广东省河源市东源县黄村中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试卷

这是一份广东省河源市东源县黄村中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试卷，共16页。
A．B．
C．D．
2．（3分）不等式组的解集在数轴上表示为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（3分）已知在等腰三角形ABC中，∠A＝80°，则∠B的度数不可能是（ ）
A．20°B．30°C．50°D．80°
4．（3分）等腰三角形的两边长分别为2cm和5cm，则这个三角形的周长为（ ）
A．12cmB．9cmC．7cmD．12cm或9cm
5．（3分）如图，直角三角形ABC沿着B→C的方向平移到直角三角形DEF的位置．若AB＝6，DH＝4，BE＝7，则阴影部分的面积为（ ）
A．12B．16C．28D．24
6．（3分）如图△ABC中，AC＝12，DE为AB的垂直平分线，△BCE的周长为20，则BC的长为（ ）
A．6B．8C．10D．12
7．（3分）下列各组线段中，能构成直角三角形的是（ ）
A．3，4，5B．4，5，6C．5，10，12D．6，7，8
8．（3分）下列说法一定正确的是（ ）
A．若ac2＝bc2，则a＝b
B．若ac＞bc（c＞0），则a＜b
C．若a＞b，则ac2＞bc2
D．若a＜b，则a（c2+1）＜b（c2+1）
9．（3分）如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点．若PA＝3，则线段PQ的长不可能是（ ）
A．5B．4C．3D．2
10．（3分）如果关于x的不等式（a+1）x＞a+1的解集为x＜1，则a的取值范围是（ ）
A．a＜0B．a＜﹣1C．a＞1D．a＞﹣1
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）若点A（﹣4，1﹣2m）关于原点的对称点在第一象限，则m的取值范围 ．
12．（3分）如图，等边△ABC，E为△ABC外一点，AE＝AC，连接BE，若∠EBC＝15°，△ACE的面积等于9，则BC的长为 ．
13．（3分）如图，在边长为1的正方形网格中，线段AB的端点均在格点上，将线段AB先向右平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到线段CD，连接AC，BD，则四边形ABDC的周长是 个单位长度．
14．（3分）如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转46°后得到△COD，若∠AOB＝15°，则∠AOD＝ ．
15．（3分）已知△ABC的三条边长均为整数，其中两边长分别是2和5，第三边长为奇数，则此三角形的周长为 ．
16．（3分）函数y1＝kx与y2＝6﹣x的图象如图所示，当y1＞0，y2＞0时，x的取值范围 ．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（10分）（1）求不等式4（x+2）＜18+2x的正整数解．
（2）解不等式组：．
18．（7分）某电子商品的进货价为400元，出售时标价为500元，商店准备打折出售，但要保持利润率不低于15%，则最多可打几折？
19．（7分）如图，在△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，D是BC的中点，证明：∠B＝∠C．
20．（8分）如图，△ABC各顶点的坐标分别为A（1，5），B（4，6），C（2，3）．
（1）请画出△ABC先向下平移4个单位，再向右平移1个单位得到的△A1B1C1；
（2）请画出△ABC绕点（0，3）逆时针旋转90°后得到△A2B2C2；
（3）若△ABC与△A3B3C3关于某点成中心对称，且A3（﹣3，﹣1），请写出对称中心的坐标 ．
21．（8分）如图，在△ABC中，BC边的垂直平分线交AC边于点D，连接BD．
（1）如图CE＝4，△BDC的周长为18，求BD的长．
（2）求∠ADM＝60°，∠ABD＝20°，求∠A的度数．
22．（8分）如图，点A、B的坐标分别为（0，2），（1，0），直线与坐标轴交于C、D两点．
（1）求不等式的解集；
（2）求四边形OBEC的面积．
23．（12分）（1）如图1，△ABC中，BD，CE分别是AC，AB上的高，M，N分别是BC，DE的中点，求证：MN⊥DE．
拓展：
（2）如图2，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点E是AB上的点，ED⊥BC于点D，点M是CE的中点，探索AM与DM的数量关系与位置关系．
（3）如图3，将（2）中的△BDE绕点B逆时针转小于45°的角，（2）中的结论是否还成立？成立，请说明理由．
24．（12分）【综合探究】
如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形OABC是平行四边形，点A的坐标为（14，0），点B的坐标为，且∠B＝60°．
（1）点C的坐标为 ；平行四边形OABC的对称中心的坐标为 ．
（2）动点P从点O出发，沿OA方向以每秒1个单位的速度向终点A匀速运动，动点Q从点A出发，沿AB方向以每秒2个单位的速度向终点B匀速运动，当一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设点P运动的时间为t秒（t＞0），求当t为何值时，△PQC的面积是平行四边形OABC面积的一半？
（3）当动点P运动到OA中点时，在平面直角坐标系中找到一点M，使得以M、P、B、C为顶点且以PB为边的四边形是平行四边形，请直接写出点M的坐标．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1． 解：A．不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B．是中心对称图形，故本选项符合题意；
C．不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D．不是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：B．
2． 解：不等式组，
解得：x＞3，
表示在数轴上，如图所示：
，
故选：A．
3． 解：当∠A为顶角，
∴∠B＝＝＝50°，
当∠B是顶角，则∠A是底角，则∠B＝180°﹣80°﹣80°＝20°；
当∠C是顶角，则∠B与∠A都是底角，则∠B＝∠A＝80°，
综上所述，∠B的度数为50°或20°或80°，
故选：B．
4． 解：当腰长是2cm时，因为2+2＜5，不符合三角形的三边关系，应排除；
当腰长是5cm时，因为2+5＞5，符合三角形三边关系，此时周长是12cm．
故选：A．
5． 解：∵△ABC沿着B→C的方向平移到△DEF的位置，
∴S△ABC＝S△DEF，AB＝DE，BC＝EF，
∴S阴影+S△HEC＝S梯形ABEH+S△HEC，
∵HE＝DE﹣DH＝AB﹣DH＝6﹣4＝2，
∴，
故选：C．
6． 解：∵DE为AB的垂直平分线，
∴AE＝BE，
∵△BCE的周长为20，
∴BC+BE+CE＝BC+AE+CE＝BC+AC＝20cm，
∵AC＝12，
∴BC＝8．
故选：B．
7． 解：32+42＝52，故选项A符合题意；
42+52≠62，故选项B不符合题意；
52+102≠122，故选项C符不合题意；
62+72≠82，故选项D不符合题意；
故选：A．
8． 解：A．当c＝0时，ac2＝bc2，即a与b不一定相等，故本选项不符合题意；
B．若ac＞bc（c＞0），则a＞b，故本选项不符合题意；
C．若a＞b，当c＝0时，ac2＝bc2，故本选项不符合题意；
D．若a＜b，则a（c2+1）＜b（c2+1），说法正确，故本选项符合题意．
故选：D．
9． 解：如图，作PB⊥OM于B，
∵OP平分∠MON，PA⊥ON，PB⊥OM，
∴PB＝PA＝3，
由题意知，PQ≥PB＝3，
∴线段PQ的长不可能是D，
故选：D．
10． 解：由题意，得
a+1＜0，
解得a＜﹣1，
故选：B．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11． 解：∵点A（﹣4，1﹣2m）关于原点的对称点在第一象限，
∴1﹣2m＜0，
解得m＞．
故答案为：m＞．
12． 解：过点C作CD⊥AD于点D，设CD＝x，如图所示：

∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝BC＝AC，∠ABC＝∠BAC＝60°，
∵∠EBC＝15°，
∴∠ABE＝∠ABC﹣∠EBC＝60°﹣15°＝45°，
∵AE＝AC，
∴AE＝AB＝BC，
∴∠AEB＝∠ABE＝45°，
∴∠BAE＝180°﹣（∠AEB+∠ABE）＝90°，
∴∠CAE＝∠BAE﹣∠BAC＝90°﹣60°＝30°，
∵CD⊥AD于点D，
在Rt△ACD中，∠CAE＝30°，CD＝x，
∴AC＝BC＝2x，
∴AE＝AC＝2x，
∴S△ACE＝AE•CD＝9，
∴×2x•x＝9，
解得：x＝3，舍去负值，
∴BC＝2x＝6．
故答案为：6．
13． 解：由题意得，
AB＝＝，
∴BD＝CD＝AC＝，
则四边形ABDC的周长为：AB+BC+CD+AC＝+++＝4，
故答案为：4．
14． 解：由旋转可知，
∠BOD＝46°，
又∵∠AOB＝15°，
∴∠AOD＝∠BOD﹣∠AOB＝46°﹣15°＝31°．
故答案为：31°．
15． 解：∵一个三角形的两边长分别为2和5，
∴5﹣2＜第三边长＜5+2，
解得：3＜第三边长＜7，
∵第三边长为奇数，
∴第三边长为5，
∴三角形的周长为2+5+5＝12，
故答案为：12．
16． 解：对y＝6﹣x，当y＝0时，x＝6，
当y1＞0时，x＞0，
当y2＞0时，x＜6，
∴x的取值范围为：0＜x＜6．
故答案为：0＜x＜6．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17． 解：（1）4（x+2）＜18+2x，
去括号得：4x+8＜18+2x，
移项合并同类项得：2x＜10，
将未知数系数化为1得：x＜5，
∴不等式的正整数解为1，2，3，4．
（2），
解不等式①得：x≥﹣1，
解不等式②得：x＜3，
∴不等式组的解集为：﹣1≤x＜3．
18． 解：电子商品的进货价为400元，出售时标价为500元，利润率不低于15%，
设该电子商品打x折销售，根据题意可得：
，
解得x⩾9.2．
答：最多可打9.2折．
19． 证明：∵D是BC的中点，
∴BD＝CD，
∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，∠BED＝∠CFD＝90°，
在Rt△BED和Rt△CFD中，
，
∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），
∴∠B＝∠C．
20． 解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．
（2）如图，△A2B2C2即为所求．
（3）连接AA3，
由题意可得，对称中心为线段AA3的中点，
∵A（1，5），A3（﹣3，﹣1），
∴对称中心的坐标为（﹣1，2）．
故答案为（﹣1，2）.
21． 解：（1）∵MN垂直平分BC，
∴DC＝BD，
CE＝EB，
又∵EC＝4，
∴BE＝4，
又∵△BDC的周长＝18，
∴BD+DC＝10，
∴BD＝5；
（2）∵∠ADM＝60°，
∴∠CDN＝60°，
又∵MN垂直平分BC，
∴∠DNC＝90°，
∴∠C＝30°，
又∵∠C＝∠DBC＝30°，
∠ABD＝20°，
∴∠ABC＝50°，
∴∠A＝180°﹣∠C﹣∠ABC＝100°．
22． 解：（1）由题意得 ，
解得，
故直线AB的解析式是y＝﹣2x+2，
由，解得，
故点E的坐标是（2，﹣2）；
由图象可知，x＜2时，y＝kx+b的图象在直线的上方，
故不等式的解集是x＜2；
（2）在中，当x＝0时，y＝﹣3，当y＝0时，x＝6，
∴点C的坐标是（0，﹣3），点D的坐标是（6，0），
∴S四边形OBEC＝S△DOC﹣S△DBE＝．
23． （1）证明：如图1，连接DM，ME，
∵BD，CE分别是AC，AB上的高，M是BC的中点，
∴DM＝BC，ME＝BC，
∴DM＝ME，
又∵N为DE中点，
∴MN⊥DE；
拓展：
（2）解：如图2，AM＝DM，AM⊥DM．
∵ED⊥BC，点M是CE的点，
∴，
∴DM＝EM，
∴∠MED＝∠MDE，
∵∠BAC＝90°，点M是CE的点，
∴AM＝，
∴AM＝EM，
∴∠MAE＝∠MEA，
∴AM＝DM．
∵AB＝AC，
∴∠B＝45°，
∵∠BDE＝90°，
∴∠B＝∠BED＝45°，
∴∠AED＝135°，
即∠MED+∠MEA＝135°，
∴∠AED+∠EDM+∠MAE＝270°，
∴∠AMD＝360°﹣270°＝90°，
∴AM⊥DM；
（3）结论成立．
如图3，当△BDE绕点B逆时针转小于45°的角时，仍是等腰直角三角形，延长DM到F，使得FM＝MD，连接CF，AF，AD．
∵DM＝FM．∠DME＝∠CMF，EM＝MC，
∴△EMD≌△CMF（SAS），
∴DE＝CF＝BD，∠MED＝∠MCF，
∵∠MED+∠ENB＝∠MED+∠ANC，
∠MED+∠ENB＝∠ABD+∠BDE＝∠ABD+90°，
∴∠MED＝∠ABD+90°﹣∠ANC．
∵∠MCF＝∠ACF+∠ACN＝∠ACF+90°﹣∠ANC，
∴∠ABD＝∠ACF，
∵BA＝CA，
∴△ABD≌△ACF（SAS），
∴AD＝AF，∠BAD＝∠CAF，
∴∠BAC＝∠DAF＝90°，
∴△DAF是等腰直角三角形，
∵DM＝FM，
∴AM＝DM，AM⊥DM．
24． 解：（1）∵四边形OABC是平行四边形，
∴AO＝BC＝14，
∵点A的坐标为（14，0），点B的坐标为（18，4），
∴点C的坐标为（4，4），平行四边形OABC的对称中心的点的坐标为（9，2）．
故答案为：（4，4），（9，2）；
（2）根据题意得：S△PQC＝S▱OABC﹣S△OPC﹣S△APQ﹣S△BCQ＝S▱OABC，
∴×14×＝×t×4+（14﹣t）×t+×14×（4﹣t）
化简得：t2﹣2t＝0，
解得：t＝4，
即当点P运动4秒时，△PQC的面积是平行四边形OABC的一半．
综上所述，t＝4时，△PQC的面积是平行四边形OABC的一半．
（3）∵P为的OA中点，A（14，0），
∴P（7，0），
若以M、P、B、C为顶点且以PB为边的四边形是平行四边形，可分两种情况：
①若PBMC为平行四边形，则PB∥CM，PB＝CM，
∵C（4，4），B（18，4），
∴M（15，8）；
②若PBCM为平行四边形，则PB∥CM，PB＝CM，
∵C（4，4），B（18，4），
∴M（﹣7，0）；
综上所述，点M的坐标为（15，8）或（﹣7，0）．