2024-2025学年第一学期人教版八年级期中数学模拟练习试卷

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1．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形．
根据轴对称图形和中心对称图形的定义依次判断即可．“把一个图形沿某条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴”，“把一个图形绕着某一个点旋转后能够与自身重合，这样的图形叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心”．熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义是解题的关键．
【详解】A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；
B、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故符合题意；
C、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故不符合题意；
D、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意．
故选：B．
2．下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A．2，3，4B．3，6，11C．4，6，10D．5，8，14
【答案】A
【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，
任意两边之差小于第三边”，进行分析．
【详解】解：A、2+3＞4，能组成三角形；
B、3+6＜11，不能组成三角形；
C、4+6=10，不能组成三角形；
D、5+8＜14，不能够组成三角形．
故选：A．
3．如图，四个图形中，线段BE是△ABC的高的图是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：由图可得，线段BE是△ABC的高的图是D选项．
故选：D．
如图，要测量池塘两岸相对的两点A，B的距离，小明在池塘外取的垂线上的点C，D，
使，再画出的垂线，使E与A，C在一条直线上，这时测得的长就是的长，
依据是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，
熟知全等三角形的判定定理是解题的关键，
全等三角形的判定定理有．
【详解】解：∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴依据是，
故选C．
如图，在中，，点D是和角平分线的交点，
则（ ）

A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查的是三角形内角和定理，根据三角形内角和定理得到，
根据角平分线的定义和三角形内角和定理计算即可．
掌握三角形内角和等于180°是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∵点D是和角平分线的交点，
∴，，
∴，
∴，
故选：A．
如图，小宾利用尺规进行作图：作的角平分线，圆弧与角的两边分别交于A，C两点，
连结交于点O，在射线上截取，连结，．若，
则的大小是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，垂直平分线的性质和角平分线的性质。
根据垂直平分线的性质、等腰三角形的性质和角平分线的性质可得，
根据三角形内角和定理可得，再根据等腰三角形的性质即可求解．
【详解】∵圆弧与角的两边分别交于A，C两点，
∴，
∵，是的角平分线，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴．
故选：C
7．如图，AF=CD，BC=EF，若要添加一个条件，使△ABC≌△DEF，可以添加（ ）

A．AC=DFB．∠B=∠EC．EF∥BCD．AB∥DE
【答案】C
【分析】要使△ABC≌△DEF，已知AF＝CD，可得AC＝DF，再由BC∥EF，可知已知两边对应相等寻找其夹角∠ACB＝∠CFE，符合SAS来判定，根据选项即可得到答案．
【详解】解：∵AF＝CD，
∴AF＋FC＝CD＋FC，即 AC＝DF，
∵EF∥BC，
∴∠ACB＝∠CFE，
∴在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS）．
故选：C．
如图，在中，，，点D是的中点，于点D，交于点E，
连接，若，则的值是（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】D
【分析】先证得是线段的垂直平分线，得到，再证得，
进而求得、的长，即可求得.
【详解】解：∵点D是的中点，，
∴是线段的垂直平分线，
∴，
∴，
∵在中，，，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：D
9．如图，已知△ABC≌△DEF，CD平分∠BCA，若∠A＝30°，∠CGF＝88°，则∠E的度数是（ ）
A．30°B．50°C．44°D．34°
【解答】解：∵CD平分∠BCA，
∴∠ACD＝∠BCD＝∠BCA，
∵△ABC≌△DEF，
∴∠D＝∠A＝30°，
∵∠CGF＝∠D+∠BCD，
∴∠BCD＝∠CGF﹣∠D＝58°，
∴∠BCA＝116°，
∴∠B＝180°﹣30°﹣116°＝34°，
∵△ABC≌△DEF，
∴∠E＝∠B＝34°，
故选：D．
10．在数学活动课上，小明提出这样一个问题：如图，，E是的中点，平分，则下列说法正确的有（ ）

①；②平分；③；④；⑤．
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】C
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质和判定，角平分线性质等，构造全等三角形是解题的关键，延长交的延长线于点M，易证，，，根据角平分线的性质进一步可得是等腰三角形，然后进行判断即可．
【详解】解：延长交的延长线于点M，

，
，
，
故①选项符合题意；
，
是的中点，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
故④选项符合题意，
，
，
平分，
故②、⑤选项符合题意；
和的大小关系不确定，
故③选项不符合题意，
综上可知，正确的有①②④⑤，
故选：C．
二、填空题：本大题共6个小题．每小题3分，共18分．把答案填在题中横线上．
11．△ABC中，∠A：∠B：∠C＝1：3：5，则∠C ＝ ．
【分析】设∠C＝x，根据∠A：∠B：∠C＝1：3：5可知∠B＝3x，∠C＝5x，
由三角形内角和定理即可求出x的值，进而得出∠C的值．
【解答】解：设∠C＝x，
∵∠A：∠B：∠C＝1：3：3，
∴∠B＝3x，∠C＝5x，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴x+3x+5x＝180°，解得x＝20°，
∴∠C＝5x＝5×20°＝100°．
故答案为：100°．
12．如图，已知AC＝DB，要使△ABC≌△DCB ．
【分析】要使△ABC≌△DCB，已知有两对边对应相等，
则可根据全等三角形的判定方法添加合适的条件即可．
【解答】解：∵AC＝BD，BC＝BC，
∴可添加AB＝DC利用SSS判定△ABC≌△DCB．
故填：AB＝DC．
13．将一副三角尺按如图所示的方式叠放，则∠1的度数为 ．
【答案】75°
【分析】根据三角形外角性质求解即可．
【详解】解：如图，
∵，∠2＝45°，
∴，
∵，
∴．
故答案为：75°．
如图，在中，，垂直平分，垂足为，交于，
若的周长为，则的长为 ．
【答案】
【分析】此题考查线段垂直平分线的性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．
利用线段垂直平分线的性质得，再利用已知条件结合三角形的周长计算．
【详解】解：的周长，
又垂直平分，
，
故，
，
．
故答案为：．
如图，MN是等边三角形ABC的一条对称轴，D为AC的中点，点P是直线MN上的一个动点，
当PC+PD最小时，∠PCD的度数是 ．
【答案】30°
【分析】由于点C关于直线MN的对称点是B，所以当B、P、D三点在同一直线上时，PC+PD的值最小．
【详解】解：由题意知，当B、P、D三点位于同一直线时，PC+PD取最小值，
连接BD交MN于P，
∵△ABC是等边三角形，D为AC的中点，
∴BD⊥AC，
∴PA=PC，
∴∠PCD=∠PAD=30°．
故答案为：30°
16 .如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，CD⊥AB于点D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于点E，
与CD相交于点F，DH⊥BC于点H，交BE于点G．下列结论：
①BD＝CD；②AD+CF＝BD；③CE＝BF；④AE＝CF．
其中正确的是 （填上正确结论的序号）．
【解答】解：∵CD⊥AB，∠ABC＝45°，
∴∠ABC＝∠BCD＝45°，
∴BD＝CD．故①正确；
在Rt△DFB和Rt△DAC中，
∵∠DBF＝90°﹣∠BFD，∠DCA＝90°﹣∠EFC，且∠BFD＝∠EFC，
∴∠DBF＝∠DCA．
又∵∠BDF＝∠CDA＝90°，BD＝CD，
∴△DFB≌△DAC．
∴BF＝AC；DF＝AD．
∵CD＝CF+DF，
∴AD+CF＝BD；故②正确；
在Rt△BEA和Rt△BEC中
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE．
又∵BE＝BE，∠BEA＝∠BEC＝90°，
∴Rt△BEA≌Rt△BEC（ASA）．
∴CE＝AE＝AC．
又由（1），知BF＝AC，
∴CE＝AC＝BF；故③正确；
∵△CEF中，CF是斜边，CE是直角边，
∴CF＞EC
∵AE＝EC，
∴CF＞AE．故④错误，
故答案为：①②③．
三、解答题：本大题共9个小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17．如图，．求证：．

【答案】见解析
【分析】由全等三角形的判定定理即可求证．
【详解】证明：∵，
∴
∵，
∴，
在和中，
．
∴．
18．如图，∠A＝65°，∠ABD＝30°，∠ACB＝72°，且CE平分∠ACB，求∠BEC的度数．
【解答】解：在△ABC中，
∵∠A＝65°，∠ACB＝72°
∴∠ABC＝43°
∵∠ABD＝30°
∴∠CBD＝∠ABC﹣∠ABD＝13°
∵CE平分∠ACB
∴∠BCE＝∠ACB＝36°
∴在△BCE中，∠BEC＝180°﹣13°﹣36°＝131°．
故答案为：131°
19．如图，在平面直角坐标系中，点，，．

(1)画出关于x轴对称的；
(2)求的面积；
(3)在y轴上找一点P，使得周长最小（不写作法）．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)见解析
【分析】本题主要考查了作轴对称图形，三角形面积计算，轴对称的性质；
（1）先作出点A、B、C关于x轴的对称点、、，然后顺次连接即可；
（2）利用割补法求出的面积即可；
（3）先作出点A关于y轴的对称点，连接交y轴于一点，即为点P．
解题的关键是作出对应点的位置．
【详解】（1）解：如图，即为所求作的三角形；
（2）解：；
（3）解：先作出点A关于y轴的对称点，连接交y轴于一点，该点即为所求作的点P，如图所示：

∵点A关于y轴的对称点，
∴，
∴，
∵两点之间线段最短，
∴此时的周长最小．
20．如图，，，的垂直平分线交于点，求：
(1)的度数；
(2)若的周长是，求的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质；
（1）根据等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质求解即可；
（2）根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质即可求出．
【详解】（1）解：∵的垂直平分线交于点，
∴，
∴；
（2）解：∵，的周长是，
∴，
∵，
∴．
21．如图，△ABC、△CDE均为等边三角形，连接BE，AD交于点O，AC与BE交于点P，求证：
（1）BE＝AD；
（2）∠AOB的度数．
【解答】（1）证明：∵△ABC和△ECD都是等边三角形，
∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，
∴∠ACB+∠ACE＝∠DCE+∠ACE，
即∠BCE＝∠ACD，
在△BCE和△ACD中，
，
∴△BCE≌△ACD（SAS），
∴BE＝AD
（2）由（1）可得△BCE≌△ACD，
∴∠CAD＝∠CBE，
∵∠APO＝∠BPC，
∴∠AOP＝∠BCP＝60°，即∠AOB＝60°．
22．如图，在△ABC中，EF垂直平分AC，交BC于点E，AD⊥BC，连接AE．
（1）若∠BAE＝44°，求∠C的度数．
（2）若AC＝7cm，DC＝5cm，求△ABC的周长．
【分析】（1）根据线段垂直平分线和等腰三角形性质得出AB＝AE＝CE，
求出∠AEB和∠C＝∠EAC，即可得出答案；
（2）根据已知能推出AB+BD＝EC+DE＝DC，即可得出答案．
【解答】解：（1）∵AD⊥BC，EF垂直平分AC，
∴AE＝AB＝EC，
∴∠CAE＝∠C，
∵∠BAE＝44°，
∴，
∴．
（2）由（1）知：EC＝AE＝AB，
∵DE＝BD．
∴AB+BD＝EC+DE＝DC，
∴△ABC的周长为AB+BC+AC＝AB+BD+DC+AC＝2DC+AC＝6×5+7＝17（cm）．
答：△ABC的周长为17cm．
23．如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE，垂足分别为D
（1）证明：△BCE≌△CAD；
（2）若AD＝25cm，BE＝8cm，求DE的长．
【分析】（1）根据垂直定义求出∠BEC＝∠ACB＝∠ADC，
根据等式性质求出∠ACD＝∠CBE，根据AAS证明△BCE≌△CAD；
（2）根据全等三角形的对应边相等得到AD＝CE，BE＝CD，利用DE＝CE﹣CD，即可解答．
【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，BE⊥CE，
∴∠BEC＝∠ACB＝∠ADC＝90°，
∴∠ACE+∠BCE＝90°，∠BCE+∠CBE＝90°，
∴∠ACD＝∠CBE，
在△BCE和△CAD中，
，
∴△BCE≌△CAD（AAS）；
（2）∵△BCE≌△CAD，
∴AD＝CE，BE＝CD，
∴DE＝CE﹣CD＝AD﹣BE＝25﹣8＝17（cm）．
如图，是边长为6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，
分别沿方向匀速移动．
当点P的运动速度是1cm/s，点Q的运动速度是2cm/s，当Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，
设运动时间为t（s），当时，判断的形状，并说明理由；
当它们的速度都是1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动，
设点P的运动时间为t（s），则当t为何值时，是直角三角形？
【答案】(1)是等边三角形，理由见解析
(2)当点P的运动时间为2s或4s时，是直角三角形
【分析】（1）分别求出的长可知，再由等边三角形的性质得到，即可证明是等边三角形；
（2）分当时和当时两种情况利用含30度角的直角三角形的性质求解即可．
【详解】（1）解：是等边三角形，理由如下；
由题意得，当时，，
∴，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴是等边三角形；
（2）解；∵运动时间为，
∴，
∴，
如图1所示，当时，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得；
如图2所示，当时，
同理可得，
∴，
∴，
解得；
综上所述，当点P的运动时间为2s或4s时，是直角三角形．
在长方形ABCD中，AB＝4，BC＝8，点P、Q为BC边上的两个动点（点P位于点Q的左侧，
P、Q均不与顶点重合），PQ＝2．
（1）如图①，若点E为CD边上的中点，当Q移动到BC边上的中点时，求证：AP＝QE；
（2）如图②，若点E为CD边上的中点，在PQ的移动过程中，若四边形APQE的周长最小时，求BP的长；
（3）如图③，若M、N分别为AD边和CD边上的两个动点（M、N均不与顶点重合），
当BP＝3，且四边形PQNM的周长最小时，求此时四边形PQNM的面积．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB＝4，BC＝AD＝8，
∵点E是CD的中点，点Q是BC的中点，
∴BQ＝CQ＝4，CE＝2，
∴AB＝CQ，
∵PQ＝2，
∴BP＝2，
∴BP＝CE，
又∵∠B＝∠C＝90°，
∴△ABP≌△QCE（SAS），
∴AP＝QE；
（2）解：如图②，在AD上截取线段AF＝PQ＝2，作F点关于BC的对称点G，连接EG与BC交于一点即为Q点，过A点作FQ的平行线交BC于一点，即为P点，过G点作BC的平行线交DC的延长线于H点．
∵GH＝DF＝6，EH＝2+4＝6，∠H＝90°，
∴∠GEH＝45°，
∴∠CEQ＝45°，
设BP＝x，则CQ＝BC﹣BP﹣PQ＝8﹣x﹣2＝6﹣x，
在△CQE中，∵∠QCE＝90°，∠CEQ＝45°，
∴CQ＝EC，
∴6﹣x＝2，
解得x＝4，
∴BP＝4；
（3）解：如图③，作点P关于AD的对称点F，作点Q关于CD的对称点H，连接FH，交AD于M，交CD于N，连接PM，QN，此时四边形PQNM的周长最小，连接FP交AD于T，
∴PT＝FT＝4，QC＝BC﹣BP﹣PQ＝8﹣3﹣2＝3＝CH，
∴PF＝8，PH＝8，
∴PF＝PH，
又∵∠FPH＝90°，
∴∠F＝∠H＝45°，
∵PF⊥AD，CD⊥QH，
∴∠F＝∠TMF＝45°，∠H＝∠CNH＝45°，
∴FT＝TM＝4，CN＝CH＝3，
∴四边形PQNM的面积
＝×PF×PH﹣×PF×TM﹣×QH×CN
＝×8×8﹣×8×4﹣×6×3
＝7．