中考数学考前必刷题型突破方案(安徽专版)提分冲刺预测03相似模型的应用(4种模型)特训(原卷版+解析)

这是一份中考数学考前必刷题型突破方案(安徽专版)提分冲刺预测03相似模型的应用(4种模型)特训(原卷版+解析)，共73页。

相似模型的应用（10年10考）
命题规律与备考策略
一、“8”字模型
8字_平行型
条件：CD∥AB,
结论：ΔPAB∼ΔPCD(上下相似);
左右不一定相似,不一定全等，但面积相等;
四边形ABCD为一般梯形.
条件：CD∥AB,PD=PC.
结论：ΔPAB∼ΔPCD∼ΔPDC(上下相似)
ΔPAD≅ΔPBC左右全等；
四边形ABCD为等腰梯形；
8字_不平行型
条件：∠CDP=∠BAP.
结论：
ΔAPB∼ΔDPC(上下相似);
ΔAPD∼ΔBPC(左右相似);
二、“A”字模型
三、“一线三等角”模型
一线三等角指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的相似图形，这个角可以是直角，也可以是锐角或钝角。或叫 “K字模型”。
三直角相似可以看着是“一线三等角”中当角为直角时的特例，三直角型相似通常是以矩形或者正方形形为背景，或者在一条直线上有一个顶点在该直线上移动或者旋转的直角，几种常见的基本图形如下：
当题目的条件中只有一个或者两个直角时，就要考虑通过添加辅助线构造完整的三直角型相似，这往往是很多压轴题的突破口，进而将三角型的条件进行转化。
一般类型：
基本类型：
同侧“一线三等角” 异侧“一线三等角”
四、“手拉手”旋转模型

【安徽最新模拟练】
题型一：“8”字模型
一．解答题（共8小题）
1．（2022•宣州区一模）《九章算术》中记载了一种测量井深的方法．如图，在井口B处立一根垂直于井口的木杆BD，从木杆的顶端D点观察井内水岸C点，视线DC与井口的直径AB交于点E．如果测得AB＝1.8米，BD＝1米，BE＝0.2米．请求出井深AC的长．
2．（2021秋•包河区校级期末）如图，E为▱ABCD的边CD延长线上的一点，连结BE交AC于点O，交AD点F．
（1）求证：△AOB∽△COE；
（2）求证：BO2＝EO•FO．
3．（2022秋•庐阳区校级期中）如图是小孔成像实验，火焰AC通过小孔O照射到屏幕上，形成倒立的平行实像，像长BD＝3cm，OA＝50cm，OB＝10cm，求火焰AC的长．
4．（2022•淮北模拟）如图，在同一平面上的四个点A，B，C，D为某县四个乡镇的中心点，连接这四个乡镇之间的公路AB＝40km，AC＝BD＝20km．“美丽乡村”建设项目规划在C，D两个乡镇之间修一条公路CD．已知∠CAB＝36.8°，∠ABD＝53.2°．求CD的长．
（参考数据：sin36.8°＝cs53.2°≈0.6，sin53.2°＝cs36.8°≈0.8，≈7.6．）
5．（2022春•定远县校级月考）如图，以AB为直径的⊙O是△ACD的外接圆，连接OC，OD，AC＝CD，AB交CD于点E，PB与⊙O相切于点B．
（1）求证：∠P＝∠PAD；
（2）若⊙O的半径为3，OE＝2，求CE的长．
6．（2023•蜀山区校级模拟）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，tan∠ABC＝a，D是BC上一点（不与点B，C重合），连接AD，过点C作CE⊥AD于点E，连接BE并延长，交AC于点F．
（1）如图1，当a＝1时，
①求证：∠ECD＜45°；
②求证：；
（2）如图2，若D是BC的中点，求tan∠CEF的值（用含a的代数式表示）．
7．（2022•安庆模拟）在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．
（1）如图①，若四边形ABCD为矩形，过点O作OE⊥BC，求证：OE＝CD．
（2）如图②，若AB∥CD，过点O作EF∥AB分别交BC、AD于点E、F．求证：＝2．
（3）如图③，若OC平分∠AOB，D、E分别为OA、OB上的点，DE交OC于点M，作MN∥OB交OA于一点N，若OD＝8，OE＝6，直接写出线段MN长度．
8．（2022春•庐阳区校级期中）如图，点E为正方形ABCD边BC延长线上的一个点，连接AE交BD于点F、交CD于点G．
（1）求证：；
（2）如图2，连接AC交BD于点O，连接OE交CD于点H，连接FH；
①若FG＝1，FA＝3，求tan∠OEC的值；
②若FH∥AC，求．
题型二：“A”字模型
一．解答题（共4小题）
1．（2022秋•庐阳区校级期中）如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，DE∥BC，AD＝2，BD＝3，DE＝4，求BC的长．
2．（2022秋•瑶海区校级期中）如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，AE＝2CE，AB＝12，BC＝15．求AD长及四边形BDEF的周长．
3．（2022•安庆一模）如图，在△ABC中，点D、E、F分别在边BC、AB、CA上，且DE∥CA，DF∥AB．
（1）若点D是边BC的中点，且BE＝CF，求证：DE＝DF；
（2）若AD⊥BC于D，且BD＝CD，求证：四边形AEDF是菱形；
（3）若AE＝AF＝1，求+的值．
4．（2022•定远县模拟）已知：如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB边上的高，∠ABC的平分线BE分别交CD，AC于点F，E．
（1）求证：△CBF∽△ABE；
（2）若AB＝10，BC＝6，求△CBF的面积；
（3）若BC＝AD，求的值．
题型三：“一线三等角”模型
一．解答题（共4小题）
1．（2021秋•大观区校级期中）已知矩形ABCD的一条边AD＝8，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处．如图，已知折痕与边BC交于点O，连接AP、OP、OA．
（1）求证：＝；
（2）若OP与PA的比为1：2，求边AB的长．
2．（2022•安徽三模）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠D＝90°，AD＝AB，以BC为直径的半⊙O与边AD相切于点E．
（1）求证：∠BCE＝∠DCE；
（2）若，求DE的长．
3．（2022秋•定远县期中）已知：如图，△ABC是等边三角形，点D、E分别在边BC、AC上，∠ADE＝60°．
（1）求证：△ABD∽△DCE；
（2）如果AB＝3，EC＝，求DC的长．
4．（2022•砀山县模拟）如图1，在四边形ABCD中，AC是对角线，且AB＝AC．F是BC边上一动点，连接AF，DF，DF交AC于点E，其中∠DAF＝90°，∠AFD＝∠B．
（1）求证：AC•EC＝BF•CF；
（2）若AB＝AC＝10，BC＝16．
①如图2，若DF∥AB，求的值；
②如图3，若DF＝DC，求△DCF的面积．
题型四：“手拉手”旋转模型
一．解答题（共4小题）
1．（2021•瑶海区校级开学）已知：如图，△ABD∽△ACE．求证：△DAE∽△BAC．
2．（2023•亳州二模）如图1，在△ABD和△ACE中，∠BAD＝∠CAE，∠ABD＝∠ACE．
（1）①求证：△ABC∽△ADE；
②若AB＝AC，试判断△ADE的形状，并说明理由；
（2）如图2，旋转△ADE，使点D落在边BC上，若∠BAC＝∠DAE＝90°，∠B＝∠ADE．求证：CE⊥BC．
3．（2021秋•当涂县校级期末）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，P为△ABC内部一点，∠APB＝∠BPC＝135°．
（1）求证：△PAB∽△PBC；
（2）求证：AC＝PC．
4．（2020•芜湖三模）（1）（问题发现）如图1，△ABC和△ADE均为等边三角形，点B，D，E在同一条直线上．填空：
①线段BD，CE之间的数量关系为 ；
②∠BEC＝ °．
（2）（类比探究）如图2，△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠AED＝90°，AC＝BC，AE＝DE，点B，D，E在同一条直线上，请判断线段BD，CE之间的数量关系及∠BEC的度数，并给出证明．
（3）（解决问题）如图3，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝5，点D在AB边上，DE⊥AC于点E，AE＝3，将△ADE绕点A旋转，当DE所在直线经过点B时，CE的长是多少？（直接写出答案）
【安徽实战真题练】
一．选择题（共2小题）
1．（2016•安徽）如图，△ABC中，AD是中线，BC＝8，∠B＝∠DAC，则线段AC的长为（ ）
A．4B．4C．6D．4
2．（2019•安徽）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝12，点D在边BC上，点E在线段AD上，EF⊥AC于点F，EG⊥EF交AB于点G．若EF＝EG，则CD的长为（ ）
A．3.6B．4C．4.8D．5
二．填空题（共3小题）
3．（2016•安徽）如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝6，BC＝10，点E在CD上，将△BCE沿BE折叠，点C恰落在边AD上的点F处；点G在AF上，将△ABG沿BG折叠，点A恰落在线段BF上的点H处，有下列结论：
①∠EBG＝45°；②△DEF∽△ABG；③S△ABG＝S△FGH；④AG+DF＝FG．
其中正确的是 ．（把所有正确结论的序号都选上）
4．（2018•安徽）矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8．点P在矩形ABCD的内部，点E在边BC上，满足△PBE∽△DBC，若△APD是等腰三角形，则PE的长为 ．
5．（2022•安徽）如图，四边形ABCD是正方形，点E在边AD上，△BEF是以E为直角顶点的等腰直角三角形，EF，BF分别交CD于点M，N，过点F作AD的垂线交AD的延长线于点G．连接DF，请完成下列问题：
（1）∠FDG＝ °；
（2）若DE＝1，DF＝2，则MN＝ ．
三．解答题（共8小题）
6．（2018•安徽）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的10×10网格中，已知点O，A，B均为网格线的交点．
（1）在给定的网格中，以点O为位似中心，将线段AB放大为原来的2倍，得到线段A1B1（点A，B的对应点分别为A1，B1），画出线段A1B1；
（2）将线段A1B1绕点B1逆时针旋转90°得到线段A2B1，画出线段A2B1；
（3）以A，A1，B1，A2为顶点的四边形AA1B1A2的面积是 个平方单位．
7．（2014•安徽）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点△ABC（顶点是网格线的交点）．
（1）将△ABC向上平移3个单位得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；
（2）请画一个格点△A2B2C2，使△A2B2C2∽△ABC，且相似比不为1．
8．（2015•安徽）如图1，在四边形ABCD中，点E、F分别是AB、CD的中点，过点E作AB的垂线，过点F作CD的垂线，两垂线交于点G，连接AG、BG、CG、DG，且∠AGD＝∠BGC．
（1）求证：AD＝BC；
（2）求证：△AGD∽△EGF；
（3）如图2，若AD、BC所在直线互相垂直，求的值．
9．（2019•安徽）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，P为△ABC内部一点，且∠APB＝∠BPC＝135°．
（1）求证：△PAB∽△PBC；
（2）求证：PA＝2PC；
（3）若点P到三角形的边AB，BC，CA的距离分别为h1，h2，h3，求证h12＝h2•h3．
10．（2020•安徽）如图1，已知四边形ABCD是矩形，点E在BA的延长线上，AE＝AD．EC与BD相交于点G，与AD相交于点F，AF＝AB．
（1）求证：BD⊥EC；
（2）若AB＝1，求AE的长；
（3）如图2，连接AG，求证：EG﹣DG＝AG．
11．（2017•安徽）已知正方形ABCD，点M为边AB的中点．
（1）如图1，点G为线段CM上的一点，且∠AGB＝90°，延长AG、BG分别与边BC、CD交于点E、F．
①求证：BE＝CF；
②求证：BE2＝BC•CE．
（2）如图2，在边BC上取一点E，满足BE2＝BC•CE，连接AE交CM于点G，连接BG并延长交CD于点F，求tan∠CBF的值．
12．（2021•安徽）如图1，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠BCD，点E在边BC上，且AE∥CD，DE∥AB，作CF∥AD交线段AE于点F，连接BF．
（1）求证：△ABF≌△EAD；
（2）如图2．若AB＝9，CD＝5，∠ECF＝∠AED，求BE的长；
（3）如图3，若BF的延长线经过AD的中点M，求的值．
13．（2016•安徽）如图1，A，B分别在射线OM，ON上，且∠MON为钝角，现以线段OA，OB为斜边向∠MON的外侧作等腰直角三角形，分别是△OAP，△OBQ，点C，D，E分别是OA，OB，AB的中点．
（1）求证：△PCE≌△EDQ；
（2）延长PC，QD交于点R．
①如图2，若∠MON＝150°，求证：△ABR为等边三角形；
②如图3，若△ARB∽△PEQ，求∠MON大小和的值．
提分冲刺预测03相似模型的应用（4种模型）
【安徽十年真题考点及分值细目表】
相似模型的应用（10年10考）
命题规律与备考策略
一、“8”字模型
8字_平行型
条件：CD∥AB,
结论：ΔPAB∼ΔPCD(上下相似);
左右不一定相似,不一定全等，但面积相等;
四边形ABCD为一般梯形.
条件：CD∥AB,PD=PC.
结论：ΔPAB∼ΔPCD∼ΔPDC(上下相似)
ΔPAD≅ΔPBC左右全等；
四边形ABCD为等腰梯形；
8字_不平行型
条件：∠CDP=∠BAP.
结论：
ΔAPB∼ΔDPC(上下相似);
ΔAPD∼ΔBPC(左右相似);
二、“A”字模型
三、“一线三等角”模型
一线三等角指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的相似图形，这个角可以是直角，也可以是锐角或钝角。或叫 “K字模型”。
三直角相似可以看着是“一线三等角”中当角为直角时的特例，三直角型相似通常是以矩形或者正方形形为背景，或者在一条直线上有一个顶点在该直线上移动或者旋转的直角，几种常见的基本图形如下：
当题目的条件中只有一个或者两个直角时，就要考虑通过添加辅助线构造完整的三直角型相似，这往往是很多压轴题的突破口，进而将三角型的条件进行转化。
一般类型：
基本类型：
同侧“一线三等角” 异侧“一线三等角”
四、“手拉手”旋转模型

【安徽最新模拟练】
题型一：“8”字模型
一．解答题（共8小题）
1．（2022•宣州区一模）《九章算术》中记载了一种测量井深的方法．如图，在井口B处立一根垂直于井口的木杆BD，从木杆的顶端D点观察井内水岸C点，视线DC与井口的直径AB交于点E．如果测得AB＝1.8米，BD＝1米，BE＝0.2米．请求出井深AC的长．
【分析】根据8字模型相似三角形证明△BDE∽△ACE，利用相似三角形的性质进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：
BD∥AC，
∴∠D＝∠ACD，∠A＝∠ABD，
∴△BDE∽△ACE，
∴，
∴，
解得：AC＝8，
答：井深AC的长为8米．
【点评】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握8字模型相似三角形是解题的关键．
2．（2021秋•包河区校级期末）如图，E为▱ABCD的边CD延长线上的一点，连结BE交AC于点O，交AD点F．
（1）求证：△AOB∽△COE；
（2）求证：BO2＝EO•FO．
【分析】（1）由题意可直接得到结论；
（2）由相似三角形的性质可得，通过证明△AOF∽△COB，可得，可得结论．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴△AOB∽△COE；
（2）∵△AOB∽△COE，
∴，
∵AD∥BC，
∴△AOF∽△COB．
∴，
∴，
即OB2＝OF•OE．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，证明三角形相似是解题的关键．
3．（2022秋•庐阳区校级期中）如图是小孔成像实验，火焰AC通过小孔O照射到屏幕上，形成倒立的平行实像，像长BD＝3cm，OA＝50cm，OB＝10cm，求火焰AC的长．
【分析】把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程即可求出火焰AC的长．
【解答】解：∵AC∥BD，
∴△OAC∽△OBD，
∴BD：AC＝OB：OA，
即3：AC＝10：50，
∴AC＝15．
答：火焰AC的长为15cm．
【点评】此题属于实际应用问题，主要考查了相似三角形的应用，解此题的关键是将实际问题转化为数学问题解答，利用相似三角形的性质解答，相似三角形的对应边成比例．
4．（2022•淮北模拟）如图，在同一平面上的四个点A，B，C，D为某县四个乡镇的中心点，连接这四个乡镇之间的公路AB＝40km，AC＝BD＝20km．“美丽乡村”建设项目规划在C，D两个乡镇之间修一条公路CD．已知∠CAB＝36.8°，∠ABD＝53.2°．求CD的长．
（参考数据：sin36.8°＝cs53.2°≈0.6，sin53.2°＝cs36.8°≈0.8，≈7.6．）
【分析】设AB与CD相交于点E，过点C作CF⊥AB，垂足为F，过点D作DP⊥AB，垂足为P，在Rt△AFC中，利用锐角三角函数的定义求出AF，CF的长，再在Rt△DBP中，利用锐角三角函数的定义求出BP，DP的长，从而求出FP的长，然后证明8字模型相似三角形△CFE∽△DPE，再利用相似三角形的性质可求出EF，EP的长，最后分别在Rt△CEF和Rt△DPE中，利用勾股定理可求出CE，DE的长，最后进行计算即可解答．
【解答】解：设AB与CD相交于点E，过点C作CF⊥AB，垂足为F，过点D作DP⊥AB，垂足为P，
在Rt△AFC中，∠CAB＝36.8°，AC＝20km，
∴CF＝AC•sin36.8°≈20×0.6＝12（km），
AF＝AC•cs36.8°≈20×0.8＝16（km），
在Rt△DBP中，∠ABD＝53.2°，BD＝20km，
∴DP＝BD•sin53.2°≈20×0.6＝12（km），
DP＝BD•cs53.2°≈20×0.8＝16（km），
∵AB＝40km，
∴FP＝AB﹣AF﹣BP＝40﹣16﹣12＝12（km），
∵∠CFE＝∠DPE＝90°，∠CEF＝∠DEP，
∴△CFE∽△DPE，
∴＝＝＝，
∴EF＝FP＝（km），EP＝FP＝（km），
∴CE＝＝＝（km），
DE＝＝＝（km），
∴CD＝CE+DE＝＝4≈30.4（km），
∴CD的长约为30.4km．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，相似三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
5．（2022春•定远县校级月考）如图，以AB为直径的⊙O是△ACD的外接圆，连接OC，OD，AC＝CD，AB交CD于点E，PB与⊙O相切于点B．
（1）求证：∠P＝∠PAD；
（2）若⊙O的半径为3，OE＝2，求CE的长．
【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角可得∠ADB＝90°，从而可得∠BDC+∠ADC＝90°，再利用切线的性质可得∠ABP＝90°，进而可得∠P+∠BAP＝90°，然后利用同弧所对的圆周角相等可得∠BAP＝∠BDC，从而可得∠P＝∠ADC，最后利用等腰三角形的性质可得∠CAD＝∠ADC，即可解答；
（2）根据已知可得△AOC≌△DOC，从而可得∠ACO＝∠DCO，∠CAO＝∠CDO，再利用等腰三角形的性质可得∠ACO＝∠CAO＝∠OCD＝∠ODC，然后利用（1）的结论可得∠OCD＝∠BDC，从而证明OC∥BD，进而利用平行线分线段成比例可得，即可得出DE＝CE，最后证明8字模型相似三角形△AEC∽△DEB，利用相似三角形的性质进行计算即可解答．
【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BDC+∠ADC＝90°，
∵PB与⊙O相切于点B，
∴∠ABP＝90°，
∴∠P+∠BAP＝90°，
∵∠BAP＝∠BDC，
∴∠P＝∠ADC，
∵AC＝CD，
∴∠CAD＝∠ADC，
∴∠P＝∠PAD；
（2）解：∵AC＝CD，OC＝OC，OA＝OD，
∴△AOC≌△DOC（SSS），
∴∠ACO＝∠DCO，∠CAO＝∠CDO，
∵OA＝OC，OC＝OD，
∴∠ACO＝∠CAO，∠OCD＝∠ODC，
∴∠ACO＝∠CAO＝∠OCD＝∠ODC，
∵∠CAO＝∠CDB，
∴∠OCD＝∠BDC，
∴OC∥BD，
∴，
∴，
∴，
∵∠AEC＝∠DEB，
∴△AEC∽△DEB，
∴，
∴，
∴CE⋅DE＝5，
∴，
∴CE＝或CE＝﹣（舍去），
∴CE的长为．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质，圆周角定理，三角形的外接圆与外心，切线的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质，以及圆周角定理是解题的关键．
6．（2023•蜀山区校级模拟）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，tan∠ABC＝a，D是BC上一点（不与点B，C重合），连接AD，过点C作CE⊥AD于点E，连接BE并延长，交AC于点F．
（1）如图1，当a＝1时，
①求证：∠ECD＜45°；
②求证：；
（2）如图2，若D是BC的中点，求tan∠CEF的值（用含a的代数式表示）．
【分析】（1）①由tan∠ABC＝＝1得，∠ABC＝45°，由外角定理得∠EDC＝45°+∠BAD，从而∠ECD＝90°﹣∠EDC＜45°．
②过点B作BH∥AC，交CE的延长线于H，证明△ACD≌△CBH，得到BH＝CD，再证明△BEH∽△FEC，得到，即可得结论．
（2）过点B作BM⊥CE，交CE的延长线于M，设BC＝2m，证明△BCM∽△DAC，表示出BM、CM、EM的长，tan∠CEF＝tan∠BEM＝求得结果．
【解答】（1）①证明：∵∠ACB＝90°，tan∠ABC＝＝1，
∴AC＝BC，
∴∠ABC＝45°，
∵∠EDC＝∠ABC+∠BAD＝45°+∠BAD，
∴∠EDC＞45°，
∵CE⊥AD于点E，
∴∠DEC＝90°，
∴∠ECD＝90°﹣∠EDC，
∴∠EDC＜45°．
②证明：如图1，过点B作BH∥AC，交CE的延长线于H，CH与AB交于G，
∵∠ACB＝90°，
∴∠CBH＝90°，
∴∠BCH+∠ACE＝90°，
∵CE⊥AD，
∴∠DAC+∠ACE＝90°，
∴∠DAC＝∠BCH，
又∵tan∠ABC＝＝1，
∴BC＝AC，
∴△ACD≌△CBH（ASA），
∴BH＝CD．
∵BH∥AC，
∴△BEH∽△FEC，
∴，
∴．
（2）解：如图2，过点B作BM⊥CE，交CE的延长线于M，
则∠BMC＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠BCM+∠ACE＝90°，
∵CE⊥AD，
∴∠DAC+∠ACE＝90°，
∴∠BCM＝∠DAC，
∴△BCM∽△DAC，
∴．
设BC＝2m，
∵D是BC中点，
∴BD＝CD＝m，
∵tan∠ABC＝＝a，
∴AC＝2am，
∴AD＝＝＝m，
∴，
∴BM＝，CM＝，
∵BM∥AD，D是BC中点，
∴ME＝CE＝，
∴tan∠CEF＝tan∠BEM＝＝．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角函数等知识，综合性比较强，合理添加辅助线，把所学知识串联起来熟练运用是解题的关键．
7．（2022•安庆模拟）在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．
（1）如图①，若四边形ABCD为矩形，过点O作OE⊥BC，求证：OE＝CD．
（2）如图②，若AB∥CD，过点O作EF∥AB分别交BC、AD于点E、F．求证：＝2．
（3）如图③，若OC平分∠AOB，D、E分别为OA、OB上的点，DE交OC于点M，作MN∥OB交OA于一点N，若OD＝8，OE＝6，直接写出线段MN长度．
【分析】（1）由OE⊥BC，DC⊥BC，可知EO∥CD，且OB＝OD，可得结论；
（2）由△DFO∽△DAB，得，同理，，，利用等式的性质将比例式相加，从而得出结论；
（3）作DF∥OB交OC于点F，连接EF，可知△ODF是等腰三角形，得DO＝DF＝8，由△DMF∽△EMO，可得EM＝，由△DMN∽△DOE，得，从而得出答案．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴O是AC中点，AB⊥BC，
∵OE⊥BC，
∴OE∥AB，
∴E是BC中点，
∴OE＝；
（2）证明：∵EF∥AB，
∴△DFO∽△DAB，
∴，
同理，，，
∴＝，
∴，
即；
（3）解：作DF∥OB交OC于点F，连接EF，
∵OC平分∠AOB，
∴∠AOC＝∠BOC，
∵DF∥OB，
∴∠DFO＝∠BOC＝∠AOC，
∴△ODF是等腰三角形，
∴DO＝DF＝8，
∵DF∥OE，
∴△DMF∽△EMO，
∴，
∴EM＝，
∴，
∵MN∥OE，
∴△DMN∽△DOE，
∴，
∴，
∴MN＝．
【点评】本题是相似形综合题，主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，对比例式进行恒等变形是解题的关键．
8．（2022春•庐阳区校级期中）如图，点E为正方形ABCD边BC延长线上的一个点，连接AE交BD于点F、交CD于点G．
（1）求证：；
（2）如图2，连接AC交BD于点O，连接OE交CD于点H，连接FH；
①若FG＝1，FA＝3，求tan∠OEC的值；
②若FH∥AC，求．
【分析】（1）先判断出△ABF≌△CBF（SAS），得出AF＝CF，∠BAF＝∠BCF，再判断出∠DCF＝∠E，由∠CFG＝∠EFC，得出△CFG∽△EFC，即可得出结论；
（2）①设DG＝m，得出AB＝AD＝BC＝3m，进而得出BE＝3AD＝6m，过点O作OM⊥BC于M，得出OM＝BM＝BC＝m，即可求出答案；
②设DG＝n，AB＝kn，进而得出BE＝kAD＝k2n，进而得出CE＝k（k﹣1）n，同①的方法得，OM＝BM＝kn，得出EM＝kn（2k﹣1），再由OM∥CD，得出，进而得出CH＝，HG＝，再由FH∥AC，得出，进而求出k，即可求出答案．
【解答】（1）证明：如图1，
连接CF，
∵BD是正方形ABCD的对角线，
∴AD∥BC，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝CB，∠ABF＝∠CBF，
∵BF＝BF，
∴△ABF≌△CBF（SAS），
∴AF＝CF，∠BAF＝∠BCF，
∴∠BAD﹣∠BAF＝∠BCD﹣∠BCF，
∴∠DAG＝∠DCF，
∵AD∥BC，
∴∠DAG＝∠E，
∴∠DCF＝∠E，
∵∠CFG＝∠EFC，
∴△CFG∽△EFC，
∴，
∴；
（2）解：如图2，过点O作OM⊥BC于M，
①∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝BC＝AB，AD∥BC，AB∥CD，
∴＝，
设DG＝m，FG＝1，FA＝3，
∴＝，
∴AB＝3m，
∴AD＝BC＝3m，
∵AD∥BC，
∴＝，
∴BE＝3AD＝9m，
∵点O是正方形ABCD的对角线的交点，
∴OM＝BM＝BC＝m，
在Rt△OME中，EM＝BE﹣BM＝9m﹣m＝m，
∴tan∠OEC＝＝＝；
②设DG＝n，AB＝kn，
∵AB∥CD，
∴＝＝，
由（1）知，，
∴＝，
∵AD∥BC，
∴＝＝，
∴BE＝kAD＝k2n，
∴CE＝BE﹣BC＝k2n﹣kn＝k（k﹣1）n，
同①的方法得，OM＝BM＝kn，
∴EM＝BE﹣BM＝k2n﹣kn＝kn（2k﹣1），
∵OM∥CD，
∴，
∴，
∴CH＝，
∴HG＝CD﹣DG﹣CH＝kn﹣n﹣＝，
∵FH∥AC，
∴，
∴＝，
∴k＝2，
∴＝＝k＝2．
【点评】此题是相似形综合题，主要考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，作出辅助线构造出直角三角形是解本题的关键．
题型二：“A”字模型
一．解答题（共4小题）
1．（2022秋•庐阳区校级期中）如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，DE∥BC，AD＝2，BD＝3，DE＝4，求BC的长．
【分析】由DE∥BC得△ADE∽△ABC，列出比例式代入数值，即可求出DE的长．
【解答】解：如图，∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
∴，
∴BC＝10，
∴BC的长为10．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，明确相似三角形对应边成比例是解题的关键．
2．（2022秋•瑶海区校级期中）如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，AE＝2CE，AB＝12，BC＝15．求AD长及四边形BDEF的周长．
【分析】证△ADE∽△ABC，根据线段比例关系求AD，DE，然后根据四边形BDEF是平行四边形求周长即可．
【解答】解：∵AE＝2CE，
∴AC＝AE+CE＝2CE+CE＝3CE，
∴＝，
∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝＝＝，
∴AD＝AB，DE＝BC，
∵AB＝12，BC＝15，
∴AD＝8，DE＝10，
∴BD＝AB﹣AD＝12﹣8＝4，
∵EF∥AB，
∴四边形BDEF是平行四边形，
∴四边形BDEF的周长是：2（DE+BD）＝2×（10+4）＝28，
即AD的长为8，四边形BDEF的周长是28．
【点评】本题主要考查相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
3．（2022•安庆一模）如图，在△ABC中，点D、E、F分别在边BC、AB、CA上，且DE∥CA，DF∥AB．
（1）若点D是边BC的中点，且BE＝CF，求证：DE＝DF；
（2）若AD⊥BC于D，且BD＝CD，求证：四边形AEDF是菱形；
（3）若AE＝AF＝1，求+的值．
【分析】（1）根据中点和平行两个条件可得中点，从而可得DE是△ABC的中位线，进而可得DE＝FC，同理可得DF＝BE，即可解答；
（2）根据已知易证四边形AEDF是平行四边形，再利用等腰三角形的三线合一性质可得∠BAD＝∠CAD，然后利用平行线的性质可得∠EDA＝∠CAD，从而可得∠BAD＝∠EDA，进而可得EA＝ED，即可解答；
（3）根据A字模型相似三角形可知△BED∽△BAC，△CDF∽△CBA，从而可得＝，＝，然后把两个式子相加进行计算，即可解答．
【解答】（1）证明：∵点D是边BC的中点，DE∥CA，
∴点E是AB的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE＝AC，
∵点D是边BC的中点，DF∥AB，
∴点F是AC的中点，
∴FC＝AC，
∴DE＝FC，
同理可得：DF＝BE，
∵BE＝FC，
∴DE＝DF；
（2）证明：∵DE∥CA，DF∥AB，
∴四边形AEDF是平行四边形，
∵AD⊥BC，BD＝CD，
∴AD是BC的垂直平分线，
∴AB＝AC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵DE∥AC，
∴∠EDA＝∠CAD，
∴∠BAD＝∠EDA，
∴EA＝ED，
∴四边形AEDF是菱形；
（3）∵DE∥CA，
∴∠EDB＝∠C，
∵∠B＝∠B，
∴△BED∽△BAC，
∴＝，
∵DF∥AB，
∴∠B＝∠FDC，
∵∠C＝∠C，
∴△CDF∽△CBA，
∴＝，
∴+＝+＝＝1，
∵四边形AEDF是平行四边形，
∴DE＝AF，DF＝AE，
∵AE＝AF＝1，
∴DE＝DF＝1，
∴+＝1，
∴+的值为1．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，分式的化简求值，菱形的判定与性质，熟练掌握菱形的判定与性质，以及A字模型相似三角形的关键．
4．（2022•定远县模拟）已知：如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB边上的高，∠ABC的平分线BE分别交CD，AC于点F，E．
（1）求证：△CBF∽△ABE；
（2）若AB＝10，BC＝6，求△CBF的面积；
（3）若BC＝AD，求的值．
【分析】（1）根据∠A+∠ACD＝∠ACD+∠BCD＝90°，可得∠A＝∠BCD，再结合角平分线的定义可得∠ABE＝∠CBE，即可得证．
（2）过点E作EM⊥AB于点M，由角平分线的性质可得CE＝ME，利用△AME∽△ACB，求出ME的值，进而可得×10×3＝15，由（1）知，△CBF∽△ABE，而相似三角形的面积比等于相似比的平方，进而可得出答案．
（3）易知CE＝ME，△AME∽△ACB，△BCD∽△BAC，可得，，结合BC＝AD，可得＝，可求出的值，即可得出答案．
【解答】解：（1）证明：∵CD为AB边上的高，
∴∠ADC＝∠ACB＝90°，
∴∠A+∠ACD＝∠ACD+∠BCD＝90°，
∴∠A＝∠BCD，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，
∴△CBF∽△ABE．
（2）过点E作EM⊥AB于点M，
在Rt△ABC中，AB＝10，BC＝6，
∴AC＝8，
∵BE是∠ABC的平分线，∠ACB＝∠BME＝90°，
∴CE＝ME，
∵∠A＝∠A，∠AME＝∠ACB，
∴△AME∽△ACB，
∴，
设CE＝ME＝x，则AE＝8﹣x，
∴，
解得x＝3，
∴×10×3＝15，
由（1）知，△CBF∽△ABE，
∴，
∴．
（3）由（2）知，CE＝ME，△AME∽△ACB，
∴，
∵∠CBD＝∠ABC，∠A＝∠BCD，
∴△BCD∽△BAC，
∴，
∵BC＝AD，
∴＝，
∴，
∴＝．
【点评】本题考查相似三角形的判定与性质、角平分线的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．
题型三：“一线三等角”模型
一．解答题（共4小题）
1．（2021秋•大观区校级期中）已知矩形ABCD的一条边AD＝8，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处．如图，已知折痕与边BC交于点O，连接AP、OP、OA．
（1）求证：＝；
（2）若OP与PA的比为1：2，求边AB的长．
【分析】（1）利用“一线三直角”证明△OCP∽△PDA，继而得出＝；
（2）利用相似三角形的性质求出PC的长，设AB＝x，则DC＝x，AP＝x，DP＝x﹣4，利用勾股定理列出方程，解方程即可求得AB的长度．
【解答】（1）证明：由折叠的性质可知，∠APO＝∠B＝90°，
∴∠APD+∠OPC＝90°，
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠D＝∠C＝90°，
∴∠POC+∠OPC＝90°，
∴∠APD＝∠POC，
∴△OCP∽△PDA，
∴＝；
（2）解：∵△OCP∽△PDA，
∴，
∵OP与PA的比为1：2，AD＝8，
∴，
∴PC＝4，
设AB＝x，则DC＝x，AP＝x，DP＝x﹣4，
在Rt△APD中，AP2＝AD2+PD2，
∴x2＝82+（x﹣4）2，
解得：x＝10，
∴AB＝10．
【点评】本题考查的是矩形的性质、折叠的性质、相似三角形的判定和性质，掌握折叠是一种轴对称，折叠前后的图形对应角相等、对应边相等，灵活运用相关的性质是解题的关键．
2．（2022•安徽三模）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠D＝90°，AD＝AB，以BC为直径的半⊙O与边AD相切于点E．
（1）求证：∠BCE＝∠DCE；
（2）若，求DE的长．
【分析】（1）连接OE，利用切线的性质可得∠OEA＝90°，从而可得OE∥CD，然后利用平行线和等腰三角形的性质可得CE平分∠BCD，即可解答；
（2）连接BE，根据已知可得AB∥CD∥OE，再利用平行线分线段成比例定理可得AE＝DE，然后设DE＝AE＝x，则AD＝AB＝2x，根据直径所对的圆周角是直角可得∠BEC＝90°，再利用同角的余角相等可得∠ABE＝∠DEC，从而证明△ABE∽△DEC，最后利用相似三角形的性质进行计算即可解答．
【解答】（1）证明：连接OE，
∵半⊙O与边AD相切于点E，
∴∠OEA＝90°，
∵∠D＝90°，
∴∠D＝∠OEA＝90°，
∴OE∥CD，
∴∠ECD＝∠OEC，
∵OE＝OC，
∴∠OEC＝∠OCE，
∴∠BCE＝∠DCE；
（2）解：连接BE，
∵BA⊥AD，OE⊥AD，CD⊥AD，
∴AB∥CD∥OE，
∵OB＝OC，
∴AE＝DE，
设DE＝AE＝x，则AD＝AB＝2x，
∵BC为⊙O的直径，
∴∠BEC＝90°，
∴∠DEC+∠AEB＝180°﹣∠BEC＝90°，
∵∠A＝∠D＝90°，
∴∠ABE+∠AEB＝90°，
∴∠ABE＝∠DEC，
∴△ABE∽△DEC，
∴，
∴，
解得：，
∴DE的长为．
【点评】本题考查了切线的性质，相似三角形的判定与性质，圆周角定理，平行线分线段成比例，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
3．（2022秋•定远县期中）已知：如图，△ABC是等边三角形，点D、E分别在边BC、AC上，∠ADE＝60°．
（1）求证：△ABD∽△DCE；
（2）如果AB＝3，EC＝，求DC的长．
【分析】（1）△ABC是等边三角形，得到∠B＝∠C＝60°，AB＝AC，推出∠BAD＝∠CDE，得到△ABD∽△DCE；
（2）由△ABD∽△DCE，得到＝，然后代入数值求得结果．
【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠C＝60°，AB＝AC，
∵∠B+∠BAD＝∠ADE+∠CDE，∠B＝∠ADE＝60°，
∴∠BAD＝∠CDE
∴△ABD∽△DCE；
（2）解：由（1）证得△ABD∽△DCE，
∴＝，
设CD＝x，则BD＝3﹣x，
∴＝，
∴x＝1或x＝2，
∴DC＝1或DC＝2．
【点评】本题考查了等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质，注意数形结合和方程思想的应用．
4．（2022•砀山县模拟）如图1，在四边形ABCD中，AC是对角线，且AB＝AC．F是BC边上一动点，连接AF，DF，DF交AC于点E，其中∠DAF＝90°，∠AFD＝∠B．
（1）求证：AC•EC＝BF•CF；
（2）若AB＝AC＝10，BC＝16．
①如图2，若DF∥AB，求的值；
②如图3，若DF＝DC，求△DCF的面积．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质得出∠ABF＝∠FCE，再根据∠AFC＝∠AFE+∠EFC＝∠ABF+∠FAB得出∠EFC＝∠FAB，证△ABF∽△FCE，根据线段比例关系即可得出结论；
（2）①证△ABF∽△CBA，得，再根据，最后利用平行线分线段成比例得出得出结论即可；
②过点A，D分别作AM⊥BC，DN⊥FC，垂足分别为M，N，过点A作AG⊥DN于点G，根据三角函数得出，证△AMF∽△AGD，根据线段比例关系分别求出CF和DN的值即可求出△DCF的面积．
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠ABF＝∠FCE，
∵∠AFD＝∠B，∠AFC＝∠AFE+∠EFC＝∠B+∠FAB，
∴∠EFC＝∠FAB，
∴△FAB∽△EFC，
∴，
即AB•EC＝BF•CF；
（2）解：①∵DF∥AB，
∴∠BAF＝∠AFE，
∴∠BAF＝∠ACB，
又∵∠ABF＝∠CBA，
∴△FAB∽△ACB，
∴，
∴，
∴，
∵DF∥AB，
∴；
②如图，过点A，D分别作AM⊥BC，DN⊥FC，垂足分别为M，N，过点A作AG⊥DN于点G，
在△ABC中，AB＝AC，AM⊥BC，
∴BM＝CM＝8，则，
∴，
∵∠AFD＝∠B，∠DAF＝90°，
∴，
∵∠AMN＝∠GNM＝∠AGN＝90°，
∴四边形MNGA是矩形，
∴GN＝AM＝6，∠MAG＝90°，
又∵∠FAD＝90°，则∠FAM+∠FAG＝∠DAG+∠FAG＝90°，
∴∠FAM＝∠DAG．
又∵∠AMF＝∠AGD＝90°，
∴△FAM∽△DAG，
∴，
则，
∴，
则，
∵DF＝CD，
∴CF＝2CN＝7，
∴FM＝CM﹣CF＝1，
由△FAM∽△DAG，
得＝＝，
∴DG＝，
∴DN＝DG+GN＝+6＝，
∴S△DCF＝CF•DN＝×＝．
【点评】本题主要考查相似形综合题，熟练掌握相似三角形的判定和性质及平行线分线段成比例等知识是解题的关键．
题型四：“手拉手”旋转模型
一．解答题（共4小题）
1．（2021•瑶海区校级开学）已知：如图，△ABD∽△ACE．求证：△DAE∽△BAC．
【分析】先利用△ABD∽△ACE得到，再利用比例性质得，加上∠DAE＝∠BAC，然后根据相似三角形的判定方法可得到结论．
【解答】证明：∵△ABD∽△ACE，
∴，
∴，
而∠DAE＝∠BAC，
∴△DAE∽△BAC．
【点评】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；也考查了相似三角形的性质．
2．（2023•亳州二模）如图1，在△ABD和△ACE中，∠BAD＝∠CAE，∠ABD＝∠ACE．
（1）①求证：△ABC∽△ADE；
②若AB＝AC，试判断△ADE的形状，并说明理由；
（2）如图2，旋转△ADE，使点D落在边BC上，若∠BAC＝∠DAE＝90°，∠B＝∠ADE．求证：CE⊥BC．
【分析】（1）①根据两个角相等可得△ABD∽△ACE，得，再根据∠BAC＝∠DAE，可证明结论；
②由①知，当AB＝AC时，AD＝AE，则△ADE是等腰三角形；
（2）同理证明△BAD∽△CAE，得∠B＝∠ACE，再利用直角三角形的两个锐角互余，即可证明结论．
【解答】（1）①证明：∵∠BAD＝∠CAE，∠ABD＝∠ACE，
∴△ABD∽△ACE，
∴，
即，
又∵∠BAD＝∠CAE，
∴∠BAD+∠DAC＝∠CAE+∠DAC，
即∠BAC＝∠DAE，
∴△ABC∽△ADE；
②解：△ADE是等腰三角形，理由如下：
由①知，，
∵AB＝AC，
∴AD＝AE，
∴△ADE是等腰三角形；
（2）证明：∵∠BAC＝∠DAE，∠B＝∠ADE，
∴△BAC∽△DAE，
∴，
∴，
又∵∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴△BAD∽△CAE，
∴∠B＝∠ACE，
∵∠BAC＝90°，
∴∠B+∠ACB＝90°，
∴∠ACE+∠ACB＝90°，
∴∠BCE＝90°，
∴CE⊥BC．
【点评】本题是相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，直角三角形的性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
3．（2021秋•当涂县校级期末）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，P为△ABC内部一点，∠APB＝∠BPC＝135°．
（1）求证：△PAB∽△PBC；
（2）求证：AC＝PC．
【分析】（1）先由三角形的内角和定理及等腰直角三角形的性质得到∠PAB＝∠PCB，再利用相似三角形的判定定理得结论；
（2）由（1）△PAB∽△PBC，利用相似三角形的性质得到PA与PC的关系，再说明△PAC是直角三角形，最后由勾股定理得结论．
【解答】证明：（1）∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴∠ABC＝45°，AB＝BC．
∵∠APB＝135°，∠ABC＝45°，
∴∠PAB+∠PBA＝180°﹣∠APB＝45°，∠PBA+∠PBC＝45°，
∴∠PAB＝∠PCB．
又∵∠APB＝∠BPC，
∴△PAB∽△PBC．
（2）∵△PAB∽△PBC，
∴＝＝＝．
∴PB＝PC，PA＝PB．
∴PA＝2PC．
∵∠APB+∠BPC+∠APC＝360°，∠APB＝∠BPC＝135°，
∴∠APC＝90°．
∴AC＝＝＝PC．
【点评】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理及三角形的内角和定理是解决本题的关键．
4．（2020•芜湖三模）（1）（问题发现）如图1，△ABC和△ADE均为等边三角形，点B，D，E在同一条直线上．填空：
①线段BD，CE之间的数量关系为 BD＝CE ；
②∠BEC＝ 60 °．
（2）（类比探究）如图2，△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠AED＝90°，AC＝BC，AE＝DE，点B，D，E在同一条直线上，请判断线段BD，CE之间的数量关系及∠BEC的度数，并给出证明．
（3）（解决问题）如图3，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝5，点D在AB边上，DE⊥AC于点E，AE＝3，将△ADE绕点A旋转，当DE所在直线经过点B时，CE的长是多少？（直接写出答案）
【分析】（1）首先根据△ACB和△DAE均为等边三角形，可得AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，∠ADE＝∠AED＝60°，据此判断出∠BAD＝∠CAE，然后根据全等三角形的判定方法，判断出△ABD≌△ACE，即可判断出BD＝CE，∠BDA＝∠CEA，进而判断出∠BEC的度数为60°即可；
（2）首先根据△ACB和△ADE均为等腰直角三角形，可得AC＝BC，DE＝AE，∠ACB＝∠AED＝90°，进而利用相似三角形的判定和性质解答即可；
（3）根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【解答】解：（1）①∵△ACB和△ADE均为等边三角形，
∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，∠ADE＝∠AED＝60°，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，
即∠BAD＝∠CAE，
在△ABD和△CAE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE，∠BDA＝∠CEA，
∵点B，D，E在同一直线上，
∴∠ADB＝180﹣60＝120°，
∴∠AEC＝120°，
∴∠BEC＝∠AEC﹣∠AED＝120﹣60＝60°，
综上，可得∠AEB的度数为60°；线段BD与CE之间的数量关系是：BD＝CE．
②∠BEC＝∠AEC﹣∠AED＝120﹣60＝60°；
故答案为：BD＝CE；60；
（2），∠BEC＝45°．
理由如下：△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，
∴∠BAC＝∠ABC＝∠ADE＝∠DAE＝45°，∠ACB＝∠AED＝90°，
∴∠BAD＝∠CAE，∠ADB＝135°，
∵Rt△ABC和Rt△ADE中，，，，
∴，
∴，
又∠BAD＝∠CAE，
∴△ABD∽△ACE，
∴∠ADB＝∠AEC＝135°，，
∴∠BEC＝∠AEC﹣∠AED＝45°，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）如图3中，
∵AEB＝∠ACB＝90°，
∴A，B，C，E四点共圆，
∴∠CEB＝∠CAB＝30°，∠ABD＝∠ACE，
∵∠FAE＝∠BAC＝30°，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴△BAD∽△CAE，
∴，
∴EC＝BD，
在Rt△ADE中，∵DE＝，∠DAE＝30°，
∴AE＝DE＝3，
∴BE＝＝4，
∴BD＝BE﹣DE＝4﹣，
∴CE＝BD＝2﹣，
如图4中，当D，E，B在同一直线上时，同法可知BD＝DE+EB＝4+，CE＝BD＝2+，
综上所述，CE的长为或．
【点评】本题考查几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
【安徽实战真题练】
一．选择题（共2小题）
1．（2016•安徽）如图，△ABC中，AD是中线，BC＝8，∠B＝∠DAC，则线段AC的长为（ ）
A．4B．4C．6D．4
【分析】根据AD是中线，得出CD＝4，再根据AA证出△CBA∽△CAD，得出＝，求出AC即可．
【解答】解：∵BC＝8，
∴CD＝4，
在△CBA和△CAD中，
∵∠B＝∠DAC，∠C＝∠C，
∴△CBA∽△CAD，
∴＝，
∴AC2＝CD•BC＝4×8＝32，
∴AC＝4；
故选：B．
【点评】此题考查了相似三角形的判断与性质，关键是根据AA证出△CBA∽△CAD，是一道基础题．
2．（2019•安徽）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝12，点D在边BC上，点E在线段AD上，EF⊥AC于点F，EG⊥EF交AB于点G．若EF＝EG，则CD的长为（ ）
A．3.6B．4C．4.8D．5
【分析】根据题意和三角形相似的判定和性质，可以求得CD的长，本题得以解决．
【解答】解：作DH∥EG交AB于点H，则△AEG∽△ADH，
∴，
∵EF⊥AC，∠C＝90°，
∴∠EFA＝∠C＝90°，
∴EF∥CD，
∴△AEF∽△ADC，
∴，
∴，
∵EG＝EF，
∴DH＝CD，
设DH＝x，则CD＝x，
∵BC＝12，AC＝6，
∴BD＝12﹣x，
∵EF⊥AC，EF⊥EG，DH∥EG，
∴EG∥AC∥DH，
∴△BDH∽△BCA，
∴，
即，
解得，x＝4，
∴CD＝4，
故选：B．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，作出合适的辅助线，利用数形结合的思想解答．
二．填空题（共3小题）
3．（2016•安徽）如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝6，BC＝10，点E在CD上，将△BCE沿BE折叠，点C恰落在边AD上的点F处；点G在AF上，将△ABG沿BG折叠，点A恰落在线段BF上的点H处，有下列结论：
①∠EBG＝45°；②△DEF∽△ABG；③S△ABG＝S△FGH；④AG+DF＝FG．
其中正确的是 ①③④ ．（把所有正确结论的序号都选上）
【分析】由折叠性质得∠1＝∠2，CE＝FE，BF＝BC＝10，则在Rt△ABF中利用勾股定理可计算出AF＝8，所以DF＝AD﹣AF＝2，设EF＝x，则CE＝x，DE＝CD﹣CE＝6﹣x，在Rt△DEF中利用勾股定理得（6﹣x）2+22＝x2，解得x＝，即ED＝；再利用折叠性质得∠3＝∠4，BH＝BA＝6，AG＝HG，易得∠2+∠3＝45°，于是可对①进行判断；设AG＝y，则GH＝y，GF＝8﹣y，在Rt△HGF中利用勾股定理得到y2+42＝（8﹣y）2，解得y＝3，则AG＝GH＝3，GF＝5，由于∠A＝∠D和≠，可判断△ABG与△DEF不相似，则可对②进行判断；根据三角形面积公式可对③进行判断；利用AG＝3，GF＝5，DF＝2可对④进行判断．
【解答】解：∵△BCE沿BE折叠，点C恰落在边AD上的点F处，
∴∠1＝∠2，CE＝FE，BF＝BC＝10，
在Rt△ABF中，∵AB＝6，BF＝10，
∴AF＝＝8，
∴DF＝AD﹣AF＝10﹣8＝2，
设EF＝x，则CE＝x，DE＝CD﹣CE＝6﹣x，
在Rt△DEF中，∵DE2+DF2＝EF2，
∴（6﹣x）2+22＝x2，解得x＝，
∴ED＝，
∵△ABG沿BG折叠，点A恰落在线段BF上的点H处，
∴∠3＝∠4，BH＝BA＝6，AG＝HG，
∴∠2+∠3＝∠ABC＝45°，所以①正确；
HF＝BF﹣BH＝10﹣6＝4，
设AG＝y，则GH＝y，GF＝8﹣y，
在Rt△HGF中，∵GH2+HF2＝GF2，
∴y2+42＝（8﹣y）2，解得y＝3，
∴AG＝GH＝3，GF＝5，
∵∠A＝∠D，＝＝，＝，
∴≠，
∴△ABG与△DEF不相似，所以②错误；
∵S△ABG＝•6•3＝9，S△FGH＝•GH•HF＝×3×4＝6，
∴S△ABG＝S△FGH，所以③正确；
∵AG+DF＝3+2＝5，而GF＝5，
∴AG+DF＝GF，所以④正确．
故答案为①③④．
【点评】本题考查了相似形综合题：熟练掌握折叠和矩形的性质、相似三角形的判定方法；会运用勾股定理计算线段的长．
4．（2018•安徽）矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8．点P在矩形ABCD的内部，点E在边BC上，满足△PBE∽△DBC，若△APD是等腰三角形，则PE的长为 或3 ．
【分析】根据勾股定理求出BD，分PD＝DA、P′D＝P′A两种情况，根据相似三角形的性质计算．
【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴∠BAD＝90°，
∴BD＝＝10，
当PD＝DA＝8时，BP＝BD﹣PD＝2，
∵△PBE∽△DBC，
∴＝，即＝，
解得，PE＝，
当P′D＝P′A时，点P′为BD的中点，
∴P′E′＝CD＝3，
故答案为：或3．
【点评】本题考查的是相似三角形的性质、勾股定理和矩形的性质，掌握相似三角形的性质定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．
5．（2022•安徽）如图，四边形ABCD是正方形，点E在边AD上，△BEF是以E为直角顶点的等腰直角三角形，EF，BF分别交CD于点M，N，过点F作AD的垂线交AD的延长线于点G．连接DF，请完成下列问题：
（1）∠FDG＝ 45 °；
（2）若DE＝1，DF＝2，则MN＝ ．
【分析】（1）根据AAS证△ABE≌△GEF，得出EG＝AB，GF＝AE，推出DG＝GF即可得出∠FDG的度数；
（2）由（1）的结论得出CD的长度，GF的长度，根据相似三角形的性质分别求出DM，NC的值即可得出MN的值．
【解答】解：由题知，△BEF是以E为直角顶点的等腰直角三角形，
∴∠AEB+∠GEF＝90°，
∵∠AEB+∠ABE＝90°，
∴∠GEF＝∠ABE，
在△ABE和△GEF中，
，
∴△ABE≌△GEF（AAS），
∴EG＝AB＝AD，GF＝AE，
即DG+DE＝AE+DE，
∴DG＝AE，
∴DG＝GF，
即△DGF是等腰直角三角形，
∴∠FDG＝45°，
故答案为：45°；
（2）∵DE＝1，DF＝2，
由（1）知，△DGF是等腰直角三角形，
∴DG＝GF＝2，AB＝AD＝CD＝ED+DG＝2+1＝3，
延长GF交BC延长线于点H，
∴CD∥GH，
∴△EDM∽△EGF，
∴，
即，
∴MD＝，
同理△BNC∽△BFH，
∴，
即，
∴，
∴NC＝，
∴MN＝CD﹣MD﹣NC＝3﹣﹣＝，
故答案为：．
【点评】本题主要考查正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，熟练掌握这些基础知识是解题的关键．
三．解答题（共8小题）
6．（2018•安徽）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的10×10网格中，已知点O，A，B均为网格线的交点．
（1）在给定的网格中，以点O为位似中心，将线段AB放大为原来的2倍，得到线段A1B1（点A，B的对应点分别为A1，B1），画出线段A1B1；
（2）将线段A1B1绕点B1逆时针旋转90°得到线段A2B1，画出线段A2B1；
（3）以A，A1，B1，A2为顶点的四边形AA1B1A2的面积是 20 个平方单位．
【分析】（1）以点O为位似中心，将线段AB放大为原来的2倍，即可画出线段A1B1；
（2）将线段A1B1绕点B1逆时针旋转90°得到线段A2B1，即可画出线段A2B1；
（3）连接AA2，即可得到四边形AA1B1A2为正方形，进而得出其面积．
【解答】解：（1）如图所示，线段A1B1即为所求；
（2）如图所示，线段A2B1即为所求；
（3）由图可得，四边形AA1B1A2为正方形，
∴四边形AA1B1A2的面积是（）2＝（）2＝20．
故答案为：20．
【点评】此题主要考查了位似变换以及旋转的性质以及勾股定理等知识的运用，利用相似变换的性质得出对应点的位置是解题关键．
7．（2014•安徽）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点△ABC（顶点是网格线的交点）．
（1）将△ABC向上平移3个单位得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；
（2）请画一个格点△A2B2C2，使△A2B2C2∽△ABC，且相似比不为1．
【分析】（1）利用平移的性质得出对应点位置，进而得出答案；
（2）利用相似图形的性质，将各边扩大2倍，进而得出答案．
【解答】解：（1）如图所示：△A1B1C1即为所求；
（2）如图所示：△A2B2C2即为所求．
【点评】此题主要考查了相似变换和平移变换，得出变换后图形对应点位置是解题关键．
8．（2015•安徽）如图1，在四边形ABCD中，点E、F分别是AB、CD的中点，过点E作AB的垂线，过点F作CD的垂线，两垂线交于点G，连接AG、BG、CG、DG，且∠AGD＝∠BGC．
（1）求证：AD＝BC；
（2）求证：△AGD∽△EGF；
（3）如图2，若AD、BC所在直线互相垂直，求的值．
【分析】（1）由线段垂直平分线的性质得出GA＝GB，GD＝GC，由SAS证明△AGD≌△BGC，得出对应边相等即可；
（2）先证出∠AGB＝∠DGC，由，证出△AGB∽△DGC，得出比例式，再证出∠AGD＝∠EGF，即可得出△AGD∽△EGF；
（3）延长AD交GB于点M，交BC的延长线于点H，则AH⊥BH，由△AGD≌△BGC，得出∠GAD＝∠GBC，再求出∠AGB＝∠AHB＝90°，得出∠AGE＝∠AGB＝45°，求出，由△AGD∽△EGF，即可得出的值．
【解答】（1）证明：∵GE是AB的垂直平分线，
∴GA＝GB，
同理：GD＝GC，
在△AGD和△BGC中，
，
∴△AGD≌△BGC（SAS），
∴AD＝BC；
（2）证明：∵∠AGD＝∠BGC，
∴∠AGB＝∠DGC，
在△AGB和△DGC中，，
∴△AGB∽△DGC，
∴，
又∵∠AGE＝∠DGF，
∴∠AGD＝∠EGF，
∴△AGD∽△EGF；
（3）解：延长AD交GB于点M，交BC的延长线于点H，如图所示：
则AH⊥BH，
∵△AGD≌△BGC，
∴∠GAD＝∠GBC，
在△GAM和△HBM中，∠GAD＝∠GBC，∠GMA＝∠HMB，
∴∠AGB＝∠AHB＝90°，
∴∠AGE＝∠AGB＝45°，
∴，
又∵△AGD∽△EGF，
∴＝＝．
【点评】本题是相似形综合题目，考查了线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、三角函数等知识；本题难度较大，综合性强，特别是（3）中，需要通过作辅助线综合运用（1）（2）的结论和三角函数才能得出结果．
9．（2019•安徽）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，P为△ABC内部一点，且∠APB＝∠BPC＝135°．
（1）求证：△PAB∽△PBC；
（2）求证：PA＝2PC；
（3）若点P到三角形的边AB，BC，CA的距离分别为h1，h2，h3，求证h12＝h2•h3．
【分析】（1）利用等式的性质判断出∠PBC＝∠PAB，即可得出结论；
（2）由（1）的结论得出，进而得出，即可得出结论；
（3）先作出两个直角三角形，再判断出Rt△AEP∽Rt△CDP，得出，即h3＝2h2，再由△PAB∽△PBC，判断出，即可得出结论．
【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴∠ABC＝45°＝∠PBA+∠PBC
又∠APB＝135°，
∴∠PAB+∠PBA＝45°
∴∠PBC＝∠PAB
又∵∠APB＝∠BPC＝135°，
∴△PAB∽△PBC
（2）∵△PAB∽△PBC
∴
在Rt△ABC中，AC＝BC，
∴
∴
∴PA＝2PC
（3）如图，过点P作PD⊥BC于D，PE⊥AC于E，PF⊥AB于点F，
∴PF＝h1，PD＝h2，PE＝h3，
∵∠CPB+∠APB＝135°+135°＝270°
∴∠APC＝90°，
∴∠EAP+∠ACP＝90°，
又∵∠ACB＝∠ACP+∠PCD＝90°
∴∠EAP＝∠PCD，
∴Rt△AEP∽Rt△CDP，
∴，即，
∴h3＝2h2
∵△PAB∽△PBC，
∴，
∴
∴．
即：h12＝h2•h3．
【点评】此题主要考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，判断出∠EAP＝∠PCD是解本题的关键．
10．（2020•安徽）如图1，已知四边形ABCD是矩形，点E在BA的延长线上，AE＝AD．EC与BD相交于点G，与AD相交于点F，AF＝AB．
（1）求证：BD⊥EC；
（2）若AB＝1，求AE的长；
（3）如图2，连接AG，求证：EG﹣DG＝AG．
【分析】（1）证明△AEF≌△ADB（SAS），得出∠AEF＝∠ADB，证得∠EGB＝90°，则结论得出；
（2）证明△AEF∽△DCF，得出，即AE•DF＝AF•DC，设AE＝AD＝a（a＞0），则有a•（a﹣1）＝1，化简得a2﹣a﹣1＝0，解方程即可得出答案；
（3）在线段EG上取点P，使得EP＝DG，证明△AEP≌△ADG（SAS），得出AP＝AG，∠EAP＝∠DAG，证得△PAG为等腰直角三角形，可得出结论．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，点E在BA的延长线上，
∴∠EAF＝∠DAB＝90°，
又∵AE＝AD，AF＝AB，
∴△AEF≌△ADB（SAS），
∴∠AEF＝∠ADB，
∴∠GEB+∠GBE＝∠ADB+∠ABD＝90°，
即∠EGB＝90°，
故BD⊥EC，
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AE∥CD，
∴∠AEF＝∠DCF，∠EAF＝∠CDF，
∴△AEF∽△DCF，
∴，
即AE•DF＝AF•DC，
设AE＝AD＝a（a＞0），则有a•（a﹣1）＝1，化简得a2﹣a﹣1＝0，
解得或（舍去），
∴AE＝．
（3）证明：如图，在线段EG上取点P，使得EP＝DG，
在△AEP与△ADG中，AE＝AD，∠AEP＝∠ADG，EP＝DG，
∴△AEP≌△ADG（SAS），
∴AP＝AG，∠EAP＝∠DAG，
∴∠PAG＝∠PAD+∠DAG＝∠PAD+∠EAP＝∠DAE＝90°，
∴△PAG为等腰直角三角形，
∴EG﹣DG＝EG﹣EP＝PG＝AG．
【点评】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
11．（2017•安徽）已知正方形ABCD，点M为边AB的中点．
（1）如图1，点G为线段CM上的一点，且∠AGB＝90°，延长AG、BG分别与边BC、CD交于点E、F．
①求证：BE＝CF；
②求证：BE2＝BC•CE．
（2）如图2，在边BC上取一点E，满足BE2＝BC•CE，连接AE交CM于点G，连接BG并延长交CD于点F，求tan∠CBF的值．
【分析】（1）①由正方形的性质知AB＝BC、∠ABC＝∠BCF＝90°、∠ABG+∠CBF＝90°，结合∠ABG+∠BAG＝90°可得∠BAG＝∠CBF，证△ABE≌△BCF可得；
②由RtABG斜边AB中线知MG＝MA＝MB，即∠GAM＝∠AGM，结合∠CGE＝∠AGM、∠GAM＝∠CBG知∠CGE＝∠CBG，从而证△CGE∽△CBG得CG2＝BC•CE，由BE＝CF＝CG可得答案；
（2）延长AE、DC交于点N，证△CEN∽△BEA得BE•CN＝AB•CE，由AB＝BC、BE2＝BC•CE知CN＝BE，再由＝＝且AM＝MB得FC＝CN＝BE，设正方形的边长为1、BE＝x，根据BE2＝BC•CE求得BE的长，最后由tan∠CBF＝＝可得答案．
【解答】解：（1）①∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABC＝∠BCF＝90°，
∴∠ABG+∠CBF＝90°，
∵∠AGB＝90°，
∴∠ABG+∠BAG＝90°，
∴∠BAG＝∠CBF，
∵AB＝BC，∠ABE＝∠BCF＝90°，
∴△ABE≌△BCF，
∴BE＝CF，
②∵∠AGB＝90°，点M为AB的中点，
∴MG＝MA＝MB，
∴∠GAM＝∠AGM，
又∵∠CGE＝∠AGM，∠GAM＝∠CBG，
∴∠CGE＝∠CBG，
又∠ECG＝∠GCB，
∴△CGE∽△CBG，
∴＝，即CG2＝BC•CE，
由∠CFG＝∠GBM＝∠BGM＝∠CGF得CF＝CG，
由①知BE＝CF，
∴BE＝CG，
∴BE2＝BC•CE；
（2）延长AE、DC交于点N，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，
∴∠N＝∠EAB，
又∵∠CEN＝∠BEA，
∴△CEN∽△BEA，
∴＝，即BE•CN＝AB•CE，
∵AB＝BC，BE2＝BC•CE，
∴CN＝BE，
∵AB∥DN，
∴＝＝，
∵AM＝MB，
∴FC＝CN＝BE，
不妨设正方形的边长为1，BE＝x，
由BE2＝BC•CE可得x2＝1•（1﹣x），
解得：x1＝，x2＝（舍），
∴＝，
则tan∠CBF＝＝＝．
【点评】本题主要考查相似形的综合问题，熟练掌握正方形与直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质是解题的关键．
12．（2021•安徽）如图1，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠BCD，点E在边BC上，且AE∥CD，DE∥AB，作CF∥AD交线段AE于点F，连接BF．
（1）求证：△ABF≌△EAD；
（2）如图2．若AB＝9，CD＝5，∠ECF＝∠AED，求BE的长；
（3）如图3，若BF的延长线经过AD的中点M，求的值．
【分析】（1）先根据题意得出AB＝AE，DE＝DC，再证四边形ADCF是平行四边形，得出AF＝CD，进而得出AF＝DE，再由平行线性质得∠AED＝∠BAF，进而证得结论；
（2）先证明△EAD∽△CFE，得＝＝，根据四边形ADCF是平行四边形，得AD＝CF，AF＝CD，进而可得＝＝，求得CF＝6，CE＝，再利用△ABE∽△DEC，求得答案；
（3）如图3，延长BM、ED交于点G，先证明△ABE∽△DCE，得出＝＝，设DC＝DE＝a，CE＝b，＝＝＝x，则AB＝AE＝ax，AF＝CD＝a，BE＝bx，可得EF＝AE﹣AF＝ax﹣a＝a（x﹣1），再利用△ABF∽△EGF，列方程求解即可．
【解答】解：（1）如图1，∵AE∥CD，
∴∠AEB＝∠BCD，
∵∠ABC＝∠BCD，
∴∠ABC＝∠AEB，
∴AB＝AE，
∵DE∥AB，
∴∠DEC＝∠ABC，∠AED＝∠BAF，
∵∠ABC＝∠BCD，
∴∠DEC＝∠BCD，
∴DE＝DC，
∵CF∥AD，AE∥CD，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∴AF＝CD，
∴AF＝DE，
在△ABF和△EAD中，
，
∴△ABF≌△EAD（SAS）；
（2）方法①：∵CF∥AD，
∴∠EAD＝∠CFE，
∵∠ECF＝∠AED，
∴△EAD∽△CFE，
∴＝＝，
由（1）知：四边形ADCF是平行四边形，
∴AD＝CF，AF＝CD，
∵AB＝9，CD＝5，
∴AE＝9，DE＝5，
∴EF＝AE﹣AF＝9﹣5＝4，
∴＝＝，
∴CF2＝4×9＝36，即CF＝6，
∴CE＝，
∵∠ABC＝∠BCD＝∠AEB＝∠DEC，
∴△ABE∽△DEC，
∴＝，即＝，
∴BE＝6；
方法②：由（1）知△ABF≌△EAD，
∴∠ABF＝∠EAD，
∵∠EAD＝∠CFE，
∴∠ABF＝∠CFE，
∵∠ABC＝∠AEB，∠ABC＝∠ABF+∠EBF，∠AEB＝∠CFE+∠ECF，
∴∠EBF＝∠ECF，
∵∠BAE＝∠AED＝∠ECF，
∴∠EBF＝∠BAE，
∵∠BEF＝∠AEB，
∴△BEF∽△AEB，
∴＝，即＝，
∴BE＝6；
（3）如图3，延长BM、ED交于点G，
∵△ABE，△DCE均为等腰三角形，且∠ABC＝∠DCE，
∴△ABE∽△DCE，
∴＝＝，
设DC＝DE＝a，CE＝b，＝＝＝x，
则AB＝AE＝ax，AF＝CD＝a，BE＝bx，
∴EF＝AE﹣AF＝ax﹣a＝a（x﹣1），
∵AB∥DG，
∴∠ABG＝∠G
∵AD的中点M，
∴AM＝DM，
∵∠AMB＝∠DMG，
∴△AMB≌△DMG（AAS），
∴DG＝AB＝ax，
∴EG＝DG+DE＝ax+a＝a（x+1），
∵AB∥DG（即AB∥EG），
∴△ABF∽△EGF，
∴＝，即＝，
∴x2﹣2x﹣1＝0，
解得：x＝1+或x＝1﹣（舍去），
∴＝x＝1+．
【点评】本题是四边形综合题，主要考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形判定和性质和相似三角形的判定和性质等相关知识，正确添加辅助线构造相似三角形是解题关键．
13．（2016•安徽）如图1，A，B分别在射线OM，ON上，且∠MON为钝角，现以线段OA，OB为斜边向∠MON的外侧作等腰直角三角形，分别是△OAP，△OBQ，点C，D，E分别是OA，OB，AB的中点．
（1）求证：△PCE≌△EDQ；
（2）延长PC，QD交于点R．
①如图2，若∠MON＝150°，求证：△ABR为等边三角形；
②如图3，若△ARB∽△PEQ，求∠MON大小和的值．
【分析】（1）根据三角形中位线的性质得到DE＝OC，∥OC，CE＝OD，CE∥OD，推出四边形ODEC是平行四边形，于是得到∠OCE＝∠ODE，根据等腰直角三角形的定义得到∠PCO＝∠QDO＝90°，根据等腰直角三角形的性质得到得到PC＝ED，CE＝DQ，即可得到结论
（2）①连接RO，由于PR与QR分别是OA，OB的垂直平分线，得到AP＝OR＝RB，由等腰三角形的性质得到∠ARC＝∠ORC，∠ORQ＝∠BRQ，根据四边形的内角和得到∠CRD＝30°，即可得到结论；
②由（1）得，EQ＝EP，∠DEQ＝∠CPE，推出∠PEQ＝∠ACR＝90°，证得△PEQ是等腰直角三角形，根据相似三角形的性质得到ARB＝∠PEQ＝90°，根据四边形的内角和得到∠MON＝135°，求得∠APB＝90°，根据等腰直角三角形的性质得到结论．
【解答】（1）证明：∵点C、D、E分别是OA，OB，AB的中点，
∴DE＝OC，DE∥OC，CE＝OD，CE∥OD，
∴四边形ODEC是平行四边形，
∴∠OCE＝∠ODE，
∵△OAP，△OBQ是等腰直角三角形，
∴∠PCO＝∠QDO＝90°，
∴∠PCE＝∠PCO+∠OCE＝∠QDO+∠EDO＝∠EDQ，
∵PC＝AO＝OC＝ED，CE＝OD＝OB＝DQ，
在△PCE与△EDQ中，，
∴△PCE≌△EDQ；
（2）①如图2，连接RO，
∵PR与QR分别是OA，OB的垂直平分线，
∴AR＝OR＝RB，
∴∠ARC＝∠ORC，∠ORQ＝∠BRQ，
∵∠RCO＝∠RDO＝90°，∠COD＝150°，
∴∠CRD＝30°，
∴∠ARB＝60°，
∴△ARB是等边三角形；
②由（1）得，EQ＝EP，∠DEQ＝∠CPE，
∴∠PEQ＝∠CED﹣∠CEP﹣∠DEQ＝∠ACE﹣∠CEP﹣∠CPE＝∠ACE﹣∠RCE＝∠ACR＝90°，
∴△PEQ是等腰直角三角形，∵△ARB∽△PEQ，∴∠ARB＝∠PEQ＝90°，
∴∠OCR＝∠ODR＝90°，∠CRD＝∠ARB＝45°，
∴∠MON＝135°，
此时P，O，B在一条直线上，△PAB为直角三角形，且∠APB＝90°，
∴AB＝2PE＝2×PQ＝PQ，∴＝．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握等腰直角三角形的性质是解题的关键．