mm．【点睛】本题考查了相似三角形的应用，主要利用了正方形的性质和相似三角形对应高的比等于相似比的性质，熟记性质并列出比利时是解决本题的关键是．24．（2022·江苏常州·八年级期末）某天晚上，小明看到人民广场的人行横道两侧都有路灯，想起老师数学课上学习身高与影长的相关知识，于是自己也想实际探究一下．为了探究自己在两路灯下的影长和在两路灯之间的位置关系，小明在网上从有关部门查得左侧路灯（AB）的高度为4.8米，右侧路灯（CD）的高度为6.4米，两路灯之间的距离（BD）为12米，已知小明的身高（EF）为1.6米，然后小明在两路灯之间的线段上行走（如图所示），测量相关数据．(1)若小明站在人行横道的中央（点F是BD的中点）时，小明测得自己在两路灯下的影长FP＝ 米，FQ＝ 米；(2)小明在移动过程中，发现在某一点时，两路灯产生的影长相等（FP＝FQ），请问时小明站在什么位置，为什么？【答案】(1)3，2(2)离B地245m（或离D地365m），理由见解析【分析】（1）通过证明△CDQ∼△EFQ，△ABP∼△EFP，再根据相似三角形的性质进行求解即可；（2）由（1）得，EFCD=QFQD，EFAB=PFBP，设FP=FQ=x，可求出BD=5x=12，求出x的值，即可求解．（1）解：由题意得，∠CDQ=∠EFQ,∠CQD=∠EQF，∴△CDQ∼△EFQ，∴EFCD=QFQD，∵AB=4.8,CD=6.4,BD=12,EF=1.6，点F是BD的中点，∴BF=DF=6，∴1.66.4=QF6+QF，解得QF=2；∠ABP=∠EFP,∠APB=∠EPF，∴△ABP∼△EFP，∴EFAB=PFBP∵AB=4.8,CD=6.4,BD=12,EF=1.6，点F是BD的中点，∴BF=6，∴1.64.8=PF6+PF，解得PF=3；故答案为：3；2；（2）小明站在离B点245米处的位置，理由如下：由（1）得，EFCD=QFQD，EFAB=PFBP，∵AB=4.8,CD=6.4,BD=12,EF=1.6，设FP=FQ=x，∴1.66.4=xQD,1.64.8=xBP，∴QD=4x,BP=3x，∴BQ=x,DP=2x，∴BD=5x=12，解得x=125，∴BF=2x=245，所以，小明站在离B点245米处的位置．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键．25．（2022·江苏无锡·九年级期中）如图，格点图形中每一个最小正方形的边长为1单位长度，△ABC的顶点都在格点上．(1)在图中建立平面直角坐标系，使得原点为点O，点A、B坐标分别为(−3,−1)、(1,−3)；(2)以点O为位似中心，画出△ABC的位似三角形△A'B'C'，使得△A'B'C'与△ABC相似比为2:1；(3)在边AB上求作M、N两点，使得CM、CN将△ABC面积三等分．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析【分析】（1）根据点A、B坐标得出其对称轴的位置即可；（2）根据位似的性质以及相似比为2:1画出图形即可；（3）以点D为位似中心，位似比分别为2:3作AB的位似图形A″B″，然后找出A″B″的三等分点，连接点D与两个三等分点与AB交于M、N两点，连接CM,CN，则CM,CN即为所作．【详解】（1）解：如图，坐标轴即为所作；（2）如图：△A'B'C'即为所作；（3）如图，M,N即为所作．【点睛】本题考查了坐标与图形，作图－位似变换，相似三角形的性质，位似图形的性质，熟练掌握位似的性质是解本题的关键．26．（2022·江苏·徐州市第十三中学三模）如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点E是CD的中点，P是射线DA上一点，延长EP交直线AB于F，过P作PG⊥EF，分别交射线CB、直线AB于G、H．(1)①当PD=3时，EFPG=______；②点P在AD上取不同位置，EFPG的值是否变化？若不变，求出它的值，若改变，请说明理由；(2)连接FG，当△PFG是等腰直角三角形时，求PD的长；(3)直接写出CG的最小值______．【答案】(1)①43，②点P在AD上取不同位置，EFPG的值不变，EFPG=43(2)PD=2(3)62【分析】（1）①过G作GI⊥AD于I，过E作EJ⊥AB于J，证明出△GPI∽△EFJ即可得解；②过G作GI⊥AD于I，过E作EJ⊥AB于J，证明出△IGP∽△JEF，即有EFPG=EJGI=86=43；（2）根据PG⊥EF，△PFG是等腰直角三角形时，即有PG=PF，根据AB∥CD，有PFPE=PAPD，结合（1）中的结论即可求得EF=43PG=43PF，PE=13PF，即有PAPD=3，即可求出PD；（3）以B为原点，BC为x轴，AB为y轴建立直角坐标系，连接GE，设P点坐标为(m,6)、G点坐标为(n,0)，利用待定系数法求出直线PE的解析式，进而求出F点坐标，根据勾股定理求出EF2、PG2、EC2、PE2，再根据（1）中已得EFPG=43，即有EF2PG2=169，即PG2=916EF2，在Rt△PGE中，GE2=PG2+PE2，在Rt△GEC中，GC2=GE2−EC2，即GC2=GE2−EC2=PG2+PE2−EC2，则有GC2=36+(18m−8)2+(m−8)2，设8-m=t，即t＞0，则GC2=(18t+t)2，根据18t+t−218=(18t−t)2≥0，得到18t+t≥218=62，即有GC2=(18t+t)2≥(62)2，则GC的最小值可求．（1）解：①过G作GI⊥AD于I，过E作EJ⊥AB于J，如图所示：在矩形ABCD中，EJ=BC=8,GI=AB=6，∵CD=AB=6，点E是CD的中点，∴DE=CE=12DC=3，∵BC=8，PD=3，∴AP=AD−PD=8−3=5，在Rt△PDE中，∠D=90°，PD=DE=3，则∠PED=∠EPD=45°，∴∠APF=∠EPD=45°，∵PG⊥EF，∴∠APG=45°，在Rt△PAH中，∠BAD=90°，∠APG=45°，则∠AHP=∠BHG=45°，∵∠GIP=∠EJF=90°，∠FEJ=∠GPI=45°，∴△GPI∽△EFJ，∴EFPG=EJGI=86=43， 故答案为：43；②点P在AD上取不同位置，EFPG的值不变，EFPG=43．过G作GI⊥AD于I，过E作EJ⊥AB于J，如图所示：在矩形ABCD中，EJ=BC=8，GI=AB=6，∵EJ∥AD，∴∠FEJ=∠DPE，∵PG⊥EF，∴∠DPE+∠IPG=90°，∵∠IGP+∠IPG=90°，∴∠DPE=∠IGP，∴∠IGP=∠FEJ，∴△IGP∽△JEF，∴EFPG=EJGI=86=43，∴点P在AD上取不同位置，EFPG的值不变，EFPG=43；（2）解：∵PG⊥EF，∴△PGF是直角三角形，当△PFG是等腰直角三角形时，PG=PF，∵AB∥CD，∴PFPE=PAPD，∵在（1）中有EFPG=43，∴EF=43PG=43PF，∴PE=EF−PE=43PF−PF=13PF，∴PAPD=PFPE=PF13PF=3，∴PA=3PD，∵PA+PD=AD=BC=8，∴PA+PD=3PD+PD=AD=8，∴PD=2；（3）以B为原点，BC为x轴，AB为y轴建立直角坐标系，连接GE，如图，则有B点坐标为(0,0)、C点坐标为(8,0)、E点坐标为(8,3)，设P点坐标为(m,6)、G点坐标为(n,0)，∵P点坐标为(m,6)、E点坐标为(8,3)，∴设直线PE的解析式为y=kx+b，则有：mk+b=68k+b=3，解得：k=3m−8b=3−24m−8，则直线PE的解析式为y=3m−8x+3−24m−8，∴PE与y轴的交点F的坐标为(0,3−24m−8)，∵E点坐标为(8,3)，F的坐标为(0,3−24m−8)，∴EF2=(8−0)2+(3−3+24m−8)2=82+(24m−8)2，∵P点坐标为(m,6)、G点坐标为(n,0)，∴PG2=(m−n)2+(6−0)2=(m−n)2+62，∵在（1）中已得EFPG=43，∴EF2PG2=169，∴PG2=916EF2，∴PG2=(m−n)2+62=916EF2=916[82+(24m−8)2]=36+(18m−8)2∵P点坐标为(m,6)、E点坐标为(8,3)，∴PE2=(m−8)2+(6−3)2=(m−8)2+32，∵E点坐标为(8,3)、C点坐标为(8,0)，∴EC2=(8−8)2+(3−0)2=32，∵EF⊥PG，∴在Rt△PGE中，GE2=PG2+PE2，又∵在Rt△GEC中，GC2=GE2−EC2，∴GC2=GE2−EC2=PG2+PE2−EC2，即：GC2=36+(18m−8)2+(m−8)2+32−32=36+(18m−8)2+(m−8)2，∵P点在射线DA上，∴m＜8，则设8-m=t，即t＞0，∴GC2=36+(18m−8)2+(m−8)2=36+(18t)2+t2，∴GC2=36+(18t)2+t2=(18t+t)2，∵18t+t−218=(18t−t)2≥0，∴18t+t≥218=62，∴GC2=(18t+t)2≥(62)2，则GC2的最小值为(62)2，即GC的最小值为：62．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质、平行线的性质、待定系数法求解一次函数解析式、勾股定理以及构建直角坐标系等知识，构建直角坐标系求得GC2=(18t+t)2≥(62)2是解答本题的关键．27．（2021·江苏苏州·九年级期中）如图，在平面直角坐标系内，抛物线y＝ax2＋bx﹣4（a≠0）与x轴交于点A，点B，与y轴交于点C，且OB＝2OA．过点A的直线y＝x＋2与抛物线交于点E．点P为第四象限内抛物线上的一个动点，过点P作PH⊥AE于点H．（1）抛物线的表达式中，a＝　 　，b＝　 　；（2）在点P的运动过程中，若PH取得最大值，求这个最大值和点P的坐标；（3）在（2）的条件下，在x轴上求点Q，使以A，P，Q为顶点的三角形与△ABE相似．【答案】（1）12，−1；（2）最大值为42，P(2,4)；（3）Q(263，0)或Q(1，0)【分析】（1）根据直线方程求得A点坐标，再根据OB=2OA求得B点坐标，代入抛物线解析式，即可求解；（2）过点P作PM⊥AB并延长交AE于点N，过点E作EF⊥AB，设PH交AB于点D，可得△PNH∽△AEF，得到PH=AFAEPN=22PN，利用二次函数的性质求得PN的最大值，即可求解；（3）根据P点坐标求得∠EAB=∠PAQ，分两种情况讨论求解即可．【详解】解：（1）由直线y＝x＋2可得A(−2,0)，∴OA=2∵OB=2OA，∴OB=4，即B(4,0)将A(−2,0)、B(4,0)代入抛物线解析式可得4a−2b−4=016a+4b−4=0，解得a=12b=−1故答案为：12，−1（2）由（1）得抛物线解析式为y=12x2−x−4过点P作PM⊥AB并延长交AE于点N，过点E作EF⊥AB，设PH交AB于点D，如下图：则∠PMD=∠AHD=∠PHN=∠EFA=90°，又∵∠HDA=∠PDM∴∠HAD=∠HPN又∵∠PHN=∠EFA∴△PNH∽△AEF∴PNAE=PHAF，即PH=AFAEPN联立直线与抛物线可得y=x+2y=12x2−x−4，即x2−4x−12=0解得x1=6，x2=−2y=6+2=8，即E(6,8)，F(6,0)∴AF=8，AE=82+82=82∴PH=22PN，即PH的最大值，即是PN的最大值设P(m,12m2−m−4)，则N(m,m+2)PN=m+2−(12m2−m−4)=−12m2+2m+6=−12(m−2)2+8∵−12