河北省保定市曲阳县第一高级中学2024-2025学年高二上学期9月月考数学试题（原卷版+解析版）

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1. 已知，则点A关于平面的对称点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据坐标平面的对称性求解．
【详解】点A关于平面的对称点的坐标是，
故选：B．
2. 若直线经过两点，则直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据两点坐标求出直线的斜率，进而求出倾斜角.
【详解】由直线经过两点，可得直线的斜率为，
设直线的倾斜角为，有，又，所以.
故选：C.
3. 已知，且，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】运用空间向量平行坐标结论，结合坐标运算即可解.
【详解】向量，则，
因，于是得，解得，
所以.
故选：B.
4. 两条平行直线和间的距离为，则的值分别为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由已知列出关系式，求出的值.然后根据两条平行线之间的距离公式，即可求出的值.
【详解】由已知可得，，解得.
代入化简可得，.
根据两条平行线之间的距离公式可得，
.
故选：B.
5. 如图，空间四边形中，，，，点M在上，且，点N为中点，则等于（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用空间向量的线性运算法则求解.
【详解】
.
故选：B.
6. 过点作直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题知直线的斜率，再根据斜率范围求解倾斜角的范围即可.
【详解】
设直线的斜率为，倾斜角为，，
，，
因为直线经过点，且与线段总有公共点，
所以，
因为，所以.
故选：B.
7. 以下各组向量中的三个向量，不能构成空间基底的是（ ）
A. ，，
B. ，，
C. ，，
D. ，，
【答案】A
【解析】
【分析】结合空间三个向量，，能构成空间的基底，则向量，，不共面，逐一检验即可.
【详解】若空间三个向量，，能构成空间的基底，则向量，，不共面，反之亦然，
对于A，由，，，得，即向量，，共面，不能构成空间基底；
对于B，令，则，不成立，即不共面，可构成基底；
对于C，令，则，即无解，即不共面，可构成基底；
对于D，令，则，即无解，即不共面，可构成基底.
故选：A
8. 点到直线的距离最大时，其最大值以及此时的直线方程分别为（ ）
A. ；B. ；
C. ；D. ；
【答案】A
【解析】
【分析】求出直线所过的定点，再确定最大值条件即可求解.
【详解】将直线变形得，
由，解得，因此直线过定点，
当时，点到直线的距离最大，
最大值为，又直线的斜率，
所以直线的方程为，即.
故选：A

二、多选选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知，则下列说法正确的是（ ）
A. 是平面的一个法向量B. 四点共面
C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】根据向量垂直，即可结合法向量定义求解A，根据共面定理即可求解B，根据向量共线即可求解C，由模长公式即可求解D.
【详解】，
所以平面，
所以平面，所以是平面的一个法向量，故A正确；
设，则，无解，所以四点不共面，故B错误；
，所以与不平行，故C错误；
，故D正确；
故选：AD.
10. 已知直线，直线，则下列结论正确的是（ ）
A. 在轴上的截距为B. 过定点
C. 若，则或D. 若，则
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据直线截距的定义可判定A，由直线方程可求定点判定B，利用两直线的位置关系可判定C、D.
【详解】由易知，故A正确；
由，故B正确；
若两直线平行，则有且，解得，故C错误；
若两直线垂直，则有，故D正确.
故选：ABD
11. 如图，在棱长为2正方体中，点P是正方体的上底面内（不含边界）的动点，点Q是棱的中点，则以下命题正确的是（ ）

A. 三棱锥的体积是定值
B. 存在点P，使得与所成的角为
C. 直线与平面所成角的正弦值的取值范围为
D. 若，则P的轨迹的长度为
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用等体积转换即可求得体积为定值判断A；建立空间直角坐标系，设，得，，利用向量夹角公式求解判断B；求平面的法向量，利用向量夹角公式求解判断C；由，可得，即可求解判断D.
【详解】对于A，三棱锥的体积等于三棱锥的体积，
是定值，A正确；
以为坐标原点，分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，设，则
对于B，，使得与所成的角满足：
，
因为，故，故，
而，B错误；
对于C，平面的法向量，
所以直线与平面所成角的正弦值为：，
因为，故
故，
而，，
故即的取值范围为，C正确；
对于D，，由，
可得，化简可得，
在平面内，令，得，令，得，则P的轨迹的长度为
，D正确；
故选：ACD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知 ，则 与 夹角的余弦值为______________________.
【答案】##
【解析】
【分析】由空间向量的数量积公式求解即可．
【详解】，
.
故答案为：
13. 已知点在圆上，点，当最小时，__________.
【答案】
【解析】
【分析】找到当最小时P点所在的位置，再结合勾股定理可得结果.
【详解】设圆的圆心为，半径为4，
如图所示：当 最小时，与圆M相切，连接，
则，，而，
由勾股定理得，
所以当最小时，.
故答案为：.
14. 直线与直线相交于点，对任意实数，直线分别恒过定点，则的最大值为__________
【答案】4
【解析】
【分析】根据直线恒过定点的求法求出两直线恒过的定点，即的坐标，根据直线的方程计算得出两直线垂直，即，即可得出，即可根据基本不等式得出答案.
【详解】直线化，
当，得，即直线恒过点，即点，
直线化为，
当，得，即直线恒过点，即点，
且两条直线满足,
,即，
,
,当且仅当时，等号成立，
的最大值为4.
故答案为：4.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知点，，，设，，．
（1）若实数使与垂直，求值．
（2）求在上的投影向量．
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，求出空间向量的坐标，再结合向量垂直的坐标表示列式计算即得.
（2）利用投影向量的定义求解即得.
【小问1详解】
依题意，，，
由与垂直，得，解得，
所以.
【小问2详解】
由（1）知，，，
所以在上的投影向量为.
16. 已知的三个顶点为.
（1）求边上的高所在直线的方程；
（2）求边上的中线所在直线的方程.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据两点的坐标求出直线的斜率，利用垂直关系求出高线的斜率，利用点斜式写出直线的方程；
（2）根据两点的坐标求出中点，再由两点坐标求出直线斜率，利用点斜式写出直线的方程.
【小问1详解】

因为的三个顶点为，
所以直线的斜率为，
所以边上的高所在直线的斜率为，
所以直线的方程为，
化为一般式方程为；
【小问2详解】
因为，所以的中点为，
又因为，所以直线的斜率为，
所以直线点斜式方程为，
化为一般式为.
17. 已知平行六面体，底面是正方形，，，设．
（1）试用表示；
（2）求长度．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用向量线性运算，结合几何体特征确定与的线性关系；
（2）由（1），结合空间向量数量积的运算律及已知条件求的长度.
【小问1详解】
.
【小问2详解】
，
，
所以
.
所以.
18. 已知直线：，：，且满足，垂足为C.
（1）求m的值及点C的坐标.
（2）设直线与x轴交于点A，直线与x轴交于点B，求的外接圆方程.
【答案】（1），
（2）．
【解析】
【分析】（1）根据题意，求得两直线的斜率，结合，求得，得出直线的方程，联立方程组，求得交点坐标.
（2）由（1）中的直线方程，求得，，得到的外接圆是以为直径的圆，求得圆心坐标和半径，即可求解.
【小问1详解】
解：显然，可得，，
由，可得，即，解得，
所以直线：，直线：，
联立方程组，解得，所以点．
【小问2详解】
解：由直线：，直线：，可得，，
所以的外接圆是以为直径的圆，可得圆心，半径，
所以的外接圆方程是．
19. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，，，且平面平面，在平面内过作，交于，连.
（1）求证：平面；
（2）求二面角的正弦值；
（3）在线段上存在一点，使直线与平面所成的角的正弦值为，求的长.
【答案】（1）证明见解析
（2）.
（3）.
【解析】
【分析】（1）由已知四边形为矩形，证明，由条件根据面面垂直性质定理证明平面；
（2）建立空间直角坐标系，求平面，平面的法向量，利用向量法求出二面角的余弦值，再求其正弦值；
（3）设，求，利用向量方法求直线与平面所成的角的正弦值，列方程求.
【小问1详解】
因为，因为，，
所以四边形为矩形，
在中，，，，
则，
，，
且平面平面，平面
平面平面，
平面；
【小问2详解】
以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
，，可得，
则，，，，C-1,3,0，
设平面的法向量为，，，
由，取.
设平面的法向量为，，
由，取，
.
二面角是钝角，
二面角的正弦值为.
【小问3详解】
设，则，
又平面的法向量为，
直线与平面所成的角的正弦值为，
解得，.