高中数学高考专题24 空间向量与空间角的计算（原卷版）

这是一份高中数学高考专题24 空间向量与空间角的计算（原卷版），共29页。

大数据分析*预测高考
十年试题分类*探求规律
考点82 空间异面直线所成角的计算
1．（2018•新课标Ⅱ，理9）在长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为
A．B．C．D．
2．（2018•新课标Ⅱ，文9）在正方体中，为棱的中点，则异面直线与所成角的正切值为
A．B．C．D．
（2017•新课标Ⅱ，理10）已知直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为
A．B．C．D．
4．（2016•新课标Ⅰ，理11文11）平面过正方体的顶点，平面，平面，平面，则、所成角的正弦值为
A．B．C．D．
5．（2014新课标Ⅱ，理11）直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC=CA=CC1，则BM与AN所成的角的余弦值为（ ）

A． B． C． D．
6．（2020全国Ⅰ理16）如图，在三棱锥的平面展开图中，，则_____________．
7．（2017•新课标Ⅲ，理16），为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形的直角边所在直线与，都垂直，斜边以直线为旋转轴旋转，有下列结论：
①当直线与成角时，与成角；
②当直线与成角时，与成角；
③直线与所成角的最小值为；
④直线与所成角的最小值为；
其中正确的是 ．（填写所有正确结论的编号）
8．（2015浙江）如图，三棱锥中，，，点分别是的中点，则异面直线所成的角的余弦值是 ．
9．（2015四川）如图，四边形和均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点在线段上，分别为的中点．设异面直线与所成的角为，则的最大值为_________．
10．（2015•新课标Ⅰ，理18）如图，四边形为菱形，，，是平面同一侧的两点，平面，平面，，．
（Ⅰ）证明：平面平面
（Ⅱ）求直线与直线所成角的余弦值．
考点83 空间线面角的计算
1．（2020山东4）日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球（球心记为），地球上一点的纬度是指与地球赤道所在平面所成角，点处的水平面是指过点且与垂直的平面．在点处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点处的纬度为北纬，则晷针与点处的水平面所成角为（ ）
A． B． C．D．
2．（2018•新课标Ⅰ，文10）在长方体中，，与平面所成的角为，则该长方体的体积为
A．8B．C．D．
3．（2014浙江）如图，某人在垂直于水平地面的墙面前的点处进行射击训练，已知点到墙面的距离为，某目标点沿墙面的射击线移动，此人为了准确瞄准目标点，需计算由点观察点的仰角的大小（仰角为直线与平面所成角）．若，，则的最大值
A． B． C． D．
4．（2014四川）如图，在正方体中，点为线段的中点．设点在线段上，直线与平面所成的角为，则的取值范围是
A． B． C． D．
5．（2020全国Ⅱ理20）如图，已知三棱柱的底面是正三角形，侧面是矩形，分别为的中点，为上一点．过和的平面交于，交于．
（1）证明：//，且平面平面；
（2）设为△的中心，若，且，求直线与平面所成角的正弦值．
6．（2018•新课标Ⅱ，理20）如图，在三棱锥中，，，为的中点．
（1）证明：平面；
（2）若点在棱上，且二面角为，求与平面所成角的正弦值．
7．（2016•新课标Ⅲ，理19）如图，四棱锥中，底面，，，，为线段上一点，，为的中点．
（1）证明：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
8．（2013新课标Ⅰ，理18）如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，CA=CB，AB=A A1，∠BA A1=60°．
（Ⅰ）证明AB⊥A1C；
（Ⅱ）若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB=CB=2，求直线A1C 与平面BB1C1C所成角的正弦值．
9．（2018浙江）如图，已知多面体，，，均垂直于平面，，，，．
(1)证明：⊥平面；
(2)求直线与平面所成的角的正弦值．
10．（2017浙江）如图，已知四棱锥，是以为斜边的等腰直角三角形，，，，为的中点．
（Ⅰ）证明：∥平面；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．
11．（2014天津）如图四棱锥的底面是平行四边形，，
，，，分别是棱，的中点．
（Ⅰ）证明： 平面；
（Ⅱ）若二面角为60°，
（ⅰ）证明：平面⊥平面；
（ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．
12．（2013浙江）如图，在四棱锥中，⊥面，，
，，，为线段上的点．
（Ⅰ）证明：⊥面 ；
（Ⅱ）若是的中点，求与所成的角的正切值；
（Ⅲ）若满足⊥面，求的值．
13．（2019浙江19）如图，已知三棱柱，平面平面，，分别是AC，A1B1的中点．
（1）证明：；
（2）求直线EF与平面A1BC所成角的余弦值．
14．(2018天津)如图，且，，且，且，平面，．
(1)若为的中点，为的中点，求证：平面；
(2)求二面角的正弦值；
(3)若点在线段上，且直线与平面所成的角为，求线段的长．
15．（2018江苏）如图，在正三棱柱中，，点，分别为，的中点．
(1)求异面直线与所成角的余弦值；
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
16．（2017天津）如图，在三棱锥中，⊥底面，．点，，分别为棱，，的中点，是线段的中点，，
．
（Ⅰ）求证：∥平面；
（Ⅱ）求二面角的正弦值；
（Ⅲ）已知点在棱上，且直线与直线所成角的余弦值为，求线段的长．
17．（2017北京）如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面⊥平面，点在线段上，//平面，，．
（Ⅰ）求证：为的中点；
（Ⅱ）求二面角的大小；
（Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值．
18．（2014福建）在平行四边形中，，，将沿折起，使得平面平面，如图．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）若为中点，求直线与平面所成角的正弦值．
19．(2013天津) 如图， 四棱柱中，侧棱⊥底面，，
，，，为棱的中点．
（Ⅰ）证明；
（Ⅱ）求二面角的正弦值；
（Ⅲ）设点在线段上；且直线与平面所成角的正弦值为， 求线段的长．
考点84二面角的计算
1．(2018浙江)已知四棱锥的底面是正方形，侧棱长均相等，是线段上的点（不含端点），设与所成的角为，与平面所成的角为，二面角的平面角为，则
A． B． C． D．
2．（2017浙江）如图，已知正四面体（所有棱长均相等的三棱锥），，，分别为，，上的点，，，分别记二面角，，的平面角为，，，则

A．<< B．<< C．<3．如图，已知，是的中点，沿直线将折成△，所成二面角的平面角为，则
A．B．C．D．
4．（2020全国Ⅰ理18）如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，为底面直径，．是底面的内接正三角形，为上一点，．
（1）证明：平面；
（2）求二面角的余弦值．
5．（2020全国Ⅲ理19）如图，在长方体中，点分别在棱上，且．
（1）证明：点在平面内；
（2）证明：若时，求二面角的正弦值．

6．（2020江苏24）在三棱锥A—BCD中，已知CB=CD=，BD=2，O为BD的中点，AO⊥平面BCD，AO=2，E为AC的中点．
（1）求直线AB与DE所成角的余弦值；
（2）若点F在BC上，满足BF=BC，设二面角F—DE—C的大小为θ，求sinθ的值．
7．（2020浙江19）如图，三棱台DEF—ABC中，面ADFC⊥面ABC，∠ACB=∠ACD=45°，DC =2BC．
（I）证明：EF⊥DB；
（II）求DF与面DBC所成角的正弦值．
8．（2020天津17）如图，在三棱柱中，平面，，点分别在棱和棱上，且为棱的中点．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求二面角的正弦值；
（Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值．
9．（2020山东20）如图，四棱锥的底面为正方形，底面，设平面与平面的交线为．
（1）证明：平面；
（2）已知，为上的点，求与平面所成角的正弦值的最大值．
10．（2019•新课标Ⅰ，理18）如图，直四棱柱的底面是菱形，，，，，，分别是，，的中点．
（1）证明：平面；
（2）求二面角的正弦值．
11．（2019•新课标Ⅱ，理17）如图，长方体的底面是正方形，点在棱上，．
（1）证明：平面；
（2）若，求二面角的正弦值．
12．（2018•新课标Ⅲ，理19）如图，边长为2的正方形所在的平面与半圆弧所在平面垂直，是上异于，的点．
（1）证明：平面平面；
（2）当三棱锥体积最大时，求面与面所成二面角的正弦值．
13．（2017•新课标Ⅰ，理18）如图，在四棱锥中，，且．
（1）证明：平面平面；
（2）若，，求二面角的余弦值．
14．（2017•新课标Ⅱ，理19）如图，四棱锥中，侧面为等边三角形且垂直于底面，，，是的中点．
（1）证明：直线平面；
（2）点在棱上，且直线与底面所成角为，求二面角的余弦值．
15．（2017•新课标Ⅲ，理19）如图，四面体中，是正三角形，是直角三角形，，．
（1）证明：平面平面；
（2）过的平面交于点，若平面把四面体分成体积相等的两部分，求二面角的余弦值．
16．（2016•新课标Ⅰ，理18）如图，在以，，，，，为顶点的五面体中，面为正方形，，，且二面角与二面角都是．
（Ⅰ）证明：平面平面；
（Ⅱ）求二面角的余弦值．
17．（2014新课标Ⅰ，理19）如图三棱锥中，侧面为菱形，．
(Ⅰ) 证明：；
（Ⅱ）若，，AB=BC，求二面角的余弦值．
18．（2014新课标Ⅱ，理18）如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．
（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；
（Ⅱ）设二面角D-AE-C为60°，AP=1，AD=，求三棱锥E-ACD的体积．
19．（2013新课标Ⅱ，理18）如图直棱柱中，D，E分别为AB，的中点，=AC=CB=．
(Ⅰ)证明：∥平面；
(Ⅱ)求二面角D-的正弦值．
20．（2012•新课标，理19）如图，直三棱柱中，，是棱的中点，
（1）证明：；
（2）求二面角的大小．
21．（2011•新课标，理18）如图，四棱锥中，底面为平行四边形，=，=，⊥底面．
(Ⅰ)证明：；
（Ⅱ）若=，求二面角的余弦值．
22．（2011广东）如图在椎体中，是边长为1的棱形，且=60，
，，，分别是，的中点．
（Ⅰ）证明：平面；
（Ⅱ）求二面角的余弦值．
23．(2019天津理17)如图，平面，，．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值；
（Ⅲ）若二面角的余弦值为，求线段的长．
24．（2018北京）如图，在三棱柱中，平面，，，， 分别为，，，的中点，，．
(1)求证：⊥平面；
(2)求二面角的余弦值；
(3)证明：直线与平面相交．
25．（2016年山东）在如图所示的圆台中，是下底面圆的直径，是上底面圆的直径，是圆台的一条母线．
（I）已知，分别为，的中点，求证：∥平面；
（II）已知===，．求二面角的余弦值．
26．（2016年天津）如图，正方形的中心为，四边形为矩形，平面⊥平面，点为的中点，．
（Ⅰ）求证：∥平面；
（Ⅱ）求二面角的正弦值；
（ = 3 \* ROMAN Ⅲ）设为线段上的点，且=，求直线和平面所成角的正弦值．

27．（2015福建）如图，在几何体中，四边形是矩形，平面，
，，，分别是线段，的中点．
（Ⅰ）求证：∥平面；
（Ⅱ）求平面与平面所成锐二面角的余弦值．
28．(2015山东)如图，在三棱台中，，分别为的中点．
（Ⅰ）求证：//平面；
（Ⅱ）若⊥平面，⊥，=，∠=，求平面与平面所成的角（锐角）的大小．
29．（2014山东）如图，在四棱柱中，底面是等腰梯形，
，是线段的中点．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）若垂直于平面且，求平 面和平面所成的角（锐角）的余弦值．
30．（2014辽宁）如图，和所在平面互相垂直，且，
，E、F分别为AC、DC的中点．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求二面角的正弦值．
31．（2014浙江）如图，在四棱锥中，平面平面，
，，，．
（Ⅰ）证明：平面；
（Ⅱ）求二面角的大小．
32．（2014广东）如图4，四边形为正方形，平面，，
于点，，交于点．
（Ⅰ）证明：
（Ⅱ）求二面角的余弦值．
33．(2014湖南)如图，四棱柱的所有棱长都相等，，
，四边形均为矩形．
(1)证明：
(2)若的余弦值．
34．(2013陕西)如图， 四棱柱的底面是正方形，为底
面中心， ⊥平面，．
（Ⅰ）证明：⊥平面；
（Ⅱ）求平面与平面的夹角的大小．
35．（2012浙江）如图，在四棱锥中，底面是边长为的菱形，，且平面，，，分别为，的中点．
（Ⅰ）证明：平面；
（Ⅱ）过点作，垂足为点，求二面角的平面角的余弦值．
36．（2017山东）如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形（及其内部）以边所在直线为旋转轴旋转得到的，是的中点．
（Ⅰ）设是上的一点，且，求的大小；
（Ⅱ）当，，求二面角的大小．
考点85 解答题中折叠问题与探索性问题
1．（2019•新课标Ⅲ，理19）图1是由矩形、和菱形组成的一个平面图形，其中，，．将其沿，折起使得与重合，连结，如图2．
（1）证明：图2中的，，，四点共面，且平面平面；
（2）求图2中的二面角的大小．
2．（2018•新课标Ⅰ，理18）如图，四边形为正方形，，分别为，的中点，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且．
（1）证明：平面平面；
（2）求与平面所成角的正弦值．
3．（2018•新课标Ⅲ，文19）如图，矩形所在平面与半圆弧所在平面垂直，是上异于，的点．
（1）证明：平面平面；
（2）在线段上是否存在点，使得平面？说明理由．
4．（2016•新课标Ⅱ，理19）如图，菱形的对角线与交于点，，，点，分别在，上，，交于于点，将沿折到△的位置，．
（Ⅰ）证明：平面；
（Ⅱ）求二面角的正弦值．
5．（2019北京理16）如图，在四棱锥中，，，，．E为PD的中点，点F在PC上，且．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求二面角的余弦值；
（Ⅲ）设点G在PB上，且．判断直线AG是否在平面AEF内，说明理由．
6．（2016年北京） 如图，在四棱锥中，平面平面，，
，，，，．
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值；
（3）在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由．
7．（2015陕西）如图，在直角梯形中，，，，，是的中点，是与的交点．将沿折起到的位置，如图．
（Ⅰ）证明：平面；
（Ⅱ）若平面平面，求平面与平面夹角的余弦值．
8．（2013广东）如图1，在等腰直角三角形中，，，分别是
上的点，，为的中点．将沿折起，得到如图2
所示的四棱锥，其中．
（Ⅰ） 证明：平面；
（Ⅱ） 求二面角的平面角的余弦值．
9．（2013湖北）如图，是圆的直径，点是圆上异于的点，直线平面，，分别是，的中点．
（Ⅰ）记平面与平面的交线为，试判断直线与平面的位置关系，并加以证明；
（Ⅱ）设（I）中的直线与圆的另一个交点为，且点满足．记直线与平面所成的角为，异面直线与所成的角为，二面角的大小为，求证：．
10．（2012福建）如图，在长方体中，为中点．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）在棱上是否存在一点，使得∥平面？若存在，求的行；若存在，求的长；若不存在，说明理由．[
（Ⅲ）若二面角的大小为30°，求的长．
年 份
题号
考 点
考 查 内 容
2011
理18
二面角的计算
线面、线线垂直的判定与性质、利用向量法求二面角的方法，逻辑推理能力、空间想象能力及运算求解能力
2012
理19
二面角的计算
线面平行、线线垂直、线面垂直的判定定理及二面角的计算，逻辑推理能力、空间想象能力及运算求解能力
2013[来源:Z。xx。k.Cm]
卷2[来源:Z*xx*k.Cm]
理18[来源:学*科*网Z*X*X*K]
二面角的计算
线面平行的判定定理及二面角的计算，逻辑推理能力、空间想象能力及运算求解能力
卷1
理18
空间线面角的计算
空间线面、线线垂直的判定与性质及线面角的计算，空间想象能力、逻辑推论证能力
2014
卷2
理18
二面角的计算
线面平行的判定、二面角的计算、锥体的体积计算等基础知识，逻辑推理能力、空间想象能力、运算求解能力
卷2
理11
空间异面直线所成角的计算
异面直线所成的角，空间想象能力和运算求解能力
卷1
理19
二面角的计算
空间线线垂直、线面垂直的判定与性质、二面角的计算等基础知识，逻辑推理能力、空间想象能力和运算求解能力
2015
卷1
理18
空间异面直线所成角的计算
主线线、线面、面面垂直判定与性质及利用空间向量计算异面直线所成角，逻辑推理能力与运算求解能力．
2016
卷3
理19
空间线面角的计算
线面平行的判定与性质、利用空间向量计算线面角，逻辑推理能力和运算求解能力
卷2
理19
解答题中的折叠问题与探索性问题
二面角的计算
折叠问题中线面垂直的判定与性质、利用空间向量计算二面角，逻辑推理能力和运算求解能力
卷1
理18
二面角的计算
主线线、线面、面面垂直判定与性质及利用空间向量计算二面角，逻辑推理能力与运算求解能力
卷1
理11
文11
空间异面直线所成角的计算
面面平行的性质及线线所成角，逻辑推理能力与运算求解能力
2017
卷3
理16
空间异面直线所成角的计算
空间点、线、面位置关系及线线所成角，逻辑推理能力与运算求解能力
卷3
理19
二面角的计算
主要以三棱锥为载体面面垂直的判定与性质、简单几何体体积的计算、利用空间向量计算二面角，逻辑推理能力与运算求解能力
卷2
理18
二面角的计算
空间线面角的计算
主要以三棱锥为载体线面平行的判定与性质、利用空间向量计算线面角与二面角，逻辑推理能力与运算求解能力
卷2
理10
空间异面直线所成角的计算
空间两条异面直线所成的角及空间想象能力与运算求解能力
卷1
理18
二面角的计算
空间垂直的判定与性质、利用空间向量计算二面角，逻辑推理能力与运算求解能力
2018
卷3
文19
解答题中的折叠问题与探索性问题
空间面面垂直的判定与性质、是否存在点是线面平行的问题，逻辑推理能力与空间想象能力
卷2
文9
空间异面直线所成角的计算
空间两条异面直线所成的角及空间想象能力与运算求解能力
卷1
文10
空间线面角的计算
长方体中线面角的计算与长方体体积计算，运算求解能力
卷3
理19
二面角的计算
空间垂直的判定与性质、利用空间向量计算二面角与空间几何体体积的最大值，逻辑推理能力与运算求解能力
卷2
理20
空间线面角的计算
二面角的计算
主要以三棱锥为载体线面垂直的判定与性质、利用空间向量计算线面角与二面角，逻辑推理能力与运算求解能力
卷2
理9
空间异面直线所成角的计算
空间两条异面直线所成的角及空间想象能力与运算求解能力
卷1
理18
解答题中的折叠问题与探索性问题
空间线面角的计算
折叠问题中空间垂直的判定与性质、利用空间向量计算线面角及逻辑推理能力与运算求解能力
2019
卷3
理19
解答题中的折叠问题与探索性问题
二面角的计算
折叠问题中的共面问题的判定、空间垂直的判定与性质、利用空间向量计算二面角及逻辑推理能力与运算求解能力
卷2
理17
二面角的计算
空间线线、线面垂直的判定与性质及利用空间向量计算二面角，逻辑推理能力、运算求解能力
卷1
理18
二面角的计算
空间线面平行的判定及利用空间向量计算二面角，逻辑推理能力、运算求解能力
2020
卷1
理16
空间角的计算
空间角的计算，利用余弦定理解三角形
理18
二面角的计算
空间线线、线面垂直的判定与性质及利用空间向量计算二面角，逻辑推理能力、运算求解能力
卷2
理20
空间位置关系判定、空间角的计算
间线面平行与垂直的证明，线面角的计算
卷3
理19
二面角、点与平面位置关系
点在平面的证明，利用空间向量法求二面角
考点
出现频率
2021年预测
考点82空间异面直线所成角的计算
7/28
2021高考仍将重点考查异面直线角、线面角、二面角，解答题第一小题重点考查线线、线面、面面垂直的判定与性质，理科第二小题重点考查利用向量计算线面角或二面角，难度为中档题，小题可能考查异面直线角，难度为中档．
考点83空间线面角的计算
7/28
考点84二面角的计算
14/28
考点85 解答题中的折叠问题与探索性问题
4/28