云南省昆明市第九中学2025届高三上学期9月摸底测试数学试题（原卷版）

这是一份云南省昆明市第九中学2025届高三上学期9月摸底测试数学试题（原卷版），共5页。
高三年级数学 试题卷
【考试时间：2024年 9月 12日 14:00 —16:00】
（全卷满分150分，考试用时120分钟）
第I卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.
1. 已知复数在复平面内对应点位于第二象限，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
2. 某单位为了解职工体重情况，采用分层随机抽样的方法从800名职工中抽取了一个容量为80的样本．其中，男性平均体重为64千克，方差为151；女性平均体重为56千克，方差为159，男女人数之比为，则单位职工体重的方差为（ ）
A. 166B. 167C. 168D. 169
3. 已知函数，则“是函数为偶函数”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
4. 已知曲线在点处的切线与抛物线也相切，则实数的值为（ ）
A. 0B. C. 1D. 0或1
5. 我们把由半椭圆与半椭圆合成的曲线称作“果圆”（其中，）.如图所示，设点、、是相应椭圆的焦点，、和、是“果圆”与轴和轴的交点，若是边长为1的等边三角形，则，的值分别为（ ）
A. ，1B. ，1C. 5，3D. 5，4
6. 已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
7. 若，则（ ）
A. B. C. D. 3
8. 已知数列的前n项和为，且满足，则（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. “圆柱容球”作为古希腊数学家阿基米德最得意的发现，被刻在他的墓碑上，当圆柱容球时，圆柱的底面直径和高都等于球的直径．记球的表面积为，体积为；圆柱的表面积为，体积为，则（ ）
A. B. C. D.
10. 已知抛物线：的焦点为F，准线为，过点F的直线与抛物线交于，两点，点在上的射影为，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则
B. 以为直径的圆与准线相切
C. 设，则
D. 过点与抛物线C有且仅有一个公共点的直线至多有2条
11. 已知函数，则（ ）
A. 在处取得极值
B. 若有两解，则的最小整数值为
C. 若有两解，，则
D 有两个零点
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知平面向量，若，则______．
13. 直线被圆截得最大弦长______．
14. 已知是函数两个零点，且，若将函数的图象向左平移个单位后得到的图象关于轴对称，且函数在恰有2个极值点，则实数取值范围为_____________.
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤.
15. 在中，角，，的对边分别是，，，且.
（1）求角的大小；
（2）若，为边上的一点，，且______，求的周长.
（从下面①，②两个条件中任选一个，补充在上面的横线上并作答）
①是的平分线；
②为线段的中点
16. 2024年7月26日，第33届夏季奥林匹克运动会在法国巴黎正式开幕.人们在观看奥运比赛的同时，开始投入健身的行列.某兴趣小组为了解成都市不同年龄段的市民每周锻炼时长情况，随机从抽取200人进行调查，得到如下列联表：
（1）试根据的独立性检验，分析周平均锻炼时长是否与年龄有关？精确到0.001；
（2）现从50岁以下的样本中按周平均锻炼时间是否少于4小时，用分层随机抽样法抽取5人做进一步访谈，再从这5人中随机抽取3人填写调查问卷.记抽取3人中周平均锻炼时间不少于4小时的人数为，求的分布列和数学期望.
参考公式及数据：，其中.
17. 如图，在四棱锥中，为正三角形，底面为矩形，且平面平面分别为棱的中点．
（1）证明：平面；
（2）若，且二面角的大小为120°，求的值．
18. 已知点P为圆 上任意一点， 线段PA的垂直平分线交直线PC于点M，设点M 的轨迹为曲线H.
（1）求曲线H方程;
（2）若过点M 的直线l与曲线H的两条渐近线交于S，T两点，且M 为线段ST的中点.
(i)证明：直线l与曲线H有且仅有一个交点；
(ii)求 的取值范围.
19. 已知数列满足：．
（1）求数列的通项公式；
（2）记数列的前项和为，求实数的值，使得数列是等差数列；
（3）对于数列，规定为数列的一阶差分数列，其中．如果的一阶差分数列满足，则称是“绝对差异数列”．判断数列是否为“绝对差异数列”并给出证明．
年龄
周平均锻炼时长
合计
周平均锻炼时间少于4小时
周平均锻炼时间不少于4小时
50岁以下
40
60
100
50岁以上（含50）
25
75
100
合计
65
135
200
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828