2024-2025学年北京市顺义区牛栏山第一中学高三上学期月考数学试题（含答案）

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这是一份2024-2025学年北京市顺义区牛栏山第一中学高三上学期月考数学试题（含答案），共10页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A=x|x−2≤0，B=x|y= x，则集合A∩B=( )
A. 0,2B. 0,2C. −∞,2D. 2,+∞
2.下列函数中，既是奇函数又在区间0,+∞上单调递增的是( )
A. y=1xB. y=−e−xC. y=lg2xD. y=x−1x
3.下列命题为真命题的是( )
A. 若a>b，则1a<1bB. 若ac2>bc2，则a>b
C. 若ba<1，则bb，则a+c>b−c
4.若a∈0,1，则下列结论正确的是( )
A. a−1>a−2B. lga35.已知a∈R，则“a≥1”是“a+1a≥2”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
6.已知函数fx=lg2x−x+1，则不等式fx<0的解集是( )
A. 0,1B. 0,1∪1,+∞
C. −∞,1∪2,+∞D. 0,1∪2,+∞
7.已知x3−y3<2−x−2−y，则下列结论中正确的是( )
A. lnyx>0B. lny−x+1>0
C. lny+x>0D. lny−x>0
8.血氧饱和度是呼吸循环的重要生理参数.人体的血氧饱和度正常范围是95%∼100%，当血氧饱和度低于90%时，需要吸氧治疗，在环境模拟实验室的某段时间内，可以用指数模型：St=S0eKt描述血氧饱和度St随给氧时间t(单位：时)的变化规律，其中S0为初始血氧饱和度，K为参数.已知S0=60%，给氧1小时后，血氧饱和度为80%.若使得血氧饱和度达到90%，则至少还需要给氧时间(单位：时)为( )(精确到0.1，参考数据：ln2≈0.69,ln3≈1.10)
A. 0.3B. 0.5C. 0.7D. 1.5
9.已知函数fx= x−2+a,x≥2ax−2,x<2(a>0且a≠1)，若存在实数a使得函数y=fx−a有三个零点，则实数a的取值范围是( )
A. 01C. 1210.已知函数fx的定义域为R，定义集合M=x0∈R|x∈−∞,x0,fx>fx0，在使得M=−1,1的所有fx中，下列成立的是( )
A. 存在fx，使得fx是偶函数
B. 存在fx，使得fx在R上单调递减
C. 存在fx，使得fx在x=−1处取极大值
D. 存在fx，使得fx的最小值是f2
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.函数f(x)=ln1x−2+ 4x−x2的定义域为．
12.已知x>0，y>0，且xy=1，则1x+4y的最小值为．
13.设fx是定义在R上的奇函数，当x∈0,+∞时，fx=lg0.5x+1，若f2m−1+f3>0，则m的取值范围是．
14.已知函数fx=ax3−2x2+1在区间0,1上存在增区间，则a的取值范围是．
15.已知函数fx=x2−2x,x>alg2x+1,x≤a，给出下列四个结论：
①对任意实数a，函数fx总存在零点；
②存在实数a，使得函数fx恒大于0；
③对任意实数a，函数fx一定存在最小值；
④存在实数a，使得函数fx在−∞,a上始终单调递减．
其中所有正确结论的序号是．
三、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题12分)
已知p:x∈A，且A=x|a−1(1)是否存在实数a，使得A∩B=⌀，A∪B=R，若存在求出实数a的值，若不存在，说明理由；
(2)若p是q的充分条件，求实数a的取值范围．
17.(本小题12分)
对下列式子求值：
(1)2723×31−lg32× 3+10÷1681−34
(2)lg216+lg535−lg514−lg5150
18.(本小题12分)
《中华人民共和国乡村振兴促进法》中指出：全面实施乡村振兴战略，开展促进乡村产业振兴、人才振兴、文化振兴、生态振兴、组织振兴，推进城乡融合发展，为深入践行习近平总书记提出“绿水青山就是金山银山”的理念，围绕产业发展生态化，生态建设产业化”思路，某乡镇为全力打造成“生态特色小镇”，调研发现：某种农作物的单株产量t(单位：kg)与肥料费用x(单位：元)满足如下关系：tx=15x2+40,0≤x≤318−1445x,3(1)求fx的函数关系式；
(2)当投入的肥料费用为多少元时，该农作物单株获得的利润最大？最大利润是多少元？
19.(本小题12分)
已知函数fx=x3−ax2+2．
(1)求曲线y=fx在点0,f0处的切线方程；
(2)讨论函数fx的单调性；
(3)若a>0，设函数gx=fx，gx在0,1上的最大值为2，求a的取值范围．
20.(本小题12分)
已知函数fx=x+1ex．
(1)求函数fx的极值；
(2)若不等式exfx+alnx≥1恒成立，求实数a的取值范围；
(3)已知直线l是曲线y=fx在点t,ft处的切线，求证：当t>1时，直线l与曲线y=fx相交于点s,fs，其中s21.(本小题12分)
给定正整数nn≥3，集合Un=1,2,⋯,n.若存在集合A，B，C，同时满足下列三个条件：
①Un=A∪B∪C，A∩B=B∩C=A∩C=⌀；
②集合A中的元素都为奇数，集合B中的元素都为偶数，所有能被3整除的数都在集合C中(集合C中还可以包含其它数)；
③集合A，B，C中各元素之和分别为SA，SB，SC，有SA=SB=SC；
则称集合Un为可分集合．
(1)已知Un为可分集合，写出相应的一组满足条件的集合A，B，C；
(2)当n=2025时，Un是不是可分集合？判断并说明理由；
(3)已知n为偶数，求证：“n+412是整数”是“Un为可分集合”的必要不充分条件．
参考答案
1.A
2.D
3.B
4.C
5.A
6.D
7.B
8.B
9.A
10.D
11.(2,4]
12.4
13.(−∞,−1)
14.43,+∞
15.①④
16.(1)解不等式x2−4x+3≥0，得x≥3或x≤1，
故B=x|x≥3或x≤1
假设存在a，使得A∩B=⌀，A∪B=R，
则有a+1=3且a−1=1，
解得a=2，
所以，当a=2时满足题意；
(2)若p是q的充分条件，则A⊆B，
则a+1≤1，或a−1≥3
解得a≤0，或a≥4，
所以a的取值范围为−∞,0∪4,+∞．

17.(1)原式=3323×313lg32×1÷23−3=32×32×1×827=4．
(2)原式=4+lg53514×50=4+lg553=4+3=7．

18.(1)解：由题意可得，fx=5tx−x−3x
fx=x2+40−4x,0≤x≤390−144x−4x,3≤x≤10
所以函数fx的关系式为fx=x2−4x+40,0≤x≤390−144x−4x,3≤x≤10
(2)当0≤x≤3时，fx=x2−4x+40的图象为开口向上的抛物线，
对称轴为x=−−42×1=2，
所以当x=0时，fxmax=f0=02−4×0+40=40；
当3当且仅当36x=x，即x=6时等号成立，此时fxmax=42．
综上：当投入的肥料费用为6元时，该农作物单株获得的利润最大，为42元．

19.(1)∵fx=x3−ax2+2，∴f′x=3x2−2ax，
k切=f′0=0，又f0=2，
故曲线y=f(x)在点0,f0处的切线方程为y=2；
(2)函数的定义域为R，f′x=3x2−2ax=x3x−2a
令f′x=0，解得x1=0，x2=2a3
①当a=0时，f′x=3x2≥0，fx在R上单调递增，(或单增区间为−∞,+∞)；
②当a>0时，由f’(x)>0可得，x>23a，或x<0，由f’(x)<0可得，0此时，fx单调递增区间为−∞,0，23a,+∞；单调递减区间是0,23a．
③当a<0时，由f’(x)>0可得，x>0，或x<23a，由f’(x)<0可得，23a此时fx单调递增区间为−∞,23a，(0,+∞)；单调递减区间是(2a3,0)．
综上可得：当a=0时，f′x=6x2≥0，fx在R上单调递增；
当a>0时，fx单调递增区间为−∞,0，23a,+∞；单调递减区间是0,23a；
当a<0时，fx单调递增区间为−∞,23a，(0,+∞)；单调递减区间是(2a3,0)
(3)由(2)可知：若a>0，fx单调递增区间为−∞,0，23a,+∞；单调递减区间是0,23a．
①当2a3≥1时，即a≥32，此时fx在[−1,0]上单调递增，在[0,1]上单调递减，
因gx=fx，则gxmax=maxf0,f1=2,3−a，
因gx在[0,1]上的最大值为2，则有3−a≤2，解得1≤a≤5，故有32≤a≤5；
②当2a3<1时，即0因gx=fx，则gxmax=maxf0,f(2a3),f1，
因f0=2，f2a3=2−4a327，f1=3−a，
∵00，f1=3−a>0，且f1>f2a3，
则只需使，3−a≤2，解得a≥1，故有1≤a<32．
综上可得，a的取值范围是[1,5]．

20.(1)由题意可知：fx的定义域为R，且f′x=−xex，
令f′x=0时，x=0，
则x，f’(x)，fx的关系为
所以，当x=0时，fx取到极大值为1，没有极小值．
(2)若exfx+alnx≥1，即x+alnx≥0恒成立，
设gx=x+alnx,x>0，则g′x=1+ax=x+ax，
①当a=0时，则gx=x>0恒成立，符合题意；
②当a>0时，则g′x≥0，可知gx在(0,+∞)上单调递增，
因为ge−1a=e−1a−1<0，所以x+alnx≥0不恒成立；
③当a<0时，x，g′x，gx的关系为
可知gx的最小值为gxmin=−a+aln−a，则−a+aln−a≥0，
因为a<0，则1−ln−a≥0，解得−e≤a<0；
综上所述：实数a的取值范围是−e,0．
(3)因为fx=x+1ex，f′x=−xex，则ft=t+1et，k=−tet
即切点坐标为t,t+1et，切线l斜率为k=−tet，
可得l的方程为y−t+1et=−tetx−t，即y=−tetx+t2+t+1et，
联立方程y=−tetx+t2+t+1ety=x+1ex，可得x+1ex+txet−t2+t+1et=0，
由题可知：当t>1时，方程x+1ex+txet−t2+t+1et=0有小于t的解，
设ℎx=x+1ex+txet−t2+t+1et，其中x1且ℎt=0，则ℎ′x=−xex+tet，
设Fx=ℎ′x，则F′x=x−1ex，
因为t>1，x，F′x，F(x)的关系为
可知F(x)的最小值Fxmin=F10，
可知∃x0∈−1,1，使Fx0=0，
当x∈−∞,x0时，Fx>0，即ℎ’(x)>0；
当x∈x0,t时，Fx<0，即ℎ’(x)<0；
可知ℎ(x)在−∞,x0内单调递增；在x0,t内单调递减，
可知ℎ(x)的最大值ℎxmax=ℎ′x0>ℎt=0，且ℎ−1=−t+12et<0，
可知ℎ(x)存在小于t的零点，
所以当t>1时，直线l与曲线y=f(x)相交于点s,fs，其中s
21.(1)解：依照题意，取n=8时，
1+2+3+⋯+8=36，
又SA=SB=SC，A∩B=B∩C=A∩C=⌀，
则SA=SB=SC=12，
所以可以取A=5,7，B=4,8，C=1,2,3,6；
(2)解：当n=2025时，Un不是可分集合，理由如下：
方法一：
假设存在n是3的倍数且Un是可分集合，设n=3k，则依照题意3,6,⋯,3k⊆C，
故SC≥3+6+⋯+3k=3k2+3k2，
而这n个数的和为n1+n2，
故SC=13⋅n1+n2=3k2+k2<3k2+3k2，矛盾，
所以n是3的倍数时，Un一定不是可分集合；
方法二：
注意到所有元素和为n1+n2，又SB中元素是偶数，
所以n1+n2=3SB=6m(m为正整数)，
所以n1+n=12m，即nn+1是12的倍数．
容易验证，当n=2025时，nn+1不是12的倍数，矛盾！
所以当n=2025时，Un不是可分集合；
(3)证明：因为所有元素和为n1+n2，又SB中元素是偶数，
所以n1+n2=3SB=6m(m为正整数)，
所以n1+n=12m，因为n，n+1为连续整数，
故这两个数一个为奇数，另一个为偶数，
由(2)知道，n不是3的倍数，所以一定有n+1是3的倍数．
当n为偶数时，n+1为奇数，而n1+n=12m，
所以一定有n+1是3的倍数，n是4的倍数，
所以n+4既是3的倍数又是4的倍数，
从而Un可分的一个必要条件是：n+4是12的倍数．
从而“n+412是整数”是“Un为可分集合”必要条件．
另一方面，当n=20时，U20不是可分集合，从而“n+412是整数”不是“Un为可分集合”充分条件
(可以验证：当n=20，56，92时，Un不可分，其余满足n+412是正整数情形，Un都可分)
综上可知，“n+412是整数”是“Un为可分集合”的必要不充分条件．
x
−∞,0
0
(0,+∞)
f’(x)
+
0
−
fx
单调递增
极大值
单调递减
x
0,−a
−a
−a,+∞
g′x
−
0
+
gx
单调递减
极小值
单调递增
x
−∞,1
1
1,t
F′x
−
0
+
F(x)
单调递减
−1e+tet，
单调递增

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