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高考数学一轮复习第三章第二节第2课时导数与函数的极值、最值学案
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这是一份高考数学一轮复习第三章第二节第2课时导数与函数的极值、最值学案,共17页。
知识点一 函数的极值与导数
1.判断下列说法的正误,正确的画“√”,错误的画“×”.
(1)函数在某区间上或定义域内的极大值是唯一的.( × )
(2)对可导函数f (x),f ′(x0)=0是x0为极值点的充要条件.( × )
(3)函数的极大值一定是函数的最大值.( × )
2.如图是函数y=f (x)的导函数的图象,则f (x)的极小值点的个数为( A )
A.1B.2
C.3D.4
3.(教材改编题)函数f (x)=lnxx的极大值为( B )
A.-eB.1e
C.1D.0
核心回扣
函数的极值
4.已知函数f (x)=x(x-c)2在x=2处有极小值,则c的值为( )
A.2B.4
C.6D.2或6
A 解析:f ′(x)=(x-c)2+2x(x-c)=(x-c)·(3x-c),
由题知f ′(2)=(2-c)(6-c)=0,所以c=2或c=6.
若c=2,则f ′(x)=(x-2)(3x-2),
当x∈-∞,23时,f ′(x)> 0,f (x)单调递增;当x∈23,2时,f ′(x)0,f (x)单调递增,函数f (x)在x=2处有极小值,满足题意.
若c=6,则f ′(x)=(x-6)(3x-6),当x∈(-∞,2)时,f ′(x)>0,f (x)单调递增;当x∈(2,6)时,f ′(x)0,f (x)单调递增,函数f (x)在x=2处有极大值,不符合题意.
综上,c=2.
注意点:
(1)极值点不是点,若函数f (x)在x1处取得极大值,则x1为极大值点,极大值为f (x1);在x2处取得极小值,则x2为极小值点,极小值为f (x2).极大值与极小值之间无确定的大小关系.
(2)极值一定在区间内部取得,有极值的函数一定不是单调函数.
(3)f ′(x0)=0是x0为f (x)的极值点的必要不充分条件.例如,f (x)=x3,f ′(0)=0,但0不是f (x)的极值点.
自查自测
知识点二 函数的最值与导数
1.判断下列说法的正误,正确的画“√”,错误的画“×”.
(1)开区间上的单调连续函数无最值.( √ )
(2)若函数f (x)在[a,b]上是单调函数,则f (x)一定在区间端点处取得最值.( √ )
(3)函数的最大值一定是极大值,函数的最小值也一定是极小值.( × )
2.函数f (x)=32x2-27ln x在区间[1,2]上的最大值是( )
A.0B.12
C.1D.32
D 解析:由题可得f (x)的定义域为(0,+∞),f ′(x)=3x-27x=3x+3x-3x.令f ′(x)>0,解得x>3;令f ′(x)0,解得x1;令y′0,f '30,1-6+a-12
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