2023-2024学年云南省昆明市云南师范大学附属中学高一下学期教学测评月考（七）数学试题（含解析）

这是一份2023-2024学年云南省昆明市云南师范大学附属中学高一下学期教学测评月考（七）数学试题（含解析），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.总体由编号为01，02，⋯，39，40的40个个体组成，从中选取5个个体.利用科学计算器依次生成一组随机数如下，则选出来的第5个个体的编号为( ) 66 06 58 61 54 35 02 42 35 48 96 21 14 32 52 41 52 48
A. 54B. 14C. 21D. 32
2.已知复数z满足z+z=2，且z−z=−2i，则|z|=( )
A. 2B. 3C. 2D. 5
3.在空间中，若两条直线a与b没有公共点，则a与b( )
A. 相交B. 平行
C. 是异面直线D. 可能平行，也可能是异面直线
4.已知α，β，γ是三个不同的平面，且α∩γ=m，β∩γ=n，则“α/​/β”是“m/​/n”的( )
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
5.一个圆台的上、下底面的半径分别为1和4，体积为28π，则它的母线长为( )
A. 3 3B. 4 2C. 4 3D. 5
6.如图，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则( )
A. AB//MQB. AB/​/NQ
C. AB⊥MND. AB/​/平面MNQ
7.陀螺是中国民间的娱乐工具之一，早期陀螺的形状由同底的一个圆柱和一个圆锥组合而成.如图，已知一木制陀螺内接于一体积为2563π的球，其中圆柱的两个底面为球的两个截面，圆锥的顶点在该球的球面上，若圆柱的底面直径为4 3，则该陀螺的体积为( )
A. 48πB. 56πC. 64πD. 72π
8.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且三边满足(a+b+c)(a−b+c)=4 2，B=π4，则△ABC的面积为( )
A. 2− 2B. 4−2 2C. 2+ 2D. 4+2 2
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设复数z=3−i1+i，则下列命题结论正确的是( )
A. 复数z的实部为1B. 复数z的虚部是−2
C. 复数z的模为 5D. 在复平面内，复数z对应的点在第二象限
10.如图，已知正方体ABCD−A1B1C1D1，点E，F，G分别为棱BC，CC1，CD的中点，则下列结论正确的有( )
A. AE与D1F共面B. 平面AB1D1//平面GFE
C. BF/​/平面AB1D1D. AE⊥EF
11.如图圆台O1O2，在轴截面ABCD中，AB=AD=BC=12CD=2，下面说法正确的是( )
A. 线段AC=2 3
B. 该圆台的表面积为12π
C. 该圆台的体积为7 33π
D. 沿着该圆台的表面，从点C到AD中点的最短距离为5
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量a=(2,−3)，b=(1,2)，p=(9,4)，若p=ma+nb，则n−m= ．
13.数学中有许多形状优美、寓意独特的几何体，正八面体就是其中之一.正八面体由八个等边三角形构成，也可以看作由上、下两个正方锥体黏合而成，每个正方锥体由四个三角形与一个正方形组成.如图，在正八面体ABCDEF中，H是棱BC的中点，则异面直线HF与AB所成角的余弦值是 ．
14.在边长为4的正方形ABCD中，如图甲所示，E，F，M分别为BC，CD，BE的中点，分别沿AE，AF及EF所在直线把△AEB，△AFD和△EFC折起，使B，C，D三点重合于点P，得到三棱锥P−AEF，如图乙所示，则三棱锥P−AEF外接球的体积是 ;过点M的平面截三棱锥P−AEF外接球所得截面的面积的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
某校高中年级举办科技节活动，开设A，B两个会场，其中每个同学只能去一个会场，且将25％的同学去A会场，剩下的同学去B会场．已知A，B会场学生年级及比例情况如下表所示：
记该校高一、高二、高三年级学生所占总人数的比例分别为x，y，z，利用分层随机抽样的方法从参加活动的全体学生中抽取一个容量为n的样本．
(1)求x:y:z的值；
(2)若抽到的B会场的高二学生有75人，求n的值以及抽到的A会场高一、高二、高三年级的学生人数．
16.(本小题12分)
如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，∠BAC=90∘，AB=AC= 6，A1A=A1B=2 3，∠A1AB=∠A1AC．
(Ⅰ)求证：平面A1BC⊥平面ABC;
(Ⅱ)求四棱锥A1−C1B1BC的体积．
17.(本小题12分)
已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，a−ca+b=sinA−sinBsinC．
(Ⅰ)求角B;
(Ⅱ)若△ABC外接圆的周长为4 3π，求△ABC周长的取值范围．
18.(本小题12分)
如图，在等腰梯形ABCD中，AB/​/CD，AD=DC=3，∠BCD=120∘，DE⊥平面ABCD，BF⊥平面ABCD，BF=DE=3，点P在线段EF上运动．
(Ⅰ)求证：AD⊥BP;
(Ⅱ)是否存在点P，使得PB/​/平面ACE?若存在，试求点P的位置;若不存在，请说明理由．
19.(本小题12分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为菱形，PD⊥平面ABCD，E为PD的中点．
(Ⅰ)设平面ABE与直线PC相交于点F，求证：EF//CD;
(Ⅱ)若AB=1，∠DAB=60∘，PD=2 2，求直线BE与平面PAD所成角的大小．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查简单随机抽样，属基础题．
根据随机数表，依次进行选择即可得到结论．
【解答】
解：生成的随机数中落在编号01，02，⋯，39，40内的有：06，35，02，35(重复舍去)，21，14，32，
故第5个个体的编号为14．
2.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查复数的四则运算，复数的模以及共轭复数．
设z=a+bia,b∈R，则z=a−bi，构造方程组，求出a，b，即可得解．
【解答】
解：设z=a+bi，a，b∈R，则z=a−bi，所以z+z=2a=2，z−z=2bi=−2i，
解得a=1，b=−1，即z=1−i，所以|z|= 12+(−1)2= 2，故选A．
3.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查空间几何体中线线的位置关系，属于容易题．
根据空间中两直线的位置关系可确定结果．
【解答】
解：在空间中，两条直线的位置关系有三种：相交、平行、异面．
如果两条直线a与b没有公共点，
那么a与b可能平行，也可能是异面直线．
故选D．
4.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查充分条件、必要条件、充要条件的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理能力，是基础题．
画出图形，结合必要条件、充分条件与充要条件的定义判断即可.
【解答】
解：如下图所示，将平面α、β、γ视为三棱柱的三个侧面，设α∩β=a，
将a、m、n视为三棱柱三条侧棱所在直线，则“m//n”⇏“α/​/β”；
另一方面，若α/​/β，且α∩γ=m，β∩γ=n，由面面平行的性质定理可得出m//n．
所以，“α/​/β”⇒“m//n”，因此，“α/​/β”是“m/​/n”的充分而不必要条件．
故选：A．
5.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查圆台的体积公式，以及母线长的求解，属于基础题．
先利用圆台的体积公式求得高h，再利用勾股定理即可得解．
【解答】
解：设圆台的高为h，则圆台的体积为13πh(12+42+1×4)=28π，解得h=4，
所以圆台的母线长为 (4−1)2+42=5，
故选D．
6.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查线面垂直的判定定理、正方体的性质及其应用等知识，考查了逻辑推理能力，属于基础题．
根据题意，利用正方体的性质与线面垂直的判定定理，证出MN⊥平面ABC，从而得出AB⊥MN，即可得到本题的答案．
【解答】
如图，记正方体的另一个顶点为C，连接BC，交MN于点O，
在正方体的底面中，MN⊥BC，∵AC⊥平面CMN，MN⊂平面CMN，∴MN⊥AC．
又∵AC，BC是平面ABC内的相交直线，
∴MN⊥平面ABC，可得AB⊥MN，对照各个选项，可知A，B，D均不正确，C项符合题意，
故选C．
7.【答案】B
【解析】【分析】本题考查圆柱和圆锥的结构特征，考查圆锥的体积，圆柱的体积，球的表面积，属于中档题．
由题可知外接球的半径为2 3，且球心在圆柱的中心，球心到圆柱底面距离d= R2−r2=2，利用体积公式计算可得答案．
【解答】
根据题意易知43πR3=2563π，解得R=4，球心为圆柱的中心，又圆柱的底面半径r=2 3，
∴球心到圆柱底面距离d= R2−r2=2，∴圆柱的高为2d=4，圆锥的高为R−d=2，
∴该陀螺的体积为πr2×4+13πr2×2=π×12×4+13×π×12×2=56π．
故选B．
8.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查解三角形的余弦定理，三角形面积公式的应用，属于基础题．
根据题意由余弦定理可得ac=4 2−4，从而得到三角形面积．
【解答】
解：因为(a+b+c)(a−b+c)=4 2，
所以a2+c2−b2=4 2−2ac．
又B=π4，由余弦定理得csB= 22=a2+c2−b22ac=2 2−acac，
所以ac=4 2−4，
故△ABC的面积S=12acsinB=12×(4 2−4)× 22=2− 2，
故选A．
9.【答案】ABC
【解析】【分析】
根据已知条件，先对z化简，再结合复数的概念，以及复数模公式，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．
【解答】
解：z=3−i1+i=(3−i)(1−i)(1+i)(1−i)=1−2i，
z的实部为1，故A正确；
z的虚部为−2，故B正确；
|z|= 12+(−2)2= 5，故C正确；
复数z对应的点(1,−2)在第四象限，故D错误．
10.【答案】AB
【解析】【分析】
本题考查利用空间向量判定线线的垂直、平行关系，面面平行的判定，线面平行的判定，空间向量垂直的坐标表示，属于中档题．
直接利用立体几何的知识点及空间向量的知识点依次判断各选项．
【解答】
解：不妨设正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，
以点D为空间原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如下图所示，
则A2,0,0,B2,2,0,C0,2,0,D0,0,0，
E1,2,0,D10,0,2,F0,2,1，
A12,0,2,B12,2,2,C10,2,2,G0,1,0，
对A选项，AD1=−2,0,2=2EF=2−1,0,1，所以AD1//EF，故A正确；
对B选项，由正方体的结构特征可知，GE//B1D1，且GE⊂平面GEF，B1D1⊄平面GEF，
所以B1D1//平面GEF，同理可证，AD1//平面GEF，
又B1D1∩AD1=D1,B1D1⊂平面AB1D1，AD1⊂平面AB1D1，
所以平面AB1D1//平面GFE，故B正确；
对C选项，因为BF与平面GEF有交点，平面AB1D1//平面GFE，因此BF与平面AB1D1相交， 所以C错误
对D选项，因为AE·EF=−1,2,0·−1,0,1=1≠0，
所以D错误．
故选：AB．
11.【答案】ACD
【解析】【分析】
本题考查圆台的结构特征、表面积和体积，是中档题.在等腰梯形中求出AC判断A；利用圆台表面积公式、体积公式计算判断BC；利用侧面展开图计算判断D．
【解答】解：显然四边形ABCD是等腰梯形，AB=AD=BC=2,CD=4，其高即为圆台的高h= AD2−(CD−AB2)2= 3
对于A，在等腰梯形ABCD中，AC= h2+(CD−CD−AB2)2=2 3， A正确；
对于B，圆台的表面积S=π×12+π×22+π(1+2)×2=11π， B错误；
对于C，圆台的体积V=13π(12+1×2+22)× 3=7 33π， C正确；
对于D，将圆台一半侧面展开，如下图中扇环ABCD且E为AD中点，
而圆台对应的圆锥半侧面展开为COD且OC=4，又∠COD=2π4=π2，
在Rt△COE中，CE= 42+32=5cm，斜边CE上的高为OC⋅OECE=125>2，即CE与弧AB相离，
所以C到AD中点的最短距离为5cm，D正确．

故选：ACD
12.【答案】3
【解析】【分析】
本题考查向量的坐标运算，向量相等条件的应用，考查计算能力，属于基础题．
直接利用向量的坐标运算，求解即可．
【解答】
解：∵a=(2,−3)，b=(1,2)，
∴ma+nb=m(2,−3)+n(1,2)=(2m+n,−3m+2n)．
故由p=ma+nb，得2m+n=9,−3m+2n=4,解得m=2,n=5.
故n−m=3．
13.【答案】 36
【解析】【分析】
本题考查正八面体的性质，异面直线所成的角，属于中档题．
根据正八面体的性质，异面直线所成的角的定义即可得．
【解答】解：取棱AB的中点G，连接HG，FG．
因为H，G分别是棱BC，AB的中点，所以HG/​/AC，
则∠FHG或其补角是异面直线HF与AC所成的角．
设AB=2，则HG=1，正方形ABFD中，FG= 5，正三角形CFB中，HF= 3．
在△GHF中，由余弦定理可得cs∠FHG=HG2+FH2−FG22HG⋅FH=− 36，
则异面直线HF与AC所成角的余弦值是 36．
故答案为： 36．
14.【答案】8 6π；[π,6π]
【解析】【分析】
本题考查了空间几何体的外接球问题，几何体的体积与截面问题，属于较难题．
将三棱锥补形为长、宽、高分别为2，2，4的长方体，可得外接球体积，过点M的平面截三棱锥P−AEF的外接球所得截面为圆，求解即可．
【解答】解：由题意，将三棱锥补形为长、宽、高分别为2，2，4的长方体，如图6所示，三棱锥P−AEF外接球即为补形后长方体的外接球，所以外接球的直径(2R)2=22+22+42=24，
所以R= 6，所以三棱锥P−AEF外接球的体积为
V=43πR3=8 6π;
过点M的平面截三棱锥P−AEF的外接球所得截面为圆，其中最大截面为过球心O的大圆，此时截面圆的面积为πR2=π( 6)2=6π，最小截面为过点M垂直于球心O与M连线的圆，此时截面圆半径r= R2−OP2= 6−5=1，截面圆的面积为πr2=π，所以过点M的平面截三棱锥P−AEF的外接球所得截面的面积的取值范围为[π,6π].
15.【答案】解：(1)设该校高一、高二、高三年级的人数分别为a，b，c，
则去A会场的学生总数为0.25(a+b+c)，
去B会场的学生总数为0.75(a+b+c)，
则A，B会场学生年级及对应人数如下表所示：
则x:y:z
=0.425(a+b+c):0.475(a+b+c):0.1(a+b+c)
=17:19:4；
(2)依题意，得n×0.75×0.5=75，解得n=200，
故抽到的A会场的学生总数为50人，
则抽到的A会场高一年级人数为50×50%=25(人)，
高二年级人数为50×40%=20(人)，
高三年级人数为50×10%=5(人)．

【解析】本题考查分层随机抽样，属于中档题．
(1)设该校高一、高二、高三年级的人数分别为a，b，c，列表表示出去A,B会场的各年级人数，由此可得比例x:y:z的值；
(2)由B会场的高二学生人数求得样本容量n，按比例求得抽到的A会场高一、高二、高三年级的学生人数即可．
16.【答案】(Ⅰ)证明：如图7，取BC的中点M，连接AM，A1M，
∵在三棱柱ABC−A1B1C1中，∠BAC=90∘，AB=AC= 6，
∴BC=2 3，AM= 3．
又∠A1AB=∠A1AC，AB=AC，
∴△ABA1≌△ACA1，∴A1B=A1C=2 3，
∴A1M⊥BC，A1M=3．
在△A1AM中，A1A=2 3，A1M=3，AM= 3，
∴A1A2=AM2+A1M2，∴A1M⊥AM．
又A1M⊥BC，且BC∩AM=M，∴A1M⊥平面ABC．
又A1M⊂平面A1BC，∴平面A1BC⊥平面ABC．
(Ⅱ)解：由(Ⅰ)可知A1M⊥平面ABC，
又VA1−ABC=13VABC−A1B1C1，
∴四棱锥A1−C1B1BC的体积为：VA1−C1B1BC=VABC−A1B1C1−VA1−ABC=2VA1−ABC
=2×13×12× 6× 6×3=6．
【解析】本题考查面面垂直的证明，四棱锥的体积的求解，属中档题．(Ⅰ)取BC的中点M，连接AM，A1M，证明A1M⊥平面ABC即可；
(Ⅱ)根据锥体的体积公式，化归转化，即可求解．
17.【答案】解：(Ⅰ)∵a−ca+b=sinA−sinBsinC，
∴由正弦定理化简可得a2+c2−b2=ac，
由余弦定理得csB=a2+c2−b22ac=12，
∵B为三角形内角，B∈(0,π)，
∴B=π3．
(Ⅱ)∵△ABC的外接圆周长为4 3π，
故外接圆直径为4 3，
∵B=π3，∴由正弦定理可得bsinB=4 3，可得b=6，
∴由余弦定理b2=a2+c2−2accsB，
可得36=a2+c2−ac=(a+c)2−3ac≥(a+c)2−3a+c22，当且仅当a=c时等号成立，
∴a+c≤12，当且仅当a=c时等号成立．
又∵a+c>b=6，∴63，从而得到周长的取值范围．
18.【答案】解：(1)在等腰梯形ABCD中，∵AB//CD，AD=DC=CB=3，∠BCD=120∘，∴AB=6，
∴BD2=AB2+AD2−2AB⋅AD⋅cs60∘=27．∴AB2=AD2+BD2∴AD⊥BD．
∵DE⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，
∴DE⊥AD，又∵BD∩DE=D，BD、DE⊂面BFED，
∴AD⊥平面BFED，
∵BP⊂平面BFED，∴AD⊥BP．
(2)在线段EF上存在P，使得PB/​/平面ACE．
证明如下：由已知可得四边形BFED为矩形，连接AC交BD于O，连接OE，
由(1)知在Rt△ABD中，BD=3 3，AD=3，则AB=6
∵AB/​/CD，∴DCAB=DOOB=12，∴OB=2 3
当EP=2 3时，EP//OB且EP=OB，则四边形OBPE为平行四边形，则BP//OE，
又BP⊄面AEC，OE⊂面AEC，所以BP//平面AEC．
【解析】本题考查线面垂直的判定、性质，线面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．
(1)由题意，根据线面垂直的判定定理可以证明AD⊥平面BFED即可得证AD⊥BP；
(2连接AC交BD于O，连接OE，，根据当EP=2 3时，EP//OB且EP=OB，则四边形OBPE为平行四边形，则BP//OE，得答案
19.【答案】(1)证明：∵平面ABE与直线PC相交于点F，
∴平面ABE∩平面PCD=EF，
∵四边形ABCD是菱形，∴AB/​/CD，
∵AB⊄平面PCD，CD⊂平面PCD，∴AB/​/平面PCD，
∵AB⊂平面ABE，平面ABE∩平面PCD=EF，∴EF//AB，
∴EF/​/CD；
(2)解：连接BD，取AD中点H，连接BH、EH，
∵菱形ABCD中，AB=AD，∠DAB=60°，∴△ABD是等边三角形，
∵H是AD中点，∴BH⊥AD，
∵PD⊥平面ABCD，BH⊂平面ABCD，∴BH⊥PD，
∵PD、AD⊂平面PAD，PD∩AD=D，∴BH⊥平面PAD．
∴∠BEH是直线BE与平面PAD的所成角，
∵E是PD中点，PD=2 2，∴DE=12PD= 2．
∵PD⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，∴PD⊥AD，
∵H为AD中点，∴DH=12AD=12，Rt△DEH中，EH= DE2+DH2=32，
∵等边△ABD中，高BH= 32AD= 32，
∴Rt△BEH中，tan∠BEH=BHEH= 33，可得∠BEH=π6，
即直线BE与平面PAD的所成角等于π6．
【解析】本题主要考查线面平行的判定与性质、线面垂直的判定与性质、直线与平面所成角的定义与求法等知识，属于中档题．
(1)根据线面平行的判定定理，证出AB/​/平面PCD，然后根据平面ABE∩平面PCD=EF，利用线面平行的性质定理证出EF//CD；
(2)连接BD，取AD中点H，连接BH、EH，根据线面垂直的判定定理，证出BH⊥平面PAD，可得∠BEH是直线BE与平面PAD的所成角，然后在Rt△BEH中利用锐角三角函数的定义算出答案．高一
高二
高三
A会场
50%
40%
10%
B会场
40%
50%
10%
高一
高二
高三
A会场
0.125a+b+c
0.1a+b+c
0.025a+b+c
B会场
0.3a+b+c
0.375a+b+c
0.075a+b+c