2024年浙江省宁波市鄞州中学强基招生数学试题

这是一份2024年浙江省宁波市鄞州中学强基招生数学试题，共17页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.若，且，则________.
2.__________.
3.已知正实数，，满足，则的最小值为_________.
4.已知函数，当时，有最大值5，则的值为__________.
5.已知中，上的一点，，，则的最大值为_________.
6.若点为线段中点，，且，，，，则_______.
7.如图，在中，，分别在，上，连结交于，若，，，，共线，的面积为11，则的面积为________.
8.已知整数，，满足，则的最小值为________.
9.已知，，是大于1的正整数，且为整数，则_______.
10.已知、为圆的两条切线，连结交圆于点，若，，，则__________.
二、解答题：本题共2小题，共16分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
11.（本小题8分）
已知，矩形的，顶点分别在轴，轴上，反比例函数与矩形的，分别交于，，的面积为4.5.
（1）判断并证明直线与的关系.
（2）求的值.
（3）若，分别为直线和反比例函数上的动点，为中点，求的最小值.
12.（本小题8分）
如图，在中，，是垂心，是外心，延长交于，于.
（1）求证：.
（2）证明：，，，四点共圆.
（3）若，求.
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，
，
，
，
，是方程的两个根，
，
.
故答案为.
根据观察方程组的系数特点，可把方程组转化成的形式，其中，是其两个不等的实数根，利用根与系数的关系，得到结果.
本题考查了解方程组，一元二次方程根与系数关系的应用.关键是观察方程组的系数特点，得到，是方程的两个根，得到结果.
2.【答案】
【解析】解：原式
.
故答案为：.
将改写为，改写为，，再利用裂项相消法即可解决问题.
本题主要考查了数字变化的规律，能将改写为，改写为，，及熟知裂项相消法是解题的关键.
3.【答案】18
【解析】解：构造图示的三个直角三角形，
即，，，
满足，，，，，，
则由勾股定理可知，即同理可得，，
所以可知当，，四点共线时，
最小，
即为长，当当，，，四点共线时，.
在中.
故答案为18.
本题利用几何法求解，通过构造图示的三个直角三角形，即，，，
则由勾股定理可知，即同理可得，，所以可知当，，，四点共线时，最小，
即为长，
本题主要考查二次根式最值问题，用几何法构造直角三角形，结合最短路径问题是解决问题的关键.
4.【答案】1或7
【解析】解：由题意，的对称轴是直线，
当时，.
又当时，，当时，，
①当最大值为，
或（不合题意）；
②当最大值为，
或，均不合题意；
③当最大值为，
（不合题意）或.
综上，或7.
故答案为：1或7.
依据题意，由的对称轴是直线，结合当时，，又当时，，当时，，进而分类讨论即可判断得解.
本题主要考查了二次函数的性质、非负数的性质：绝对值、二次函数的最值，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键.
5.【答案】
【解析】解：如图，以为边作等边三角形，连接，过点作于，
，
设，则，
，，
点在以为半径，为半径的圆上运动，
当与圆相切时，有最大值，
此时：，
是等边三角形，，
，
，
，
又，
，
，
四边形是平行四边形，
又，
四边形是矩形，
，
故答案为：.
由题意可得点在以为半径，为半径的圆上运动，则当与圆相切时，有最大值，由“”可证，可得，可证四边形是矩形，可得，即可求解.本题考查了四点共圆，圆的有关知识，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质等知识，确定点的运动轨迹是解题的关键.
6.【答案】3
【解析】解：如图，过作.延长交于.
，
，
为线段中点，
，
在和中，
，
，
，
，
面积，
，
，
，
，
，
，
.
故答案为：3.
先画出图形，过作.延长交于.由，得，再证明，得，，由面积，得，，
，，，最后再计算即可.
本题考查了平行线的性质，利用中线倍长是解题关键.
7.【答案】30
【解析】解：梅涅劳斯定理：如图，，
证明：过作交延长线于点，
则，，
；
塞瓦定理：如图，，
证明：根据上述梅涅劳斯定理，可得出，
在中，是梅涅线，①
在中，是梅涅线，②
.
根据梅涅劳斯定理，在中，是梅涅线，
，
，
，
，
，
根据塞瓦定理可得，
，
，
而，
，
.
故答案为：30.
根据梅涅劳斯定理和塞瓦定理可得出和，从而得出，再利用即可得解.
本题主要考查了相似三角形的判定和性质、三角形面积问题等内容，在初中竞赛、自招、强基等题目中，梅涅劳斯定理和塞瓦定理是必须掌握的基础内容.
8.【答案】118
【解析】解：，
，
，，，
，
即，
故答案为：118.
根据，得出，从而得出结论.
本题考查了因式分解的应用，关键是掌握完全全平方公式和非负数的性质.
9.【答案】12
【解析】解：、、是大于1的正整数，
，，是分数，
，，为假分数，
为整数，且分子分母能互相约分，
，
①当，时，分子中定有7，
分母中有7才能进行约分，
当时，
，故符合题意，
，
②，时，分子中定有13，
分母中有13才能进行约分，
当时，
不是整数，故不符合题意，
③，时，分子中定有21，
分母中有21才能进行约分，
当时，
不是整数，故不符合题意，
其余情况依次讨论均不符合题意
故答案为：12.
根据、、的条件和三个分数的乘积为整数，得出、、的值，进而求和.本题考查了分式的混合运算，关键是根据已知条件分类讨论得到、、的值.
10.【答案】
【解析】解：连接，，，作，设，
同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍，，
，
，
是等边三角形，
，，
，是的切线，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
同理可证：，
得出：，
，
，，
，
是直径，
，
，，，
，，
，
，
，
，
，
.
连接，，，作，设，证是等边三角形，得出，证，，得出，得出是直径，再解直角三角形，求出，即可.
本题考查切线长定理，相似三角形的判定和性质，圆周角定理等知识.作辅助线构造相似三角形是解题的关键.
11.【答案】解：（1）如图1，
，理由如下：
由题意得，
，，
，，
，，
，
，
，
，
，
；
（2）如图2，
图2
作于，
，
，
，
，
，（舍去），
；
（3）如图2，
取点，，
则直线与直线关于对称，
连接，并延长交于，连接，
则，
是的中点，
，
当最小时，最小，
作直线，交轴与，且使与双曲线在第一象限的图象相切，切点为，作于，作，
则的最小值是的长，
直线的解析式为：，
设直线的解析式为：，
由整理得，，
，
，（舍去），
，
，
，，，
，
，
，
.
【解析】（1）可表示出，，从而得出，，进而表示出和，进而得出，进而证得，从而，从而得出；
（2）作于，可推出，从而，进一步得出结果；
（3）取点，，则直线与直线关于对称，连接，并延长交于，连接，则，可得出当最小时，最小，作直线，交轴与，且使与双曲线在第一象限的图象相切，切点为，作于，作，则的最小值是的长，可设直线的解析式为：，由整理得，，从而得出，求得的值，进一步得出结果.
本题考查了求反比例函数和一次函数的解析式，函数图象的交点与方程（组）之间的关系，三角形中位线的性质，解直角三角形等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造三角形的中位线.
12.【答案】解：（1）根据题意，以为圆心，为半径作圆，延长交圆于点，延长交于点，连接，，，，
是直径，
，，
为垂心，
，，，
，，
是平行四边形，
，
，，
，
，
设半径为，，
，
又，
；
（2）为垂心，
，，，
，
，
，
，，
、、、四点共圆；
（3）设，
，
，
在直角中，，，，
，，
，
在直角中，，
即：，
在直角中，，
即：，
，
，
在中，，
即：，
，
或（舍去），
.
【解析】（1）由垂心，得到垂直关系，结合圆周角度数为，得到圆心角的度数，得到是平行四边形，从而得到结果；
（2）先求出，再结合，，得到四点共圆；
（3）设，用表示出的各边，利用勾股定理，得到一元二次方程，利用求根公式求方程的根，得到结果.
本题考查了圆的综合应用，涉及到直角三角形勾股定理的应用，圆周角、圆心角、平行四边形的性质的应用，关键是四点共圆的判断，因为共底边的两个三角形的底角相等，且在底边的同侧，则四个顶点共圆.