中考数学考前必刷题型突破方案(安徽专版)提分冲刺预测02二次函数的最值(4种类型)特训(原卷版+解析)

这是一份中考数学考前必刷题型突破方案(安徽专版)提分冲刺预测02二次函数的最值(4种类型)特训(原卷版+解析)，共38页。

二次函数的最值（10年10考）
题型1：对称轴和取值范围已知
题型2：对称轴不确定，取值范围已知
题型3：取值范围不确定，对称轴已知
题型4：实际应用问题，自变量的取值范围不含顶点
命题规律与备考策略
研究二次函数的最值，一般需要三个条件：（1）图象的开口方向；（2）对称轴（由对称轴看增减性）；（3）自变量的取值范围。在此基础上找到取得最值的点解决问题。
【安徽最新模拟练】
题型1：对称轴和取值范围已知
一、填空题
1．（2023·安徽合肥·统考二模）已知函数（m为常数）的图形经过点．
（1）___________．
（2）当时，y的最大值与最小值之和为2，则n的值___________．
2．（2023·安徽滁州·统考一模）已知抛物线（m是常数，且）经过点．
（1）该抛物线的顶点坐标为_________；
（2）若一次函数的图象与二次函数的图象的交点坐标分别是，且，则的最大值为_________．
3．（2023·安徽合肥·统考模拟预测）已知：抛物线．
（1）此抛物线的对称轴为直线____；
（2）当时，y的最小值为−4，则______．
4．（2022·安徽合肥·校考二模）已知抛物线
（1）抛物线的对称轴为_____；
（2）若当时，y的最大值是1，求当时，y的最小值是_____．
二、解答题
5．（2023·安徽合肥·合肥38中校考二模）已知抛物线C：y＝x2﹣2bx+c；
(1)若抛物线C的顶点坐标为(1，﹣3)，求b、c的值；
(2)当c＝b+2，0≤x≤2时，抛物线C的最小值是﹣4，求b的值；
(3)当c＝b2+1，3≤x≤m时，x2﹣2bx+c≤x﹣2恒成立，则m的最大值为_________．
6．（2022·安徽合肥·合肥市第四十五中学校考三模）已知抛物线与x轴交于点，，直线交抛物线于点A、C．
(1)求抛物线的表达式；
(2)若两个抛物线的交点在x轴上，且顶点关于x轴对称，则称这两个抛物线为“对称抛物线”，求抛物线对称抛物线的解析式；
(3)在（2）的条件下，点M是x轴上方的抛物线上一动点，过点M作MN⊥x轴于点N，设M的横坐标为m，记W＝MN－2ON，求W的最大值．
题型2：对称轴不确定，取值范围已知
一、单选题
1．（2022·安徽滁州·统考一模）已知抛物线过（1，m），（-1，3m）两点，若，且当时，y的最小值为-6，则m的值是（ ）
A．4B．2C．–2D．-4
二、填空题
2．（2023·安徽合肥·合肥市第四十二中学校考一模）已知二次函数.
（1）当时，二次函数的最小值为________；
（2）当时，二次函数的最小值为1，则________.
3．（2023·安徽马鞍山·校考一模）设二次函数与x轴的交点为，若且y的最小值为．
（1）_____；
（2）当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围为 _____．
三、解答题
4．（2022·安徽合肥·统考二模）已知二次函数（，是常数）．
(1)当，时，求二次函数的最大值；
(2)当时，函数有最大值为7，求的值；
(3)当且自变量时，函数有最大值为10，求此时二次函数的表达式．
题型3：取值范围不确定，对称轴已知
1．（2022·安徽滁州·校考一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线：和直线；，点，均在直线上．
(1)求直线的表达式；
(2)若抛物线与直线有交点，求的取值范围；
(3)当，二次函数的自变量满足时，函数的最大值为，求的值；
题型4：实际应用问题，自变量的取值范围不含顶点
一、解答题
1．（2023·安徽亳州·校考模拟预测）某工厂生产并出售移动式的销售小棚，如图（1）是这种小棚的侧面，是由矩形和抛物线构成，是横梁，抛物线最高点E到横梁的距离为2米，已知米，如图，以为x轴，以的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系．
(1)求抛物线所对应的函数解析式；
(2)如图，在抛物线和横梁之间修建一个矩形广告牌，已知与关于y轴对称，在横梁上，需要准备框边、、，求框边长度的最大值；
(3)该工厂每个月最多能生产160个含有广告牌的小棚，生产成本为每个500元，若以单价650元出售该种小棚，每月能售出100个，若单价为每降低10元，每月能多售出20个，求该工厂每个月销售这种小棚的最大利润W（元）是多少？
2．（2023·山东潍坊·统考模拟预测）小明投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯．销售过程中发现，当售价为30元时销量为200件，每涨1元少卖10件，在销售过程中销售单价不低于成本价，而每件的利润不高于成本价的60%．
(1)设小明每月获得利润为w（元），求每月获得利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式，并确定自变量x的取值范围．
(2)当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？每月的最大利润是多少？
(3)如果小明想要每月获得的利润不低于2000元，那么小明每月的成本最少需要多少元？
【安徽实战真题练】
一、填空题
1．（2021·安徽·统考中考真题）设抛物线，其中a为实数．
（1）若抛物线经过点，则______；
（2）将抛物线向上平移2个单位，所得抛物线顶点的纵坐标的最大值是______．
二、解答题
2．（2017·安徽·中考真题）某超市销售一种商品，成本每千克40元，规定每千克售价不低于成本，且不高于80元．经市场调查，每天的销售量y(千克)与每千克售价x(元)满足一次函数关系，部分数据如下表：
（1）求y与x之间的函数表达式；
（2）设商品每天的总利润为W(元)，求W与x之间的函数表达式(利润＝收入－成本)；
（3）试说明（2）中总利润W随售价x的变化而变化的情况，并指出售价为多少时获得最大利润，最大利润是多少？
3．（2015·安徽·统考中考真题）为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤（岸堤足够长）为一边，用总长为80m的围网在水库中围成了如图所示的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等．设BC的长度为xm，矩形区域ABCD的面积为ym2．
（1）求y与x之间的函数关系式，并注明自变量x的取值范围；
（2）x为何值时，y有最大值？最大值是多少？
4．（2019·安徽·统考中考真题）一次函数y=kx+4与二次函数y=ax2+c的图像的一个交点坐标为（1,2），另一个交点是该二次函数图像的顶点
（1）求k，a，c的值；
（2）过点A（0，m）（0＜m＜4）且垂直于y轴的直线与二次函数y=ax2+c的图像相交于B，C两点，点O为坐标原点，记W=OA2+BC2，求W关于m的函数解析式，并求W的最小值.
5．（2020·安徽·统考中考真题）在平面直角坐标系中，已知点，直线经过点．抛物线恰好经过三点中的两点．
判断点是否在直线上．并说明理由；
求的值；
平移抛物线，使其顶点仍在直线上，求平移后所得抛物线与轴交点纵坐标的最大值．
6．（2018·安徽·统考中考真题）小明大学毕业回家乡创业，第一期培植盆景与花卉各50盆售后统计，盆景的平均每盆利润是160元，花卉的平均每盆利润是19元，调研发现：
①盆景每增加1盆，盆景的平均每盆利润减少2元；每减少1盆，盆景的平均每盆利润增加2元；②花卉的平均每盆利润始终不变．
小明计划第二期培植盆景与花卉共100盆，设培植的盆景比第一期增加x盆，第二期盆景与花卉售完后的利润分别为W1，W2（单位：元）
（1）用含x的代数式分别表示W1，W2；
（2）当x取何值时，第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润W最大，最大总利润是多少？
7．（2013·安徽·中考真题）某大学生利用暑假40天社会实践参与了一家网店经营，了解到一种成本为20元/件的新型商品在第x天销售的相关信息如下表所示．
（1）请计算第几天该商品的销售单价为35元/件？
（2）求该网店第x天获得的利润y关于x的函数关系式．
（3）这40天中该网店第几天获得的利润最大？最大利润是多少？
8．（2014·安徽·统考中考真题）若两个二次函数图像的顶点，开口方向都相同，则称这两个二次函数为“同簇二次函数”．
（1）请写出两个为“同簇二次函数”的函数；
（2）已知关于x的二次函数，和，其中的图像经过点A（1，1），若与为“同簇二次函数”，求函数的表达式，并求当时，的最大值．
9．（2022·安徽·统考中考真题）如图1，隧道截面由抛物线的一部分AED和矩形ABCD构成，矩形的一边BC为12米，另一边AB为2米．以BC所在的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy，规定一个单位长度代表1米．E（0，8）是抛物线的顶点．
(1)求此抛物线对应的函数表达式；
(2)在隧道截面内（含边界）修建“”型或“”型栅栏，如图2、图3中粗线段所示，点，在x轴上，MN与矩形的一边平行且相等．栅栏总长l为图中粗线段，，，MN长度之和．请解决以下问题：
（ⅰ）修建一个“”型栅栏，如图2，点，在抛物线AED上．设点的横坐标为，求栅栏总长l与m之间的函数表达式和l的最大值；
（ⅱ）现修建一个总长为18的栅栏，有如图3所示的修建“”型或“”型栅型两种设计方案，请你从中选择一种，求出该方案下矩形面积的最大值，及取最大值时点的横坐标的取值范围（在右侧）．
售价x/(元/千克)
50
60
70
销售量y/千克
100
80
60
销售量p（件）
P=50—x
销售单价q（元/件）
当1≤x≤20时，当21≤x≤40时，
提分冲刺预测02二次函数的最值（4种类型）
【安徽十年真题考点及分值细目表】
二次函数的最值（10年10考）
题型1：对称轴和取值范围已知
题型2：对称轴不确定，取值范围已知
题型3：取值范围不确定，对称轴已知
题型4：实际应用问题，自变量的取值范围不含顶点
命题规律与备考策略
研究二次函数的最值，一般需要三个条件：（1）图象的开口方向；（2）对称轴（由对称轴看增减性）；（3）自变量的取值范围。在此基础上找到取得最值的点解决问题。
【安徽最新模拟练】
题型1：对称轴和取值范围已知
一、填空题
1．（2023·安徽合肥·统考二模）已知函数（m为常数）的图形经过点．
（1）___________．
（2）当时，y的最大值与最小值之和为2，则n的值___________．
【答案】 4 或
【分析】（1）把已知坐标代入解析式计算即可．
（2）根据抛物线额性质，分类计算．
【详解】（1）∵函数（m为常数）的图形经过点．
∴，
解得，
故答案为：4．
（2）∵函数（m为常数）的图形经过点．
∴，
解得，
∴函数的解析式为，
∴，
故抛物线的对称轴为直线，二次函数的最小值为，
的对称点为，
当时，y的最大值与最小值之和为2，
当时，最大值为5，时，取得最小值，且为，
根据题意，得，
解得（舍去），
故；
当时，最大值为5，时，取得最小值，且为，
根据题意，得，不符合题意；
当时，时，取得最小值，且为，时，取得最大值，且为，
根据题意，得，
解得（舍去），
故；
故答案为或．
【点睛】本题考查了抛物线的对称性，增减性，熟练掌握函数的性质是解题的关键．
2．（2023·安徽滁州·统考一模）已知抛物线（m是常数，且）经过点．
（1）该抛物线的顶点坐标为_________；
（2）若一次函数的图象与二次函数的图象的交点坐标分别是，且，则的最大值为_________．
【答案】 9
【分析】（1）将点代入抛物线，求出m的值，再将抛物线解析式表示成顶点式即可求解；
（2）将一次函数和二次函数解析式联立，求出，然后表示出，求出的表达式，再将表达式化为顶点式，求二次函数的最值即可．
【详解】（1）将点代入抛物线，得，
解得，
∴，
∴该抛物线的顶点坐标为，
故答案为：；
（2）联立，整理得，
解得，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴当时，的值最大，最大值为9，
故答案为：9．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的最值，二次函数的顶点式，一次函数与二次函数的交点问题，熟练掌握知识点是解题的关键．
3．（2023·安徽合肥·统考模拟预测）已知：抛物线．
（1）此抛物线的对称轴为直线____；
（2）当时，y的最小值为−4，则______．
【答案】 1 4或
【分析】（1）根据抛物线的解析式可得，再代入对称轴进行计算即可；
（2）根据二次函数的图象与性质可知当 当时，在，函数有最小值，当时，在中，当时，函数有最小值，再根据y的最小值为−4代入进行计算即可．
【详解】解：（1）由抛物线可知，，
对称轴，
故答案为：1；
（2）当时，在，函数有最小值，
∵y的最小值为，
，
；
当时，在中，当时，函数有最小值，
，解得；
综上所述：a的值为4或．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数的最值及对称轴，熟练掌握二次函数的性质和对称轴公式是解决问题的关键．
4．（2022·安徽合肥·校考二模）已知抛物线
（1）抛物线的对称轴为_____；
（2）若当时，y的最大值是1，求当时，y的最小值是_____．
【答案】 直线
【分析】（1）根据抛物线的对称轴公式即可得结论；
（2）根据抛物线的对称轴为直线，可得顶点在范围内，y的最大值是1，得顶点坐标为，把顶点代入，可得a的值，进而可得y的最小值．
【详解】解：（1）抛物线的对称轴为：直线，
故答案为：直线；
（2）∵抛物线，
∴该函数图象的开口向下，对称轴是直线，当时，取得最大值，
∵当时，y的最大值是1，
∴时，，得，
∴，
∵，
∴时，取得最小值，此时，
故答案为：．
【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，求出a的值，利用二次函数的性质解答．
二、解答题
5．（2023·安徽合肥·合肥38中校考二模）已知抛物线C：y＝x2﹣2bx+c；
(1)若抛物线C的顶点坐标为(1，﹣3)，求b、c的值；
(2)当c＝b+2，0≤x≤2时，抛物线C的最小值是﹣4，求b的值；
(3)当c＝b2+1，3≤x≤m时，x2﹣2bx+c≤x﹣2恒成立，则m的最大值为_________．
【答案】(1)b＝1，c＝﹣2
(2)b的值为﹣6或
(3)4
【分析】（1）抛物线C的顶点坐标为（1，﹣3），代入解析式即可求解；
（2）将c＝b+2代入抛物线解析式，可得对称轴为x＝b，分三种情况讨论①当b＜0时，②当0≤b≤2时，③当b＞2时，根据抛物线C的最小值是﹣4，列出方程组即可求解；
（3）当c＝b2+1时，抛物线C的解析式为y＝（x﹣b）2+1，即抛物线C的顶点在直线y＝1上移动，设抛物线C与直线y＝x﹣2除顶点外的另一个交点为M，此时点M的横坐标即为m的最大值，结合图象列出不等式组，解不等式组即可求解．
【详解】（1）解：∵抛物线C的顶点坐标为（1，﹣3），
∴y＝（x﹣1）2﹣3＝x2﹣2x﹣2，
∴﹣2b＝﹣2，b＝1，c＝﹣2；
（2）∵c＝b+2
∴y＝x2﹣2bx+c＝x2﹣2bx+b+2，对称轴为x＝b，
①当b＜0时，由题意可知b+2＝﹣4，解得b＝﹣6，符合题意；
②当0≤b≤2时，，解得b1＝3，b2＝﹣2，不合题意舍去；
③当b＞2时，根据题意可知22﹣4b+b+2＝﹣4，解得b＝，符合题意；
综上所述，所求b的值为﹣6或．
（3）当c＝b2+1时，抛物线C的解析式为y＝（x﹣b）2+1，
如图所示，抛物线C的顶点在直线y＝1上移动，
当3≤x≤m时，x2﹣2bx+c≤x﹣2恒成立，
则可知抛物线C的顶点坐标为（3，1），
设抛物线C与直线y＝x﹣2除顶点外的另一个交点为M，
此时点M的横坐标即为m的最大值，
由解得x1＝3，x2＝4，
∴m的最大值为4．
【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，二次函数与一次函数交点问题，待定系数法求解析式，二次函数最值问题，数形结合是解题的关键．
6．（2022·安徽合肥·合肥市第四十五中学校考三模）已知抛物线与x轴交于点，，直线交抛物线于点A、C．
(1)求抛物线的表达式；
(2)若两个抛物线的交点在x轴上，且顶点关于x轴对称，则称这两个抛物线为“对称抛物线”，求抛物线对称抛物线的解析式；
(3)在（2）的条件下，点M是x轴上方的抛物线上一动点，过点M作MN⊥x轴于点N，设M的横坐标为m，记W＝MN－2ON，求W的最大值．
【答案】(1)；
(2)；
(3)3
【分析】（1）直接用待定系数法求解即可；
（2）找出抛物线的顶点坐标，用待定系数法求解即可；
（3）用含m的式子表示出MN、ON的长度，然后分类讨论m的取值范围，利用二次函数求最值即可．
(1)
解：由题意知：把点，代入得，
，解得：，
∴抛物线的表达式为：．
(2)
解：由题意可知：由（1）知抛物线的顶点式为：
∴顶点坐标为：（-1，-4），
∴抛物线的顶点坐标为：（-1，4），
抛物线的解析式为：，
把代入抛物线的解析式为：得，
，
解得：m=-1，
∴抛物线的解析式为：，
即：抛物线的解析式为：．
(3)
解：由题意知：点M是x轴上方的抛物线上的点，
∴M（，），N（，0），，
当时，，
∴W＝MN－2ON=
即
∴
∵
∴抛物线的开口向下，函数有最大值，
∴当时，W有最大值为3．
当时，，，
∴W＝MN－2ON=
即
∴
∵
∴抛物线的开口向下，函数有最大值，
在m=-2的右侧，W随m的增大而减小，
∴当m=0时，W的值最大为3．
综上所述，当m＝0时，W有最大值即m=0，W=3．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、利用函数图像及其性质求最值等知识，解决本题的关键就是利用数形结合的思想和准确的计算．
题型2：对称轴不确定，取值范围已知
一、单选题
1．（2022·安徽滁州·统考一模）已知抛物线过（1，m），（-1，3m）两点，若，且当时，y的最小值为-6，则m的值是（ ）
A．4B．2C．–2D．-4
【答案】C
【分析】将点（1，m），（-1，3m）代入抛物线，得1+b+c=m，1-b+c=3m，得出b=-m，c=2m-1，再分情况讨论：①对称轴x=-≥1时，最小值在x=1处；②-1＜对称轴x=-≤1时，最小值在x=-处.
【详解】解：将点（1，m），（-1，3m）代入抛物线，得
1+b+c=m，1-b+c=3m，
∴b=-m，c=2m-1
则，
对称轴为，
∵a=1＞0
∴最小值在x=-处，最小值为-6，
∴=-6，
=4c+24，
将b=-m，c=2m-1代入，得
-8m-20=0
解得m=-2或m=10
又
∴m=-2
故选：C.
【点睛】本题主要考查抛物线的最值问题，通过讨论对称轴的位置进而确定最值，数形结合是解决问题的关键.
二、填空题
2．（2023·安徽合肥·合肥市第四十二中学校考一模）已知二次函数.
（1）当时，二次函数的最小值为________；
（2）当时，二次函数的最小值为1，则________.
【答案】 或
【分析】（1）将代入，再把解析式为变形为顶点式，即可求得二次函数最小值；
（2）先求抛物线的对称轴为：，分三种情况：当时，即时，此时在对称轴的右侧，当时，即时，此时对称轴在内，③当时，即时，此时在对称轴的左侧，分别讨论增减性，找何时取最小值，代入得关于的方程求解即可．
【详解】解：（1）当时，，
∵，则开口向上，
∴二次函数的最小值为，
故答案为：；
（2）二次函数，则对称轴为：，
分三种情况：
①当时，即时，此时在对称轴的右侧，随的增大而增大，
∴当时，有最小值，，解得：；
②当时，即时，此时对称轴在内，
当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，
∴当时，有最小值，，解得：；
∵，
∴，
③当时，即时，此时在对称轴的左侧，随的增大而减小，
∴当时，有最小值，，解得：（舍去）；
综上所述，或；
故答案为：或
【点睛】本题考查了二次函数的最值问题，是常考题型；但本题比较复杂，运用了分类讨论的思想，做好此类题要掌握以下几点：形如二次函数：①当时，抛物线有最小值，当时，；②当时，对称轴右侧，随的增大而增大，对称轴的左侧，随的增大而减小；③如果自变量在某一范围内求最值，要看对称轴，开口方向及图象．
3．（2023·安徽马鞍山·校考一模）设二次函数与x轴的交点为，若且y的最小值为．
（1）_____；
（2）当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围为 _____．
【答案】
【分析】（1）先根据题意判断出，然后利用在顶点处取最小值以及推出，再根据即可解答；
（2）根据二次函数图像和性质列出不等式求解即可．
【详解】解：（1）根据题意可知，二次函数的最小值为，
∴图像是开口向上的，则，
∴当时，，
∴，整理得：，
∵
∴，
∵二次函数与x轴的交点为，
∴，即，
故答案为：；
（2）由（1）可知：，即，
∵当时，不等式恒成立，
∴，整理得：，
∵，抛物线的对称轴为直线，
∴当时，
∴解得：，与矛盾，舍去；
当时，
∵，
∴，解得：
∴实数a的取值范围为;
当时，
∵，
∴，解得：与矛盾，舍去
综上，当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围为．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了二次函数图像和性质、二次函数的图像和系数的关系、二次函数的最值等，掌握二次函数的基本性质和运用分情况讨论解决问题是解题的关键．
三、解答题
4．（2022·安徽合肥·统考二模）已知二次函数（，是常数）．
(1)当，时，求二次函数的最大值；
(2)当时，函数有最大值为7，求的值；
(3)当且自变量时，函数有最大值为10，求此时二次函数的表达式．
【答案】(1)当x=-3时，
(2)b=±1
(3)二次函数的表达式：或
【分析】（1）将b=3，c=4时代入并化简，从而求出二次函数的最大值；
（2）当c=6时，，根据函数的最大值列方程，从而求出的值；
（3）当，对称轴为x=-b，分-b<1、、-三种情况进行讨论，根据函数的增减性，找出最大值，然后列方程求出b的值，从而得出二次函数的表达式．
【详解】（1）解：当b=3，c=4时，2b=6，
∴，
∴ 当x=-3时，
（2）解： 当c=6，函数值时，
∵a=-1＜0，函数开口向下，函数有最大值，
∴ 当x=-b时，y最大值=
∴ b=±1
（3）解：当c=3b时，
∴ 抛物线对称轴为：x=-b
①-b<1时，即b＞-1，在自变量x的值满足1≤x≤5的情况下， y随x的增大而减小，有最大值，
∴ 当x=1时，y最大.
∴
∴ b=11.
②，即-5≤b＜-1，当x=-b时， y最大.
∴
∴ ， （舍去）
③当-时，即b＜-5，在自变量x的值满足1≤x≤5的情况下，y随x的增大而增大，有最大值，
∴当x=5时， y最大.
∴-，
∴ b=（舍去）
综上可得： b=﹣5或b=11
∴二次函数的表达式：或
【点睛】本题考查了二次函数的性质和应用，一元一次方程解法，一元二次方程解法，掌握二次函数的性质和解方程的方法是解题的关键．
题型3：取值范围不确定，对称轴已知
1．（2022·安徽滁州·校考一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线：和直线；，点，均在直线上．
(1)求直线的表达式；
(2)若抛物线与直线有交点，求的取值范围；
(3)当，二次函数的自变量满足时，函数的最大值为，求的值；
【答案】(1)；
(2)且；
(3)或
【分析】（1）将点，代入，即可求解；
（2）联立与，则有，抛物线C与直线l有交点，则，即可求解；
（3）分x在对称轴右侧和左侧两种情况，分别求解即可；
【详解】（1）解：将点，代入得：
，
解得：，
∴；
（2）解：联立与，则有，
∵抛物线C与直线l有交点，
∴，
∴且；
（3）解：根据题意可得，，
∵，
∴抛物线开口向下，对称轴，
∵时，y有最大值-4，
∴当时，有，
∴或，
①在左侧，y随x的增大而增大，
∴时，y有最大值，
∴；
②在对称轴右侧，y随x最大而减小，
∴时，y有最大值；
综上所述：或；
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，一次函数的图象及性质；熟练掌握待定系数法求解析式，数形结合，分类讨论函数在给定范围内的最大值是解题的关键．
题型4：实际应用问题，自变量的取值范围不含顶点
一、解答题
1．（2023·安徽亳州·校考模拟预测）某工厂生产并出售移动式的销售小棚，如图（1）是这种小棚的侧面，是由矩形和抛物线构成，是横梁，抛物线最高点E到横梁的距离为2米，已知米，如图，以为x轴，以的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系．
(1)求抛物线所对应的函数解析式；
(2)如图，在抛物线和横梁之间修建一个矩形广告牌，已知与关于y轴对称，在横梁上，需要准备框边、、，求框边长度的最大值；
(3)该工厂每个月最多能生产160个含有广告牌的小棚，生产成本为每个500元，若以单价650元出售该种小棚，每月能售出100个，若单价为每降低10元，每月能多售出20个，求该工厂每个月销售这种小棚的最大利润W（元）是多少？
【答案】(1)
(2)5
(3)19200
【分析】（1）根据题中条件求出D点、E点坐标，设抛物线解析式为，用待定系数法求出a和c的值即可．
（2）先设点G坐标为，结合第一问抛物线解析式分别表示出、、的长，然后用配方法求出最大值．
（3）先设每个小棚的定价为n元，结合题意表示出利润W的表达式，利用配方法求出时，利润最大，并求出最大利润．
【详解】（1）解：设抛物线的解析式为，
将，代入得：，
解得，
∴抛物线对应的函数解析式为；
（2）解：设点G的坐标为，则，
由（1）得，抛物线的解析式为，
∴，
∴
，
∵，
∴当时，框边取得最大值，最大值为5；
（3）解：设该工厂将每个小棚定价为n元，
根据题意得，，
∵每月最多能生产160个含有广告牌的小棚，
∴，
解得，
∵，
∴时，W随n的增大而减小，
∴当时，W有最大值，且最大值为19200元，
即该工厂每个月销售这种小棚的最大利润为19200元．
【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，涉及了用配方法求最大值、最小值、待定系数法求解析式，熟练运用所学知识是解题的关键．
2．（2023·山东潍坊·统考模拟预测）小明投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯．销售过程中发现，当售价为30元时销量为200件，每涨1元少卖10件，在销售过程中销售单价不低于成本价，而每件的利润不高于成本价的60%．
(1)设小明每月获得利润为w（元），求每月获得利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式，并确定自变量x的取值范围．
(2)当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？每月的最大利润是多少？
(3)如果小明想要每月获得的利润不低于2000元，那么小明每月的成本最少需要多少元？
【答案】(1)
(2)当销售单价定为32元时，每月可获得最大利润，最大利润是2160元．
(3)想要每月获得的利润不低于2000元，小明每月的成本最少为3600元．
【分析】（1）由每涨1元少卖10件，每月销售的数量（件）与销售单价（元）之间的关系为一次函数，即：，求之，再根据利润＝（售价－进价）×销售量，从而列出关系式，根据在销售过程中销售单价不低于成本价，而每件的利润不高于成本价的60%列出即为其自变量的取值范围；
（2）首先将二次函数化为顶点式，然后根据其增减性确定最大利润即可；
（3）（3）根据抛物线的性质和图象，求出每月的成本．
【详解】（1）解：由每涨1元少卖10件，可知：
每月销售的数量（件）与销售单价（元）之间的关系为一次函数，即：，
当时，，∴，即：，
∵在销售过程中销售单价不低于成本价，而每件的利润不高于成本价的60%
∴，即
则小明每月获得利润为：
即：每月获得利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式为；
（2）由（1）知
又∵，抛物线开口向下．
∴当时，随着的增大而增大，
∴当时，
答：当销售单价定为32元时，每月可获得最大利润，最大利润是2160元．
（3）取得，
解这个方程得：，．
∵，抛物线开口向下．
∴当时，．
∵
∴当时，．
设每月的成本为（元），由题意，得：
∵，
∴随的增大而减小．
∴当时，的值最小，．
答：想要每月获得的利润不低于2000元，小明每月的成本最少为3600元．
【点睛】此题考查二次函数和一次函数的性质及其应用，还考查抛物线的基本性质，另外将实际问题转化为求函数最值问题，从而来解决实际问题．
【安徽实战真题练】
一、填空题
1．（2021·安徽·统考中考真题）设抛物线，其中a为实数．
（1）若抛物线经过点，则______；
（2）将抛物线向上平移2个单位，所得抛物线顶点的纵坐标的最大值是______．
【答案】 0 2
【分析】（1）直接将点代入计算即可
（2）先根据平移得出新的抛物线的解析式，再根据抛物线顶点坐标得出顶点坐标的纵坐标，再通过配方得出最值
【详解】解：（1）将代入得：
故答案为：0
（2）根据题意可得新的函数解析式为：
由抛物线顶点坐标
得新抛物线顶点的纵坐标为：
∵
∴当a=1时，有最大值为8，
∴所得抛物线顶点的纵坐标的最大值是
故答案为：2
【点睛】本题考查将抛物线的顶点坐标、将点代入代入函数解析式、利用配方法求最值是常用的方法
二、解答题
2．（2017·安徽·中考真题）某超市销售一种商品，成本每千克40元，规定每千克售价不低于成本，且不高于80元．经市场调查，每天的销售量y(千克)与每千克售价x(元)满足一次函数关系，部分数据如下表：
（1）求y与x之间的函数表达式；
（2）设商品每天的总利润为W(元)，求W与x之间的函数表达式(利润＝收入－成本)；
（3）试说明（2）中总利润W随售价x的变化而变化的情况，并指出售价为多少时获得最大利润，最大利润是多少？
【答案】（1）y＝－2x＋200 （2）W＝－2x2＋280x－8 000；（3）当时，W随x的增大而增大，当时，W随x的增大而减小，售价为70元时，获得最大利润，这时最大利润为1 800元．
【分析】（1）用待定系数法求一次函数的表达式；
（2）利用利润的定义，求W与x之间的函数表达式；
（3）利用二次函数的性质求极值．
【详解】解：（1）设，由题意，得
，解得，
∴所求函数表达式为．
（2）．
（3），其中，
∵，
∴当时，W随x的增大而增大，
当时，W随x的增大而减小，
当售价为70元时，获得最大利润，这时最大利润为1800元．
3．（2015·安徽·统考中考真题）为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤（岸堤足够长）为一边，用总长为80m的围网在水库中围成了如图所示的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等．设BC的长度为xm，矩形区域ABCD的面积为ym2．
（1）求y与x之间的函数关系式，并注明自变量x的取值范围；
（2）x为何值时，y有最大值？最大值是多少？
【答案】（1）（0＜x＜40）；（2）当x=20时，y有最大值，最大值是300平方米．
【详解】试题分析：（1）根据三个矩形面积相等，得到矩形AEFD面积是矩形BCFE面积的2倍，可得出AE=2BE，设BE=a，则有AE=2a，表示出a与2a，进而表示出y与x的关系式，并求出x的范围即可；
（2）利用二次函数的性质求出y的最大值，以及此时x的值即可．
试题解析：（1）∵三块矩形区域的面积相等，
∴矩形AEFD面积是矩形BCFE面积的2倍，
∴AE=2BE，
设BE=a，则AE=2a，
∴8a+2x=80，
∴a=-x+10，3a=-x+30，
∴y=（-x+30）x=-x2+30x，
∵a=-x+10＞0，
∴x＜40，
则y=-x2+30x（0＜x＜40）；
（2）∵y=-x2+30x=-（x-20）2+300（0＜x＜40），且二次项系数为-＜0，
∴当x=20时，y有最大值，最大值为300平方米．
考点：二次函数的应用．
4．（2019·安徽·统考中考真题）一次函数y=kx+4与二次函数y=ax2+c的图像的一个交点坐标为（1,2），另一个交点是该二次函数图像的顶点
（1）求k，a，c的值；
（2）过点A（0，m）（0＜m＜4）且垂直于y轴的直线与二次函数y=ax2+c的图像相交于B，C两点，点O为坐标原点，记W=OA2+BC2，求W关于m的函数解析式，并求W的最小值.
【答案】（1）k=-2，a=-2，c=4；（2）, W取得最小值7.
【分析】（1）把（1,2）分别代入y=kx+4和y=ax2+c，得k+4=-2和a+c=2，然后求出二次函数图像的顶点坐标为（0,4），可得c=4，然后计算得到a的值；
（2）由A（0，m）（0＜m＜4）可得OA=m，令y=-2x2+4=m，求出B，C坐标，进而表示出BC长度，将OA，BC代入W=OA2+BC2中得到W关于m的函数解析式，求出最小值即可.
【详解】解：（1）由题意得，k+4=2，解得k=-2，
∴一次函数解析式为：y=-2x+4
又二次函数顶点横坐标为0，
∴顶点坐标为（0,4）
∴c=4
把（1,2）带入二次函数表达式得a+c=2，解得a=-2
（2）由（1）得二次函数解析式为y=-2x2+4，令y=m，得2x2+m-4=0
∴，设B，C两点的坐标分别为（x1，m）（x2，m），则，
∴W=OA2+BC2=
∴当m=1时，W取得最小值7
【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式以及二次函数的图像和性质，将二次函数图像与直线的交点问题转化为求一元二次方程的解，得到B，C坐标是解题的关键.
5．（2020·安徽·统考中考真题）在平面直角坐标系中，已知点，直线经过点．抛物线恰好经过三点中的两点．
判断点是否在直线上．并说明理由；
求的值；
平移抛物线，使其顶点仍在直线上，求平移后所得抛物线与轴交点纵坐标的最大值．
【答案】（1）点在直线上，理由见详解；（2）a=-1，b=2；（3）
【分析】（1）先将A代入，求出直线解析式，然后将将B代入看式子能否成立即可；
（2）先跟抛物线与直线AB都经过（0，1）点，且B，C两点的横坐标相同，判断出抛物线只能经过A，C两点，然后将A，C两点坐标代入得出关于a，b的二元一次方程组；
（3）设平移后所得抛物线的对应表达式为y=-（x-h）2+k，根据顶点在直线上，得出k=h+1，令x=0，得到平移后抛物线与y轴交点的纵坐标为-h2+h+1，在将式子配方即可求出最大值．
【详解】（1）点在直线上，理由如下：
将A（1，2）代入得，
解得m=1，
∴直线解析式为，
将B（2，3）代入，式子成立，
∴点在直线上；
（2）∵抛物线与直线AB都经过（0，1）点，且B，C两点的横坐标相同，
∴抛物线只能经过A，C两点，
将A，C两点坐标代入得，
解得：a=-1，b=2；
（3）设平移后所得抛物线的对应表达式为y=-（x-h）2+k，
∵顶点在直线上，
∴k=h+1，
令x=0，得到平移后抛物线与y轴交点的纵坐标为-h2+h+1，
∵-h2+h+1=-（h-）2+，
∴当h=时，此抛物线与轴交点的纵坐标取得最大值．
【点睛】本题考查了求一次函数解析式，用待定系数法求二次函数解析式，二次函数的平移和求最值，求出两个函数的表达式是解题关键．
6．（2018·安徽·统考中考真题）小明大学毕业回家乡创业，第一期培植盆景与花卉各50盆售后统计，盆景的平均每盆利润是160元，花卉的平均每盆利润是19元，调研发现：
①盆景每增加1盆，盆景的平均每盆利润减少2元；每减少1盆，盆景的平均每盆利润增加2元；②花卉的平均每盆利润始终不变．
小明计划第二期培植盆景与花卉共100盆，设培植的盆景比第一期增加x盆，第二期盆景与花卉售完后的利润分别为W1，W2（单位：元）
（1）用含x的代数式分别表示W1，W2；
（2）当x取何值时，第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润W最大，最大总利润是多少？
【答案】（1）W1=-2x²+60x+8000，W2=-19x+950；（2）当x=10时，W总最大为9160元．
【分析】（1）第二期培植的盆景比第一期增加x盆，则第二期培植盆景（50+x）盆，花卉（50-x）盆，根据盆景每增加1盆，盆景的平均每盆利润减少2元；每减少1盆，盆景的平均每盆利润增加2元，②花卉的平均每盆利润始终不变，即可得到利润W1，W2与x的关系式；
（2）由W总=W1+W2可得关于x的二次函数，利用二次函数的性质即可得．
【详解】（1）第二期培植的盆景比第一期增加x盆，则第二期培植盆景（50+x）盆，花卉[100-(50+x)]=（50-x）盆，由题意得
W1=(50+x)(160-2x)=-2x²+60x+8000，
W2=19(50-x)=-19x+950；
（2）W总=W1+W2=-2x²+60x+8000+（-19x+950）=-2x²+41x+8950，
∵-2＜0，=10.25，
故当x=10时，W总最大，
W总最大=-2×10²+41×10+8950=9160．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，弄清题意，找准数量关系列出函数解析式是解题的关键．
7．（2013·安徽·中考真题）某大学生利用暑假40天社会实践参与了一家网店经营，了解到一种成本为20元/件的新型商品在第x天销售的相关信息如下表所示．
（1）请计算第几天该商品的销售单价为35元/件？
（2）求该网店第x天获得的利润y关于x的函数关系式．
（3）这40天中该网店第几天获得的利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）第10天或第35天该商品的销售单价为35元/件（2）（3）这40天中该网店第21天获得的利润最大，最大利润是725元
【分析】（1）分别将q=35代入销售单价关于x的函数关系式，求出x即可．
（2）应用利润=销售收入－销售成本列式即可．
（3）应用二次函数和反比例函数的性质，分别求出最大值比较即得所求．
【详解】解：（1）当1≤x≤20时，令，解得；；
当21≤x≤40时，令，解得；．
∴第10天或第35天该商品的销售单价为35元/件．
（2）当1≤x≤20时，；
当21≤x≤40时，．
∴y关于x的函数关系式为．
（3）当1≤x≤20时，，
∵，∴当x=15时，y有最大值y1，且y1=612.5．
当21≤x≤40时，∵26250＞0，∴随着x的增大而减小，
∴当x=21时，
有最大值y2，且．
∵y1＜y2，
∴这40天中该网店第21天获得的利润最大，最大利润是725元．
8．（2014·安徽·统考中考真题）若两个二次函数图像的顶点，开口方向都相同，则称这两个二次函数为“同簇二次函数”．
（1）请写出两个为“同簇二次函数”的函数；
（2）已知关于x的二次函数，和，其中的图像经过点A（1，1），若与为“同簇二次函数”，求函数的表达式，并求当时，的最大值．
【答案】（1）本题为开放题，答案不唯一，符合题意即可，如：与；（2），当时，有最大值，最大值等于20．
【分析】（1）只需任选一个点作为顶点，同号两数作为二次项的系数，用顶点式表示两个为“同簇二次函数”的函数表达式即可．
（2）由y1的图像经过点A（1，1）可以求出m的值，然后根据与为“同簇二次函数”就可以求出函数的表达式，然后将函数的表达式转化为顶点式，再利用二次函数的性质就可以解决问题．
【详解】解：（1）设顶点为（h，k）的二次函数的关系式为，
当，，时，
二次函数的关系式为．
∵，
∴该二次函数图像的开口向上．
当，，时，
二次函数的关系式为．
∵，
∴该二次函数图像的开口向上．
∵两个函数与顶点相同，开口都向上，
∴两个函数与是“同簇二次函数”．
∴符合要求的两个“同簇二次函数”可以为：与．
（2）∵的图像经过点A（1，1），
∴
整理得：
解得：
∴
∴
∵与为“同簇二次函数”，
∴
其中，即
∴
解得：
∴函数的表达式为：
∴函数的图像的对称轴为
∴
∴函数的图像开口向上
①当时，
函数的图像开口向上
∴随x的增大而减小，
∴当时，取最大值，最大值为
②当时，
函数的图像开口向上
∴随x的增大而增大，
∴当时，取最大值，最大值为
综上所述：当时，取最大值为20．
【点睛】本题考查待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质以及二次函数的最值等二次函数的综合运用．解题的关键是：（1）读懂题意，弄明白什么是“同簇二次函数”；（2）写出与的顶点式．
9．（2022·安徽·统考中考真题）如图1，隧道截面由抛物线的一部分AED和矩形ABCD构成，矩形的一边BC为12米，另一边AB为2米．以BC所在的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy，规定一个单位长度代表1米．E（0，8）是抛物线的顶点．
(1)求此抛物线对应的函数表达式；
(2)在隧道截面内（含边界）修建“”型或“”型栅栏，如图2、图3中粗线段所示，点，在x轴上，MN与矩形的一边平行且相等．栅栏总长l为图中粗线段，，，MN长度之和．请解决以下问题：
（ⅰ）修建一个“”型栅栏，如图2，点，在抛物线AED上．设点的横坐标为，求栅栏总长l与m之间的函数表达式和l的最大值；
（ⅱ）现修建一个总长为18的栅栏，有如图3所示的修建“”型或“”型栅型两种设计方案，请你从中选择一种，求出该方案下矩形面积的最大值，及取最大值时点的横坐标的取值范围（在右侧）．
【答案】(1)y＝x2＋8
(2)（ⅰ）l＝m2＋2m＋24，l的最大值为26；（ⅱ）方案一：最大面积27，＋9≤P1横坐标≤；方案二：最大面积＋≤P1横坐标≤
【分析】（1）通过分析A点坐标，利用待定系数法求函数解析式；
（2）（ⅰ）结合矩形性质分析得出P2的坐标为（m，－m2＋8），然后列出函数关系式，利用二次函数的性质分析最值；
（ⅱ）设P2P1＝n，分别表示出方案一和方案二的矩形面积，利用二次函数的性质分析最值，从而利用数形结合思想确定取值范围．
【详解】（1）由题意可得：A（－6，2），D（6，2），
又∵E（0，8）是抛物线的顶点，
设抛物线对应的函数表达式为y＝ax2＋8，将A（－6，2）代入，
（－6）2a＋8＝2，
解得：a＝，
∴抛物线对应的函数表达式为y＝x2＋8；
（2）（ⅰ）∵点P1的横坐标为m（0＜m≤6），且四边形P1P2P3P4为矩形，点P2，P3在抛物线AED上，
∴P2的坐标为（m，m2＋8），
∴P1P2＝P3P4＝MN＝m2＋8，P2P3＝2m，
∴l＝3（m2＋8）＋2m＝m2＋2m＋24＝（m－2）2＋26，
∵＜0，
∴当m＝2时，l有最大值为26，
即栅栏总长l与m之间的函数表达式为l＝m2＋2m＋24，l的最大值为26；
（ⅱ）方案一：设P2P1＝n，则P2P3＝18－3n，
∴矩形P1P2P3P4面积为（18－3n）n＝－3n2＋18n＝－3（n－3）2＋27，
∵－3＜0，
∴当n＝3时，矩形面积有最大值为27，
此时P2P1＝3，P2P3＝9，
令x2＋8＝3，
解得：x＝，
∴此时P1的横坐标的取值范围为＋9≤P1横坐标≤，
方案二：设P2P1＝n，则P2P3＝9－n，
∴矩形P1P2P3P4面积为（9－n）n＝－n2＋9n＝－（n－）2＋，
∵－1＜0，
∴当n＝时，矩形面积有最大值为，
此时P2P1＝，P2P3＝，
令x2＋8＝，
解得：x＝，
∴此时P1的横坐标的取值范围为＋≤P1横坐标≤．
【点睛】本题考查二次函数的应用，掌握待定系数法求函数解析式，准确识图，确定关键点的坐标，利用数形结合思想解题是关键．
售价x/(元/千克)
50
60
70
销售量y/千克
100
80
60
销售量p（件）
P=50—x
销售单价q（元/件）
当1≤x≤20时，当21≤x≤40时，