2024年广东省广州市广雅中学九年级数学第一学期开学综合测试模拟试题【含答案】

这是一份2024年广东省广州市广雅中学九年级数学第一学期开学综合测试模拟试题【含答案】，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）若一次函数y=mx+n中，y随x的增大而减小，且知当x＞2时，y＜0，x＜2时，y＞0，则m、n的取值范围是．（ ）
A．m＞0，n＞0B．m＜0，n＜0C．m＞0，n＜0D．m＜0，n＞0
2、（4分）如图，A，B，C是⊙O上三点，∠α=140°，那么∠A等于（ ）.
A．70°B．110°C．140°D．220°
3、（4分）下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．三角形 B．菱形 C．角 D．平行四边形
4、（4分）当k＜0时，一次函数y=kx﹣k的图象不经过（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
5、（4分）如图，△ABC 称为第 1 个三角形，它的周长是 1，以它的三边中点为顶点组成第 2 个三角形，再以第 2 个三角形的三边中点为顶点组成第 3 个三角形，以此类推，则第 2019 个三角形的周长为（ ）
A．B．C．D．
6、（4分）下列长度的三条线段能组成直角三角形的是( )
A．，，B．，，C．，，D．，，
7、（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，D，E，F分别为AB，AD，AC的中点，若CB=4，则EF的长度为（ ）
A．2B．1C．D．2
8、（4分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）要使二次根式有意义，则的取值范围是________．
10、（4分）计算的结果等于______．
11、（4分）若关于x的分式方程=2a无解，则a的值为_____．
12、（4分）如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，按向上，向右，向下，向右的方向不断地移动，每移动一个单位，得到点A1（0，1），A2（1，1），A3（1，0），A4（2，0），…那么点A4n+1（n为自然数）的坐标为 （用n表示）
13、（4分）已知实数m，n满足3m2＋6m－5=0，3n2＋6n－5=0,则________
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）如图，正方形网格上有和．（每一个小正方形的边长为）
求证：；
请你在正方形网格中画一个以点为位似中心的三角形并将放大倍．
15、（8分）甲、乙两个同学分解因式x2+ax+b时，甲看错了b，分解结果为（x+2）（x+4）；乙看错了a，分解结果为（x+1）（x+9），求a+b的值．
16、（8分）甲、乙两家文化用品商场平时以同样价格出售相同的商品.六一期间两家商场都让利酬宾，其中甲商场所有商品一律按8折出售，乙商场对一次购物中超过200元后的价格部分打7折.
（1）分别写出两家商场购物金额（元）与商品原价（元）的函数解析式；
（2）在如图所示的直角坐标系中画出（1）中函数的图象；
（3）六一期间如何选择这两家商场购物更省钱？
17、（10分）我们将、称为一对“对偶式”，因为，所以构造“对偶式”再将其相乘可以有效的将和中的“”去掉.于是二次根式除法可以这样解：如，．像这样，通过分子，分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化.根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答以下问题：
（1）比较大小________（用“”、“”或“”填空）；
（2）已知，，求的值；
（3）计算：
18、（10分）（1）计算：5-+2
（2）解不等式组：
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）某小区20户家庭的日用电量（单位：千瓦时）统计如下：
这20户家庭日用电量的众数、中位数分别是（ ）
A．6，6.5B．6，7C．6，7.5D．7，7.5
20、（4分）正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2…按如图所示放置，点A1、A2、A3…在直线y＝x+1上，点C1、C2、C3…在x轴上，则A5的坐标是___．
21、（4分）甲乙两人同时开车从A地出发，沿一条笔直的公路匀速前往相距400千米的B地，1小时后，甲发现有物品落在A地，于是立即按原速返回A地取物品，取到物品后立即提速25%继续开往B地（所有掉头和取物品的时间忽略不计），甲乙两人间的距离y千米与甲开车行驶的时间x小时之间的部分函数图象如图所示，当甲到达B地时，乙离B地的距离是_____．
22、（4分）如图，四边形ABCD是菱形，点A，B，C，D的坐标分别是（m，0），（0，n），（1，0），（0，2），则mn=_____．
23、（4分）如果直线l与直线y=﹣2x+1平行，与直线y=﹣x+2的交点纵坐标为1，那么直线l的函数解析式为__.
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）两摞相同规格的饭碗整齐地叠放在桌面上，如图，请根据图中给出的数据信息，解答问题：
（1）求整齐叠放在桌面上饭碗的高度y(cm)与饭碗数x(个)之间的一次函数解析式(不要求写出自变量x的取值范围)；
（2）若桌面上有12个饭碗，整齐叠放成一摞，求出它的高度．
25、（10分）甲、乙两座城市的中心火车站A，B两站相距360 km.一列动车与一列特快列车分别从A，B两站同时出发相向而行，动车的平均速度比特快列车快54 km/h，当动车到达B站时，特快列车恰好到达距离A站135 km处的C站．求动车和特快列车的平均速度各是多少？
26、（12分）如图，AD是△ABC的中线，AE∥BC，BE交AD于点F，且AF=DF.
(1)求证:△AFE≌ODFB；
(2)求证:四边形ADCE是平行四边形；
(3)当AB、AC之间满足什么条件时，四边形ADCE是矩形.
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、D
【解析】
根据图象和系数的关系确定m＜0且直线经过点(2，0)，将(2，0)代入求得．
【详解】
解：根据题意，m＜0且直线经过点(2，0)，
∴，
∴，
∴m＜0，n＞0，
故选：D．
本题考查了一次函数图象和系数的关系，一次函数图象上点的坐标特征，能够准确理解题意是解题的关键．
2、B
【解析】
解：根据周角可以计算360°﹣∠α=220°，
再根据圆周角定理，得∠A的度数．
∵∠1=360°﹣∠α=220°，
∴∠A=∠1=220°÷2=110°．
故选B．
考点：圆周角定理．
3、B
【解析】【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念进行求解即可．
【详解】A、三角形不一定是轴对称图形和中心对称图形，故本选项错误；
B、菱形既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项正确；
C、角是轴对称图形但不一定是中心对称图形，故本选项错误；
D、平行四边形是中心对称图形但不一定是轴对称图形，故本选项错误，
故选B．
【点睛】本题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；判断中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
4、C
【解析】
试题分析：∵k＜0，∴﹣k＞0，∴一次函数y=kx﹣k的图象经过第一、二、四象限．故选C．
考点：一次函数图象与系数的关系．
5、B
【解析】
根据三角形的中位线等于第三边的一半可得中点三角形的周长等于原三角形的周长的一半，然后根据指数的变化规律求解即可．
【详解】
解：根据三角形中位线定理可得第 2 个三角形的各边长都等于第 1 个三角形各边的一半，
∵第 1 个三角形的周长是 1，
∴第 2 个三角形的周长＝第 1 个三角形的周长 1×＝ ，
第 3 个三角形的周长为＝第 2 个三角形的周长×＝（ ）²，
第 4 个三角形的周长为＝第 3 个三角形的周长（）²×＝（ ）³，
…
∴第 2019 个三角形的周长═（）2018＝ ．
故选B．
本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，熟记定理并判断出后一个三角形的周长等于上一个三角形的周长的一半是解题的关键．
6、B
【解析】
如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形，最长边所对的角为直角；
【详解】
A. 2+3≠4，故该三角形不是直角三角形；
B. 3+4=5，故该三角形是直角三角形；
C.4+5≠6，故该三角形不是直角三角形；
D.5+6≠7，故该三角形不是直角三角形.
故选B
此题考查勾股定理逆定理，解题关键在于理解勾股定理逆定理的内容.
7、A
【解析】
根据直角三角形的性质求出CD，根据三角形中位线定理计算即可．
【详解】
解：∵∠ACB=90°，∠A=30°，
∴AB=2BC=8，
∵∠ACB=90°，D为AB的中点，
∴CD=AB=4，
∵E，F分别为AD，AC的中点，
∴EF=CD=2，
故选：A．
本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
8、C
【解析】
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【详解】
A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；
C、是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项正确；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误．
故选：C．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、x≥1
【解析】
根据二次根式被开方数为非负数进行求解．
【详解】
由题意知，，
解得，x≥1，
故答案为：x≥1．
本题考查二次根式有意义的条件，二次根式中的被开方数是非负数．
10、3
【解析】
根据平方差公式（）即可运算.
【详解】
解：原式=.
本题考查了平方差公式，熟记平方差公式是解决此题的关键.
11、1或
【解析】
分析：直接解分式方程，再利用当1-2a=0时，当1-2a≠0时，分别得出答案．
详解：去分母得：
x-3a=2a（x-3），
整理得：（1-2a）x=-3a，
当1-2a=0时，方程无解，故a=；
当1-2a≠0时，x==3时，分式方程无解，
则a=1，
故关于x的分式方程=2a无解，则a的值为：1或．
故答案为1或．
点睛：此题主要考查了分式方程的解，正确分类讨论是解题关键．
12、（2n，1）
【解析】
试题分析：根据图形分别求出n=1、2、3时对应的点A4n+1的坐标，然后根据变化规律写出即可：
由图可知，n=1时，4×1+1=5，点A5（2，1），
n=2时，4×2+1=9，点A9（4，1），
n=3时，4×3+1=13，点A13（6，1），
∴点A4n+1（2n，1）．
13、
【解析】
首先根据二元一次方程的根与系数的关系，表示m+n和mn的形式，再代入计算即可.
【详解】
根据题意可得，3m2＋6m－5=0，3n2＋6n－5=0
所以可得m和n是方程的两个根
所以m+n=-2,mn=
原式=
故答案为
本题主要考查根与系数的关系，其中 这是关键,应当熟练掌握.
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、 (1)见解析;(2)见解析.
【解析】
（1）利用、，
，即可得出△A1B1C1∽△A2B2C2；
（2）延长C2A2到A′，使2C2A2=C2A′，得到C2的对应点A′，同法得到其余点的对应点，顺次连接即为所求图形．
【详解】
.证明：∵，，
，
∴，
∴；
解：如图所示：
此题主要考查了相似三角形的判定以及位似变换的关键是根据位似中心和位似比确定对应点的位置．
15、1
【解析】
根据题意甲看错了b，分解结果为（x+2）（x+4），可得a系数是正确的，乙看错了a，分解结果为（x+1）（x+9），b系数是正确的,在利用因式分解是等式变形，可计算的参数a、b的值.
【详解】
解：∵甲看错了b，所以a正确，
∵（x+2）（x+4）＝x2+6x+8，
∴a＝6，
∵因为乙看错了a，所以b正确
∵（x+1）（x+9）＝x2+10x+9，
∴b＝9，
∴a+b＝6+9＝1．
本题主要考查因式分解的系数计算，关键在于弄清那个系数是正确的.
16、（1）甲商场：y=0.8x，乙商场：y=x（0≤x≤200），y=0.7x+60（x＞200）；（2）详见解析；（3）详见解析．
【解析】
（1）根据题中描述的数量关系分别写出甲商场和乙商场中，y与x的函数关系即可（其中乙商场需分0≤x≤200和x>200两段分别讨论）；（2）根据（1）中所得函数关系式按要求画出函数图象即可；（3）根据（1）中所得函数关系式分0.8x<0.7x+60、0.8x=0.7x+60、0.8x>0.7x+60三种情况进行解答即可得到相应的结论.
【详解】
解：（1）甲商场：y＝0.8x，
乙商场：y＝x（0≤x≤200），
y＝0.7（x﹣200）+200＝0.7x+60，
即y＝0.7x+60（x＞200）；
（2）如图所示；
（3）①由0.8x<0.7x+60解得：x<600；
②由0.8x=0.7x+60解得：x=600；
③由0.8x>0.7x+60解得x>600，
∴当x=600时，甲、乙商场购物花钱相等；当x<600时，在甲商场购物更省钱；当x>600时，在乙商场购物更省钱.
本题考查了一次函数的应用，解决第（1）小题时，需注意乙商场中：y与x的函数关系式需分0≤x≤200和x>200两段分别讨论；解第（2）小题时，需分三种情况分别讨论，再作出相应的结论.
17、（1）；（2）；（3）
【解析】
（1）先利用分母有理化的方法化简，再比较分子即可；
（2）利用x2+y2＝（x+y）2﹣2xy变形计算较为简单；
（3）先把各个式子进行分母有理化，再裂项相消即可．
【详解】
（1）∵＝
；
比较与
∵＞，2＞，
∴+2＞+，
∴〉．
（2）∵x2+y2＝（x+y）2﹣2xy
＝（ ）2﹣2
＝182﹣2
＝324﹣2
＝1
答：x2+y2的值为1．
（3）
＝＝1﹣+﹣+﹣+…+﹣
＝1﹣
＝
考查二次根式的化简求值，同时考查了完全平方公式的变形应用以及裂项法的应用，计算量较大．
18、（1）5；（2）-1≤x＜1．
【解析】
（1）根据二次根式的性质化简，合并同类二次根式即可；
（2）分别解出两个一元一次不等式，根据不等式组的解集的确定方法解答．
【详解】
（1）5-+2
=-2+6
=5；
（2），
解①得，x＜1，
解②得，x≥-1，
则不等式组的解集为：-1≤x＜1．
本题考查的是二次根式的加减法、一元一次不等式组的解法，掌握二次根式的加减法法则、解一元一次不等式组的一般步骤是解题的关键．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、A
【解析】
【分析】结合统计表数据，根据众数和中位数的定义可以求出结果.
【详解】从统计表中看出，6出现次数最多，故众数是6；第10和11户用电量的平均数是中位数.即：
故选：A
【点睛】本题考核知识点：众数和中位数.解题关键点：理解众数和中位数的意义.
20、（15，16）．
【解析】
根据一次函数图象上点的特征及正方形的性质求出A1、A2、A3的坐标，找出规律，即可解答．
【详解】
∵直线y＝x+1和y轴交于A1，
∴A1的坐标（0，1），
即OA1＝1，
∵四边形C1OA1B1是正方形，
∴OC1＝OA1＝1，
把x＝1代入y＝x+1得：y＝2，
∴A2的坐标为（1，2），
同理A3的坐标为（3，4），
…
∴An的坐标为（2n﹣1﹣1，2n﹣1），
∴A5的坐标是（25﹣1﹣1，25﹣1），即（15，16），
故答案为：（15，16）．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及正方形的性质；通过求出第一个正方形、第二个正方形和第三个正方形的边长得出规律是解决问题的关键．
21、1
【解析】
结合题意分析函数图象：线段OC对应甲乙同时从A地出发到A返回前的过程，此过程为1小时；线段CD对应甲返回走到与乙相遇的过程（即甲的速度大于乙的速度）；线段DE对应甲与乙相遇后继续返回走至到达A地的过程，因为速度相同，所以甲去和回所用时间相同，即x＝2时，甲回到A地，此时甲乙相距120km，即乙2小时行驶120千米；线段EF对应甲从A地重新出发到追上乙的过程，即甲用（5﹣2）小时的时间追上乙，可列方程求出甲此时的速度，进而求出甲到达B地的时刻，再求出此时乙所行驶的路程．
【详解】
解：∵甲出发到返回用时1小时，返回后速度不变，
∴返回到A地的时刻为x＝2，此时y＝120，
∴乙的速度为60千米/时，
设甲重新出发后的速度为v千米/时，列得方程：
（5﹣2）（v﹣60）＝120，
解得：v＝100，
设甲在第t小时到达B地，列得方程：
100（t﹣2）＝10
解得：t＝6，
∴此时乙行驶的路程为：60×6＝360（千米），
乙离B地距离为：10﹣360＝1（千米）．
故答案为：1．
本题考查了一次函数与一元一次方程的应用，关键是把条件表述的几个过程对应图象理解清楚，再找出对应x和y表示的数量关系．
22、1 ．
【解析】
分析：根据菱形的对角线互相垂直平分得出OA=OC，OB=OD，得出m和n的值，从而得出答案．
详解：∵四边形ABCD是菱形， ∴OA=OC，OB=OD， ∴m=－1，n=－1，∴mn=1．
点睛：本题主要考查的是菱形的性质，属于基础题型．根据菱形的性质得出OA=OC，OB=OD是解题的关键．
23、答案为:y=﹣2x+3.
【解析】【分析】设直线l的函数解析式为y=kx+b,先由平行关系求k,再根据交点求出b.
【详解】设直线l的函数解析式为y=kx+b,
因为，直线l与直线y=﹣2x+1平行，
所以，y=﹣2x+b,
因为，与直线y=﹣x+2的交点纵坐标为1，
所以，1=﹣x+2，x=1
所以，把（1，1）代入y=-2x+b,解得b=3.
所以，直线l的函数解析式为:y=﹣2x+3.
故答案为:y=﹣2x+3.
【点睛】本题考核知识点：一次函数解析式. 解题关键点：熟记一次函数的性质.
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（1）； （2）22.1
【解析】
（1）使用待定系数法列出方程组求解即可．
（2）把x=12代入（1）中的函数关系式，就可求解．
【详解】
（1）设函数关系式为y=kx+b，根据题意得

解得
∴y与x之间的函数关系式为y=1.1x+4.1．
（2）当x=12时，y=1.1×12+4.1=22.1．
∴桌面上12个整齐叠放的饭碗的高度是22.1cm．
本题意在考查学生利用待定系数法求解一次函数关系式，并利用关系式求值的运算技能和从情景中提取信息、解释信息、解决问题的能力．
25、特快列车的平均速度为90 km/h，动车的速度为1 km/h.
【解析】
设特快列车的平均速度为xkm/h，则动车的速度为（x+54）km/h，等量关系：动车行驶360km与特快列车行驶（360﹣135）km所用的时间相同，列方程求解．
【详解】
设特快列车的平均速度为xkm/h，则动车的速度为（x+54）km/h，
由题意，得：，
解得：x=90，
经检验得：x=90是这个分式方程的解．
x+54=1．
答：特快列车的平均速度为90km/h，动车的速度为1km/h．
考点：分式方程的应用．
26、（1）见解析；（2）见解析；（3）当AB=AC时，四边形ADCE是矩形.
【解析】
（1）根据“AAS”即可证明△AFE≌△DFB；
（2）由△AFE≌△DFB可证明AE=CD，再由AE∥BC可利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形ADCE是平行四边形；
（2）当AB=AC时，根据等腰三角形三线合一可得AD⊥BC，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可得结论.
【详解】
（1）∵AE∥BC，
∴∠AEF=∠DBF ,
∵∠AFE=∠DFB，AF=DF,
∴△AFE≌△DFB（AAS）;
（2）∵△AFE≌△DFB，
∴AE=BD，
∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD,
∴AE=CD ,
∵AE∥BC,
∴四边形ADCE是平行四边形；
（3）当AB=AC时，四边形ADCE是矩形；
∵AB=AC，AD是△ABC的中线，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC=90°
∵四边形ADCE是平行四边形,
∴四边形ADCE是矩形,
∴当AB=AC时，四边形ADCE是矩形.
此题主要考查了全等三角形的判定与性质、矩形、平行四边形的判定，关键是掌握一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，有一个角是直角的平行四边形是矩形．
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
批阅人