苏科版九年级数学下册基础知识专项讲练 专题6.14 相似图形（培优篇）（专项练习）（附答案）

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专题6.14 相似图形（培优篇）（专项练习）一、单选题1．有一块边长为的等边三角形纸板，如图1，经过底边的中点剪去第一个正三角形;如图2，过剩余底边的中点再剪去第二个正三角形，然后依次过剩余底边的中点再剪去更小的第三个第四···正三角形，则剪掉的第个正三角形的面积是（    ）A． B． C． D．2．在比例尺为1：m的某市地图上，规划出长a厘米，宽b厘米的矩形工业园区，该园区的实际面积是（　　）米2．A． B． C． D．3．如图，矩形在矩形的内部，且，点，在对角线BD的异侧，连结，，，，若矩形矩形，且两个矩形的周长已知，则只需要知道下列哪个值就一定可以求得四边形的面积（       ）A．矩形的面积 B．的度数C．四边形的周长 D．的长度4．我们把宽与长的比等于黄金比()的矩形称为黄金矩形.如图,在黄金矩形中,的平分线交边于点,于点,则下列结论错误的是（     ）A． B． C． D．5．彼此相似的矩形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2，…，按如图所示的方式放置．点A1，A2，A3，…，和点C1，C2，C3，…，分别在直线y=kx+b（k＞0）和x轴上，已知点B1、B2的坐标分别为（1，2），（3，4），则Bn的坐标是（　　）A．（2n﹣1，2n） B．（2n﹣，2n）C．（2n﹣1﹣，2n﹣1） D．（2n﹣1﹣1，2n﹣1）二、填空题6．如图（1），将一个正六边形各边延长，构成一个正六角星形，它的面积为1；取和各边中点，连接成正六角星形 ，如图（2）中阴影部分；取和各边中点，连接成正六角星形 ，如图（3）中阴影部分；如此下去……，则正六角星形的面积为 __________ ．7．一般地，“任意三角形都是自相似图形”，只要顺次连接三角形各边中点，则可将原三角形分割为四个都与它自己相似的小三角形．我们把（图乙）第一次顺次连接各边中点所进行的分割，称为阶分割（如图）；把阶分割得出的个三角形再分别顺次连接它的各边中点所进行的分割，称为阶分割（如图）…，依此规则操作下去．阶分割后得到的每一个小三角形都是全等三角形（为正整数），设此时小三角形的面积为．请写出一个反映，，之间关系的等式________．8．已知菱形的边长为2，=60°，对角线，相交于点O．以点O为坐标原点，分别以，所在直线为x轴、y轴，建立如图所示的直角坐标系．以为对角线作菱形∽菱形，再以为对角线作菱形∽菱形，再以为对角线作菱形∽菱形，„，按此规律继续作下去，在x轴的正半轴上得到点，，，．．．．．．，，则点的坐标为________．9．在平面直角坐标系中，正方形ABCD的位置如右图所示，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2），延长CB交x轴于点A1，作正方形A1B1C1C，延长C1B1交x轴于点A2，作正方形A2B2C2C1，…按这样的规律进行下去，第1个正方形的面积为____________；第n个正方形的面积为____________．10．如图，正方形ABCD的边长为1，顺次连接正方形ABCD四边的中点得到第一个正方形A1B1C1D1，由顺次连接正方形A1B1C1D1四边的中点得到第二个正方形A2B2C2D2…，以此类推，则第六个正方形A6B6C6D6周长是_____．三、解答题11．如图1，矩形ODEF的一边落在矩形ABCO的一边上，并且矩形ODEF∽矩形ABCO，其相似比为1：4，矩形ABCO的边AB=4，BC=4．（1）求矩形ODEF的面积；（2）将图1中的矩形ODEF绕点O逆时针旋转一周，连接EC、EA，ACE的面积是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值；若不存在，请说明理由．12．如图，点E是菱形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AE为边作一个菱形AEFG，且菱形AEFG∽菱形ABCD，相似比是：2，连接EB，GD．（1）求证：EB＝GD；（2）若∠DAB＝60°，AB＝2，求GD的长．13．如图l，在中，点，分别在边和上，点，在对角线上，且，.（1）求证：四边形是平行四边形：（2）若，，.①当四边形是菱形时，的长为______；②当四边形是正方形时，的长为______；③当四边形是矩形且时，的长为______.14．已知，在△ABC中，AB=AC，在射线AB上截取线段BD，在射线CA上截取线段CE，连结DE，DE所在直线交直线BC于点M．猜想：当点D在边AB的延长线上，点E在边AC上时，过点E作EF∥AB交BC于点F，如图①．若BD=CE，则线段DM、EM的大小关系为 ．探究：当点D在边AB的延长线上，点E在边CA的延长线上时，如图②．若BD=CE，判断线段DM、EM的大小关系，并加以证明．拓展：当点D在边AB上（点D不与A、B重合），点E在边CA的延长线上时，如图③．若BD=1，CE=4，DM=0.7，求EM的长．15．已知正方形，为射线上的一点，以为边作正方形，使点在线段的延长线上，连接(1)如图，若点在线段的延长线上，求证：；(2)如图，若点在线段的中点，连接，判断的形状，并说明理由；(3)如图，若点在边上，连接，当平分时，设，求度数.              16．已知正方形ABCD的边长为2，作正方形AEFG（A，E，F，G四个顶点按逆时针方向排列），连接BE、GD，（1）如图①，当点E在正方形ABCD外时，线段BE与线段DG有何关系？直接写出结论；（2）如图②，当点E在线段BD的延长线上，射线BA与线段DG交于点M，且DG＝2DM时，求边AG的长；（3）如图③，当点E在正方形ABCD的边CD所在的直线上，直线AB与直线DG交于点M，且DG＝4DM时，直接写出边AG的长．17．如图，在直角梯形OABC中，OA∥BC，A、B两点的坐标分别为A（13，0），B（11，12）．动点P、Q分别从O、B两点出发，点P以每秒2个单位的速度沿x轴向终点A运动，点Q以每秒1个单位的速度沿BC方向运动；当点P停止运动时，点Q也同时停止运动．线段PQ和OB相交于点D，过点D作DE∥x轴，交AB于点E，射线QE交x轴于点F．设动点P、Q运动时间为t（单位：秒）．(1)当t为何值时，四边形PABQ是平行四边形.(2)△PQF的面积是否发生变化？若变化，请求出△PQF的面积s关于时间t的函数关系式；若不变，请求出△PQF的面积.(3)随着P、Q两点的运动，△PQF的形状也随之发生了变化，试问何时会出现等腰△PQF？参考答案1．B【分析】根据等边三角形的性质得出，三角形的边长分别为 ，...即相邻三角形相似比为: 1: 2,进而求出即相邻三角形面积比,从而得出规律.解： ∵依次剪去一块更小的正三角形纸板，即其边长为前一块被剪掉正三角形纸板边长的∴三角形的边长分别为即相邻三角形相似比为: 1: 2,即相邻三角形面积比为: 1: 4,∴剪去一块的正三角形纸板面积分别为: ∴第n个纸板的面积为: ∴第2020个纸板的面积为: 故选：B【点拨】此题主要考查了等边三角形的性质与数据的规律性知识，此题得出相邻三角形面积比，从而表示出各三角形面积是解决问题的关键.2．D解：设该园区的实际面积是，∵地图上长a厘米，宽b厘米的矩形工业园区的面积为ab平方厘米，根据题意得：，∴，即可得平方厘米＝平方米．故选D．3．A【分析】连接BC1，DA1，过点B1作B1E⊥AB于点E，过点C1作C1F⊥AB于点F，过点B1作B1G⊥AD于点G，过点D1作D1H⊥BC于点H，设小矩形的长和宽分别为a和b，大矩形的长和宽分别为ak和bk，BF=m，AG=n，然后用分割法求得四边形BB1DD1的面积，进而可以根据条件得到结果．解：如图，连接BC1，DA1，过点B1作B1E⊥AB于点E，过点C1作C1F⊥AB于点F，过点B1作B1G⊥AD于点G，过点D1作D1H⊥BC于点H，∵B1C1⊥BC，∴四边形AEB1G、四边形EFC1B1是矩形，设小矩形的长和宽分别为a和b，大矩形的长和宽分别为ak和bk，BF=m，AG=n，则S矩形A1B1C1D1＝ab，S矩形ABCD=abk2，AE=bk-m-a，CH=ak-n-b，∴S△BC1B1＝B1C1•AG＝an，S△BC1D1＝C1D1•BF＝bm，S△DA1B1＝A1B1•AE=b（bk-m-a），S△DA1D1＝A1D1•CH=a（ak-n-b），∴S四边形BB1DD1＝S△BC1B1+S△BC1D1+S△DA1B1+S△DA1D1+S矩形A1B1C1D1=an+bm+b(bk−m−a)+ a(ak−n−b)+ab=k（a2+b2）=k[（a+b）2-2ab]=k（a+b）2-kab，∵矩形ABCD和矩形A1B1C1D1的周长已知，∴2（a+b）和2（ak+bk）为定值，∴k为定值，∴k（a+b）2为定值，∵kab=，∴当S矩形ABCD已知时，四边形B1BD1D的面积即为定值，故选：A．【点拨】本题考查了矩形的判定与性质和相似多边形的性质，解题的关键是学会设矩形的长和宽并用含有未知数的式子表示矩形ABCD、矩形A1B1C1D1和四边形B1BD1D的面积．4．C【分析】先根据矩形的性质、角平分线的性质、正方形的判定可得四边形ABFE是正方形，再根据正方形的性质可得，再根据黄金矩形的定义逐项判断即可得．解：四边形ABCD是矩形，，，即，四边形ABFE是矩形，是的平分线，且，，四边形ABFE是正方形，，又四边形ABCD是黄金矩形，且，，设，则，，，，则，，即，选项A正确；，，即，选项B正确；，，即，选项C错误；，则选项D正确；故选：C．【点拨】本题考查了矩形的性质、角平分线的性质、正方形的判定与性质，掌握理解黄金矩形的定义是解题关键．5．A【分析】根据矩形的性质求出点的坐标，然后利用待定系数法求一次函数解析式求出，从而得到一次函数解析式，再根据一次函数图像上点的坐标特征求出的坐标，然后求出的坐标，...，最后根据点的坐标特征的变化规律写出的坐标即可.解：，相似矩形的长是宽的倍，点的坐标分别为，，点在直线上，，解得，，点在直线上，，点的坐标为，点的横坐标为，点，…,的坐标为.故选：.【点拨】本题考查了相似多边形的性质，一次函数图象上点的坐标特征，根据点的系列坐标判断出相应矩形的长，再求出宽，然后得到点的系列坐标的变化规律是解题的关键.6．．【分析】先分别求出第一个正六角星形与第二个边长之比，再根据相似多边形面积的比等于相似比的平方，找出规律即可解答．解：、、、、、分别是和各边中点，正六角星形正六角星形且相似比为，正六角星形的面积为1，正六角星形的面积为，同理可得，第二个六角形的面积为：，第三个六角形的面积为：，第四个六角形的面积为：．故答案是：．【点拨】本题考查的是相似多边形的性质及三角形中位线定理，熟知相似多边形面积的比等于相似比的平方是解答此题的关键．7．【分析】1阶三角形有4个，把这4个三角形再分，每个分成4个，即共有42个三角形，即2阶三角形有42个三角形，进而可以得到n阶三角形有4n个三角形．解：设△DEF的面积是a则Sn-1=，Sn=，Sn+1=根据()2=•因而Sn-1，Sn，Sn+1三者之间关系式是Sn2=Sn-1•Sn+1．∴三者之间关系式是Sn2=Sn-1•Sn+1．【点拨】这是一个猜想规律的问题，解题的关键是根据规律，能判断出n阶分割后小三角形的个数．8．（3n－1，0）．解：∵菱形的边长为2，=60°，∴=2，∴=1，∴点A1的坐标为（1，0），∵=1，∴=，∴=3，点A2的坐标为（3，0），即（32－1，0），同理可得：点A3的坐标为（9，0），即（33－1，0），点A4的坐标为（27，0），即（34－1，0），………∴点An的坐标为（3n－1，0）．故答案为（3n－1，0）．考点：1．相似多边形；2．菱形的性质；3．规律型．9．5；【分析】由题意可求出AD=， 所以第1个正方形的面积为5；先利用ASA证明△AOD和△A1BA相似，根据相似三角形对应边成比例可以得到AB=2A1B，所以正方形A1B1C1C的边长等于正方形ABCD边长的 ，以此类推，后一个正方形的边长是前一个正方形的边长的 ，然后即可求出第n个正方形的边长与第1个正方形的边长的关系，从而求出第n个正方形的面积为 ．解：设正方形的面积分别为S1，S2…，Sn，根据题意，得：AD∥BC∥C1A2∥C2B2，∴∠BAA1＝∠B1A1A2＝∠B2A2A3（同位角相等）．∵∠ADO＋∠DAO＝90°，∠DAO＋∠BAA1＝90°，∴∠ADO＝∠BAA1，在直角△ADO中，根据勾股定理，得：AD＝，tan∠ADO＝＝，∵tan∠BAA1＝＝tan∠ADO，∴BA1＝AB＝，∴CA1＝，同理，得：C1A2＝（）×（1＋），由正方形的面积公式，得：S1＝（）2＝5，S2＝（）2×（1＋）2，S3＝（）2×（1＋）4＝5×（）4，由此，可得Sn＝（）2×（1＋）2（n−1）＝5×（）2n−2．故答案为：5；．【点拨】本题考查了正方形的性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理的应用，解此题的关键是根据计算的结果得出规律，题目比较好，但是一道比较容易出错的题目．10．【分析】根据题意，利用中位线定理可证明顺次连接正方形ABCD四边中点得正方形A1B1C1D1的面积为正方形ABCD面积的一半，根据面积关系可得周长关系，以此类推可得正方形A6B6C6D6的周长．解：顺次连接正方形ABCD四边的中点得正方形A1B1C1D1，则得正方形A1B1C1D1的面积为正方形ABCD面积的一半，即，则周长是原来的；顺次连接正方形A1B1C1D1中点得正方形A2B2C2D2，则正方形A2B2C2D2的面积为正方形A1B1C1D1面积的一半，即，则周长是原来的；顺次连接正方形A2B2C2D2得正方形A3B3C3D3，则正方形A3B3C3D3的面积为正方形A2B2C2D2面积的一半，即，则周长是原来的；顺次连接正方形A3B3C3D3中点得正方形A4B4C4D4，则正方形A4B4C4D4的面积为正方形A3B3C3D3面积的一半，则周长是原来的；…故第n个正方形周长是原来的，以此类推：第六个正方形A6B6C6D6周长是原来的，∵正方形ABCD的边长为1，∴周长为4，∴第六个正方形A6B6C6D6周长是．故答案为．考点：中点四边形．11．（1）；（2）存在，最大值，最小值【分析】（1）根据相似多边形面积的比等于相似比的平方求解即可；（2）旋转一周，点E的轨迹是以点O为圆心以2为半径的圆，所以△ACE的AC边上的高就是点E到AC的距离，也就是AC到圆上的点的距离，又最大值和最小值，最大值为点O到AC的距离与圆的半径的和，最小值为点O到AC的距离与圆的半径的差，再利用三角形的面积公式求解即可．解：（1）∵矩形ODEF∽矩形ABCO，其相似比为1：4，∴S矩形ODEF=S矩形ABCO=×4×4=； （2）存在．∵OE=，所以点E的轨迹为以点O为圆心，以2为半径的圆，设点O到AC的距离为h，AC=，∴8h=4×4，解得h=2，∴当点E到AC的距离为2+2时，△ACE的面积有最大值，当点E到AC的距离为2-2时，△ACE的面积有最小值，S最大=，S最小=．【点拨】本题主要考查了相似多边形的性质，矩形的性质，勾股定理，圆上的点到直线的距离的取值范围，理解AC边上的高的最大值为点O到AC的距离与圆的半径的和是解本题的关键．12．（1）见分析；（2）GD＝【分析】（1）利用相似多边形的对应角相等和菱形的四边相等证得三角形全等后即可证得两条线段相等；（2）连接BD交AC于点P，则BP⊥AC，根据∠DAB＝60°得到BP＝AB＝1，然后求得EP＝2，最后利用勾股定理求得EB的长即可求得线段GD的长即可．（1）证明：∵菱形AEFG∽菱形ABCD，∴∠EAG＝∠BAD，∴∠EAG+∠GAB＝∠BAD+∠GAB，∴∠EAB＝∠GAD，∵AE＝AG，AB＝AD，∴△AEB≌△AGD，∴EB＝GD；（2）连接BD交AC于点P，则BP⊥AC，∵∠DAB＝60°，∴∠PAB＝30°，∵菱形AEFG∽菱形ABCD，相似比是：2，AB＝2，∴AE＝，BP＝AB＝1，∴∴EP＝2∴∴GD＝．【点拨】本题考查了相似多边形的性质，解题的关键是了解相似多边形的对应边的比相等，对应角相等．13．（1）证明见分析，（2）①5．②1．③．【分析】（1）如图1中，设的中点为．连接，，，．利用对角线互相平分的四边形是平行四边形证明即可．（2）①如图中，连接交于点，当时，四边形是菱形．利用平行线等分线段定理即可解决问题．②在①的基础上，时，四边形是正方形．③如图中，连接交于点，作于．当时，四边形是矩形．解：（1）证明：如图1中，设的中点为．连接，，，．四边形是平行四边形，与互相平分且交于点，，，四边形是平行四边形，与互相平分且交于点，，，，，四边形是平行四边形．（2）①如图中，连接交于点，当时，四边形是菱形．，，，，，，，，．②在①的基础上，满足时，四边形是正方形，易知，，，．③如图中，连接交于点，作于．，，，，，，当时，四边形是矩形，．故答案为5，1，．【点拨】本题属于四边形综合题，考查了平行四边形的性质，矩形的判定，菱形的判定，正方形的判定，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．14．猜想：DM=EM；探究：DM=EM，证明详见分析；拓展：EM=2.8.【分析】（1）如图1中，作EF∥AB交BC于F，只要证明△BDM≌△FEM即可．（2）如图2中，作EF∥AB交CB的延长线于F，只要证明△BDM≌△FEM即可．（3）如图3中，作EF∥AB交CB的延长线于F，由BD∥EF得，再证明EF=EC即可．解：（1）如图1中，猜想：DM=EM．理由：作EF∥AB交BC于F，∵AB=AC，∴∠ABC=∠C，∵EF∥AD， ∴∠EFC=∠ABC，∴∠C=∠EFC，∴EF=EC，∵BD=EC，∴DB=EF，∵EF∥AB，∴∠D=∠MEF，在△BDM和△FEM中，，∴△BDM≌△FEM，∴DM=EM．故答案为DM=EM．（2）结论DM=EM．理由：如图2中，作EF∥AB交CB的延长线于F，∵AB=AC，∴∠ABC=∠C，∵EF∥AB， ∴∠EFC=∠ABC，∴∠C=∠EFC，∴EF=EC，∵BD=EC，∴DB=EF，∵EF∥AB，∴∠D=∠MEF，在△BDM和△FEM中，，∴△BDM≌△FEM，∴DM=EM．（3）如图3中，作EF∥AB交CB的延长线于F，∵EF∥AB，∴∠F=∠ABC，∵AB=AC，∴∠ABC=∠C，∴∠F=∠C，∴EF=CE=4，∵BD∥EF，∴，∴，∴EM=2.8，故答案为2.8．【点拨】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形以及等腰三角形.15．(1)证明见分析；(2)△ACE是直角三角形；(3)【分析】（1）根据正方形的性质证明△APE≌△CFE，可得结论；（2）分别证明∠PAE=45°和∠BAC=45°，则∠CAE=90°，即△ACE是直角三角形；（3）分别计算PG和BG的长，再计算GH和BG的长，根据角平分线的逆定理得：∠HCG=∠BCG，由平行线的性质得到∠AEC=∠ACB=45°．解：(1)∵四边形和四边形是正方形，，∵，(2)是直角三角形∵为的中点又∵又∵，即是直角三角形(3)如图，设交于点，∵平分,，作又∵又∵∵【点拨】本题是四边形的综合题，考查了正方形的性质、平行线分线段成比例定理、角平分线的逆定理、等腰直角三角形的性质和判定，前两问难度不大，第三问有难度，作辅助线，求得GH和BG的长是关键．16．（1）结论：BE＝DG，BE⊥DG．理由见分析；（2）AG＝2；（3）满足条件的AG的长为2或2．【分析】（1）结论：BE＝DG，BE⊥DG．只要证明△BAE≌△DAG（SAS），即可解决问题；（2）如图②中，连接EG，作GH⊥AD交DA的延长线于H．由A，D，E，G四点共圆，推出∠ADO＝∠AEG＝45°，解直角三角形即可解决问题；（3）分两种情形分别画出图形即可解决问题；解：（1）结论：BE=DG，BE⊥DG．理由：如图①中，设BE交DG于点K，AE交DG于点O．∵四边形ABCD，四边形AEFG都是正方形，∴AB=AD，AE=AG，∠BAD=∠EAG=90°，∴∠BAE=∠DAG，∴△BAE≌△DAG（SAS），∴BE=DG，∴∠AEB=∠AGD，∵∠AOG=∠EOK，∴∠OAG=∠OKE=90°，∴BE⊥DG．（2）如图②中，连接EG，作GH⊥AD交DA的延长线于H．∵∠OAG＝∠ODE＝90°，∴A，D，E，G四点共圆，∴∠ADO＝∠AEG＝45°，∵∠DAM＝90°，∴∠ADM＝∠AMD＝45°，∴ ∵DG=2DM，∴ ∵∠H＝90°，∴∠HDG＝∠HGD＝45°，∴GH＝DH＝4，∴AH＝2，在Rt△AHG中， （3）①如图③中，当点E在CD的延长线上时．作GH⊥DA交DA的延长线于H．易证△AHG≌△EDA，可得GH＝AB＝2，∵DG＝4DM．AM∥GH，∴ ∴DH＝8，∴AH＝DH﹣AD＝6，在Rt△AHG中， ②如图3﹣1中，当点E在DC的延长线上时，易证：△AKE≌△GHA，可得AH＝EK＝BC＝2．∵AD∥GH，∴ ∵AD＝2，∴HG＝10，在Rt△AGH中， 综上所述，满足条件的AG的长为或．【点拨】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，等腰直角三角形的性质和判定，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．17．(1)t=;(2)见分析;(3)见分析.【分析】(1)设OP=2t，QB=t，PA=13﹣2t，根据平行四边形的性质（对边平行且相等）知，只需QB=PA，从而求得t；(2)根据平行线分线段成比例求得=；然后由平行线OB∥DE∥PA分线段成比例求得；利用等量代换求得AF=2QB=2t，PF=OA=13；最后由三角形的面积公式求得△PQF的面积；(3)由(2)知，PF=OA=13．分三种情况解答：①QP=FQ，作QG⊥x轴于G，则11﹣t﹣2t=2t+13﹣（11﹣t）；②PQ=FP；③FQ=FP．解：(1)设OP=2t，QB=t，PA=13﹣2t，要使四边形PABQ为平行四边形，则13﹣2t=t∴．(2)不变．∵，∴，∵QB∥DE∥PA，∴，∴AF=2QB=2t，∴PF=OA=13，∴S△PQF=；(3)由(2)知，PF=OA=13，①QP=FQ，作QG⊥x轴于G，则11﹣t﹣2t=2t+13﹣（11﹣t），∴t=；②PQ=FP，∴，∴t=2或；③FQ=FP，∴，∴t=1；综上，当t=或1或2或时，△PQF是等腰三角形．【点拨】考查了平行线分线段成比例、平行四边形的判定、等腰三角形的判定及勾股定理与直角梯形性质的应用．解答此题时，多处用到了分类讨论的数学思想，防止漏解．