陕西省西安中学2024-2025学年高三上学期开学摸底考试数学试题（解析版）

这是一份陕西省西安中学2024-2025学年高三上学期开学摸底考试数学试题（解析版），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

（时间：120分钟 满分：150分 命题人：薛恒）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 若集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】解指数不等式化简集合A，再利用交集的定义直接求解.
【详解】集合，而，
所以.
故选：B
2. 下列命题为真命题的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】C
【解析】
【分析】对于ABD：举反例分析判断；对于C：根据不等式的性质分析判断.
【详解】对于选项A：若，则，故A错误；
对于选项B：若满足，则，故B错误；
对于选项C：若，则，即，故C正确；
对于选项D：若满足，则，故D错误；
故选：C.
3. 已知a，，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】
【分析】举出反例，根据充分条件和必要条件的定义即可得解.
【详解】当时，，
当时，，
所以“”是“”的既不充分也不必要条件.
故选：D
4. 随机变量的分布列如下表：
若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由分布列中概率和为1和期望的值可以计算出的值，代入方差公式可以计算方差.
【详解】解：，由表中数据可知，解得：.又，.所以.
故选：A
【点睛】本题考查分布列的性质以及期望、方差的公式，属于基础题.
5. 若命题“，”为真命题，则实数a可取的最小整数值是（ ）
A. B. 0C. 1D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】分析可知，根据存在性问题结合配方法分析求解.
【详解】因为，即，
又因为，当且仅当时，等号成立，
若，，即，
所以实数a可取的最小整数值是.
故选：A
6. 假设甲和乙刚开始的“日能力值”相同，之后甲通过学习，“日能力值”都在前一天的基础上进步，而乙疏于学习，“日能力值”都在前一天的基础上退步.那么，大约需要经过（ ）天，甲的“日能力值”是乙的倍（参考数据：，，）
A. 85B. 100C. 150D. 225
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定信息，列出方程，再利用指数式与对数式的互化关系求解即可.
【详解】令甲和乙刚开始的“日能力值”为，天后，甲、乙的“日能力值”分别、，
依题意可得，即，两边取对数得，
因此，
所以大约需要经过天，甲的“日能力值”是乙的倍.
故选：B
7. 某市抽调5位老师分赴3所山区学校支教，要求每位老师只能去一所学校，每所学校至少安排一位老师．由于工作需要，甲、乙两位老师必须安排在不同的学校，则不同的分派方法的种数是（ ）
A. 124B. 246C. 114D. 108
【答案】C
【解析】
【分析】利用分布乘法计数原理，根据排列及间接法计算.
【详解】设学校为，先把甲乙两人安排到不同学校，有种，
不妨设甲在A，乙在B，只需剩余3人至少有1人去C即可，
利用间接法计算，有种不同安排方法，
根据分步乘法计数原理可知，共有种不同安排方法.
故选：C
8. 已知函数（且），若函数的值域为，则实数a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】分析可知当时，，由题意可知当时，则的值域包含，分和两种情况，结合指数函数性质分析求解.
【详解】当时，则，
且，所以，
若函数的值域为，可知当时，则的值域包含，
若，则在内单调递减，
可得，不合题意；
若，则在内单调递增，
可得，则，解得；
综上所述：实数a的取值范围是.
故选：B.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列运算结果为1的有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】对于AC：根据指数运算分析判断；对于B：根据对数运算分析判断；对于D：利用换底公式分析判断.
【详解】对于选项A：，故A错误；
对于选项B：，故B正确；
对于选项C：，故C正确；
对于选项D：，故D正确；
故选：BCD.
10. 设a＞0，b＞0，a＋2b＝1，则（ ）
A. ab的最大值为B. a2＋4b2的最小值为
C. 的最小值为8D. 2a＋4b的最小值为
【答案】ABD
【解析】
【分析】
利用均值不等式对选项进行逐一求解，可判断出正误，得出答案.
【详解】，得，当且，时取等号，故正确；
，当且仅当，时取等号，故正确；
，当且仅当时取等号，故错误；
，当且仅当，时取等号，故正确，
故选：ABD.
【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方，这时改用勾型函数的单调性求最值.
11. 设甲袋中有3个白球和4个红球，乙袋中有1个白球和2个红球，则（ ）
A. 从甲袋中每次任取一个球不放回，则在第一次取到白球的条件下，第二次取到红球的概率为
B. 从甲袋中随机取出了3个球，恰好是2个白球1个红球的概率为
C. 从乙袋中每次任取一个球并放回，连续取6次，则取得红球个数的数学期望为4
D. 从甲袋中任取2个球放入乙袋，再从乙袋中任取2个球，则从乙袋中取出的是2个红球的概率为
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据古典概型公式，结合组合公式，依次判断选项.
【详解】A.在第一次取到白球条件下，则甲袋中还有2个白球和4个红球，所以第二次取到红球的概率为，故A正确；
B. 从甲袋中随机取出了3个球，恰好是2个白球1个红球的概率，故B错误；
C.设红球个数为，，则数学期望，故C正确；
D.第一种情况，若是从甲袋中取到2个白球放入乙袋，则概率，第二种情况，若是从甲袋中取到1个白球和1个红球放入乙袋，则概率，第三种情况，若是从甲袋中取到2个红球放入乙袋，则概率，所以从甲袋中任取2个球放入乙袋，再从乙袋中任取2个球，则从乙袋中取出的是2个红球的概率，故D正确.
故选：ACD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 在二项式展开式中，常数项为__________.
【答案】60
【解析】
【分析】
求得二项式展开式通项为，令，即可求解，得到答案.
【详解】由题意，二项式展开式的通项为，
令，可得，即展开式的常数项为.
故答案为：.
【点睛】本题主要考查了二项式定理的应用，其中解答中熟记二项展开式的通项，合理赋值是解答的关键，着重考查了推理与计算能力..
13. 已知样本，，的平均数为2，方差为1，则，，的平均数为_____________．
【答案】5
【解析】
【分析】根据平均数和方差的定义建立方程组，解之即可求解.
【详解】由题意知，，所以，
由，得，
所以.
故答案为：5
14. 定义：表示不等式的解集中的整数解之和.若，，，则实数a的取值范围是__________.
【答案】
【解析】
【分析】利用给定定义构造不等式，按分类讨论并结合函数大致图象，建立关系式求解即得.
【详解】由给定的定义知，为满足的整数解的和，
当时，在同一坐标系内作出函数和的大致图象，如图：
，，
因此的解集包含，，不符合题意；
当时，，由，解得或，
在内有3个整数解，即，因此，符合题意；
当时，作出函数和的大致图象，如图，
若，又x∈0,+∞，且，所以不等式的整数解为．
只需满足a<0g3>f3g4≤f4，即a<04a+2>lg239a+2≤lg24，解得．
所以时，实数的取值范围为．
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16，17题15分，第18，19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知二次函数的图象过点，且不等式的解集为.
（1）求的解析式；
（2）设，若在上是单调函数，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）设，代入点的坐标求出的值，即可求出函数解析式；
（2）首先表示出，从而确定其对称轴，依题意得到或，解得即可.
【小问1详解】
因为不等式的解集为，
所以和为关于的方程的两根，且二次函数的开口向上，
则可设，，
即，
由的图象过点，可得，解得，
所以，即.
【小问2详解】
因为，对称轴，
因为在上是单调函数，所以或，解得或，
即实数的取值范围.
16. 甲、乙两人进行知识答题比赛，每答对一题加20分，答错一题减20分，且赛前两人初始积分均为60分，两人答题相互独立．已知甲答对每题的概率均为，乙答对每题的概率均为，且某道题两人都答对的概率为，都答错的概率为．
（1）求，的值；
（2）乙回答3题后，记乙的积分为，求的分布列和期望．
【答案】（1），
（2）分布列见解析，
【解析】
【分析】（1）借助相互独立事件的乘法公式可得方程组，解出该方程组即可得；
（2）得出的所有可能取值后计算相应概率即可得分布列，借助分布列计算即可得其期望.
【小问1详解】
由题意可得，解得；
【小问2详解】
的可能取值为，
，，
，，
则其分布列为：
.
17. 随着经济的发展，富裕起来的人们健康意识日益提升，越来越多的人走向公园､场馆，投入健身运动中，成为一道美丽的运动风景线.某兴趣小组为了解本市不同年龄段的市民每周锻炼时长情况，随机抽取400人进行调查，得到如下表的统计数据：
（1）根据表中数据，依据的独立性检验，能否认为周平均锻炼时长与年龄有关联？
（2）现从50岁以上（含50）的样本中按周平均锻炼时间是否少于5小时，用分层随机抽样法抽取8人做进一步访谈，再从这8人中随机抽取3人填写调查问卷.记抽取3人中周平均锻炼时间不少于5小时的人数为，求的分布列和数学期望.
参考公式及数据：，其中.
【答案】（1）能 （2）分布列见解析，
【解析】
【分析】（1）由列联表中的数据，求得，结合附表，即可得到结论；
（2）抽取的8人中，周平均锻炼时长少于和不少于5小时的人数，得出所有可能的取值为，求得相应的概率，列出分布列，利用期望公式求得数学期望.
【小问1详解】
解：零假设周平均锻炼时长与年龄无关联.
由列联表中的数据，可得，
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，
即认为周平均锻炼时长与年龄有关联，此推断犯错误的概率不大于0.01.
【小问2详解】
解：抽取8人中，周平均锻炼时长少于5小时的有人，不少于5小时的有人，则所有可能的取值为，
所以；
所以随机变量的分布列为：
所以数学期望.
18. 已知函数.
（1）当时，求的值域；
（2）若最小值为，求m的值；
（3）在的条件下，若不等式有实数解，求实数a的取值范围．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用换元法将函数转化为二次函数在定区间求值域问题，根据二次函数的性质计算即可；
（2）分类讨论，结合二次函数的性质计算即可；
（3）利用分离参数法将问题转化为有解，利用基本不等式计算的最小值解不等式即可.
【小问1详解】
设，
，，，
其对称轴方程为，故函数在上单调递增，
所以，
故所求值域为；
【小问2详解】
∵函数的最小值为，，
若，在R上单调递增，没有最小值；
若时，可知时，y取得最小值；
即，解得或舍去，
综上，；
【小问3详解】
由题意，有实数解，
即，可得，
要使此不等式有解，只需即可，
（当且仅当时取等号），
，
，解得，
即实数a的取值范围为.
19. “爱国，是人世间最深层、最持久的情感，是一个人立德之源、立功之本.”在中华民族几千年绵延发展的历史长河中，爱国主义始终是激昂的主旋律.爱国汽车公司拟对“东方红”款高端汽车发动机进行科技改造，根据市场调研与模拟，得到科技改造投入x（亿元）与科技改造直接收益y（亿元）的数据统计如下：
当时，建立了y与x的两个回归模型：模型①：；模型②：；当时，确定y与x满足的线性回归方程为：.
（1）根据下列表格中的数据，比较当时模型①、②的相关指数，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测对“东方红”款汽车发动机科技改造的投入为17亿元时的直接收益.
（附：刻画回归效果的相关指数，.）
（2）为鼓励科技创新，当科技改造的投入不少于20亿元时，国家给予公司补贴收益10亿元，以回归方程为预测依据，比较科技改造投入17亿元与20亿元时公司实际收益的大小；
（附：用最小二乘法求线性回归方程的系数公式；）
（3）科技改造后，“东方红”款汽车发动机的热效率X大幅提高，X服从正态分布，公司对科技改造团队的奖励方案如下：若发动机的热效率不超过，不予奖励；若发动机的热效率超过但不超过，每台发动机奖励2万元；若发动机的热效率超过，每台发动机奖励5万元.求每台发动机获得奖励的数学期望.
（附：随机变量服从正态分布，则，.）
【答案】（1）回归模型②刻画的拟合效果更好，72.93亿元；（2）答案见解析；（3）2.4305万元.
【解析】
【分析】（1）根据公式比较可得模型①的小于模型②，说明回归模型②刻画的拟合效果更好.根据模型②的回归方程计算可得结果；
（2）用最小二乘法求出当时， y与x满足的线性回归方程，再通过计算比较可得答案；
（3）根据正态曲线的对称性和两个特殊区间的概率求出分布列，根据数学期望公式计算可得结果.
【详解】（1）由表格中的数据，有，即，
所以模型①的小于模型②，说明回归模型②刻画的拟合效果更好.
所以当亿元时，科技改造直接收益的预测值为
（亿元）；
（2）由已知可得：，，
所以，
所以当亿元时，y与x满足的线性回归方程为：，
所以当亿元时，科技改造直接收益的预测值，
所以当亿元时，实际收益的预测值为亿元亿元，
所以技改造投入20亿元时，公司的实际收益的更大；
（3）因为，
所以，，
因为，
所以，
所以，
设每台发动机获得的奖励为Y（万元），则Y的分布列为：
所以每台发动机获得奖励的数学期望为：（万元）.
【点睛】本题考查了用最小二乘法求线性回归方程，并利用回归方程进行预测，考查了正态曲线的对称性和两个特殊区间的概率，考查了求离散型随机变量的数学期望，属于中档题.
－1
0
1
周平均锻炼时间少于5小时
周平均锻炼时间不少于5小时
合计
50岁以下
80
120
200
50岁以上（含50）
50
150
200
合计
130
270
400
0.025
0.01
0.005
0.001
5.024
6.635
7.879
10.828
1
2
3
2
3
4
6
8
10
13
21
22
23
24
25
13
22
31
42
50
56
58
68.5
68
67.5
66
66
回归模型
模型①
模型②
回归方程
0
2
5