2024-2025学年安徽省六安市金安区皋城中学九年级（上）开学数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年安徽省六安市金安区皋城中学九年级（上）开学数学试卷（含答案），共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.一元二次方程x2=x的根是( )
A. x1=0，x2=1B. x1=0，x2=−1
C. x1=x2=0D. x1=x2=1
2.一次函数y=(k−2)x+3的函数值y随x的增大而增大，则k的取值范围是( )
A. k>0B. k<0C. k>2D. k<2
3.如图，∠A=40°，∠B=55°，∠C=25°，则∠ADC的度数是( )
A. 115°
B. 120°
C. 125°
D. 130°
4.函数y=x2−4x+3与x轴的交点有( )个．
A. 0个B. 1个C. 2个D. 无法确定
5.已知四边形ABCD是平行四边形，若AC⊥BD，要使得四边形ABCD是正方形，则需要添加条件( )
A. AB=BCB. ∠ABC=90°C. ∠ADB=30°D. AC=AB
6.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=6，∠B=30°，点P是BC边上的动点，则AP的长不可能是( )
A. 6
B. 8
C. 10
D. 13
7.学校组织音乐社团学生进行“青春旋律，你我飞翔”钢琴演奏比赛，全校共有18名同学进入决赛，他们的决赛成绩如下表：
则这些学生决赛成绩的中位数是( )
A. 9.75B. 9.70C. 9.65D. 9.60
8.在体育选项报考前，某九年级学生对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y(米)与水平距离x(米)之间的关系为y=−112x2+23x+53，由此可知该生此次实心球训练的成绩为( )
A. 6米B. 10米C. 12米D. 15米
9.已知二次函数y=ax2+(b−1)x+c+1的图象如图所示，则在同一坐标系中y1=ax2+bx+1与y2=x−c的图象可能是( )
A. B.
C. D.
10.如图，矩形ABCD中，AB=8，AD=4，点E、F分别是AB、DC上的动点，EF//BC，则AF+CE的最小值是( )
A. 8 2
B. 12
C. 8 5
D. 16
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
11.计算：( 7+1)( 7−1)= ______．
12.若方程x2−3x+m=0有一根是1，则另一根是______．
13.如图，在△ABC中，AB=AC=10，BC=12，M为BC的中点，MN⊥AC于点N，则MN=______．
14.已知二次函数y=ax2−2ax−3a(a≠0)．
(1)若a=−1，则函数y的最大值为______．
(2)若当−1≤x≤4时，y的最大值为5，则a的值为______．
三、计算题：本大题共1小题，共8分。
15.已知抛物线顶点坐标为(3,−1)，且经过点(2,3)，求该抛物线的解析式．
四、解答题：本题共8小题，共82分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题8分)
解方程：x2−6x=−8．
17.(本小题8分)
如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的8×14网格中，已知△ABC的顶点都在格点上，直线l与网线重合．
(1)以直线l为对称轴，画出△ABC关于l对称的△A1B1C1；
(2)将△ABC向右平移10个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到△A2B2C2，画出△A2B2C2，并连接B1B2、B1A2，直接判断四边形A2B1B2C2的形状．
18.(本小题8分)
观察下列等式：
第1个等式：(1−1)×12=0
第2个等式：(2−12)×23=1，
第3个等式：(3−13)×34=2，
第4个等式(4−14)×45=3，
…
(1)写出第5个等式：______；
(2)猜想并写出第n个等式，并证明它的正确性．
19.(本小题10分)
如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AC边上一点，延长ED至点F，使ED=DF，连结BF．
(1)求证：△BDF≌△CDE．
(2)当AD⊥BC，∠BAC=130°时，求∠DBF的度数．
20.(本小题10分)
为了解学生寒假阅读情况，某学校进行了问卷调查，对部分学生假期的阅读总时间作了随机抽样分析．设被抽样的每位同学寒假阅读的总时间为t(小时)，阅读总时间分为四个类别：A(0根据以上信息，回答下列问题：
(1)本次抽样的样本容量为______；
(2)补全条形统计图；
(3)扇形统计图中α的值为______，圆心角β的度数为______；
(4)若该校有2000名学生，估计寒假阅读的总时间少于24小时的学生有多少名？
21.(本小题12分)
已知抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)中的x，y满足如表：
(1)直接写出m的值；
(2)求抛物线的解析式；
(3)当y<3时，直接写出x的取值范围．
22.(本小题12分)
如图，在矩形ABCD中，EF垂直平分对角线AC，分别交AD，BC于点E，F，垂足为O．
(1)求证：四边形AECF为菱形；
(2)若AB=4，BC=8，求四边形AECF的面积；
(3)在(2)的条件下，求线段EF的长．
23.(本小题14分)
如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是12m，宽是4m.按照图中所示的直角坐标系，抛物线可以用y=−16x2+bx+c表示，且抛物线的点C到墙面OB的水平距离为3m时，到地面OA的距离为172m.

(1)求该抛物线的函数关系式，并计算出拱顶D到地面OA的距离；
(2)一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6m，宽为4m，如果隧道内设双向行车道，那么这辆货车能否安全通过？
(3)在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8m，那么两排灯的水平距离最小是多少米？
参考答案
1.A
2.C
3.B
4.C
5.B
6.D
7.C
8.B
9.A
10.A
11.6
12.2
13.4.8
14.4 1或−54
15.解：已知抛物线的顶点坐标为(3,−1)，
设此二次函数的解析式为y=a(x−3)2−1，
把点(2,3)代入解析式，得：
a−1=3，即a=4，
∴此函数的解析式为y=4(x−3)2−1．
16.解：∵x2−6x=−8，
∴x2−6x+9=−8+9，即(x−3)2=1，
解得：x1=2，x2=4．
17.解：(1)△A1B1C1如图所示．

(2)△A2B2C2如图所示．

根据题意得：B1B2=A2C2= 12+22= 5,B1A2=B2C2= 12+32= 10，
∴四边形A2B1B2C2为平行四边形．
18.(1)(5−15)×56=4，
(2)由题意可得，第n个等式为(n−1n)×nn+1=n−1，
证明：左侧=(n+1)(n−1)n×nn+1=n−1=右侧，
∴(n−1n)×nn+1=n−1成立．
19.(1)证明：∵AD是BC边上的中线，
∴BD=CD，
在△BDF和△CDE中，
BD=CD∠BDF=∠CDEDF=DE，
∴△BDF≌△CDE(SAS)；
(2)解：∵AD⊥BC，BD=CD，
∴AC=AB，
∵∠BAC=130°，
∴∠ABC=∠C=12(180°−130°)=25°，
∵△BDF≌△CDE，
∴∠DBF=∠C=25°．
20.(1)60；
(2)C组的人数为40%×60=24(人)，
补全统计图如下：
(3)20，144°；
(4)总时间少于24小时的学生的百分比为12+1860×100%=50%，
∴估计寒假阅读的总时间少于24小时的学生有2000×50%=1000(名)，
答：估计寒假阅读的总时间少于24小时的学生有1000名．
21.解：(1)∵抛物线经过点(0,3)和(2,3)，
∴抛物线的对称轴为直线x=1，
∴x=−1和x=3所对应的函数值相等，
∴m=0；
(2)由题意可知抛物线的顶点为(1,4)，
设抛物线y=a(x−1)2+4，
代入(0,3)得3=a+4，
解得a=−1，
所以抛物线的解析式为：y=−(x−1)2+4；
(3)∵抛物线开口向下，经过点(0,3)和(2,3)，
∴当y<3时，x的取值范围是x<0或x>2．
22.解：(1)∵EF⊥AC，OA=OC，
∴AE=EC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AE//FC，∠B=90°，
∴∠AEO=∠CFO，∠EAO=∠FCO，
在△AOE和△COF中，
∠AEO=∠CFO,∠EAO=∠FCO,OA=OC,
∴△AOE≌△COF(AAS)，
∴AE=FC，
∵AE//FC，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵AE=EC，
∴平行四边形AECF是菱形．
(2)设FC=x，则AF=FC=x，
∴BF=BC−FC=8−x，
在Rt△ABF中，
AB2+BF2=AF2，
∴42+(8−x)2=x2，
∴x=5，
∴S菱形AECF=FC⋅AB=5×4=20．
(3)在Rt△ABC中，
AC= AB2+BC2
= 42+82
=4 5，
∵S菱形AECF=FC⋅AB=12AC⋅EF，
∴20=12×4 5EF，
∴EF=2 5．
23.解：(1)根据题意得B(0,4)，C(3,172)，
把B(0,4)，C(3,172)代入y=−16x2+bx+c得c=4−16×32+3b+c=172，
解得b=2c=4．
所以抛物线解析式为y=−16x2+2x+4，
则y=−16(x−6)2+10，
所以D(6,10)，
所以拱顶D到地面OA的距离为10m；
(2)由题意得货运汽车最外侧与地面OA的交点为(2,0)或(10,0)，
当x=2或x=10时，y=223>6，
所以这辆货车能安全通过；
(3)令y=8，则−16(x−6)2+10=8，解得x1=6+2 3，x2=6−2 3，
则x1−x2=4 3，
所以两排灯的水平距离最小是4 3m.
成绩(分)
9.4
9.5
9.6
9.7
9.8
9.9
人数
3
2
4
3
4
2
x
…
−2
−1
0
1
2
3
…
y
…
−5
0
3
4
3
m
…