[数学]陕西省武功县普集高级中学2024-2025学年高一上学期新生暑期综合素质测试开学考试卷(解析版)

这是一份[数学]陕西省武功县普集高级中学2024-2025学年高一上学期新生暑期综合素质测试开学考试卷(解析版)，共6页。试卷主要包含了填空题，解答题解答应写出文字说明等内容，欢迎下载使用。

一、单选题（本题共8小题，共40分.）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 化简的结果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】.
故选：D.
2. 下列说法正确是（ ）
A B. C. D.
【答案】D
【解析】对于A，，故A错误；
对于B，，为的一个元素，故不正确，故B错误；
对于C，，故C错误；
对于D，，故成立，故D正确.
故选：D.
3. 已知集合，则集合的真子集个数为（ ）
A. 4B. 8C. 32D. 31
【答案】D
【解析】由集合，
所以集合的真子集个数为个.
故选：D.
4. 若方程的一根为1，则另一根为（ ）
A. 2B. C. D.
【答案】C
【解析】由题意可得，即，
则原方程为，解得或，故另一根为.
故选：C.
5. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为，，所以，
所以.
故选：D.
6. 下列表示集合和关系的Venn图中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】根据题意由可得，即；
解方程可得或，
解得或或或，即可得；
因此可得集合有交集，但没有包含关系.
故选：A.
7. 已知全集，集合，集合，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由题意知：全集，集合，所以：，
又因为：集合，所以：，故选项C正确.
故选：C.
8. 已知，则的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为，所以，所以，
所以.
故选：C.
二、填空题（本题共2小题，共10分.）
9. 在中，，，，且为重心，为外心，则______．
【答案】
【解析】根据题意可知满足，所以为直角三角形，且为斜边，如下图所示：
又为外心，可得为的外接圆半径，即，
因为为重心，利用重心性质可得.
10. 计算______．
【答案】5
【解析】此问题可以看作数列的前50项和.
，
即.
三、解答题（本题共3小题，共50分.）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
11. 已知，求：
（1）；
（2）．
解：（1）由，即，
即，故有，即，
则.
（2）由，则.
12. 解下列不等式：
（1）；
（2）；
（3）．
解：（1）由题意知可变形为，
解不等式可得或.
（2）由题意知，
则可变行为，
化简，可变行为，
解之可得.
（3）当时，原不等式可化简为，解之可得，
当时，原不等式可化简为，解之可得，
综上可得或.
13. 据科学测算，跳水运动员进行10米跳台跳水训练时，身体(看成一点)在空中的运动轨迹(如图所示)是一条经过坐标原点的抛物线(图中标出数字为已知条件)，且在跳某个规定的翻腾动作时，正常情况下运动员在空中的最高点距水面10米，入水处距池边4米，同时运动员在距水面5米或5米以上时，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则就会出现失误.
（1）求这个抛物线的解析式；
（2）在某次试跳中，测得运动员在空中的运动轨迹为(1)中的抛物线，且运动员在空中调整好入水姿势时距池边的水平距离为米，问此次跳水会不会失误？请通过计算说明理由；
（3）某运动员按(1)中抛物线运行，要使得此次跳水成功，他在空中调整好入水姿势时，距池边的水平距离至多应为多大？
解：（1）依题意，设抛物线方程为，
而抛物线必过，两点，
则有，解得，即有，
所以这个抛物线的解析式为.
（2）当运动员在空中距池边的水平距离为米，
即时，，
所以此时运动员距水面距离为，
所以此次跳水会出现失误.
（3）设要使跳水成功，调整好入水姿势时，距池边的水平距离为m(m>2)，
则有，解得，
所以运动员此时距池边的水平距离最大为米.