苏科版九年级数学下册基础知识专项讲练 专题6.22 相似三角形的性质（巩固篇）（专项练习）（附答案）

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专题6.22 相似三角形的性质（巩固篇）（专项练习）一、单选题1．若的面积是，则它的三条中位线围成的三角形的面积是（       ）A． B． C． D．无法确定2．如图，矩形中，，，点P在对角线上，且，连接并延长，交的延长线于点Q，连接，则的长为（       ）A． B． C． D．3．如图，ABC中，DE∥BC，AD:BD=1:3，则OE：OB=（　   ）A．1:3 B．1:4 C．1:5 D．1:64．如图，在矩形中，是的中点，若交于点，是的中点，连接，，则的长为（       ）A． B． C．1 D．5．如图，小明在A时测得某树的影长为，B时又测得该树的影长为，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为（       ）A． B． C． D．6．如图，在平行四边形ABCD中，点E是AD上一点，，连接BE交AC于点G，延长BE交CD的延长线于点F，则的值为（　　）A． B． C． D． 7．如图，中，，是中线， 是上一点，作射线，交于点，若，则 （ ）A． B． C． D．8．小明想借助网格在线段AB上找一点P，使AP∶PB＝2∶3，下列作法中错误的是（       ）A． B．C． D．9．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC边的中点，点E是AB边的中点，过点E作EF∥AD交BC于点F，过点E作EG∥BC交AD于点G，设△ABC的面积为S，则四边形EFDG的面积为（       ）A．S B．S C．S D．S10．直线l1∥l2∥l3，且l1与l2的距离为1，l2与l3的距离为3，把一块含有45°角的直角三角形如图放置，顶点A，B，C恰好分别落在三条直线上，AC与直线l2交于点D，则线段BD的长度为（       ）A． B． C． D．二、填空题11．在△ABC和△DEF中，∠A＝∠D＝105°，AC＝4cm，AB＝6cm，DE＝3cm，则DF＝_________时，△ABC与△DEF相似．12．如图，已知矩形ABCD中，AB=6，AD=8将矩形ABCD沿直线MN翻折后，点B恰好落在边AD上的点E处，如果AE=2AM，那么CN的长为______.13．如图，四边形中，对角线交于点O，，，，，如果，那么的值是___________．14．如图，在平面直角坐标系中，与轴交于点，已知点，，，是线段上一点，连接，若与相似，则的长为______．15．如图，在矩形ABCD中，点E在边BC上，连结AE，将△ABE沿直线AE翻折得到△AFE，EF与AC相交于点M．若AB＝8，BC＝10，且BE＝BC，则点F到直线AD的距离为____．16．如图，矩形ABCD沿EF折叠，点A的对称点为点A'，点B的对称点为点B'，A'B'与AD相交于点G，若点F，B'，D在同一条直线上，△A'EG的面积为4，△CDF的面积为36，则△GB'D的面积等于______．17．如图，已知在矩形纸片中，将纸片折叠，使顶点与边的点重合.若折痕分别与交于点的外接圆与直线有唯一一个公共点，则折痕的为______．18．如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=1，AC=2，、、…都是正方形，且、、…在AC边上，、、…在AB边上．则线段的长用含n的代数式表示为______________．（n为正整数）三、解答题19．如图，在梯形ABCD中，AD//BC，∠ABC=90°，且AB是AD，BC的比例中项，求证：BD⊥AC．20．如图正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图．(1)在图①中画等腰△ABC，使得∠CAB＝90°；(2)在图②中画等腰△DEF，使△ABC∽△DEF，且相似比为：1．21．如图，△ABC中，点D，E分别是BC，AB上的点，CE，AD交于点 F，BD＝AD，BE＝EC．求证：△ABD∽△CBE；若CD＝CF，试求∠ABC的度数．22．如图，已知点在轴的负半轴上，点在轴的正半轴上，，，点在线段上，从点出发以每秒5个单位长度的速度向点运动，设运动时间为秒，过点作轴于点．(1) 当时，线段的长为________；(2) 当时，求的值；(3) 在轴上是否存在点，使为等腰三角形，若存在，直接写出点的坐标，若不存在，说明理由．23．在菱形中，，点、分别是边、上两点，满足，与相交于点．（1）如图1，连接．求证：；（2）如图2，连接．① 求证：；② 若，，求线段的长（用含、的代数式表示）．24．如图1，在等腰中，，点D为斜边AB边上一动点（不含端点）．作，DE，DF分别交AB，AC于点E和点F．请根据图形解答下面问题：【问题发现】（1）如图1，若点D为BC边中点．请直接写出DE，DF的数量关系_________．【类比探究】（2）如图2，若点D为BC边上一动点，且．猜想DF与DE的数量关系．并证明你的结论．【拓展应用】（3）如图3，在边长为4的等边中，点D为BC边上一动点，作．DE交AC边于点E．请问在点D的运动过程中，CE是否有最大值．如果有，求出最大值；如果没有，请说明理由．参考答案1．A【分析】根据三角形中位线定理即可证得：，则△DEF∽△ABC，根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方即可求解．解：如图：∵DE是△ABC的中位线，∴DE=BC，即，同理，，，∴，∴△DEF∽△ABC，∴，∴S△DEF=S△ABC=×8=2（cm2）．故选：A．【点拨】本题考查了三角形的中位线定理，以及相似三角形的性质，正确证明△DEF∽△ABC是关键．2．C【分析】根据矩形的性质可求BD，，从而得到QC，由勾股定理即可求解；解：∵在矩形中，，，∴∵AB∥CD，∴∵∴∵∴∴∴故选：C．【点拨】本题主要考查三角形的相似、矩形的性质、勾股定理，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键．3．B【分析】先根据DE∥BC，得出ADE∽ABC，进而得出 ，再根据DE∥BC，得到ODE∽OCB，进而得到．解：∵DE∥BC，∴ADE∽ABC，∴，又∵，∴，∵DE∥BC，∴ODE∽OCB，∴．故选：B．【点拨】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似．4．C【分析】先证明，可得3EF=，延长AE交DC得延长线于点H，可得，继而即可求解．解：∵在矩形中，∴AD∥BC，AD=BC，∴，∴，即：3EF=，延长AE交DC得延长线于点H，∵AB∥CD，∴∠ABE=∠HCE=90°，∵是的中点，∴BE=CE，又∵∠AEB=∠CEH，∴，∴AE=EH，AB=CH=CD，即C是DH的中点，∵是的中点，∴HF=2，∵3EF=，∴4EF=4，∴EF=1，故选C．【点拨】本题主要考查矩形的性质，相似三角形的判定和性质，中位线的性质，添加辅助线，构造全等三角形是解题的关键．5．B【分析】根据题意，画出示意图，易得△EDC∽△FDC，进而可得，即DC2=ED•FD，代入数据可得答案．解：根据题意，作△EFC，树高为CD，且∠ECF=90°，ED=2m，FD=8m；∵∠E+∠F=90°，∠E+∠ECD=90°，∴∠ECD=∠F，又 ∴△EDC∽△CDF，∴，即DC2=ED•FD=2×8=16，解得CD=4m（负值舍去）．故选：B．【点拨】本题考查的是相似三角形的应用，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键．6．A【分析】先根据平行四边形的性质得到AB∥CD，则可判断△ABG∽△CFG，△ABE∽△DFE，于是根据相似三角形的性质和AE＝2ED即可得结果．解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥CD，∴△ABG∽△CFG，∴＝∵△ABE∽△DFE，∴＝，∵AE＝2ED，∴AB＝2DF，∴＝，∴＝．故选：A．【点拨】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质进行解题．7．C【分析】作，交于点，则有，根据 ，，可得，，再根据是边上的中线，得到，；根据可得，则，化简即可得到结果．解：如图，作，交于点，∴∴，又∵，，∴，∴，∴∵是边上的中线，∴∴，∴，∵∴ ∴∴，则．故选：C．【点拨】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟悉相关性质是解题的关键．8．D【分析】利用平行可证得三角形相似，再利用相似三角形的对应边成比例，对各选项逐一判断．解：A、根据图形，可知两个三角形相似，且相似比为2∶3，故AP∶PB＝2∶3，故正确，故此选项不符合题意．B、根据图形，可知两个三角形相似，且相似比为2∶3，故AP：PB＝2∶3，故正确，故此选项不符合题意．C、如图，根据图形可知：∠CAD=90°，线段CD绕点O顺时针旋转90°与AB重合，则∠APC=旋转角=90°=∠CAD，∠ACD=∠DCA，∴△ACD∽△DCA，∴，∵AC=，AD=2， CD=，∴AP=，∵S△BCD=，∴BP=，故AP∶PB＝2∶3，故正确，故此选项不符合题意．D、可知两个三角形不相似，故AP：PB之比无法判断，故错误，故此选项符合题意．故答案为：D．【点拨】本题考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．9．B【分析】根据等腰三角形的性质可得AD⊥BC，BDBC，然后可得四边形EFDG是矩形，再根据三角形中位线定理可得EGBDBC，DG＝AGAD，进而可以解决问题．解：∵AB＝AC，点D是BC边的中点，∴AD⊥BC，BDBC，∴∠ADB=90°，∵EF∥AD，EG∥BC，∴四边形EFDG是平行四边形， 又∠ADB=90°，∴四边形EFDG是矩形，∵点E是AB边的中点，∴AE=BE，∴AG=DG，∴EG是△ABD的中位线，∴EGBDBC，DG＝AGAD，∵△ABC的面积为S，∴SBC•AD，∴四边形EFDG的面积＝FD•DGBCADS．故选：B．【点拨】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形中位线定理，解决本题的关键是掌握三角形中位线定理．10．A【分析】分别过点A、B、D作AF⊥l3，BE⊥l3，DG⊥l3，可得AF=4，先根据全等三角形的判定定理得出△BCE≌△CAF，故可得出CF及CE的长，在Rt△ACF中根据勾股定理求出AC的长，再由相似三角形的判定得出△CDG∽△CAF，故可得出CD的长，在Rt△BCD中根据勾股定理即可求出BD的长．解：分别过点A、B、D作AF⊥l3，BE⊥l3，DG⊥l3，垂足为F、E、G，∵l1与l2的距离为1，l2与l3的距离为3，∴AF=4，BE=DG=3，∵△ABC是等腰直角三角形，∴AC＝BC，∵∠EBC+∠BCE＝90°，∠BCE+∠FCA＝90°，∠FCA+∠CAF＝90°，∴∠EBC＝∠FCA，∠BCE＝∠CAF，在△BCE与△ACF中，，∴△BCE≌△CAF，∴CF=BE=3，∴AC==5，∵AF⊥l3，DG⊥l3，∴△CDG∽△CAF，∴，即，解得：CD=，∴BD==．故选：A．【点拨】本题主要考查的是相似三角形的判定与性质，根据题意作出辅助线，构造出相似三角形是解答此题的关键．11．或【分析】由于两相似三角形的对应边不能确定，故应分△ABC∽△DEF与△ABC∽△DFE两种情况进行讨论．解：∵∠A＝∠D，AB＝6cm，AC＝4cm，DE＝3cm，∴当△ABC∽△DEF时，＝，即，解得：DF＝2；当△ABC∽△DFE时，＝，即，解得：DF＝4.5．综上所述，当DF＝2cm或4.5cm时，△ABC和△DEF相似．故答案为：2cm或4.5cm．【点拨】本题考查的是相似三角形的判定，在解答此题时要注意进行分类讨论．12．【分析】如图，过N作NF⊥AD于F，可得NF=AB，根据矩形的性质和折叠的性质可得∠MEN=∠B=90°，EN=BN，根据直角三角形两锐角互余的性质及平角的定义可得∠AME=∠NEF，进而可证明△AEM∽△FNE，根据AE=2AM可求出EF的长，在Rt△FNE中，利用勾股定理可求出EN的长，进而可求出CN的长.解：如图，过N作NF⊥AD于F，∵四边形ABCD是矩形，AB=6，∴NF=AB=6，∵矩形ABCD沿直线MN翻折后，点B恰好落在边AD上的点E处，∴EN=BN，∠MEN=∠B=90°，∴∠AEM+∠NEF=90°，∵∠AEM+∠AME=90°，∴∠AME=∠NEF，又∵∠A=∠EFN=90°，∴△AEM∽△FNE，∴，∵AE=2AM，NF=6，∴EF=3，∴BN=EN===，∵BC=8，∴CN=BC-BN=8-，故答案为：8-【点拨】本题考查矩形的性质、增大的性质及相似三角形的判定与性质，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似；熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键.13．【分析】由题意可以证得△AOD∽△BOC，再根据相似三角形的性质得到AO：OD=BO：OC，从而得到△AOB∽△DOC，最后再根据相似三角形的性质得到解答．解：在△AOD和△BOC中，，∠AOD=∠BOC，∴△AOD∽△BOC，∴AO：OB=DO：OC=AD：BC=1：2，∴OB=4，DO=3，∴在△AOB和△DOC中，∠AOB=∠DOC，AO：OD=BO：OC=2：3，∴△AOB∽△DOC，∴= AO：OD=2：3，故答案为．【点拨】本题考查相似三角形的应用，熟练掌握三角形相似的判定和性质是解题关键．14．2或4【分析】是一个直角三角形，若与相似，必须证明是直角三角形，再用相似三角形的性质即可求出点M的坐标．解：如图，∵A(1,4) ， C(3,0) ， D(0,3) ，∴ ，，， ；∴是直角三角形∵点M在x轴上，设点M的坐标是（x，0），∽∴∴=1∴当时，CM=2；当时CM=4，故答案为：2或4．【点拨】此题考查相似三角形的性质，熟悉掌握相似三角形的性质是解题的关键．15．．【分析】先过F作MN⊥BC，根据已知条件与折叠的性质得到△AFN∽△FEM，再根据相似的性质得到，设出未知数，求解出答案即可．解：过F作MN⊥BC，∵BE=，BC=10，∴BE=6，∵翻折∴△ABE≌△AFE，∴EF=BE=6，∠AFE=∠B=90°，AF= AB=8，∴∠AFN+∠EFM=90°，∵∠AFN+∠FAN=90°，∴∠FAN=∠EFM，∴△AFN∽△FEM，∴，设AN=4x，FM=3x， FN=8-3x，EM=4x-6，∴FN=8-3x，EM=4x-6，∴，∴，经检验：是原方程的根，∴，故答案为：．【点拨】本题主要考查了矩形的性质、折叠的性质与相似三角形的判定与性质，关键在于作出辅助线，根据折叠的性质证明出三角形相似．16．16【分析】由矩形ABCD沿EF折叠， 可得∠A′=∠A =90°，A′B′=AB，可证A′E∥DF，可得∠A′EG=∠GDB′，可证△A′EG∽△CFD，可得，可证△A′EG∽△B′DG，即可．解：∵矩形ABCD沿EF折叠，点A的对称点为点A'，点B的对称点为点B'，∴∠A′=∠A=∠A′B′F=∠B=∠C=90°，A′B′=AB，∵∠A′+∠A′B′F=180°，∴A′E∥DF，∴∠A′EG=∠GDB′，∵四边形ABCD为矩形，∴AB=CD，AD∥BC，∴∠GDB′=∠DFC=∠A′EG，∴△A′EG∽△CFD，∴，∴即，∴，∵∠A′=∠A′B′F=90°，∠A′EG=∠GDB′，∴△A′EG∽△B′DG，，∵S△A'EG=4，∴．故答案为：16．【点拨】本题考查矩形折叠问题，平行线性质，三角形相似判定与性质，掌握矩形折叠性质，平行线性质，三角形相似判定与性质是解题关键．17．【分析】根据折叠的性质判断出AG=GE，∠AGF=∠EGF，再由CD∥AB得出∠EFG=∠AGF，从而判断出EF=AG，得出四边形AGEF是平行四边形，继而结合AG=GE，判定四边形AGEF是菱形；连接ON，得出ON是梯形ABCE的中位线，在RT△ADE中，利用勾股定理可解出x，继而可得出折痕FG的长度．解：由折叠的性质可得，GA=GE，∠AGF=∠EGF，∵DC∥AB，∴∠EFG=∠AGF，∴∠EFG=∠EGF，∴EF=EG=AG，∴四边形AGEF是平行四边形（EF∥AG，EF=AG），又∵AG=GE，∴四边形AGEF是菱形令△AED的外接圆与直线有唯一一个公共点为N，连接ON，如图所示，∵△AED是直角三角形，AE是斜边，点O是AE的中点，△AED的外接圆与BC相切于点N，∴ON⊥BC，∵点O是AE的中点，∴ON是梯形ABCE的中位线，设CE=x，则ED=2-x，2ON=CE+AB=x+2，在Rt△AED中，AE=2OE=2ON=x+2，AD2+DE2=AE2，∴12+（2-x）2=（2+x）2，得x=，，∵△FEO∽△AED，∴，解得：FO=，∴FG=2FO=．故答案为：.【点拨】此题考查了翻折变换的知识，涉及了菱形的判定、含30°角的直角三角形的性质，关键在于得出△FEO∽△AED，求出.18．【分析】根据题意得出△BB1C1∽△BAC，进而求出B1C1=，同理可得出：B2C2=，B3C3=，…，进而得出答案．解：由题意可得：B1C1//AC，∴△BB1C1∽△BAC，∴BC1：BC=B1C1：AC，∵CC1=B1C1，∴B1C1：2=（1−C1B1）：1，解得：B1C1=，故A1B1=，AA1=，同理可得出：B2C2=，B3C3=，…，∴线段BnCn的长用含n的代数式表示为：．故答案为：．【点拨】本题考查相似三角形的综合应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质及归纳的思维方法是解题关键．19．见分析【分析】先根据平行线的性质得到∠BAD=90°，再证明△ABC∽△DAB得到∠ABD=∠ACB，则∠ACB+∠DBC=90°，所以∠BEC=90°，从而得到结论．解：∵AD∥BC，∠ABC=90°，∴∠BAD=90°，∵AB是AD，BC的比例中项，即AB2=AD•BC，∴而∠ABC=∠DAB，∴△ABC∽△DAB，∴∠ABD=∠ACB，∵∠ABD+∠DBC=90°，∴∠ACB+∠DBC=90°，∴∠BEC=90°，∴BD⊥AC．【点拨】本题考查了相似三角形的判定与性质．熟练掌握相似三角形的判定是解答本题的关键．20．(1)见分析(2)见分析解：(1)如图①中，△ABC即为所求；,,,,，的等腰直角三角形，(2)如图②中，△DEF即为所求．,,,,．△ABC∽△DEF，且相似比为：1．【点拨】本题考查了勾股定理，相似三角形的性质，掌握勾股定理与相似三角形的性质是解题的关键．21．(1)见分析(2)【分析】（1）由已知可得∠BAD＝∠BCE，结合∠B＝∠B，可以得到；（2）设∠B＝x ，则由（1）和已知条件可以得到关于x的方程，解方程即可得到问题解答．(1)证明：∵BD＝AD，BE＝EC∴∠B＝∠BAD，∠B＝∠BCE   ∴∠BAD＝∠BCE 而∠B＝∠B，∴△ABD∽△CBE(2)解：设∠B＝，由（1）可知∠B＝∠BAD＝∠BCE＝，∴∠ADC＝ 又∵CD＝CF∴∠ADC＝∠DFC＝   ∴     ∴即【点拨】本题考查相似三角形的综合问题，熟练掌握三角形相似的判定方法、等腰三角形的性质、三角形内角和定理及方程思想方法的应用是解题关键．法的应用是解题关键．22．(1)(2)(3)存在，M(-8，0)， (2，0)， (3，0)， (，0)【分析】（1）由已知可得线段PQ为三角形的中位线，根据三角形中位线定理可以得到解答；（2）由已知可得△BPQ∽△BAQ，，把上面等式用含t的代数式表示出来，然后解方程即可；（3）分MA=MB，AM=AB，BM=BA三种情况讨论．(1)解：由题意可得：当时，PA=PB，且PQ∥AO，∴，BQ=QO，∴PQ为三角形ABO的中位线，∴PQ=AO=,故答案为；(2)解：由题可知，PA=PQ=5t， ∴ PB=AB-PA=5-5t∵PQ∥AO       ∴∠BPQ=∠BAO又∵BQP=∠BOA=90°∴△BPQ∽△BAO∴             解得：t=(3)解：由题意可设满足条件的M为（x，0），则可分三种情况：如图，MA=MB，则MA2=MB2，∴（x+3）2=OM2+OB2=x2+AB2-AO2=x2+16，解之可得：x=，∴M为（，0）；如图，AM=AB，则有|x+3|=5，解之可得：x=2或x=-8，∴M为（2，0）或（-8，0）；如图，BM=BA，则BM2=BA2，∴x2+16=25，解之可得：x=3或x=-3（舍去），∴M为（3，0）；∴满足条件的M为：（-8，0)或 (2，0)或 (3，0)或 (，0)．【点拨】本题考查三角形的动点问题，熟练掌握三角形中位线的定义和性质、三角形相似的判定和性质、等腰三角形的性质、方程思想与勾股定理的应用是解题关键 ．23．（1）见分析；（2）①见分析；②【分析】（1）四边形是菱形，，则是等边三角形，根据，，，即可得到三角形全等；（2）①连接，延长到点，使，连接，求证出，是等边三角形，即可以证明；②由①中的条件可证，所以，即可以求出DG．（1）证明：∵四边形是菱形，，∴ ，，∴是等边三角形，∴，，∵ ∴．（2）①证明：连接，延长到点，使，连接．由（1）知，∴，，，∴，∵是等边三角形，∴，∴，∴，，∴∴是等边三角形，∴．②由①可知，∵，∴，又∵，∴，∴，∴，即，∴．【点拨】本题主要考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等有关知识，需要综合利用初中所学知识，结合题目条件，灵活运用才能解决问题；正确作出辅助线是解决这题的关键．24．（1）；（2）；（3）有最大值，最大值为1．【分析】（1）连接，证明，即可求证；（2）分别过点、作、交于点，根据三角形相似对应边成比例，求得DF与DE的数量关系；（3）由题意可知，设，求出与的函数关系式，根据函数性质即可求解．解：（1）连接，如下图：∵点D为BC边中点∴又∵为等腰直角三角形∴，，∴又∵∴∴∴（2）分别过点、作、交于点∵为等腰直角三角形∴又∵、∴、为等腰直角三角形∴，∵，∴∴∴∴，，∴，∴又∵∴∴，即（3）∵，∴又∵∴∴∴设，∴∴当时，最大，最大为1．【点拨】此题考查了三角形的综合应用，涉及到三角形全等、相似以及二次函数的性质，其中多次利用了“一线三等角”模型，熟练掌握相关基础知识是解题的关键．