四川省内江市第六中学2023-2024学年高二下学期期末考试数学试卷

这是一份四川省内江市第六中学2023-2024学年高二下学期期末考试数学试卷，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知，，等于（ ）
A.B.MC.ND.
2.若集合，，则集合（ ）
A.B.
C.D.
3.函数的图象按向量平移后，得到函数的图象，则m的值可以为（ ）
A.B.C.D.
4.将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数之和是4的倍数但不是3的倍数的概率为（ ）
A.B.C.D.
5.如图为函数的图象，P，R，S为图象与x轴的三个交点，Q为函数图象在y轴右侧部分上的第一个最大值点，则的值为（ ）
A.B.C.D.
6.已知A、B是球O的球面上两点，，过作互相垂直的两个平面截球得到圆和圆，若，则球O的表面积为（ ）
A.B.C.D.
7.已知x，y满足约束条件，当目标函数在该约束条件下取到最小值时，的最小值为（ ）
A.5B.C.D.2
8.已知函数.若，则实数a的取值范围是（ ）
A.B.
C.D.
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.下列命题正确的是（ ）
A.一个棱柱至少有六个面
B.正棱锥的侧面是全等的等腰三角形
C.棱台的各侧棱延长后交于一点
D.圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线
10.中国清朝数学家李善兰在1859年翻译《代数学》中首次将“functin”译做：“函数”，沿用至今，为什么这么翻译，书中解释说“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”.1930年美国人给出了我们课本中所学的集合论的函数定义，已知集合，，给出下列四个对应法则，请由函数定义判断，其中能构成从M到N的函数的是（ ）
A.B.C.D.
11.已知是定义在区间上的奇函数，且，若，时，有.若对所有，恒成立，则实数m的取值范围可能是（ ）
A.B.C.D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若不等式的解集是，则______.
13.已知复数（其中i为虚数单位），则______.
14.设函数，其中，，若对任意的恒成立，有下述四个结论：
①；
②对任意的有成立；
③的单调减区间是，；
④存在经过点的直线与函数的图象不相交.
其中所有正确结论的编号为______.
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.（本小题12分）
随着社会经济的发展，物业管理这个行业发展迅猛，某小区居民代表组织居民对所属物业公司的服务进行问卷调查，随机选取了200户居民的问卷评分，并将评分按照，，，，分成5组，绘制成如图所示的频率分布直方图.
注：本次评分不低于80分的居民支持所属物业公司延续服务；成绩低于80分的居民支持更换新物业公司.
（1）求这200户居民本次问卷评分的中位数；
（2）若该小区共有居民1200户，试估计该小区居民支持所属物业公司延续服务的有多少户？
（3）按比例分配的分层随机抽样的方法从评分在，内的住户中选取5户，再从这5户中任意选取2户，求这2户中至少有1户支持所属物业公司延续服务的概率.
16.（本小题12分）
某食品的保鲜时间（单位：小时）与储存温度（单位：℃）满足函数关系（为自然对数的底数，k，b为常数）.若该食品在0℃的保鲜时间为192小时，在33℃的保鲜时间是24小时，
（1）求k的值；
（2）求该食品在22℃的保鲜时间.
17.（本小题12分）
为了减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙通常需要建造隔热层，某地正在建设一座购物中心，现在计划对其建筑物建造可使用40年的隔热层，已知每厘米厚的隔热层建造成本为8万元.该建筑物每年的能源消耗费用（单位：万元）与隔热层厚度（单位：cm）满足关系：.若不建隔热层，每年能源消耗费用为9万元.设S为隔热层建造费用与40年的能源消耗费用之和.
（1）求m的值及用x表示S；
（2）当隔热层的厚度为多少时，总费用S达到最小，并求最小值.
18.（本小题12分）
将A地区使用滴滴出行的10000名乘客的年龄情况统计如图所示.
（1）求这些乘客中年龄在的乘客人数；
（2）求这些乘客的平均年龄（同一组数据用该组区间的中间值代替）；
（3）现按照分层抽样的方法从这10000名乘客中年龄在，的乘客中随机抽取6人，再从这6人中抽取2人，求至少有1人年龄在上的概率.
19.（本小题12分）
如图，在海岸线一侧有一休闲游乐场，游乐场的前一部分边界为曲线段，该曲线段是函数，的图像，图像的最高点为.边界的中间部分为长1千米的直线段，且.游乐场的后一部分边界是以O为圆心的一段圆弧.
（1）求曲线段的函数表达式；
（2）曲线段上的入口G距海岸线最近距离为1千米，现准备从入口G修一条笔直的景观路到O，求景观路长；
（3）如图，在扇形区域内建一个平行四边形休闲区，平行四边形的一边在海岸线上，一边在半径上，另外一个顶点P在圆弧上，且，用表示平行四边形休闲区面积，并求的面积值.
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：，，
故选：D.
直接根据并集的定义计算即可.
2.【答案】D
【解析】【分析】
由于两个集合已知，故由交集的定义直接求出两个集合的交集即可.
【解答】
解：，
故选D.
3.【答案】A
【解析】解：，而的图象按向量平移后得到，所以，故m可以为.
故选：A.
本题可根据三角函数的平移变换及导函数进行分析即可求得答案.
4.【答案】B
【解析】解：将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数之和，
基本事件总数，
点数之和是4的倍数但不是3的倍数包含的基本事件有：
，，，，，，，，共8个，
则点数之和是4的倍数但不是3的倍数的概率为.
故选：B.
基本事件总数，利用列举法求出点数之和是4的倍数但不是3的倍数包含的基本事件的个数，由此求出点数之和是4的倍数但不是3的倍数的概率.
5.【答案】D
【解析】解：设的中点为，的中点为B，
中，令，解得，所以；
令，解得，所以；
同理，；
所以，，；
所以
.
故选：D.
设的中点为A，的中点为B，求出点Q、A、B的坐标，
用坐标表示向量，再计算的值.
6.【答案】A
【解析】解：取线段的中点H，连接、、、，如图所示：
由球的几何性质可知平面，平面，
因为，，则是边长为2的等边三角形，
因为为的中点，则，且，同理可知，
因为平面，平面平面，平面平面，
所以平面，因为平面，所以，同理，
因为平面，所以，所以四边形为正方形，
故，
所以球O的半径为，
因此，球O的表面积为.
故选：A.
取线段的中点H，连接、、、，分析出为等边三角形，四边形为正方形，求出球O的半径，利用球体的表面积公式可求得结果.
7.【答案】B
【解析】解：作出可行域，如图所示：
由
得，图中
其中目标函数，即，，由图可得：
当直线，经过点时，目标函数取得最小值，
即，，
，
，
所以.当且仅当时取得等号.
故选：B.
作出可行域，结合几何意义分析出最小值的最优解，建立等式，根据基本不等式求解最值.
8.【答案】C
【解析】解：根据题意，设，则，
，
则，
故函数为奇函数，
函数在上为增函数，在上为增函数，在上为减函数，
故函数在上为增函数，
故，即，
则有，
故有，解可得，即a的取值范围为.
故选：C.
根据题意，设，求出的解析式，分析的奇偶性和单调性，可以将原不等式转化为，解可得答案.
9.【答案】BCD
【解析】解：对于A项，三棱柱只有5个面，故A项错误；
对于B项，因正棱锥的底面是正多边形，顶点在底面的射影是正多边形的中心，故侧棱都相等，从而每个侧面都是全等的等腰三角形，故B项正确；
对于C项，因棱台即是用平行于棱锥底面的平面截得的，故各侧棱延长后交于一点，故C项正确；
对于D项，根据圆锥母线的定义可知，圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线必是圆锥的母线，故D项正确.
故选：BCD.
根据棱柱、正棱锥，棱台、圆锥的定义或性质即可对选项一一判断.
10.【答案】CD
【解析】解：对于A，，集合M中的，在集合N中没有对应的元素，不符合函数的定义；
对于B，，集合M中的和4，在集合N中没有对应的元素，不符合函数的定义；
对于C，，集合M中的任一元素x，在集合N中都有唯一的元素与之对应，符合函数的定义；
对于D，，集合M中的任一元素，在集合N中都有唯一的元素与之对应，符合函数的定义.
故选：CD.
根据函数的定义是两个非空数集A、B，对应集合A中的任一元素，通过对应关系在集合B中都有唯一确定的元素与之对应，判断即可.
11.【答案】AD
【解析】解：是定义在上的奇函数，满足，
且当，，有.
任取，则，
由，结合可知，，
即，所以在上递增，
所以，
由，可得，
即对任意恒成立.
设，则，
即，解得或，
所以实数m的取值范围为.
故选：AD.
先根据题目给出的条件，判断是定义在区间上的单调函数，求出其最大值，代入中解出m的取值范围即可.
12.【答案】-5
【解析】解：∵不等式的解集是，
∴，，是的两根，
∴，，
解得，
∴
故答案为-5.
由二次不等式的解集形式，判断出，是相应方程的两个根，利用韦达定理求出a，c，求出的值.
13.【答案】5
【解析】解：
，
所以，可得.
故答案为：5.
利用复数的乘法运算可计算出，再由共轭复数定义及模长公式即可得.
14.【答案】①②③
【解析】解：
（其中），
又，
由题意对任意的恒成立，且，，
所以对任意的恒成立，
即，
所以恒成立，又，即，
所以，故，
①：，，正确；
②：令，，解得，，当时，
所以是的一个对称中心，正确；
③：由，，所以，正确；
④：由题意得，要使过的直线与的图象不相交，
则此直线与x轴平行，又的振幅为，所以直线必与的图象有交点，错误；
所以正确结论的编号为①②③.
故答案为：①②③.
由题设可得对任意恒成立，结合基本不等式有，则，结合正弦型函数的性质判断各项的正误.
15.【答案】解：（1）由图知，，解得.
评分在的频率为10×（0.010+0.020）=0.30.5，故中位数在之间.
设这200户居民本次问卷评分的中位数为x，
则，
解得，
故这200户居民本次问卷评分的中位数为.
（2）由图知，评分在的频率为1-0.6=0.4，
故可估计该小区居民支持所属物业公司延续服务的概率约为0.4，
∴估计该小区居民支持所属物业公司延续服务的有1200×0.4=480户.
（3）由（1）知，评分在的频数为0.1×200=20，
评分在的频数为0.15×200=30.
按比例分配的分层抽样的方法从中选取5户，
则评分在内被抽取户，
分别记为，，评分在内被抽取户，分别记为，，.
从中任意选取2户，有，，，，，，，，，，共10种选法，
其中至少有1户支持所属物业公司延续服务的选法有，，，，，，，，，共9种，
∴这2户中至少有1户支持所属物业公司延续服务的概率.
【解析】（1）在频率分布直方图中，所有小长方形面积之和等于1，解出的值，再根据中位数的公式计算得出结果；
（2）先计算小区居民支持所属物业公司延续服务的概率，在计算小区居民支持所属物业公司延续服务的户数；
（3）按比例分配的分层随机抽样的方法从评分在，内的住户中选取的户数，再从这5户中任意选取2户，利用古典概型，求这2户中至少有1户支持所属物业公司延续服务的概率.
本题主要考查频率分布直方图，概率的求法，考查运算求解能力，属于中档题.
16.【答案】解：（1）由题设，则，可得，
所以；
（2）由（1）知：，
当，则，
所以小时.
【解析】（1）由题设可得，即可求参数k；
（2）由（1）得，将代入求y即可.
17.【答案】解：（1）设隔热层厚度x，依题意，每年的能源消耗费用为：，而当时，，
则，解得，
显然建造费用为，所以隔热层建造费用与40年的能源消耗费用之和为：
.
（2）由（1）知
，
当且仅当，即时取等号，
所以当隔热层的厚度为6.25cm时，总费用S取得最小值110万元.
【解析】（1）利用给定条件，求出m的值，进而可得能源消耗费用与隔热层建造成本之和.
（2）利用基本不等式即可求最值，根据等号成立的条件可得隔热层厚度.
18.【答案】解：（1）这些乘客中年龄在的乘客人数为10000×0.0375×8=3000人，
（2）这些乘客年龄的平均数为24×0.2+32×0.1+40×0.2+48×0.3+56×0.2=41.6（岁）.
（3）由题意得：年龄在，的分别有4人和2人，
其中年龄在的乘客记为A，B，C，D，年龄在的乘客记为a，b，
故随机抽取2人，所有可能的情况为，，，，，，，，，，，，，，，共15种，
其中至少有1人年龄在上的有，，，，，，，，，共9种，
∴所求概率.
【解析】（1）根据频率乘以总数即可求解，
（2）根据平均数的计算公式即可求解，
（3）由列举法列举所有基本事件，即可结合古典概型的概率公式求解.
19.【答案】解：（1）由已知条件，得，
又∵，，∴，
又∵当时，有，
∴，
∴曲线段的解析式为，；
（2）由，得，
又，
∴，，
∴，∴，
∴景观路长为千米；
（3）如图，，，
∴，，
作轴于点，在中，，
在中，，
∴，
，，
∴当时，平行四边形面积的值为.
【解析】（1）由题意可得，，代入点求，从而求解析式；
（2）令由求解，从而求景观路的长；
（3）作图求，从而求最值.