河南省南阳市第一中学校2024-2025学年高二上学期9月月考数学试题

这是一份河南省南阳市第一中学校2024-2025学年高二上学期9月月考数学试题，共13页。试卷主要包含了直线的倾斜角是，已知直线，则下列结论正确的是等内容，欢迎下载使用。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
考试时间为120分钟，满分150分
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.直线的倾斜角是（ ）
A. B. C. D.
2.已知直线和互相平行，则它们之间的距离是（ ）
A. B. C. D.3
3.已知圆经过两点，且圆心在直线，则圆的标准方程是（ ）
A. B.
C. D.
4.已知椭圆的左､右焦点分别为，点在椭圆上.若，则的面积为（ ）
A.4 B.6 C.8 D.9
5.已知圆，则经过圆内一点且被圆截得弦长最短的直线的方程为（ ）
A. B.
C. D.
6.动点与定点的距离和到定直线的距离的比是常数，则动点的轨迹方程是（ ）
A. B.
C. D.
7.已知是椭圆上一点，则点到直线的最小距离是（ ）
A. B. C. D.
8.已知是椭圆上关于原点对称的两点，是椭圆的右焦点，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知直线，则下列结论正确的是（ ）
A.直线的一个方向向量为
B.直线的一个法向量为
C.若直线，则
D.点到直线的距离是2
10.已知直线，圆是以原点为圆心，半径为2的圆，则下列结论正确的是（ ）
A.直线恒过定点
B.当时，圆上有且仅有两个点到直线的距离都等于1
C.若圆与曲线恰有三条公切线，则
D.当时，过直线上一个动点向圆引两条切线，其中为切点，则直线经过点
10.已知椭圆的长轴端点分别为，两个焦点分别为是上任意一点，则（ ）
A.椭圆的离心率为
B.的周长为
C.面积的最大值为
D.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是__________.
13.已知圆，若圆关于直线对称，则的最小值为__________，此时直线的一般式方程为__________.（第一空2分，第二空3分）
14.椭圆的左､右焦点分别为，点在上，直线过左焦点，且与椭圆相交于两点，若直线的倾斜角为，则的面积等于__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15.（13分）（1）已知直线过定点，且其倾斜角是直线的倾斜角的二倍，求直线的方程；
（2）已知入射光线经过点，且被直线反射，反射光线经过点，求反射光线所在直线的方程.
16.（15分）已知直线，点和点分别是直线上一动点.
（1）若直线经过原点，且，求直线的方程；
（2）设线段的中点为，求点到原点的最短距离.
17.（15分）已知圆过三点.
（1）求圆的标准方程；
（2）斜率为1的直线与圆交于两点，若为等腰直角三角形，求直线的方程.
18.（17分）已知圆在椭圆里.过椭圆上顶点作圆的两条切线，切点为，切线与椭圆的另一个交点为，切线与椭圆的另一个交点为.
（1）求的取值范围；
（2）是否存在圆，使得直线与之相切，若存在求出圆的方程，若不存在，说明理由.
19.（17分）已知两个定点.动点满足直线和直线的斜率之积是
（1）求动点的迹方程，并说明该轨迹是什么曲线；
（2）记（1）中点的轨迹为曲线，不经过点的直线与曲线相交于两点，且直线与直线的斜率之积是，求证：直线恒过定点.
数学参考答案及评分意见
1.D 【解析】直线的方程可化为，可知倾斜角，且满足，因此.故选D.
2.A 【解析】因为和互相平行，所以，解得，所以直线可以转化为，由两条平行直线间的距离公式可得.故选A.
3.C 【解析】设圆心的坐标为.因为圆心在直线上，所以①，因为是圆上两点，所以，根据两点间距离公式，有，即②，由①②可得.所以圆心的坐标是），圆的半径.所以，所求圆的标准方程是.故选C.
4.D 【解析】由椭圆定义可得，又因为，所以由勾股定理可得，即，解得，则的面积为.故选D.
5.B 【解析】设经过圆内一点且被圆截得弦长最短的直线的斜率为，直线的斜率为，由题意得，，因为，所以，所以过点且被圆截得弦长最短的直线的方程为，即.故选B.
6.B 【解析】设是点到直线的距离，根据题意，动点的轨迹就是集合.由此得，将上式两边平方并化简，得，即.故选B.
7.C 【解析】解法一：设与直线平行的直线为，联立整理得，令，解得或，所以与距离，当时，最小，即点到直线的最小距离是.故选C.
解法二：设椭圆上点，则点到直线距离
，其中，当
时，，故选C.
8.C 【解析】由对称性和椭圆定义可知，其中，故，又因为，设点，则，所以，当时，取得最小值，最小值为4，当时，取得最大值，最大值为64，所以，故当时，取得最小值，最小值为51，当时，取得最大值，最大值为，故的取值范围是.故选C.
9.ACD 【解析】对于A，因为直线的斜率，所以直线的一个方向向量为，故A正确；对于，所以不是直线的一个法向量，故B错误；
对于C，因为直线的斜率，且，所以直线与直线垂直，故C正确；对于D，点到直线的距离，故D正确.故选ACD.
10.ACD 【解析】对于，整理得，所以解得所以直线恒过定点，故A正确；
对于B，当时，直线为，则圆心到直线的距离，而圆的半径为2，所以圆上有且仅有4个点到直线的距离都等于1，故B错误；
对于C，曲线整理得，则曲线是圆心为，半径为的圆；圆的圆心，半径为2，所以两圆的圆心距为，此时两圆外切，恰有3条公切线，所以，故C正确；
对于D，当时，直线的方程为，设，则以为直径的圆的方程为，即圆两圆的公共弦的方程为，整理得解得直线经过点.故D正确.故选ACD.
11.ABD 【解析】椭圆的长半轴长，短半轴长，半焦距，
对于A，椭圆的离心率为，故A正确；
对于B，的周长为，故B正确；
对于，设，则面积的最大值为
，故C错误；
对于D，设，因此，D正确.故选ABD.
12. 【解析】解得，故实数的取值范围是.故答案为.
13.； 【解析】圆，整理得，则的圆心为，由题意得直线过圆心，所以，又，所以.（当且仅当时，取“）.此时直线方程为，即.故答案为.
14. 【解析】已知点在椭圆上，可得，所以，又因为直线的斜率，所以的方程为.设，联立方程组消去得，可得，所以，点到直线的距离，所以.故答案为.
15.解：（1）因为直线的斜率为，则直线的倾斜角为，
故所求直线的倾斜角为，直线斜率为，
所求直线的方程为，即.
（2）设关于直线对称的点为，
则解得
因为反射光线经过点，
所以所在直线的斜率为，故反射光线所在直线方程为，即.
16.解：（1）将化为一般式方程，得，
两直线的距离为，
因为，所以和两直线垂直.
因为的斜率为，
所以.
又因为直线经过原点，所以直线的方程为.
（2）因为互相平行，所以线段的中点的轨迹为，
即
所以点到原点的最短距离即点到直线的距离，
因为点到直线的距离为.
所以点到原点的最短距离为.
17.解：（1）设所求的圆的方程是，把已知三点坐标代入得方程组
解得
所以圆的一般方程为.
故圆的标准方程为.
（2）设直线的方程为：，
因为为等腰直角三角形，又由（1）知圆的圆心为，半径为5.
所以圆心到直线的距离
解得或，所以直线的方程为：或.
18.解：（1）设为椭圆上任意一点，，则.则.故.
（2）由题意可知，设，因为，故切线的斜率都存在.
又直线的方程为，即为，
同理直线的方程为.
则，故.
而，故，又因为.
故，同理：.
故直线的方程为.
若直线与圆相切，则，令.
故，即.
故或或，
因为，所以不满足，故存在满足条件的圆，其方程为
19.解：（1）设点的坐标为，因为点的坐标是，
所以直线的斜率，
同理，直线的斜率，
由已知，有，
化简，得点的轨迹方程为，
即点的轨迹是除去两点的椭圆.
（2）证明：设
①当直线斜率不存在时，可知，
且有
解得或，当时，则直线经过点，与题意不符，舍去，故，此时直线为，
②当直线斜率存在时，设直线，则
.
联立直线方程与椭圆方程
消去可得：，
根据韦达定理可得：，
所以，
即
整理得：，
所以，则或，
当时，则直线恒过点，与题意不符，舍去，
故，直线恒过原点，
结合①②可知，直线恒过原点，原命题得证.