中考数学一轮复习满分突破(全国通用)【题型方法解密】专题28定弦定角专题特训(原卷版+解析)

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如图，已知AB为定线段，P为动点，且∠APB=α，则A、B、P三点必共圆，或称为点P一定在以AB为弦的某一个圆上，且这个圆是固定的，圆心在线段AB的垂直平分线上，动点P的运动轨迹为关于线段AB对称的圆弧上（①∠APB90°，在线段AB对称的劣弧上运动），但不包括A、B两点。
定弦定角问题常应用于求线段的“最值”，问题的关键就在于找到运动过程中必存在的定线段，及这条线段关于某一动点的张角为定值，由张角的变化，去寻找这三点所构成的定圆。
【练习】如图，已知AB=2，点C为动点，且∠ACB=30°、45°、60°，画点C的运动轨迹，求△ABC外接圆半径。
【提问】在△ABP中, ∠P=α,AB=2x.
1）求△ABP中AB边所对的高的最值。
2）求△ABP面积的最值。
【提示】这个模型就是我们所谓的定角定弦模型,也就是在一个三角形中一个角和它的对边保持不变,在AB边固定的同时,虽然∠P的大小不变,但顶点P的位置可以发生变化P,由于同弧所对的圆周角不变,故顶点P可以在△ABP的外接圆的BC这段弦所对的圆弧上运动（不包括B,C两点）。当高线PD过圆心时有最大的高,即h≤OP1+OD.
思路：
作△ABP的外接圆圆O
∵∠AP1B=α ∴∠AOB=2α 而△AOD≌△BOD ∴∠AOD=∠BOD=α AD=BD=x
在Rt△AOD中，AO=ADsinα=xsinα DO=AOcsα=xcsαsinα 又∵AO=OP1
PC≤P1D=OP1+OD=xsinα+xcsαsinα=xsinα(1+csα) （当P与P1重合时等号成立）
S△ABP=12•PC•AB≤12•P1D•AB=12•xsinα(1+csα) •2x=x2sinα(1+csα)
【培优过关练】
1．（2023秋·江苏常州·九年级统考期末）如图，同一个圆中的两条弦AB、CD相交于点E．若∠AEC=120°，AC=4，则AD与BC长度之和的最小值为（ ）
A．B．2πC．43πD．23π
2．（2021·全国·九年级专题练习）如图，点D在半圆O上，半径OB=5，AD=4，点C在弧BD上移动，连接AC，作DH⊥AC，垂足为，连接BH，点C在移动的过程中，BH的最小值是______．
3．（2021秋·四川成都·九年级成都嘉祥外国语学校校考阶段练习）如图，在△ABC中，AC=6，BC=83，∠ACB=60°，过点A作BC的平行线l，P为直线l上一动点，⊙O为的外接圆，直线BP交⊙O于E点，则AE的最小值为__________．
4．（2023·江苏连云港·统考一模）如图，已知△ABC为等边三角形，AB=6，将边AB绕点A顺时针旋转a0°