六年级奥数典型题——冲刺100测评卷12《最大和最小》

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试卷满分：100分 考试时间：100分钟；
姓名：___________班级：___________得分：___________
一．选择题（共9小题，满分27分，每小题3分）
1．（3分）A、B、C都是自然数，A×B×C＝2160，A+B+C的最小可能值为（ ）
A．48B．32C．39D．28
【分析】可先将2160分解质因数，2160＝2×2×2×2×3×3×3×5，要使A+B+C的和最小，那么A、B、C之间的差最小，据此组合因数即可．
【解答】解：2160＝2×2×2×2×3×3×3×5
要使A+B+C的和最小，那么A、B、C之间的差最小，
所以，2160＝12×12×15
12+12+15＝39
所以，A+B+C的最小值为39．
故选：C．
2．（3分）桌上有1～20的20张卡片，小明每次取出2张卡片，要求一张卡片的编号是另一张卡片的2倍多2，则小明最多取出（ ）张卡片．
A．12B．14C．16D．18
【分析】因为每次取出2张卡片，要求一张卡片的编号是另一张卡片的2倍多2，也就是取出的卡号数字大的不能超过20，那么设另一张卡号是x，则2x+2≤20，且x≥1，据此解答即可．
【解答】解：设另一张卡号是x，则：
2x+2≤20
2x+1﹣2≤20﹣2
2x≤18
2x÷2≤18÷2
x≤9
又因为x≥1
9×2＝18（张）
∵4、6、8即可以做为一倍量的数，也可以作为2倍量多2的数，
∴即总共可以取出：18﹣3×2＝12张；
答：小明最多可以取出12张卡片．
故选：A．
3．（3分）有n个自然数（数可以重复）其中包括2012，不包括0，这n个自然数的平均数是572．如果去掉2012后，剩下n﹣1个数的平均数为412，那么这n个数中最大的数可以是（ ）
A．2012B．4024C．3700D．3800
【分析】n个自然数的和是572n，（n﹣1）个数的和是412×（n﹣1），它们的差是572n﹣412×（n﹣1）＝2012，这样可以求出n的大小，然后分析n个数中最大的数是多少．
【解答】解：
572n﹣412×（n﹣1）＝2012
160n＝1600
n＝10
572×10＝5720
5720﹣2012﹣8＝3700
故选：C．
4．（3分）有四个连续整数的乘积为9□□□4（□中数字不知道），这四个数中的最大数是（ ）
A．17B．18C．19D．20
【分析】这四个连续整数的末尾数共有10种选择，因为四个连续整数的乘积的末位数字4，所以这4个数的末位数字中不能有0或5，它们的末位数字只能有8种选择，分别是1、2、3、4和6、7、8、9，这两组的末位数字的乘积是4，即11×12×13×14＝2404，1×17×18×19＝9304，据此解答即可．
【解答】解：因为四个连续整数的乘积的末位数字4，
所以这4个数的末位数字中不能有0或5，
它们的末位数字只能有8种选择，分别是1、2、3、4和6、7、8、9，
这两组的末位数字的乘积是4，
即，11×12×13×14＝2404，1×17×18×19＝9304，
所以，这这四个数中的最大数是19．
故选：C．
5．（3分）如图，平面上有25个点，每个点上都钉着钉子，形成5×5的正方形钉阵．现有足够多的橡皮筋，最多能套出（ ）种面积不同的正方形．
A．4B．6C．8D．10
【分析】本题考察图形计数．
【解答】解：①正方形的边长为整数的有4种，分别边长为1、2、3、4；
②正方形倾斜45°放置的有两种，分别边长为、；
③正方形斜着放的还有两种，分别边长为、，
共有4+2+2＝8（种）．
6．（3分）若一个整数中某个数字等于其他所有数字之和，则称这样的整数位“S数”（如871，8＝7+1）．那么最大的四位“S数”与最小的四位“S数”的差是（ ）
A．8899B．7789C．6689D．5589
【分析】四位数最高位是9，后面三个数字和是9，因此这个最大的四位数是9900，四位数最高位最小是1，这个四位数最小是1001．
【解答】解：
符合条件最大的四位数是9900，最小是1001，所以9900﹣1001＝8899
故选：A．
7．（3分）已知5个不同的奇自然数的和为85，则则五个数中最大数M的取值范围是（ ）
A．23≤M≤67B．19≤M≤67C．21≤M≤69D．17≤M≤69
【分析】已知5个不同的奇自然数的和为85，要求其中最大数M的取值范围，则先求M最大值：要使M最大应使其他四个奇自然数尽量小，则其它四个可取值，1、3、5、7，则M最大为：85﹣1﹣3﹣5﹣7＝69．同理，要使M最小，则应使其它四数尽量大，85÷5＝17，则其它四数最大为13、15、17、19，则M为21．
【解答】解：M最大为：85﹣1﹣3﹣5﹣7＝69．
85÷5＝17，则其它四数最大为13、15、17、19，则M最小为21．
即最大数M的取值范围是：21≤M≤69．
故选：C．
8．（3分）从l～9中选出6个不同的数填在算式：□÷□×（□+□）×（□﹣□），使结果最大．那么这个结果是（ ）
A．190B．728C．702D．890
【分析】可设这个算式为：a÷b×（c+d）×（e﹣f），根据乘法的意义可知，要使积尽量大，应使乘法算式中的因数尽量大，由此算式可分解成三个因数，a÷b，c+d，e﹣f，要使这三个因数的值最大，根据除法及减法的意义可知，b＝1，f＝2，则acde应尽量大，可为9，8，7，6．又根据乘法的意义可知，要使积最大，应使这三个因数的值尽量接近，据此可得要使结果最大，此算式为：9÷1×（7+6）×（8﹣2）．
【解答】解：可设这个算式为：a÷b×（c+d）×（e﹣f），
此算式可分解成三个因数，a÷b，c+d，e﹣f，
a÷b，c+d，e﹣f，要使这三个因数的值最大，根据除法及减法的意义可知，b＝1，f＝2，则a、c、d、e应尽量大，可为9，8，7，6．
则使结果最大，此算式为：
8÷1×（7+6）×（9﹣2）
＝8×13×7，
＝728．
故选：B．
9．（3分）长方形的两纸条，宽1厘米，长10厘米，迭在一起，用一尖针穿过中心固定（见下图的黑点）．把纸条能绕着尖针旋转，那么重迭部份的面积之最小值和最大值分别是（ ）
A．1平方厘米，9平方厘米B．2平方厘米，8平方厘米
C．3平方厘米，10平方厘米D．1平方厘米，10平方厘米
【分析】把重叠部分看作四个大小一样的三角形，由于底随着纸条的转动会变大变小，
所以两纸条垂直时面积最小，重合时面积最大，当垂直时是一个边长为1厘米的正方形，重合时就是一个长方形纸条的面积；据此解答．
【解答】解：最小：1×1＝1（平方厘米）；
最大：1×10＝10（平方厘米）；
答：重迭部份的面积之最小值和最大值分别是1平方厘米，10平方厘米．
故选：D．
二．填空题（共8小题，满分32分，每小题4分）
10．（4分）有10箱桔子，最少的一箱装了50个，如果每两箱中放的桔子都不一样多，那么这10只箱子一共至少装了 545 个桔子．
【分析】因为有10箱桔子，最少的一箱装了50个，如果每两箱中放的桔子都不一样多，所以这10只箱子装桔子的个数至少分别是50、51、52、53、54…59个，由此用加法列式解答即可．
【解答】解：因为每两箱中放的桔子都不一样多，所以这10只箱子一共至少装桔子的个数为：
50+51+52+…+59＝545（个）；
故答案为：545．
11．（4分）在2017个自然数中至少有一个两位数，而且其中任意两个数至少有一个三位数，则这2017个数中有 2016 个三位数．
【分析】按题意，2017个自然数中至少有一个两位数，而任意两个数至少有一个三位数，则可知，两位数的个数不能大于2，若有2个或2个以上的两位数，则取出的两个有可能都是两位数，与题意不符，故只能有1个两位数，不难求得三位数的个数．
【解答】解：根据分析，2017个自然数中至少有一个两位数，而任意两个数至少有一个三位数，
则可知，两位数的个数不能大于2，若有2个或2个以上的两位数，
则取出的两个有可能都是两位数，与题意不符，故只能有1个两位数，
而三位数的个数即为：2017﹣1＝2016个．
故答案是：2016．
12．（4分）有3厘米，7厘米，11厘米的小棒各两根，选其中的三根围成三角形，它的周长最短是 17 厘米．
【分析】根据三角形的性质可知：任意两边之和要大于第三边，两边之差小于第三边；据此可确定这个三角形的三条边的长度应是3厘米，7厘米和7厘米，据此可求出组成三角形的周长．
【解答】解：3+3＝6（厘米）
因6厘米＜7厘米，所以组成这个三角形的三条边是3厘米、7厘米和7厘米．
3+7+7＝17（厘米）
答：它的周长最短是 17厘米．
故答案为：17．
13．（4分）两个质数的和是70，则这两个质数的乘积的最大值是 1189 ．
【分析】70以内的质数有 2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67；当两个质数越接近，它们的乘积越大；据此解答即可．
【解答】解：两个质数的和是70，即和一定，这两个质数比较接近的是29和41，
所以这两个质数的乘积的最大值是：29×41＝1189；
故答案为：1189．
14．（4分）一架飞机所带的燃料，最多可以用6小时，飞机去时顺风，每小时可以飞1500千米，飞回时逆风，每小时可以飞1200千米．这架飞机最多飞出 4000 千米就需要往回飞．
【分析】飞出和飞回的路程是一样的，飞行的路程一样，那么飞行速度就和飞行时间成反比例，然后把飞去与飞回的时间之和6小时按比例分配就可求出飞出和飞回的时间各是多少，进而求出飞行的路程．
【解答】解：飞出和飞回的速度比是1500：1200＝5：4
那么飞出和飞回的时间比是4：5
飞出的时间：6×
＝6×
＝（小时）
飞出的路程：1500×＝4000（千米）
答：这架飞机最多飞出4000千米，就需往回飞．
故答案为：4000．
15．（4分）光明小学三年级的同学要从甲、乙、丙三名候选人中选举一人当班长．一共有60人参与投票．截止目前，甲获得20票，乙获得15票，丙获得9票．如果甲要确保获胜，至少需要再获得 6 票．
【分析】甲要确保获胜，需在丙不再获得选票且剩余选票投完时比乙多一票，用总票数减丙获得票数的差除以2，即可求出甲若想获胜至少获得的选票数，此题得解．
【解答】解：（60﹣9）÷2＝25（张）…1（张），
∴甲要确保获胜，最少需要获得25+1＝26票，
∴甲要确保获胜，至少需要再获得6票．
故答案为：6．
16．（4分）已知A、B均为三位数，A的各位数字和为4，B的各位数字和为23，且A、B的和的各位数字之和为9．那么A、B的和的最大值为 1305 ．
【分析】A的各位数字和为4，B的各位数字和为23，当A、B的和的各位数字之和为9时，数字和减少了23+4﹣9＝18，所以连续进位了18÷9＝2（次）；要使A最大，那么A＝400，与B不能连续进位2次，所以A最大等于310；同理要使B最大，前两位最大是99，那么个位为23﹣9﹣9＝5，且正好满足连续进位2次，据此进一步解答即可．
【解答】解：（23+4﹣9）÷9＝2（次）
要使A最大，那么A＝400，与B不能连续进位2次，所以A最大等于310；
同理要使B最大，前两位最大是99，那么个位为23﹣9﹣9＝5，即B最大是995；
所以A、B的和的最大值为：310+995＝1305；
故答案为：1305．
17．（4分）两只兔子种了1行萝卜，有一天它们去拔萝卜，小白的想法是先拔出某一根，然后朝两边每隔6根拔一根，直到不能再拔；小灰的想法是先拔出某一根，然后朝两边每隔8根拔一根，也直到不能再拔，如果它们可能得到的萝卜数量是一样的，那么这行萝卜最多有 55 根．
【分析】极端思考，两人拔萝卜的数量是一样的，那么这行萝卜拔出某一根后，每边的萝卜应该除以（6+1）和除以（8+1）的商相同．据此可解．
【解答】解：设每只兔子拔萝卜的数量为n，按小白的说法，萝卜总数应该在7n+6与7n﹣6之间；
按小灰的说法，萝卜总数应该在9n+8与9n﹣8之间，
如果想让萝卜数尽量多，n应尽量大，那么取7n+6＝9n﹣8，
解得n＝7，萝卜数是7×7+6＝55 （根）．
答：这行萝卜最多有55根．
三．解答题（共9小题，满分41分）
18．（4分）有一种四位数，这种四位数能被7整除，把它前后分成两部分，前两位数可以被3整除，后两位可以被5整除．这种四位数最小的是 1225 ．
【分析】此题根据能被3整除的数的特征，先推出最小两位数（即前两位数），再推出被5整除的数的特征，结合“最小”这一条件，推出后两位数，解决问题．
【解答】（1）能被3整除的最小两位数是12，
（2）接下来考虑后两位，如果末位是0，那么十位是6；如果末位是5，那么十位是2
（3）其中最小的四位数是1225．
故答案为：1225．
19．（4分）动物商店规定：每5瓶本店的空啤酒瓶可以换1瓶啤酒．小猴买了40瓶啤酒，它一共可以喝到多少瓶啤酒？
【分析】每5瓶本店的空啤酒瓶可以换1瓶啤酒，相当于每5﹣1＝4瓶就多喝1瓶，所以多喝40÷4＝10瓶，然后再加上40即可．
【解答】解：40÷（5﹣1）+40
＝10+40
＝50（瓶）
答：它一共可以喝到50瓶啤酒．
20．（4分）在下面的一排数字之间添上五个加号，组成一个连加算式，求这个连加算式的结果的最小值．
1 2 3 4 5 6 7 8 9
【分析】要使这个连加算式的结果的最小值，就要使每个加数尽量小，9个数添上五个加号，尽量保留2位数，不可保留三位数，较大数字成为1位数，据此凑数即可．
【解答】解：12+34+56+7+8+9＝126
21．（4分）将99分拆成19个质数之和，要求最大的质数尽可能大，那么这个最大质数是 61 ．
【分析】要使其中一个质数尽可能大，那么其他质数就尽可能小．最小的质数是2，因此最大的质数不可能超过99﹣2×18＝63，因为63不是质数，那就找小于63的质数．
【解答】解：
99﹣2×18＝63
最大的质数小于63，小于63的数中最大的质数是61
因此99分成16个2、2个3和61的和．
故填61
22．（5分）8位同学按身高由低到高排队，每两个相邻的同学身高相差2厘米，且最高同学的身高与最矮同学的身高之和是234厘米．这8位同学中最高的同学身高是多少？
【分析】每两个相邻的同学身高相差2厘米，那么8位同学按身高由低到高构成了一个等差数列，那么最高同学的身高比最矮同学的身高多2×（8﹣1）＝14厘米，又因为最高同学的身高与最矮同学的身高之和是234厘米，然后根据和差公式解答即可．
【解答】解：2×（8﹣1）＝14（厘米）
（234+14）÷2＝124（厘米）
答：这8位同学中最高的同学身高是124厘米．
23．（5分）把1、2、3、4…9这九个数字填入下面算式的九个方框中（每个数字只用一次），使三个三位数相乘的积最大．□□□×□□□×□□□．
【分析】要是乘积最大，就要使这三个数的高位上的数字尽可能地大，因此三个数的百位数字分别为9、8、7．同时每个数的后两位要用大数和百位的大数乘，积才能最大，所以7后面要跟，8后面要跟5，后面只能跟4了，个位上的1，2，3 中，3要和最大的百数乘结结才能最大，1要和最小的百位乘才不影响总数最大化．解得763和852及941是最理想的数．
【解答】解：根据题意，可知积最大为：941×852×763．
故答案为：941，852，763．
24．（5分）给定一条长度为2017米的硬塑料管，请你按下列要求把它截断（两个要求同时满足）：
（1）每段长都是整数米；
（2）任意三段为边长都不能构成三角形；
请问：最多可以截成多少段？说出你的裁截思路与结果．
【分析】本题考察最大与最小．
【解答】解：由于任何三段为边长都不能构成三角形，即任何三段中，必有两段之和小于或等于第三段．
要使最长一段尽可能长，又要求分出尽可能多的段数，所以最小长度应该尽可能的小，最小为1，第二段仍然为1，第三段不能超过前两段之和，即为2；同理，以后每一段都取前两段之和．如此取得1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144、233、377；此时已经截取的总长度为986，若下一段继续取前两段之和610，则最后剩下2017﹣610﹣986＝421，这一段与233、377便构成一个三角形．为使得任何三段都不构成三角形，截取总长度为986之和后剩余的部分不能再分割，最后一段取2017﹣986＝1031．
应该裁成长度分别为1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144、233、377、1031的15段．
25．（5分）把一个两位质数写在另一个不同的两位质数右边，得到一个四位数，这个四位数能被这两个质数之和的一半整除．这样的两个质数乘积最大是多少？最小是多少？
【分析】根据题意，设出两个质数，再根据题中的数量关系，列出方程，再根据未知数的取值受限，解答即可．
【解答】解：设a，b是满足题意的质数，根据一个两位质数写在另一个两位质数后面，得到一个四位数，它能被这两个质数之和的一半整除
那么有100a+b＝k（a+b）÷2（ k为大于0的整数）
即（200﹣k）a＝（k﹣2）b
由于a，b均为质数，所以k﹣2可以整除a，200﹣k可以整除b
那么设k﹣2＝ma，200﹣k＝mb，（ m为整数）
得到m（a+b）＝198
由于a+b可以被2整除
所以m是99的约数
可能是1，3，9，11，33，99
若m＝1，a+b＝198且为两位数 显然只有99+99 这时a，b不是质数
若m＝3，a+b＝66 则 a＝13 b＝53
或a＝19 b＝47
或a＝23 b＝43
或a＝29 b＝37
若m＝9，a+b＝22 则a＝11 b＝11（舍去）
其他的m值都不存在满足的a，b
综上a，b实数对有（13，53）（19，47）（23，43）（29，37）共4对
13×53＝689，19×47＝893，23×43＝989，29×37＝1073
所以两个质数乘积最大是：1073
乘积最小是：689
答：这样的两个质数乘积最大是1073，最小是689．
26．（5分）小明将若干棋子放入如图3*3方格的小正方形内，每个小正方形内可以不放棋子，也可以放等于或多余 1 枚棋子，现在计算每一行，每一列的棋子总数，得到6个数，这6个数互不相同，那么最少需要放多少枚棋子．
【分析】要使放的棋子数最少，那么就要使6个数的和最少，尝试最小的和：0+1+2+3+4+5＝15，由于三行之和＝三列之和＝总和，15 不是偶数，所以，再增加1枚，是15+1＝16；则16÷2＝8，所以3行，和3列的棋子总数是8；经试验，如下图所示排放即可．
【解答】解：尝试最小的和：0+1+2+3+4+5＝15，
由于三行之和＝三列之和＝总和，15 不是偶数，
所以，16÷2＝8（枚），
经试验，如图所示正好符合题意：
答：最少需要放8枚棋子．