2024年北京清华大附属中学九年级数学第一学期开学预测试题【含答案】

这是一份2024年北京清华大附属中学九年级数学第一学期开学预测试题【含答案】，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）下列长度的三条线段能组成直角三角形的是
A．3， 4，5B．2，3，4C．4，6，7D．5，11，12
2、（4分）若关于x的方程x2+6x-a=0无实数根，则a的值可以是下列选项中的( )
A．-10B．-9C．9D．10
3、（4分）一次函数的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
4、（4分）在直角三角形中，两条直角边的长分别为12和5，则斜边上的中线长是（ ）
A．6.5B．8.5C．13D．
5、（4分）已知a为整数，且＜＜，则a等于（）
A．1B．2C．3D．4
6、（4分）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A．B．
C．D．
7、（4分）下列从左边到右边的变形，是因式分解的是（ ）
A．y2﹣2y+4＝（y﹣2）2
B．10x2﹣5x＝5x（2x﹣1）
C．a（x+y）＝ax+ay
D．t2﹣16+3t＝（t+4）（t﹣4）+3t
8、（4分）在△ABC中，AB=15，AC=13，BC上的高AD长为12，则△ABC的面积为（ ）
A．84B．24C．24或84D．42或84
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）如图，在平面直角坐标系中，点A为，点C是第一象限上一点，以OA，OC为邻边作▱OABC，反比例函数的图象经过点C和AB的中点D，反比例函数图象经过点B，则的值为______．
10、（4分）如图，▱ABCD中，∠DAB＝30°，AB＝6，BC＝2，P为边CD上的一动点，则2PB+ PD的最小值等于______.
11、（4分）菱形的边长为5，一条对角线长为8，则菱形的面积为____．
12、（4分）若，则_____．
13、（4分）二次函数的最大值是____________.
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）画出函数y=-2x+1的图象．
15、（8分）如图，在ABCD中，点E，F分别在AD，BC边上，且BE∥DF.
求证:(1)四边形BFDE是平行四边形；
(2)AE=CF.
16、（8分）王达和李力是八(2)班运动素质最好的两位同学，为了选出一名同学参加全校的体育运动大寒，班主任针对学校要测试的五个项目，对两位同学进行相应的测试(成绩：分)，结果如下：
根据以上测试结果解答下列问题：
（1）补充完成下表：
（2）任选一个角度分析推选哪位同学参加学校的比赛比较合适?并说明理由；
（3）若按力量：速度：耐力：柔韧：灵敏=1：2：3：3：1的比例折合成综合分数，推选得分同学参加比赛，请通过计算说明应推选哪位同学去参赛。
17、（10分）如图，已知，矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm，AC的垂直平分线EF分别交AD、BC于点E、F，垂足为O，连接AF、CE．
（1）求证：△AOE≌△COF；
（2）求证：四边形AFCE为菱形；
（3）求菱形AFCE的周长．
18、（10分）如图，AD是△ABC的边BC上的高，∠B＝60°，∠C＝45°，AC＝6.求：
(1)AD的长；
(2)△ABC的面积．
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）设函数与y=x﹣1的图象的交点坐标为（a，b），则的值为 ．
20、（4分）已知直线，则直线关于轴对称的直线函数关系式是__________．
21、（4分）直线y＝2x+6经过点（0，a），则a＝_____．
22、（4分）如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为5，则正方形A，B，C，D的面积的和为________

23、（4分）有10个数据的平均数为12，另有20个数据的平均数为15，那么所有这30个数据的平均数是________．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）王老师从学校出发，到距学校的某商场去给学生买奖品，他先步行了后，换骑上了共享单车，到达商场时，全程总共刚好花了.已知王老师骑共享单车的平均速度是步行速度的3倍（转换出行方式时，所需时间忽略不计）.
（1）求王老师步行和骑共享单车的平均速度分别为多少？
（2）买完奖品后，王老师原路返回，为按时上班，路上所花时间最多只剩10分钟，若王老师仍采取先步行，后换骑共享单车的方式返回，问：他最多可步行多少米？
25、（10分）骑自行车旅行越来越受到人们的喜爱，顺风车行经营的型车2017年7月份销售额为万元，今年经过改造升级后，型车每辆的销售价比去年增加元，若今年7月份与去年7月份卖出的型车数量相同，则今年7月份型车销售总额将比去年7月份销售总额增加.求今年7月份顺风车行型车每辆的销售价格．
26、（12分）如图1，将边长为1的正方形ABCD压扁为边长为1的菱形ABCD．在菱形ABCD中，∠A的大小为α，面积记为S．
（1）请补全下表：
（2）填空：
由（1）可以发现正方形在压扁的过程中，菱形的面积随着∠A大小的变化而变化，不妨把菱形的面积S记为S(α)．例如：当α＝30°时，；当α＝135°时，．由上表可以得到( ______°)；( ______°)，…，由此可以归纳出．
（3） 两块相同的等腰直角三角板按如图的方式放置，AD＝，∠AOB＝α，试探究图中两个带阴影的三角形面积是否相等，并说明理由（注：可以利用（2）中的结论）．
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、A
【解析】
利用勾股定理的逆定理：如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形．最长边所对的角为直角．由此判定即可．
【详解】
A、∵32+42=52，∴三条线段能组成直角三角形，故A选项正确；
B、∵22+32≠42，∴三条线段不能组成直角三角形，故B选项错误；
C、∵42+62≠72，∴三条线段不能组成直角三角形，故C选项错误；
D、∵52+112≠122，∴三条线段不能组成直角三角形，故D选项错误；
故选A．
考查勾股定理的逆定理，如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形．
2、A
【解析】
二次方程无实数根，<0, 据此列不等式，解不等式，在解集中取数即可.
【详解】
解：根据题意得：=36+4a＜0，得a＜-9.
故答案为：A
本题考查了一元二次方程的根，，有两个实数根，，有两个相等的实数根，，无实数根，根据的取值判断一元二次方程根的情况是解题的关键.
3、A
【解析】
根据一次函数的图象与系数的关系进行解答即可
【详解】
解：当k>0时，函数图象经过一、二、三象限；当k<0时，函数图象经过二、三、四象限，故A正确.
故选：A.
本题考查的是一次函数的图象，熟知一次函数y=kx+b（k≠0）中，当k<0，b<0时，函数图像经过二、三、四象限是解答此题的关键.
4、A
【解析】
利用勾股定理求得直角三角形的斜边，然后利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解题．
【详解】
如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝1
则根据勾股定理知，AB＝＝13
∵CD为斜边AB上的中线
∴CD＝AB＝6.1．
故选：A．
本题考查了勾股定理、直角三角形斜边上的中线．勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2+b2＝c2．即直角三角形，两直角边的平方和等于斜边的平方．直角三角形的性质：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半．
5、D
【解析】
根据实数的估算即可求解.
【详解】
∵＜＜，=4
∴a=4
故选D.
此题主要考查实数的估算，解题的关键是熟知实数的性质.
6、D
【解析】
根据因式分解的定义，逐一判断选项，即可得到答案．
【详解】
∵是整式的乘法，不是因式分解，
∴A不符合题意，
∵不是因式分解，
∴B不符合题意，
∵不是因式分解，
∴C不符合题意，
∵是因式分解，
∴D符合题意．
故选D．
本题主要考查因式分解的定义，掌握因式分解的定义，是解题的关键．
7、B
【解析】
根据因式分解的意义，可得答案．
【详解】
A．分解不正确，故A不符合题意；
B．把一个多项式转化成几个整式积的形式，故B符合题意；
C．是整式的乘法，故C不符合题意；
D．没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故D不符合题意．
故选B．
本题考查了因式分解的意义，因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式．
8、C
【解析】
由于高的位置不确定，所以应分情况讨论.
【详解】
（1）△ABC为锐角三角形，高AD在三角形ABC的内部，
∴BD==9，CD==5，
∴△ABC的面积为=84，
（2）△ABC为钝角三角形，高AD在三角形ABC的外部，
∴BD==9，CD==5，
∴△ABC的面积为=24，
故选C.
此题主要考察勾股定理的应用，解题的关键是根据三角形的形状进行分类讨论.
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、
【解析】
过C作CE⊥x轴于E，过D作DF⊥x轴于F，易得△COE∽△DAF，设C（a，b），则利用相似三角形的性质可得C（4，b），B（10，b），进而得到.
【详解】
如图，过C作CE⊥x轴于E，过D作DF⊥x轴于F，则∠OEC=∠AFD=90°，
又，
，
∽，
又是AB的中点，，
，
设，则，，
，，
，
反比例函数的图象经过点C和AB的中点D，
，
解得，
，
又，
，
，
故答案为．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及平行四边形的性质，解题的关键是掌握：反比例函数图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．
10、
【解析】
过点P作PE⊥AD交AD的延长线于点E，根据四边形ABCD是平行四边形，得到 AB∥CD，推出PE=PD，由此得到当PB+PE最小时2PB+ PD有最小值，此时P、B、E三点在同一条直线上，利用∠DAB＝30°，∠AEP=90°，AB=6求出PB+PE的最小值=AB=3，得到2PB+ PD的最小值等于6.
【详解】
过点P作PE⊥AD交AD的延长线于点E，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠EDC=∠DAB＝30°，
∴PE=PD，
∵2PB+ PD=2（PB+PD）=2(PB+PE)，
∴当PB+PE最小时2PB+ PD有最小值，此时P、B、E三点在同一条直线上，
∵∠DAB＝30°，∠AEP=90°，AB=6，
∴PB+PE的最小值=AB=3，
∴2PB+ PD的最小值等于6，
故答案为：6.
此题考查平行四边形的性质，直角三角形含30°角的问题，动点问题，将线段2PB+PD转化为三点共线的形式是解题的关键.
11、1
【解析】
菱形的对角线互相垂直平分，四边相等，可求出另一条对角线的长，再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半求解即可．
【详解】
∵菱形的边长为5，一条对角线长为8
∴另一条对角线的长
∴菱形的面积
故答案为：1．
本题考查了菱形的面积问题，掌握菱形的性质、菱形的面积公式是解题的关键．
12、
【解析】
分析：由题干可得b=，然后将其代入所求的分式解答即可．
详解：∵的两内项是b、1，两外项是a、2，
∴b=，
∴=.
故本题的答案：.
点睛：比例的性质.
13、-5
【解析】
根据二次函数的性质求解即可．
【详解】
∵的a=-2<0,
∴当x=1时，有最大值-5.
故答案为-5.
本题考查了二次函数的最值：二次函数y=ax2+bx+c，当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x=-时，y=；（2）当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x=-时，y=．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、图象如图所示，见解析．
【解析】
根据一次函数的图象是直线，只需确定直线上两个特殊点即可．
【详解】
解：函数经过点，．
图象如图所示：
本题考查一次函数的图象的作法，解题的关键是一次函数的图象是直线，确定两点即可画出直线．
15、（1）见解析；（2）见解析.
【解析】
（1）由四边形ABCD是平行四边形，可得AD∥BC，又BE∥DF，可证四边形BFDE是平行四边形；
（2）由四边形ABCD是平行四边形，可得AD=BC ，又ED=BF ，从而AD-ED=BC-BF，即AE=CF.
【详解】
（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，即DE∥BF .
∵BE∥DF,
∴四边形BFDE是平行四边形；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC ,
∵四边形BFDE是平行四边形，
∴ED=BF ,
∴AD-ED=BC-BF,
即AE=CF.
本题主要考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握两组对边分别平行的四边形是平行四边形，平行四边形对边平行且相等是解答本题的关键.
16、（1）80,80,80,40 （2）答案见解析 （3）李力
【解析】
（1）利用平均数的计算方法求出李力测试成绩的平均数，再求出中位数和众数，然后利用方差公式求出李力测试成绩的方差，填表即可；
（2）可以根据表中数据，从两人的平均数，中位数，众数，方差进行分析，可得出结果；
（3）根据已知力量：速度：耐力：柔韧：灵敏=1：2：3：3：1的比例折合成综合分数，分别算出两人的综合分数，再比较大小即可得出去参加比赛的选手.
【详解】
（1）解：李力的平均成绩为：；
将5个数排序70，80，80，80，90，
最中间的数是80，
∴李力的测试成绩的中位数为80；
∵80出现了3次，是这组数据中出现次数最多的数，
∴这组数据的众数是80；
李力测试成绩的方差为：，
填表如下
（2）解：根据表中数据可知，两人的平均成绩相同，从中位数和众数看，李力的成绩比王达的成绩好，从方差看，李力测试成绩的方差比王达次数成绩的方差小，可知李力的成绩比王达的成绩稳定，因此应该推选李力参加比赛。
（3）解：∵按力量：速度：耐力：柔韧：灵敏=1：2：3：3：1的比例折合成综合分数，
∴王达的成绩为：60×1+75×2+100×3+90×3+75×1=855；
李力的成绩为：70×1+90×2+80×3+80×3+80×1=910；
910＞855
∴选李力去参加比赛.
本题考查了平均数，中位数，众数，方差的意义．平均数表示一组数据的平均程度．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数）；一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．方差是用来衡量一组数据波动大小的量．解题的关键是正确理解各概念的含义．
17、（1）详见解析；（2）详见解析；（3）20cm．
【解析】
（1）求出AO=OC，∠AOE=∠COF，根据平行的性质得出∠EAO=∠FCO，根据ASA即可得出两三角形全等；
（2）根据全等得出OE=OF，推出四边形是平行四边形，再根据EF⊥AC即可推出四边形是菱形；
（3）设AF=xcm，则CF=AF=xcm，BF=（8-x）cm，在Rt△ABF中，由勾股定理得出方程42+（8-x）2=x2，求出x的值，进而得到菱形AFCE的周长．
【详解】
（1）证明：∵EF是AC的垂直平分线，
∴AO=OC，∠AOE=∠COF=90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠EAO=∠FCO．
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF（ASA）；
（2）证明：∵△AOE≌△COF，
∴OE=OF，
∵OA=OC，
∴四边形AFCE为平行四边形，
又∵EF⊥AC，
∴平行四边形AFCE为菱形；
（3）解：设AF=xcm，则CF=AF=xcm，BF=（8﹣x）cm，
在Rt△ABF中，由勾股定理得：
AB2+BF2=AF2，
即42+（8﹣x）2=x2，
解得x=1．
所以菱形AFCE的周长为1×4=20cm．
本题考查了菱形的判定与性质， 全等三角形的判定与性质， 线段垂直平分线的性质， 矩形的性质等知识.根据勾股定理并建立方程是解题的关键.
18、（1）AD＝3；（2）S△ABC＝9＋3.
【解析】
试题分析：（1）根据三角形内角和可得∠DAC=45°，根据等角对等边可得AD=CD，然后再根据勾股定理可计算出AD的长；
（2）根据三角形内角和可得∠BAD=30°，再根据直角三角形的性质可得AB=2BD，然后利用勾股定理计算出BD的长，进而可得BC的长，然后利用三角形的面积公式计算即可．
解：(1)∵∠C＝45°，AD是△ABC的边BC上的高，∴∠DAC＝45°，∴AD＝CD.
∵AC2＝AD2＋CD2，∴62＝2AD2，∴AD＝3
(2)在Rt△ADB中，∵∠B＝60°，∴∠BAD＝30°，∴AB＝2BD.
∵AB2＝BD2＋AD2，∴(2BD)2＝BD2＋AD2，BD＝.
∴S△ABC＝BC·AD＝ (BD＋DC)·AD＝×(＋3)×3＝9＋3.
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、-1
【解析】
把点的坐标代入两函数得出ab=1，b-a=-1，把化成，代入求出即可，
【详解】
解：∵函数与y=x﹣1的图象的交点坐标为（a，b），
∴ab=1，b-a=-1，
∴==，
故答案为：−1.
本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，掌握函数图像上点的意义是解题的关键.
20、
【解析】
直接根据关于轴对称的点纵坐标不变横坐标互为相反数进行解答即可．
【详解】
解：关于轴对称的点纵坐标不变，横坐标互为相反数，
直线与直线关于轴对称，则直线的解析式为．
故答案为：．
本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知关于轴对称的点的坐标特点是解答此题的关键．
21、6
【解析】
直接将点（0，a）代入直线y＝2x+6，即可得出a＝6.
【详解】
解：∵直线y＝2x+6经过点（0，a），将其代入解析式
∴a＝6.
此题主要考查一次函数解析式的性质，熟练掌握即可得解.
22、1
【解析】
试题解析：由图可看出，A，B的面积和等于其相邻的直角三角形的斜边的平方，
即等于最大正方形上方的三角形的一个直角边的平方；
C，D的面积和等于与其相邻的三角形的斜边的平方，
即等于最大正方形的另一直角边的平方，
则A，B，C，D四个正方形的面积和等于最大的正方形上方的直角三角形的斜边的平方即等于最大的正方形的面积，
因为最大的正方形的边长为5，则其面积是1，即正方形A，B，C，D的面积的和为1．
故答案为1．
23、14.
【解析】
试题分析：根据加权平均数计算公式可得．
考点：加权平均数．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（1）， （2）
【解析】
（1）设王老师步行的平均速度，则他骑车的平均速度，根据“到距学校的某商场去给学生买奖品，他先步行了后，换骑上了共享单车，到达商场时，全程总共刚好花了.已知王老师骑共享单车的平均速度是步行速度的3倍”列出方程，即可解答.
（2）设王老师返回时步行了，根据（1）列出不等式，即可解答.
【详解】
解：（1）设王老师步行的平均速度，则他骑车的平均速度，根据题意，
得
.
解这个方程，得.
经检验，是原方程的根
答：王老师步行的平均速度为，他骑车的平均速度为.
（2）设王老师返回时步行了.
则，.
解得，.
答：王老师，返回时，最多可步行.
此题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，解题关键在于根据题意正确列出方程、列出不等式.
25、2000
【解析】
设去年A型车每辆x元，那么今年每辆（x＋400）元，列出方程即可解决问题．
【详解】
解：设去年A型车每辆x元，那么今年每辆（x＋400）元，
根据题意得
解得x＝1600，
经检验，x＝1600是方程的解．
答：今年A型车每辆2000元．
本题考查了分式方程的应用，解题的关键是设未知数列出方程解决问题，注意分式方程必须检验.
26、（1）；；；；（2）120；30；α；（3）两个带阴影的三角形面积相等，证明见解析.
【解析】
分析：（1）过D作DE⊥AB于点E，当α=45°时，可求得DE，从而可求得菱形的面积S，同理可求当α=60°时S的值，当α=120°时，过D作DF⊥AB交BA的延长线于点F，则可求得DF，可求得S的值，同理当α=135°时S的值；
（2）根据表中所计算出的S的值，可得出答案；
（3）将△ABO沿AB翻折得到菱形AEBO，将△CDO沿CD翻折得到菱形OCFD．利用（2）中的结论，可求得△AOB和△COD的面积，从而可求得结论．
详解：（1）当α=45°时，如图1，过D作DE⊥AB于点E，
则DE=AD=，
∴S=AB•DE=，
同理当α=60°时S=，
当α=120°时，如图2，过D作DF⊥AB，交BA的延长线于点F，
则∠DAE=60°，
∴DF=AD=，
∴S=AB•DF=，
同理当α=150°时，可求得S=，
故表中依次填写：；；；；
（2）由（1）可知S（60°）=S（120°），
S（150°）=S（30°），
∴S（180°-α）=S（α）
故答案为：120；30；α；
（3）两个带阴影的三角形面积相等．
证明：如图3将△ABO沿AB翻折得到菱形AMBO，将△CDO沿CD翻折得到菱形OCND．
∵∠AOD=∠COB=90°，
∴∠COD+∠AOB=180°，
∴S△AOB=S菱形AMBO=S（α）
S△CDO=S菱形OCND=S（180°-α）
由（2）中结论S（α）=S（180°-α）
∴S△AOB=S△CDO．
点睛：本题为四边形的综合应用，涉及知识点有菱形的性质和面积、解直角三角形及转化思想等．在（1）中求得菱形的高是解题的关键，在（2）中利用好（1）中的结论即可，在（3）中把三角形的面积转化成菱形的面积是解题的关键．本题考查知识点较基础，难度不大．
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
批阅人
姓名
力量
速度
耐力
柔韧
灵敏
王达
60
75
100
90
75
李力
70
90
80
80
80
姓名
平均成绩(分)
中位数(分)
众数(分)
方差(分2)
王达
80
75
75
190
李力
30°
45°
60°
90°
120°
135°
150°
S
1
姓名
平均成绩(分)
中位数(分)
众数(分)
方差(分2)
王达
80
75
75
190
李力
80
80
80
40