第16周 用组合法解工程问题 练习（教师版）-2024-2025学年度小学六年级奥数

这是一份第16周 用组合法解工程问题 练习（教师版）-2024-2025学年度小学六年级奥数，共6页。
专题简析：
在解答工程问题时，如果对题目提供的条件孤立、分散、静止地看，则难以找到明确的解题途径，若用“组合法”把具有相依关系的数学信息进行恰当组合，使之成为一个新的基本单位，便会使隐蔽的数量关系立刻明朗化，从而顺利找到解题途径。
例题1。
一项工程，甲、乙两队合作15天完成，若甲队做5天，乙队做3天，只能完成工程的 EQ \F(7,30) ，乙队单独完成全部工程需要几天？
【思路导航】此题已知甲、乙两队的工作效率和是 EQ \F(1,15) ，只要求出甲队货乙队的工作效率，则问题可解，然而这正是本题的难点，用“组合法”将甲队独做5天，乙队独做3天，组合成甲、乙两队合作了3天后，甲队独做2天来考虑，就可以求出甲队2天的工作量 EQ \F(7,30) － EQ \F(1,15) ×3＝ EQ \F(1,30) ，从而求出甲队的工作效率。所以
1÷【 EQ \F(1,15) －（ EQ \F(7,30) － EQ \F(1,15) ×3）÷（5－3）】＝20（天）
答：乙队单独完成全部工程需要20天。
练习1
师、徒二人合做一批零件，12天可以完成。师傅先做了3天，因事外出，由徒弟接着做1天，共完成任务的 EQ \F(3,20) 。如果这批零件由师傅单独做，多少天可以完成？
某项工程，甲、乙合做1天完成全部工程的 EQ \F(5,24) 。如果这项工程由甲队独做2天，再由乙队独做3天，能完成全部工程的 EQ \F(13,24) 。甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？
甲、乙两队合做，20天可完成一项工程。先由甲队独做8天，再由乙队独做12天，还剩这项工程的 EQ \F(8,15) 。甲、乙两队独做各需几天完成？
例题2。
一项工程，甲队独做12天可以完成。甲队先做了3天，再由乙队做2天，则能完成这项工程的 EQ \F(1,2) 。现在甲、乙两队合做若干天后，再由乙队单独做。做完后发现两段所用时间相等。求两段一共用了几天？
【思路导航】此题很容易先求乙队的工作效率是：（ EQ \F(1,2) － EQ \F(1,12) ×3）÷2＝ EQ \F(1,8) ；再由条件“做完后发现两段所用时间相等”的题意，可组合成由两个乙队和一个甲队合做需若干天完成，即可求出相等的时间。
乙队每天完成这项工程的
（ EQ \F(1,2) － EQ \F(1,12) ×3）÷2＝ EQ \F(1,8)
两段时间一共是
1÷（ EQ \F(1,8) ×2+ EQ \F(1,12) ）×2＝6（天）
答：两段时间一共是6天。
练习2
一项工程，甲队独做15天完成。若甲队先做5天，乙队再做4天能完成这项工程的 EQ \F(8,15) 。现由甲、乙两队合做若干天后，再由乙队单独做。做完后发现，两段时间相等。这两段时间一共是几天？
一项工程，甲、乙合做8天完成。如果先让甲独做6天，再由乙独做，完成任务时发现乙比甲多了3天。乙独做这项工程要几天完成？
某工作，甲单独做要12天，乙单独做要18天，丙单独做要24天。这件工作先由甲做了若干天，再由乙接着做；乙做的天数是甲3倍，再由丙接着做，丙做的天数是乙的2倍。终于完成了这一工作。问总共用了多少天？
例题3。
移栽西红柿苗若干棵，如果哥、弟二人合栽8小时完成，先由哥哥栽了3小时后，又由弟弟栽了1小时，还剩总棵数的 EQ \F(11,16) 没有栽，已知哥哥每小时比弟弟每小时多栽7棵。共要移栽西红柿苗多少棵？
【思路导航】把“哥哥先栽了3小时，弟弟又栽了1小时”组合成“哥、的合栽了1小时后，哥哥又独做了2小时”，就可以求出哥哥每小时栽总数的几分之几。
哥哥每小时栽总数的几分之几
（1－ EQ \F(11,16) － EQ \F(1,8) ×1）÷（3－1）＝ EQ \F(3,32)
一共要移栽的西红柿苗多少棵
7÷【 EQ \F(3,32) －（ EQ \F(1,8) － EQ \F(3,32) ）】＝112（棵）
答：共要移栽西红柿苗112棵。
练习3
加工一批机器零件，师、徒合做12小时可以完成。先由师傅加工8小时，接着再由徒弟加工6小时，共加工了这批零件的 EQ \F(3,5) 。已知师傅每小时比徒弟多做10个零件。这批零件共有多少个？
修一条公路，甲、乙两队合做6天可以完成。先由甲队修5天，再由乙队修3天，还剩这条公路的 EQ \F(3,10) 没有修。已知甲队每天比乙队多修20米。这条公路全长多少米？
修一段公路，甲队独修要40天，乙队独修要用24天。两队同时从两端开工，结果在距中点750米处相遇。这段公路全长多少米？
例题4。
一项工作，甲、乙、丙3人合做6小时可以完成。如果甲工作6小时后，乙、丙合做2小时，可以完成这项工作的 EQ \F(2,3) ；如果甲、乙合做3小时后，丙做6小时，也可以完成这项工作的 EQ \F(2,3) 。如果由甲、丙合做，需几小时完成？
【思路导航】将条件“甲工作6小时后，乙、丙合做2小时，可以完成这项工作的 EQ \F(2,3) ”组合成“甲工作4小时，甲、乙、丙合做2小时可以完成这项工作的 EQ \F(2,3) ”，则求出甲的工作效率。同理，运用“组合法”再求出丙的工作效率。
甲每小时完成这项工程的几分之几
（ EQ \F(2,3) － EQ \F(1,6) ×2）÷（6－2）＝ EQ \F(1,12)
丙每小时完成这项工程的几分之几
（ EQ \F(2,3) － EQ \F(1,6) ×3）÷（6－3）＝ EQ \F(1,18)
甲、 丙合做需完成的时间为：
1÷（ EQ \F(1,12) + EQ \F(1,18) ）＝7 EQ \F(1,5) （小时）
答：甲、丙合做完成需要7 EQ \F(1,5) 小时。
练习4
一项工作，甲、乙、丙三人合做，4小时可以完成。如果甲做4小时后，乙、丙合做2小时，可以完成这项工作的 EQ \F(13,18) ；如果甲、乙合做2小时后，丙再做4小时，可以完成这项工作的 EQ \F(11,18) 。这项工作如果由甲、丙合做需几小时完成？
一项工程，甲、乙合做6天可以完成，乙、丙合做10天可以完成。现在先由甲、乙、丙合做3天后，余下的乙再做6天则可以完成。乙独做这项工程要几天就可以完成？
一项工程，甲、乙两队合做10天完成，乙、丙两队合做8天完成。现在甲、乙、丙三队合做4天后，余下的工程由乙队独做5 EQ \F(1,2) 天完成。乙队单独做这项工程需多少天可以完成？
一件工作，甲、乙合做4小时完成，乙、丙合做5小时完成。现在由甲、丙合做2小时后，余下的由乙6小时完成。乙独做这件工作需几小时才能完成？
例题5。
一条公路，甲队独修24天可以完成，乙队独修30天可以完成。先由甲、乙两队合修4天，再由丙队参加一起修7天后全部完成。如果由甲、乙、丙三队同时开工修这条公路，几天可以完成？
【思路导航】将条件“先由甲、乙两队合修4天，再由丙队参加一起修7天后全部完成”组合成“甲、乙两队各修（4+7）＝11天后，再由丙队单独修了7天才全部完成。”就可以求出丙队的工作效率。
丙队每天修这条公路的
【1－（ EQ \F(1,24) + EQ \F(1,30) ）】×（4+7）＝ EQ \F(1,40)
三队合修完成时间为
1÷（ EQ \F(1,24) + EQ \F(1,30) + EQ \F(1,40) ）＝10（天）
答：10天可以完成。
练习5
一件工作，甲单独做12小时完成。现在甲、乙合做4小时后，乙又用6小时才完成。这件工作始终由甲、乙合做几小时可以完成？
一条水渠，甲队独挖120天完成，乙队独挖40天完成。现在两队合挖8天，剩下的由丙队加入一起挖，又用12天挖完。这条水渠由丙队单独挖，多少天可以完成？
一件工作，甲、乙合做6天可以完成，乙、丙合做10天可以完成。如果甲、丙合做3天后，由乙单独做，还要9天才能完成。如果全部工作由3人合做，需几天可以完成？
一项工程，甲、乙两队合做30天完成，甲队单独做24天后，乙队加入，两队又合做了12天。这时甲队调走，乙队又继续做了15天才完成。甲队独做这项工程需要多少天？
答案：
练1
1÷【（ EQ \F(3,20) － EQ \F(1,12) ）÷（3－1）】＝30天
乙：1÷【（ EQ \F(13,24) － EQ \F(5,24) ×2）÷（3－2）】＝8天
甲：1÷（ EQ \F(13,24) － EQ \F(1,8) ）＝12天
乙：1÷【（1－ EQ \F(8,15) － EQ \F(1,20) ×8）÷（12－8）】＝60天
甲：1÷（ EQ \F(1,20) － EQ \F(1,60) ）＝30天
练2
乙队的工作效率：（ EQ \F(8,15) － EQ \F(1,15) ×5）÷4＝ EQ \F(1,20)
总共的天数：1÷（ EQ \F(1,15) + EQ \F(1,20) ×2）×2＝12天
1÷【（1－ EQ \F(1,8) ×6）÷3】＝12天
甲做的天数：1÷（ EQ \F(1,12) + EQ \F(1,18) ×3+ EQ \F(1,24) ×3×2）＝2天
总共的天数：2+2×3+2×3×2＝20天
练3
师傅每小时做这批零件的（ EQ \F(3,5) － EQ \F(1,12) ×6）÷（8－6）＝ EQ \F(1,20)
这批零件共有10÷【 EQ \F(1,20) －（ EQ \F(1,12) － EQ \F(1,20) ）】＝600个
甲队每天修这条公路的（1－ EQ \F(3,10) － EQ \F(1,6) ×3）÷（5－3）＝ EQ \F(1,10)
这条公路全长多少米 20÷【 EQ \F(1,10) －（ EQ \F(1,6) － EQ \F(1,10) ）】＝600米
甲、乙两队工作效率的比是： EQ \F(1,40) ： EQ \F(1,24) ＝3：5
这段公路的全长 750÷（ EQ \F(1,2) － EQ \F(3,3+5) ）＝6000米
或 750×2÷（5－3）×（5+3）＝6000 米
练4
甲队的工作效率（ EQ \F(13,18) － EQ \F(1,4) ×2）÷（4－2）＝ EQ \F(1,9)
丙队的工作效率（ EQ \F(11,18) － EQ \F(1,4) ×2）÷（4－2）＝ EQ \F(1,18)
甲、丙合做需要的时间1÷（ EQ \F(1,9) + EQ \F(1,18) ）＝6小时
2、 乙队每天能做全工程的【1－（ EQ \F(1,6) ×3－ EQ \F(1,10) ×3）】÷（6－3）＝ EQ \F(1,15)
乙队独做这项工程需要的时间1÷ EQ \F(1,15) ＝15天
乙队每天能做全工程的【1－（ EQ \F(1,10) ×4－ EQ \F(1,8) ×4）】÷（5 EQ \F(1,2) －4）＝ EQ \F(1,15)
乙队单独做这项工程需要的时间1÷ EQ \F(1,15) ＝15天
乙队的工作效率【1－（ EQ \F(1,4) ×2+ EQ \F(1,5) ×2）】÷（6－2－2）＝ EQ \F(1,20)
乙独做这件工作需要的时间1÷ EQ \F(1,20) ＝20小时
练5
乙每小时做这件工程的（1－ EQ \F(1,12) ×4）÷（6+4）＝ EQ \F(1,15)
甲、乙合做完成需要的时间1÷（ EQ \F(1,12) + EQ \F(1,15) ）＝6 EQ \F(2,3) 小时
2、 甲、乙两队完成的工作量（ EQ \F(1,120) + EQ \F(1,40) ）×（8+2）＝ EQ \F(2,3)
丙队单独挖需要的时间1÷【（1－ EQ \F(2,3) ）÷12】＝36天
乙的工作效率【1－（ EQ \F(1,6) ×3+ EQ \F(1,10) ×3）】÷（9－3－3）＝ EQ \F(1,15)
丙的工作效率 EQ \F(1,10) － EQ \F(1,15) ＝ EQ \F(1,30)
三人合做需要的时间1÷（ EQ \F(1,6) + EQ \F(1,10) ）＝5天
甲队的工作效率【1－ EQ \F(1,30) ×（12+15）】÷（24－15）＝ EQ \F(1,90)
甲队单独做需要的时间1÷ EQ \F(1,90) ＝90天