05 第33讲　复数 【答案】作业高考数学练习

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2.B [解析] 4z=41-3i=4(1+3i)(1-3i)(1+3i)=4+43i1+3=1+3i.故选B.
3.A [解析] 因为z2=-1-2i2-3i=413-713i,所以z2=413+713i.故选A.
4.C [解析] z=2i+21+i=2i+2(1-i)(1+i)(1-i)=2i+1-i=1+i,则|z|=12+12=2.故选C.
5.A [解析] ∵z=(2+ai)i=-a+2i,∴-a=2,解得a=-2,∴z=2+2i,∴z=2-2i,∴z-2ai=2+2i,∴复数z-2ai在复平面内对应的点为(2,2),位于第一象限.故选A.
6.一 [解析] z=|3-4i|2-i=52-i=5(2+i)(2-i)(2+i)=2+i,复数z在复平面内对应的点为(2,1),位于第一象限.
7.A [解析] z=(1+i)·(m-2i)=m+2+(m-2)i,复数z在复平面内对应的点为(m+2,m-2),因为点(m+2,m-2)位于第一象限,所以m+2>0,m-2>0,解得m>2.故选A.
8.C [解析] 由题意得z=2+i,则2+i-a(2-i)+b=i,即(2-2a+b)+(1+a)i=i,所以2-2a+b=0,1+a=1,解得a=0,b=-2,所以a-b=2.故选C.
9.A [解析] z=1-i+i2-i3+…+i2022-i2023=1-(-i)20241-(-i)=1-i20241+i=1-(i4)5061+i=0.故选A.
10.B [解析] 由x2+x+1=0,得x=-12±32i.当z1=-12+32i,z2=-12-32i时,z1=-12-32i,z2=-12+32i,所以(z1-z2)3=(-3i)3=33i;当z1=-12-32i,z2=-12+32i时,z1=-12+32i,z2=-12-32i,所以 (z1-z2)3=(3i)3=-33i.综上,复数(z1-z2)3在复平面内对应的点位于虚轴上.故选B.
11.B [解析] 设z=x+yi(x,y∈R),由zz=2,得(x+yi)(x-yi)=2,即x2+y2=2,所以复数z在复平面内对应的点在以原点为圆心,2为半径的圆上,根据复数的模的几何意义可知,|z+i|表示圆上的点到点(0,-1)的距离,所以|z+i|的最小值为2-1.故选B.
12.AD [解析] 对于A,因为z=1+i,所以z=1-i,故A正确;对于B,复数z的虚部为1,故B错误;对于C,zz=1-i1+i=(1-i)2(1+i)(1-i)=-2i2=-i,故C错误;对于D,令z0=x+yi(x,y∈R),则|z0-z|2=(x-1)2+(y-1)2=1,即z0在复平面内对应的点在圆心为(1,1),半径为1的圆上,因为|z0|表示圆上的点到原点的距离,圆心(1,1)到原点的距离为2,所以|z0|的最大值为2+1,故D正确.故选AD.
13.AB [解析] 设z=a+bi(a,b∈R),则A(a,b),z=a-bi(a,b∈R),则B(a,-b),iz=i(a+bi)=-b+ai,则C(-b,a),∴OA=(a,b),OB=(a,-b),OC=(-b,a),AC=(-b-a,a-b),BC=(-b-a,a+b).对于A,∵a2+b2=
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14.3+2i(答案不唯一) [解析] 设z=a+bi(a,b∈R),则z2=a2-b2+2abi,依题意可得a2-b2=5,b≠0,故可取z=3+2i(答案不唯一).
15.1 [解析] 因为z2+z+1=z+122+34=0,所以z+122=-34=±32i2,所以z=-12-32i或z=-12+32i.若z=-12-32i,则z=-12+32i,则z·z=-12-32i-12+32i=14+34=1;若z=-12+32i,则z=-12-32i,则z·z=-12+32i-12-32i=14+34=1.综上所述,z·z=1.
16.D [解析] |z+1|=(x+1)2+y2,它是点Z与点(-1,0)之间的距离,|z-1|=(x-1)2+y2,它是点Z与点(1,0)之间的距离,记F1(-1,0),F2(1,0).对于A,|z+1|=|z-1|表示点Z到F1,F2的距离相等,则点Z的轨迹是线段F1F2的中垂线,故A错误.对于B,由|z+1|+|z-1|=2,知|ZF1|+|ZF2|=2=|F1F2|,这不符合椭圆的定义,故B错误.对于C,由|z+1|-|z-1|=2,知|ZF1|-|ZF2|=2=|F1F2|,这不符合双曲线的定义,故C错误.对于D,由|x+1|=|z-1|,知|x+1|=(x-1)2+y2,所以x2+2x+1=x2-2x+1+y2,即y2=4x,则点Z的轨迹是抛物线,故D正确.故选D.
17.C [解析] ∵ω是方程x2+x+1=0的根,∴ω2+ω+1=0,即ω2+ω=-1,∴ω3=-(ω2+ω)=-(-1)=1,∴1+ω+ω2+…+ω2023=1+(ω+ω2+ω3)+ω3(ω+ω2+ω3)+…+(ω3)673(ω+ω2+ω3)+(ω3)674ω=1+ω.∵ω=-12±32i,∴1+ω+ω2+…+ω2023=12±32i.故选C.