新高考数学一轮复习课时过关练习第05章 平面向量、复数第4节 复数 (含解析)

这是一份新高考数学一轮复习课时过关练习第05章 平面向量、复数第4节 复数 (含解析)，共16页。试卷主要包含了理解复数的基本概念，复数的几何意义，复数的运算等内容，欢迎下载使用。

1.复数的有关概念
(1)定义：我们把集合C＝{a＋bi|a，b∈R}中的数，即形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中a叫做复数z的实部，b叫做复数z的虚部(i为虚数单位).
(2)分类：
(3)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R).
(4)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R).
(5)模：向量eq \(OZ,\s\up6(→))的模叫做复数z＝a＋bi的模，记作|a＋bi|或|z|，即|z|＝|a＋bi|＝eq \r(a2＋b2)(a，b∈R).
2.复数的几何意义
复数z＝a＋bi与复平面内的点Z(a，b)及平面向量eq \(OZ,\s\up6(→))＝(a，b)(a，b∈R)是一一对应关系.
3.复数的运算
(1)运算法则：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R.
(2)几何意义：
复数加、减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行.
如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加、减法的几何意义，即eq \(OZ,\s\up6(→))＝eq \(OZ1,\s\up6(→))＋eq \(OZ2,\s\up6(→))，eq \(Z1Z2,\s\up6(→))＝eq \(OZ2,\s\up6(→))－eq \(OZ1,\s\up6(→)).
1.i的乘方具有周期性
i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0，n∈N*.
2.(1±i)2＝±2i，eq \f(1＋i,1－i)＝i；eq \f(1－i,1＋i)＝－i.
3.复数的模与共轭复数的关系
z·eq \(z,\s\up6(－))＝|z|2＝|eq \(z,\s\up6(－))|2.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)中，虚部为bi.( )
(2)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小.( )
(3)原点是实轴与虚轴的交点.( )
(4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模.( )
答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√
解析 (1)虚部为b；(2)虚数不可以比较大小.
2.(2021·北京卷)在复平面内，复数z满足(1－i)·z＝2，则z＝( )
A.1 B.i C.1－i D.1＋i
答案 D
解析 由题意可得z＝eq \f(2,1－i)＝eq \f(2·（1＋i）,（1－i）（1＋i）)＝1＋i.
3.(2021·新高考Ⅱ卷)复数eq \f(2－i,1－3i)在复平面内对应的点所在的象限为( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
答案 A
解析 eq \f(2－i,1－3i)＝eq \f(（2－i）（1＋3i）,（1－3i）（1＋3i）)＝eq \f(5＋5i,10)＝eq \f(1＋i,2)，所以该复数在复平面内对应的点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(1,2)))，该点在第一象限.
4.(2021·上海卷)已知z＝1－3i，则|eq \(z,\s\up6(－))－i|＝________.
答案 eq \r(5)
解析 ∵z＝1－3i，∴eq \(z,\s\up6(－))＝1＋3i，∴eq \(z,\s\up6(－))－i＝1＋3i－i＝1＋2i，∴|eq \(z,\s\up6(－))－i|＝eq \r(12＋22)＝eq \r(5).
5.已知a＋bi(a，b∈R)是eq \f(1－i,1＋i)的共轭复数，则a＋b＝________.
答案 1
解析 由eq \f(1－i,1＋i)＝eq \f(（1－i）（1－i）,（1＋i）（1－i）)＝－i，得a＋bi＝i，即a＝0，b＝1，则a＋b＝1.
6.(易错题)i为虚数单位，若复数(1＋mi)(i＋2)是纯虚数，则实数m等于________.
答案 2
解析 因为(1＋mi)(i＋2)＝2－m＋(1＋2m)i是纯虚数，所以2－m＝0，且1＋2m≠0，解得m＝2.
考点一 复数的概念
1.(2022·北京朝阳区一模)如果复数eq \f(2＋bi,i)(b∈R)的实部与虚部相等，那么b＝( )
A.－2 B.1 C.2 D.4
答案 A
解析 eq \f(2＋bi,i)＝eq \f(（2＋bi）（－i）,i（－i）)＝b－2i，所以实部为b，虚部为－2，故b的值为－2，故选A.
2.(多选)若复数z＝eq \f(2,1＋i)，其中i为虚数单位，则下列结论正确的是( )
A.z的虚部为－1
B.|z|＝eq \r(2)
C.z2为纯虚数
D.z的共轭复数为－1－i
答案 ABC
解析 z＝eq \f(2,1＋i)＝eq \f(2（1－i）,（1＋i）（1－i）)＝eq \f(2－2i,2)＝1－i，对于A，z的虚部为－1，正确；
对于B，模长|z|＝eq \r(2)，正确；
对于C，因为z2＝(1－i)2＝－2i，故z2为纯虚数，正确；
对于D，z的共轭复数为1＋i，错误.
3.(多选)设z1，z2是复数，则下列命题中的真命题是( )
A.若|z1－z2|＝0，则eq \(z,\s\up6(－))1＝eq \(z,\s\up6(－))2
B.若z1＝eq \(z,\s\up6(－))2，则eq \(z,\s\up6(－))1＝z2
C.若|z1|＝|z2|，则z1·eq \(z,\s\up6(－))1＝z2·eq \(z,\s\up6(－))2
D.若|z1|＝|z2|，则zeq \\al(2,1)＝zeq \\al(2,2)
答案 ABC
解析 对于A，若|z1－z2|＝0，则z1－z2＝0，z1＝z2，所以eq \(z,\s\up6(－))1＝eq \(z,\s\up6(－))2为真；
对于B，若z1＝eq \(z,\s\up6(－))2，则z1和z2互为共轭复数，所以eq \(z,\s\up6(－))1＝z2为真；
对于C，设z1＝a1＋b1i，z2＝a2＋b2i，a1，b1，a2，b2∈R，
若|z1|＝|z2|，则eq \r(aeq \\al(2,1)＋beq \\al(2,1))＝eq \r(aeq \\al(2,2)＋beq \\al(2,2))，
即aeq \\al(2,1)＋beq \\al(2,1)＝aeq \\al(2,2)＋beq \\al(2,2)，
所以z1·eq \(z,\s\up6(－))1＝aeq \\al(2,1)＋beq \\al(2,1)＝aeq \\al(2,2)＋beq \\al(2,2)＝z2·eq \(z,\s\up6(－))2，
所以z1·eq \(z,\s\up6(－))1＝z2·eq \(z,\s\up6(－))2为真；
对于D，若z1＝1，z2＝i，
则|z1|＝|z2|，而zeq \\al(2,1)＝1，zeq \\al(2,2)＝－1，
所以zeq \\al(2,1)＝zeq \\al(2,2)为假.故选ABC.
4.若复数z＝(x2－1)＋(x－1)i为纯虚数，则实数x的值为________.
答案 －1
解析 ∵z为纯虚数，∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2－1＝0，,x－1≠0，))
∴x＝－1.
感悟提升 1.复数z＝a＋bi(a，b∈R)，其中a，b分别是它的实部和虚部.若z为实数，则虚部b＝0，与实部a无关；若z为虚数，则虚部b≠0，与实部a无关；若z为纯虚数，当且仅当a＝0且b≠0.
2.复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝eq \r(a2＋b2).
3.复数z＝a＋bi(a，b∈R)的共轭复数为eq \(z,\s\up6(－))＝a－bi，则z·eq \(z,\s\up6(－))＝|z|2＝|eq \(z,\s\up6(－))|2，即|z|＝|eq \(z,\s\up6(－))|＝eq \r(z·\(z,\s\up6(－)) )，若z∈R，则eq \(z,\s\up6(－))＝z.
考点二 复数的四则运算
例1 (1)(2021·辽宁百校联盟质检)eq \f(1－i,2＋3i)＝( )
A.eq \f(1,13)＋eq \f(5,13)i B.eq \f(1,13)－eq \f(5,13)i
C.－eq \f(1,13)＋eq \f(5,13)i D.－eq \f(1,13)－eq \f(5,13)i
答案 D
解析 原式＝eq \f(（1－i）（2－3i）,（2＋3i）（2－3i）)＝eq \f(2－3－2i－3i,22＋32)＝－eq \f(1,13)－eq \f(5,13)i.
(2)(2021·全国乙卷)设iz＝4＋3i，则z＝( )
A.－3－4i B.－3＋4i
C.3－4i D.3＋4i
答案 C
解析 因为iz＝4＋3i，所以z＝eq \f(4＋3i,i)＝eq \f(（4＋3i）（－i）,i（－i）)＝eq \f(－4i－3i2,－i2)＝3－4i.
(3)(2021·全国乙卷)设2(z＋eq \(z,\s\up6(－)))＋3(z－eq \(z,\s\up6(－)))＝4＋6i，则z＝( )
A.1－2i B.1＋2i C.1＋i D.1－i
答案 C
解析 设z＝a＋bi(a，b∈R)，则eq \(z,\s\up6(－))＝a－bi，代入2(z＋eq \(z,\s\up6(－)))＋3(z－eq \(z,\s\up6(－)))＝4＋6i，可得4a＋6bi＝4＋6i，所以a＝1，b＝1，故z＝1＋i.
感悟提升 (1)复数的乘法类似于多项式的乘法运算；(2)复数的除法关键是分子分母同乘以分母的共轭复数.
训练1 (1)(2021·全国甲卷)已知(1－i)2z＝3＋2i，则z＝( )
A.－1－eq \f(3,2)i B.－1＋eq \f(3,2)i
C.－eq \f(3,2)＋i D.－eq \f(3,2)－i
答案 B
解析 z＝eq \f(3＋2i,（1－i）2)＝eq \f(3＋2i,－2i)＝eq \f(3i－2,2)＝－1＋eq \f(3,2)i.
(2)(2021·新高考Ⅰ卷)已知z＝2－i，则z(eq \(z,\s\up6(－))＋i)＝( )
A.6－2i B.4－2i
C.6＋2i D.4＋2i
答案 C
解析 因为z＝2－i，
所以z(eq \(z,\s\up6(－))＋i)＝(2－i)(2＋2i)＝6＋2i.
(3)(多选)(2022·湛江一模)若复数z＝eq \r(3)－i，则( )
A.|z|＝2
B.|z|＝4
C.z的共轭复数eq \(z,\s\up6(－))＝eq \r(3)＋i
D.z2＝4－2eq \r(3)i
答案 AC
解析 依题意得|z|＝eq \r(（\r(3)）2＋（－1）2)＝2，故A正确，B错误；
eq \(z,\s\up6(－))＝eq \r(3)＋i，C正确；
z2＝(eq \r(3)－i)2＝3－2eq \r(3)i＋i2＝2－2eq \r(3)i，D错误.
考点三 复数的几何意义
例2 (1)(2021·珠海一模)设i是虚数单位，复数z1＝i2 021，复数z2＝eq \f(|4－3i|,4＋3i)，则z1＋z2在复平面上对应的点在( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
答案 A
解析 因为复数z1＝i2 021＝i，z2＝eq \f(|4－3i|,4＋3i)＝eq \f(5（4－3i）,25)＝eq \f(4,5)－eq \f(3,5)i，所以z1＋z2＝eq \f(4,5)＋eq \f(2,5)i，故z1＋z2在复平面上对应的点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,5)，\f(2,5)))，在第一象限.
(2)(2021·衡水联考)已知复数z＝a＋(a－1)i(a∈R)，则|z|的最小值为( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(\r(2),2) C.eq \f(\r(3),2) D.1
答案 B
解析 因为z＝a＋(a－1)i，所以|z|＝eq \r(a2＋（a－1）2)＝eq \r(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a－\f(1,2)))\s\up12(2)＋\f(1,2))≥eq \f(\r(2),2)，所以|z|的最小值为eq \f(\r(2),2).
(3)(多选)(2021·德州二模)已知复数z1＝eq \f(2,－1＋i)(i为虚数单位)，下列说法正确的是( )
A.z1对应的点在第三象限
B.z1的虚部为－1
C.zeq \\al(4,1)＝4
D.满足|z|＝|z1|的复数z对应的点在以原点为圆心，2为半径的圆上
答案 AB
解析 由题意，复数z1＝eq \f(2,－1＋i)
＝eq \f(2（－1－i）,（－1＋i）（－1－i）)＝－1－i，所以复数z1在复平面内对应的点是(－1，－1)，位于第三象限，所以A正确；
复数z1的虚部为－1，所以B正确；
zeq \\al(4,1)＝(－1－i)4＝[(－1－i)2]2＝(2i)2＝－4，所以C不正确；
由|z1|＝eq \r(（－1）2＋（－1）2)＝eq \r(2)，得满足|z|＝|z1|的复数z对应的点在以原点为圆心，eq \r(2)为半径的圆上，所以D不正确.
感悟提升 1.复数z＝a＋bi(a，b∈R) Z(a，b) eq \(OZ,\s\up6(→))＝(a，b).
2.由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此解题时可运用数形结合的方法，把复数、向量与解析几何联系在一起，使问题的解决更加直观.
训练2 (1)(2022·长沙一模)已知复数z＝eq \f(2－i,1＋i)，则复数z在复平面内对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
答案 D
解析 因为z＝eq \f(2－i,1＋i)＝eq \f(（2－i）（1－i）,2)＝eq \f(1,2)－eq \f(3,2)i，所以复数z在复平面内对应的点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，－\f(3,2)))，在第四象限.
(2)若复数z＝(2＋ai)(a－i)在复平面内对应的点在第三象限，其中a∈R，i为虚数单位，则实数a的取值范围为( )
A.(－eq \r(2)，eq \r(2)) B.(－eq \r(2)，0)
C.(0，eq \r(2)) D.[0，eq \r(2))
答案 B
解析 z＝(2＋ai)(a－i)＝3a＋(a2－2)i在复平面内对应的点在第三象限，
∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(3a