江苏省苏州市苏州中学2024-2025学年九年级上学期第一次月考数学试卷（范围：九上第1、2章、九下第6章）

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一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．下列方程一定是关于的一元二次方程的是（ ）
A．B．
C．D．
2．下列各条件中，能判断的是（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，，，
3．如图，四边形内接于，它的一个外角，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
4．定义运算，例如，则方程的根的情况为（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．无实数根D．只有一个实数根
5．如图，、是的弦，且，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
6．如图，与是位似三角形，位似比为，已知，则的长等于（ ）
A．B．C．D．
7．“读万卷书，行万里路”我校为了丰富学生的阅历知识，坚持开展课外阅读活动，学生人均课外阅读量从七年级的每年50万字增加到九年级的每年80万字．设该校七至九年级人均阅读量年均增长率为x，则可列方程为（ ）
A．B．
C．D．
8．如图，，若，则下面结论错误的是（ ）．
A．B．C．D．
9．如图，的内切圆与相切于点D、E、F，已知，则的长是（ ）
A．B．C．D．
10．如图，和是以点为直角顶点的等腰直角三角形，且，分别作射线、，它们交于点．以点为旋转中心，将按顺时针方向旋转，若的长为2，则面积的最小值是（ ）
A．4B．8C．D．
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11．方程的解是__________．
12．若，则的值为__________．
13．已知点P是线段的一个黄金分割点，且，那么的比值为__________．
14．如图，在宽为，长为的矩形地面上修建两条宽均为的小路（阴影），余下部分作为草地，草地面积为，根据图中数据，求得小路宽的值为__________．

15．已知四边形是矩形，，，以点B为圆心为半径的圆交于点E，则图中阴影部分的面积为__________．
16．如图，是的直径，将弧沿弦折叠后，弧刚好经过圆心．若，则的半径长是__________．

17．已知是方程的一个根，试求的值__________．
18．如图，为的直径，C为上一点，其中，P为上的动点，连接，取中点Q，连，则线段的最大值为__________．
三、解答题：本题共10小题，共96分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
（20分）19．用指定方法解下列一元二次方程
(1)（直接开平方法）
(2)（配方法）
(3)（公式法）
(4)（因式分解法）
（6分）20．如图，是⊙O的弦，C是⊙O上的一点，且，于点E，交⊙O于点D．若⊙O的半径为6，求弦的长．
（6分）21．如图，在正方形中，E为边的中点，点F在边上，且，求证：．
（8分）22．已知三边满足，且．
(1)求的值；
(2)判断的形状．
（8分）23．已知关于的一元二次方程．
(1)若方程有两个实数根，求的取值范围；
(2)设的两个实数根为，，若，求的值．
（8分）24．图Ⅰ是大拇指广场示意图及测量其高度的方案，图Ⅱ是求大拇指高度的示意图．如图Ⅱ，在C处放置一根高度为2m且与地平线垂直的竹竿，点A，I，D在同一直线上，测得为．将竹竿3m平移至E处，点A，G，F在同一直线上，测得为．求大拇指的高度．
（8分）25．如图，已知是的外接圆，是的直径，是的延长线上的点，弦交于点．，．
(1)求证：；
(2)求证：是的切线；
(3)若，，求的半径．
（10分）26．某超市销售一种饮料，进价为每箱48元，规定售价不低于进价．现在的售价为每箱60元，每月可销售60箱．现为了尽量减少库存，决定对该饮料降价销售，市场调查发现：若这种饮料的售价每降价1元，则每月的销量将增加10箱．
(1)若11月份每箱饮料降价2元，则该超市11月份可获得的利润是多少？
(2)若该超市预计12月份要获得770元的利润，则每箱饮料售价应定为多少元？
(3)该超市能否每月获得880元的利润？若能，求出售价为多少元？若不能，请说明理由．
（10分）27．按要求利用无刻度直尺作图（保留作图痕迹）．
(1)如图1，由小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，且每个小正方形的边长为1，经过A，B，C三个格点，用无刻度的直尺作出圆心O；
(2)如图2，在平行四边形中，，以为直径的圆与相切于点D．请仅用无刻度直尺在图中作出的重心M．
（12分）28．新定义：如果一个四边形的对角线相等，我们称这个四边形为美好四边形．
【问题提出】
（1）如图1，若四边形是美好四边形，且，，，，求四边形的面积；
【问题解决】
（2）如图2，某公园内需要将4个信号塔分别建在，，，四处，现要求信号塔建在公园内一个湖泊的边上，该湖泊可近似看成一个半径为的圆，记为．已知点到该湖泊的最近距离为，是否存在这样的点，满足，使得四边形的面积最大？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．
参考答案
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11． 12．2 13． 14．
15． 16． 17．2009 18．
三、解答题：本题共10小题，共96分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
19．（20分）
【详解】（1）解：，
移项，得，
两边都除以3，得，
两边开平方，得，
移项，得，
解得：，；分
（2）解：，
两边都除以2，得，
移项，得，
配方，得，即，
解得：，
即，；分
（3）解：，
这里，，，
，
，
解得：，；分
（4）解：，
方程左边因式分解，得，即，
解得：，．分
20．（6分）
【详解】解：连接，
∵，
∴，分
∵，
∴，
∵，过圆心O，
∴，
∵，
∴，
由勾股定理得：，分
∴，
即．分
21．（6分）
【详解】证明：∵四边形是正方形
分
设
∵E为边的中点，
分
∴分
22．（8分）
【详解】（1）解：设，，，
∴，
即，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，，；分
（2）解：∵，，
∴，
∴为直角三角形．分
23．（8分）
【详解】（1）解：该方程有两个实数根，
，
，
；分
（2）解：，，
，
，
即，
，
，，
，
．分
24．（8分）
【详解】解：由题意可得：，
∴．
∴．分
由题意可得：，
∴．
∴．分
∵，
∴，即，解得：．分
将代入，得．解得．
∴大拇指的高度为．分
25．（8分）
【详解】（1）证明：连接，如图所示：
则，
∵，
，
在和中，
∴，
∴，
；分
（2）证明：由（1）得，
，
又，
∵，
∴，
，
∵，即，
是的切线；分
（3）解：，，
垂直平分，
∴．
又，
，
为等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，即的半径为9．分
26．（10分）
【详解】（1）解：元，
答：若11月份每箱饮料降价2元，则该超市11月份可获得的利润是800元；
分
（2）解：设每箱饮料降价x元，
由题意得：，
整理得：，
解得：，（不符合题意，舍去），
∴，
答：每箱饮料售价应定为55元；
分
（3）解：该超市不能每月获得880元的利润，理由如下：
设每箱饮料降价y元，
由题意得：，
整理得：，
∵，
∴此方程无解，
∴该超市不能每月获得880元的利润．
分
27．（10分）
【详解】（1）解：取点D，使，连接，交于点O，点O即为所求作；
分
（2）分别以点A，B为圆心，以大于长为半径在点D的异侧画弧，两弧交于点P，作射线，连接交于点M，点M即为所求作．
分
28．（12分）
【详解】解：（1）过作于，如图1，
，，，
，
四边形是美好四边形，，
，
，
，
在中，，
，，
；分
（2）存在这样的点，满足，且使得四边形的面积最大，理由如下：
当对角线相等的四边形对角线不垂直时，如图2，
过点作于，过点作于，
则，
，，
，
．
当对角线相等的四边形对角线垂直时，如图3，
则，
当对角线相等的四边形对角线垂直时，面积最大．
点到湖泊的最近距离为，的半径为，
，
又，
当、、依次共线时最长，如图4，
又时，，
此时四边形面积最大，
此时，
，
故四边形的面积最大为．
分1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
D
C
B
A
D
C
A
C
C
A