08 第54讲　圆锥曲线热点问题 02 第2课时　定点、定值、探索性问题 【答案】作业 高考数学二轮复习练习

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(2)证明:设直线AB的方程为x=my+t,由x=my+t,y2=4x,得y2-4my-4t=0,由Δ=16m2+16t>0,得m2+t>0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=4m,y1y2=-4t.
直线PA的斜率k1=y1-2x1-1=y1-2y124-1=4y1+2,同理可得直线PB的斜率k2=4y2+2,由题意得4y1+2+4y2+2=2,则4(y1+y2+4)=2(y1y2+2y1+2y2+4),整理得y1y2=4,即-4t=4,解得t=-1,故直线AB过定点(-1,0).
2.解:(1)由椭圆的离心率为22,可设a=2t,c=t(t>0),则b=t.椭圆的四个顶点构成的四边形为菱形,其面积S=12×2a×2b=12×22t×2t=22t2=22,
可得t=1,则椭圆的方程为x22+y2=1.
(2)证明:联立直线y=kx+m与椭圆x22+y2=1的方程,消去y可得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0,Δ=(4km)2-4(1+2k2)(2m2-2)=16k2-8m2+8>0,则x1+x2=-4km1+2k2,x1x2=2m2-21+2k2.因为点O到直线y=kx+m的距离d=|m|1+k2,|AB|=1+k2|x1-x2|,所以
S△AOB=12|m|·|x1-x2|=12|m|·(x1+x2)2-4x1x2=12|m|·-4km1+2k22-4·2m2-21+2k2=|m|·4k2-2m2+21+2k2=22,整理得2m2=2k2+1,则x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=-4km1+2k22-2·2m2-21+2k2=2,所以x12+x22为定值.
3.解:(1)由题意得e=ca=52,∴5a2=4c2=4(a2+b2),∴a2=4b2.∵点(4,3)在双曲线C上,∴16a2-3b2=1,∴4b2-3b2=1,解得b2=1,∴a2=4,∴双曲线C的标准方程为x24-y2=1.
(2)证明:由(1)知A(-2,0),B(2,0),直线AD的方程为y=t3(x+2),直线BD的方程为y=-t(x-2),设P(x1,y1),Q(x2,y2),将直线AD的方程与双曲线C的方程联立,消去y,得(9-4t2)x2-16t2x-16t2-36=0,
∴9-4t2≠0,Δ=256t4+4(9-4t2)(16t2+36)=1296>0,解得t≠±32,∴-2x1=-16t2-369-4t2,即x1=8t2+189-4t2,则y1=12t9-4t2,即P8t2+189-4t2,12t9-4t2,同理可得x2=-8t2+21-4t2,则y2=4t1-4t2,即Q-8t2+21-4t2,4t1-4t2.当直线PQ的斜率存在时,kPQ=y1-y2x1-x2=12t9-4t2-4t1-4t28t2+189-4t2+8t2+21-4t2=-2t3-4t2,
∴直线PQ的方程为y-12t9-4t2=-2t3-4t2x-8t2+189-4t2,即y=-2t3-4t2(x-4),此时直线PQ过定点(4,0).
当直线PQ的斜率不存在时,t2=34,此时x1=x2=4,则直线PQ的方程为x=4,直线PQ过点(4,0).
综上,直线PQ经过定点(4,0).
4.解:(1)设M(x,y),则kAM·kBM=yx+2·yx-2=-34且x≠±2,整理得曲线C的方程为x24+y23=1且x≠±2.
(2)由对称性不妨设N(4,n)(n>0),则直线AM的方程为y=n6(x+2),由y=n6(x+2),x24+y23=1,得(n2+27)x2+4n2x+4n2-108=0,设M(x0,y0),则-2+x0=-4n2n2+27,所以x0=54-2n2n2+27,所以y0=n6×108n2+27=18nn2+27.
当x0≠1,即n≠3时,tan∠MFD=y0x0-1=6n9-n2,tan∠NFD=n3,因为2tan∠NFD1-tan2∠NFD=2n31-n29=6n9-n2=tan∠MFD,所以∠MFD=2∠NFD;当x0=1,即n=3时,易知∠MFD=90°,∠NFD=45°,所以∠MFD=2∠NFD.
综上,存在实数λ=2,使得∠MFD=λ∠NFD恒成立.
5.解:(1)设|F1F2|=2c(c>0),则双曲线C的离心率e=ca=233=23,设a=3t,c=2t,t>0,所以F1(-2t,0),F2(2t,0),PF1=(-2t-3,-1),PF2=(2t-3,-1),所以PF1·PF2=(-2t-3)(2t-3)+1=6,解得t=1或t=-1(舍去),所以双曲线C的方程为x23-y2=1.
(2)证明:设A(x1,y1),B(x2,y2),由题知直线l的斜率一定存在,设直线l的方程为y-1=k(x-3),-33