云南省昆明市云南师范大学附属中学呈贡学校2024-2025学年高一上学期月考（一）数学试卷（解析版）

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2027届高一年级月考（一）
数学
【考试时间：9月26日14：30—16：30】
（全卷四个大题，共22个小题，共4页；满分150分，考试时间120分钟）
命题教师：梁雨菲 审题教师：陈路遥
注意事项：
1.答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的学校、姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的学校、准考证号、姓名、考场号、座位号，在规定的位置贴好条形码及填涂准考证号.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共10小题.每小题5分，共50分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】直接根据并集含义即可得到答案.
【详解】由题意得.
故选：C.
2. 命题“，有”的否定是（ ）
A. ，有B. ，有
C. ，有D. ，有
【答案】C
【解析】
【分析】根据全称命题的否定是特称命题分析判断.
【详解】由题意可得：命题“，有”的否定是“，有”.
故选：C.
3. 如图，已知矩形U表示全集，A、B是U的两个子集，则阴影部分可表示为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】在阴影部分区域内任取一个元素x ，分析元素x 与各集合的关系，即可得出合适的选项.
【详解】解：在阴影部分区域内任取一个元素x ，
则 且，即且 ，
所以，阴影部分可表示为.
故选：D.
4. 已知，“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分又不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】根据充分、必要性定义判断条件的推出关系，即可得答案.
【详解】由，则，当时不成立，充分性不成立；
由，则，即，显然成立，必要性成立；
所以是的必要不充分条件.
故选：B
5. 已知集合，则集合的真子集个数为（ ）
A. 4B. 8C. 32D. 31
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意，求得，结合真子集个数的计算方法，即可求解.
【详解】由集合，
所以集合的真子集个数为个.
故选：D
6. 已知，，则的取值范围为（ ）
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据不等式的性质求解即可.
【详解】解：因为，，
所以，，
所以，即
故选：C
7. 已知，则的最大值为（ ）
A. 4B. 6C. 8D. 10
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意结合基本不等式运算求解，注意基本不等式成立的条件.
【详解】因为，则，
可得，即，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最大值为4.
故选：A.
8. 已知条件，条件，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，可得由可以推出，但由推不出，从而列式算出实数的取值范围.
【详解】因为是的充分不必要条件，
所以由“”可推出“”，且由“”不能推出“”，
所以，可得.
故选：C.
9. 若变量x，y满足约束条件，，则的最小值为（ ）
A. -7B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用整体法，结合不等式的性质即可求解.
【详解】设，故且，
所以，故，
由于，，所以，即，
故最小值为，此时，
故选：B.
10. 命题“，”为假命题的一个充分不必要条件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】首先转化为存在量词命题的否定，求参数的取值范围，再求其真子集，即可判断选项.
【详解】若命题“，”为假命题，
则命题的否定“，”为真命题，
即，恒成立，
，，当，取得最大值，
所以，选项中只有是的真子集，
所以命题“，”为假命题的一个充分不必要条件为.
故选：D
二、选择题：本题共4小题.每小题6分，共24分.在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
11. 已知集合，，若，则实数的值可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据并集的结果可知，分情况讨论即可得解.
【详解】由已知，则，
又方程，解得或，即，
当时，则方程无实数解，此时，满足，符合题意；
当时，由，可得此时，
要使得，可得或，解得或，
综上可得，实数的值为或或.
故选：BCD.
12. 十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“＜”和“＞”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．则下列选项正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若且，则D. 若且，则
【答案】BCD
【解析】
【分析】举出反例可得A；利用不等式的性质计算可得B、C；由可得，利用作差法即可分析出.
【详解】对A：若，则，故A错误；
对B：由，则，，即，故B正确；
对C：由，则，又，则，故C正确；
对D：由，则，因为，则，故，故D正确.
故选：BCD.
13. 下列说法正确是（ ）
A. 的一个必要条件是
B. 若集合中只有一个元素，则
C. 若，，则
D. 已知集合，则满足条件的集合的个数为4
【答案】CD
【解析】
【分析】特例法可判断A，分类讨论求出方程只有一根时的取值判断B，作差法判断C，由并集运算结果转化为子集个数问题判断D.
【详解】对于A，当，时满足，但不成立，
所以不是的充分条件，即不是的必要条件，故A错误；
对于B，当时，方程的解为，此时集合中只有一个元素，满足题意，
当时，为一元二次方程，则由集合中只有一个元素得，故，
所以符合题意的有两个，或，故B错误；
对于C，利用作差法知，由，，知b-am>0，，，故C正确；
对于D，因为，所以，又，故集合的个数为个，故D正确.
故选：CD.
14. 设正实数m，n满足，则（ ）
A. 的最小值为B. 的最小值为
C. 的最大值为1D. 的最小值为
【答案】AD
【解析】
【分析】运用基本不等式逐一运算判断即可.
【详解】对于A，因为正实数m，n满足m＋n＝1，
所以，
当且仅当且，即时取等号，A正确；
对于B，，
当且仅当时取等号，所以≤， 即最大值为，B错误；
对于C，，
当且仅当时取等号，此时取最大值，C不正确；
对于D，由，
因此，当且仅当时取等号，
，当且仅当时取等号，
即的最小值为，D正确．
故选：AD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
15. 设集合，若，则的值的集合为__________.
【答案】
【解析】
【分析】运用元素与集合之间的关系，分类讨论计算即可
【详解】若，即时，，不满足互异性，
若，即或时，同理可验证时不满足互异性，成立，
若，即或，验证都不满足互异性.
综上，.
故答案为：
16. 已知全，A⋂(CUB)＝{1，3，5，7}，则B＝____________.
【答案】
【解析】
【分析】由全集，根据A⋂(CUB)，应用韦恩图即可求集合B.
【详解】由题意，，

∵A⋂(CUB)，，
∴.
故答案为：.
17. 某年级举行数学、物理、化学三项竞赛，共有88名学生参赛，其中参加数学竞赛有48人，参加物理竞赛有48人，参加化学竞赛有38人，同时参加物理、化学竞赛有18人，同时参加数学、物理竞赛有28人，同时参加数学、化学竞赛有18人，这个年级三个学科竞赛都参加的学生共有______________名．
【答案】18
【解析】
【分析】将参加三种竞赛的人数情况画出韦恩图，根据题干数据分析，即得解.
【详解】
设这个年级三个学科竞赛都参加的学生有人，
只参加数学，化学竞赛的有人，只参加物理，化学竞赛的有人，只参加数学，物理竞赛的有人，
只参加数学竞赛的有，
只参加物理竞赛的有，
只参加化学竞赛的有，
故参加竞赛的总人数为：，
解得，
这个年级三个学科竞赛都参加的学生有人.
故答案为：18.
18. 已知：，：，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是______
【答案】，或
【解析】
【分析】根据必要不充分条件与真子集之间的关系进行求解即可.
【详解】由，
因此满足条件对应的集合为：，或，
满足条件对应的集合为，
因为是的必要不充分条件，
所以集合是集合，或的真子集，
于是有，或，或，
解得：，或，或，
故答案为：，或，
四、解答题：本题共4小题，共56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
19. 已知集合，，或
（1）若全集U=R，求、；
（2）若全集，求.
【答案】（1），或
（2）
【解析】
【分析】（1）根据集合的交集、补集运算求解；
（2）根据集合的交集、并集、补集运算求解.
【小问1详解】
因为集合，或，
所以，或，
所以或.
【小问2详解】
由，或，
可得或，
则，所以.
20. 设集合，.
（1），，求的取值范围；
（2）若，求的取值范围.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据集合交集运算的性质进行求解即可；
（2）根据集合交集运算的性质，结合空集的性质进行求解即可.
小问1详解】
因为，所以，且，
所以，解得，，
综上所述，的取值范围为.
【小问2详解】
因为，
所以当时，即，解得，满足题意；
当时，要使，则或，
解得或无解.
综上所述，的取值范围为.
21. （1）已知，是正实数，且，求的最小值
（2）函数的最小值为多少？
（3）已知，则取得最大值时的值为多少？
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】
【分析】（1）用乘“1”法，借助基本不等式即可求解；
（2）通过配凑，构造基本不等式的模型来解决；
（3）通过配凑，使用基本不等式的和定积有最大值即可.
【详解】（1）因为，，
当且仅当，即，时取等号.
的最小值为.
（2）.
当且仅当，即时取等号.
故函数的最小值为.
（3），
当且仅当，即时取等号，
故取得最大值时，的值为.
22. 近几年来，“盲盒文化”广为流行，这种文化已经在中国落地生根，并发展处具有中国特色的盲盒经济，某盲盒生产及销售公司今年初用98万购进一批盲盒生产线，每年可有50万的总收入，已知生产此盲盒年（为正整数）所用的各种费用总计为万元.
（1）该公司第几年首次盈利（总收入超过总支出，今年为第一年）？
（2）该公司第几年年平均利润最大，最大多少？
【答案】（1）第3年 （2）第7年平均利润最大，为12万元
【解析】
【分析】（1）先求得利润的表达式，由此列不等式来求得正确答案.
（2）先求得平均利润的表达式，然后利用基本不等式求得正确答案.
【小问1详解】
设利润为，则，
由整理得，
解得，由于，
所以，所以第3年首次盈利.
【小问2详解】
首先，
由（1）得平均利润万元，
当且仅当，万元时等号成立，
综上，第7年，平均利润最大，为12万元.