空间向量计算过关专题练习 高中数学一轮复习

这是一份空间向量计算过关专题练习 高中数学一轮复习，共7页。试卷主要包含了填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、填空题
1．在空间直角坐标系中，点的坐标，点的坐标，则 .
2．已知，则 .
3．已知，1，，，0，，则 ．
4．已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是 ．
5．已知在一个的二面角的棱上，如图有两个点、，、分别是在这个二面角的两个半平面内垂直于的线段，且，则的长为
6．已知点，，，且为直角，则的值为 .
7．已知向量，且与垂直，则 ．
8．在长方体中，设，，则 ．
9．在四棱柱中，平面ABCD，ABCD为正方形，且，E为中点，则异面直线BE和所成角的余弦值为 .
10．在正方体中，P为上任意一点，则DP与的位置关系是 ．
二、双空题
11．空间直角坐标系中，点关于轴的对称点坐标是 ， .
12．已知空间的个基底，若，共线，则 ， .
13．已知向量，，若，则 ，若，则 ．
14．已知空间向量，，则 ， .
15．正方体中，分别是的中点，则与直线所成角的大小为 ；与对角面所成角的正弦值是 ．
三、解答题
16．已知，，．求：
(1)； (2)．
17．如图，在空间四边形中，，，分别是，，的中点，化简下列各式：
(1)； (2)； (3)．
18．已知正四棱台的体积为，其中.

(1)求侧棱与底面所成的角；
(2)在线段上是否存在一点P，使得？若存在请确定点的位置；若不存在，请说明理由.
19．已知，求：
（1）线段的中点坐标和长度；
（2）到两点距离相等的点的坐标满足的条件.
20．如图所示，已知三棱台中，平面平面，是正三角形，侧面是等腰梯形，，为的中点.
（1）求证：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
空间向量计算过关答案
一、填空题
1．【答案】
【分析】首先求出的坐标，再根据向量模的坐标计算公式计算可得；
【详解】解：因为，，所以，故答案为：
2．【答案】【分析】根据向量数量积的坐标运算即可求解.
【详解】,所以，故答案为：
3．【答案】【分析】利用平面向量坐标运算公式求出，由此能求出．
【详解】，，，
．故答案为：．
4．【答案】【分析】根据投影向量结合向量的坐标运算求解.
【详解】由题意可得：，
所以向量在向量上的投影向量为．故答案为：.
5．【答案】
【分析】由题意，利用向量法即可求出的长.
【详解】解：在一个的二面角的棱上，有两个点、，、分别是在这个二面角的两个半平面内垂直于的线段，且，
，，
所以CD的长为，故答案为：．
6．【答案】2【分析】根据，代入计算即可得到答案.
【详解】因为为直角，则，又因为，，
则有，解得，故答案为：2.
7．【答案】【分析】根据与垂直列方程，化简求得的值.
【详解】，由于与垂直，
所以.故答案为：
8．【答案】1【分析】由向量的线性运算，结合空间向量数量积的运算求解即可．
【详解】如图所示，
在长方体中，设，，
则
.故答案为：1.
9．【答案】【解析】由平面ABCD，ABCD为正方形，可以以D为原点，为x轴， 为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求异面直线BE和所成角的余弦值.
【详解】因为在四棱柱中，平面ABCD，ABCD为正方形，
所以可以以D为原点，为x轴， 为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，不妨设,则
所以设异面直线BE和所成角为，
则.
即异面直线BE和所成角的余弦值为.故答案为：
【点睛】向量法解决立体几何问题的关键：
(1)建立合适的坐标系；(2)把要用到的向量正确表示；(3)利用向量法证明或计算.
10．【答案】垂直
【分析】根据题意，结合空间向量的线性运算以及数量积，即可求解.
【详解】由题意，得，所以，即．故答案为：垂直.
二、双空题
11．【分析】依据题意对称性以及空间两点之间的距离可得结果.
【详解】①空间直角坐标系中，点关于轴的对称点坐标横坐标不变，
纵坐标和竖坐标分别与的纵坐标和竖坐标互为相反数即；
②利用空间直角坐标系中两点距离公式即可求得.故答案为：①；②
【点睛】本题考查空间的点的对称性以及空间两点之间的距离，考查对公式的识记以及空间想象能力，
12．【答案】 1
【分析】由，共线，∴，使，得到对应的方程组，求出答案.
【详解】∵，共线，∴，使，
∴，得解得故答案为：1，
【点睛】本题考查空间向量共线的应用，属于基础题.
13．【答案】 2 3
【解析】利用向量垂直的坐标运算和点乘运算及加法运算即可求解
【详解】因为，，且，所以，解得；
因为，所以，解得.故答案为：2；3
【点睛】本题考查空间向量运算的坐标表示，向量垂直的坐标表示，属于基础题.
14．【答案】 3
【解析】利用空间向量的模长的计算公式和线性运算法则直接计算即可.
【详解】因为空间向量，，
所以，.故答案为：3；.
15．【答案】
【分析】如图所示建立空间直角坐标系，设正方体的边长为，计算，，对角面的一个法向量为，计算得到答案.
【详解】如图所示建立空间直角坐标系，设正方体的边长为，
则，，，，故，.
故，故与直线所成角的大小为.
易知对角面的一个法向量为，设与对角面所成角为，
故.故答案为：；.
【点睛】本题考查了异面直线夹角，线面夹角，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.
三、解答题
16．【分析】(1)根据向量的加减运算法则，即可得；（2）根据数乘与向量的加减运算法则，即可得．
(1)解：，；
(2)解：．
17．【答案】(1)(2)(3)
【分析】（1）由于是的中点,所以，再根据空间向量的加法运算即可求出结果；
（2）由于是的中点,所以，再根据空间向量的减法运算即可求出结果；
（3）由于，分别，的中点，所以，又是的中点，，再根据空间向量的加法运算即可求出结果；
(1)解：因为是的中点，所以，所以，；
(2)解：因为是的中点,所以，所以，；
(3)解：因为，分别，的中点，所以，
又是的中点，，
所以， .
18．【答案】(1)(2)不存在，理由见解析
【分析】（1）先求得正四棱台的高，然后求得侧棱与底面所成的角.
（2）建立空间直角坐标系，利用向量法确定是否存在符合题意的点.
【详解】（1）依题意，在正四棱台中，，
所以上底面积，下底面积，
设正四棱台的高为，则.
连接，则，
所以，
设侧棱与底面所成的角为，则，
由于线面角的取值范围是，所以.
（2）连接，设正四棱台上下底面的中心分别为，
以为原点，分别为轴建立如图所示空间直角坐标系，
，
设线段上存在一点，满足，
，
，
则，
，
若，则，
即，
解得，舍去，所以在线段上不存在一点，使得.
19．【答案】（1）AB中点坐标，长度为；（2）4x-8y+6z+7=0.
【分析】（1）设M（x，y，z）是线段AB的中点，则，可得线段AB的中点坐标和线段AB长度；
（2）点P（x，y，z）到A、B两点距离相等，则=，化简可得到A，B两点距离相等的点P（x，y，z）的坐标x，y，z满足的条件．
【详解】(1) 设M（x，y，z）是线段AB的中点，则=[（3，1，3）+（1，5，0）]=．
∴线段AB的中点坐标是．
∴．
(2) 点P（x，y，z）到A、B两点距离相等，则=，
化简，得4x-8y+6z+7=0.．
即到A，B两点距离相等的点P（x，y，z）的坐标x，y，z满足的条件是4x-8y+6z+7=0.．
【点睛】本题考查点、线、面间的距离，考查空间向量知识的运用，考查学生的计算能力，比较基础．
20．【答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】（1）作出辅助线，根据线面垂直的判定定理先证明平面，由此可证明；
（2）建立合适空间直角坐标系，利用直线的方向向量与平面法向量夹角的余弦值求解出线面角的正弦值.
【详解】（1）证明：如图所示，分别取，的中点，，连接，，，∵为正三角形∴
∵侧面平面，平面平面，平面，∴平面，
同理，平面，∴，∴，，，四点共面.
∵等腰梯形中，，是，的中点，
∴.又，，∴平面，
∵平面，∴.
（2）解：由（1）知平面∵平面，
∴，∴，，两两互相垂直，
∴以为坐标原点，，，的方向分别为轴、轴、轴正方向，建立空间直角坐标系，则由题意知，，，，，
∴，，.
设平面的一个法向量，则
令得，，
此时.
∴.
设所求线面角为，则，
∴直线与平面所成角的正弦值为.
【点睛】本题考查立体几何的综合，其中涉及到空间中线线垂直关系的证明、线面角的向量求法，难度一般.利用向量方法求解线面角的正弦值时，要注意：直线方向向量与平面法向量夹角的余弦值的绝对值等于线面角的正弦值.