湘教版（2024）七年级上册（2024）*3.8 三元一次方程组优秀巩固练习

这是一份湘教版（2024）七年级上册（2024）*3.8 三元一次方程组优秀巩固练习，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.有A，B，C三种商品，单价都是正整数(元)，若黄老师去买A商品3件，B商品7件，C商品1件，共付款24元；黄老师又去买A商品4件，B商品10件，C商品1件，共付款33元；那么黄老师买A，B，C三种商品各一件共需付款( )
A. 10元B. 9元C. 8元D. 6元
2.若4x−3y−6z=0，x+2y−7z=0(xyz≠0)，则5x2+2y2−z22x2−3y2−10z2的值等于( )
A. −12B. −192C. −15D. −13
3.下列四组数值中，是方程组x+2y+z=02x−y−z=13x−y−z=2的解的是( )
A. x=0y=1z=−2B. x=0y=0z=1C. x=0y=−1z=0D. x=1y=−2z=3
4.某工厂的一条流水线匀速生产产品，在有一些产品积压的情况下，经过实验，若安排9人包装，则需要5h可以包装完所有产品;若安排6人包装，则需要10h才能包装完所有产品.假设每个人包装速度一样.现要在2h内完成产品包装任务，则至少需要安排的人数是( )
A. 16B. 17C. 18D. 20
5.如图，边长为x的两个正方形靠边各放置两个边长为a，b的长方形，然后分别以a+x，b+x构造两个大正方形，根据图中的数据，可求得x的值是( )
A. 80cmB. 75cmC. 70cmD. 65cm
6.某学校体育社团准备采购一批体育用品奖给学生，到了文具店发现广告上写着优惠活动如下：3根跳绳，5个乒乓球和一个羽毛球共16元；2根跳绳，3个乒乓球和一个羽毛球共12元；王老师马上想到：5根跳绳，9个乒乓球和一个羽毛球共需( )元．
A. 28B. 24C. 20D. 18
7.若x+2y+4z=0,2x−3y−13z=0,则4x2−3y2+5z23x2+y2−3z2的值为 ( )
A. −3519B. −119C. −23D. −13
8.已知x、y、z满足2x+5y+4z=04x+y+2z=0，则x+y+z的值为( )
A. 0B. 1C. 2D. 不能求出
9.解方程組3x−y+z=4①2x+3y−z=12②x+y−2z=3③，以下解法不正確的是( )
A. 由①②消去z，再由①③消去zB. 由①③消去z，再由②③消去z
C. 由①③消去y，再由①②消去yD. 由①②消去z，再由①③消去y
10.将两块完全相同的长方体木块先按图1所示的方式放置，再按图2所示的方式放置，测得的数据如图所示，则桌子的高度h= ( )
A. 30 cmB. 35 cmC. 40 cmD. 45 cm
11.(2022安徽模拟改编)x，y，z均为有理数，且x+y+z≠0，x=x+y−z2，z=x−y+z2，则下列等式成立的是 ( )
A. x2−y2=z2B. xy=zC. x2+y2=z2D. x+y=z
12.三元一次方程组2x=3y=6z,x+2y+z=16的解为 ( )
A. x=1,y=3,z=5B. x=6,y=3,z=2C. x=6,y=4,z=2D. x=4,y=5,z=6
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.已知x、y、z是三个非负实数，满足3x+2y+z=5，x+y−z=2，若s=2x+y−z，则s的最大值与最小值的积为______．
14.某工厂为扩大生产规模，决定分三批采购A，B，C三种型号的设备，以加大生产力度，已知B型设备的单价是A型设备单价的2倍.第一批购进A，B，C三种设备的数量分别为10台，10台，15台，第二批购进A，B，C三种设备的数量分别比第一批对应数量增加了20%，20%，40%，采购总价比第一批采购总价提高了13，第三批购进三种设备的总数量是第一批的7435倍，其中采购C型设备的数量最多，采购A型设备的数量最少，同时第三批的采购总价是第二批采购总价的1.5倍，则该工厂第三批采购的A型设备与C型设备数量之比是______．
15.已知2x+3y=z3x+4y=2z+6且x+y=3，则z的值为 ．
16.已知x=1y=2z=3是方程组ax+by=2by+cz=3cx+az=7的解，则a+b+c是______．
三、解答题：本题共6小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
一对夫妇现在年龄的和是其子女年龄和的6倍，他们两年前年龄和是子女两年前年龄和的10倍，6年后他们的年龄和是子女6年后年龄和的3倍，问这对夫妇共有多少个子女？
18.(本小题8分)
一个三位数，如果把它的个位数字与百位数字交换位置，那么所得的新数比原数小99，且各位数字之和为14，十位数字是个位数字与百位数字之和.求这个三位数．
19.(本小题8分)
在等式y=ax2+bx+c中，当x=−1时，y=0；当x=2时，y=3；当x=5时，y=60．
(1)求a，b，c的值；
(2)设m≠n，当x=m与x=n时，y的值相等，求当x=m+n时，y的值．
20.(本小题8分)
已知y=ax2+bx+c.当x=1时，y=8；当x=0时，y=2；当x=−2时，y=4．
(1)求a、b、c的值；
(2)求x=−3时，y的值．
21.(本小题8分)
解方程组：
(1)x=3y+1−2x+5y=2；
(2)a−b=−13a+b+c=2a−2b+c=−6
22.(本小题8分)
通过对一份中学生营养快餐的检测，得到以下信息：快餐总质量为300 g；快餐的成分：蛋白质、碳水化合物、脂肪、矿物质；蛋白质和脂肪含量占50%；矿物质的含量是脂肪含量的2倍；蛋白质和碳水化合物含量占85%.据上述数据，求出营养快餐中蛋白质和矿物质的质量．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：由题意，设商品A的单价为x元/件，商品B的单价为y元/件，商品C的单价为z元/件，则
3x+7y+z=24①4x+10y+z=33②，.
∴②−①得：x+3y=9．
由①，得：z=24−3x−7y．
∴x+y+z=x+y+24−3x−7y=24−2x−6y=24−2(x+3y)=24−2×9=6．
答：买A、B、C各一件共需要6元．
故选：D．
依据题意，设商品A的单价为x元/件，商品B的单价为y元/件，商品C的单价为z元/件．根据购买A商品3件、B商品7件、C商品1件共需24元；若购买A商品4件、B商品10件、C商品1件共需33元可得两个方程，相减后消去z，由第一个方程可得z的值，进而求x+y+z的值即可．
本题主要考查了三元一次方程组的应用，解题时要能理解题意，得到能解决问题的相等关系是关键．
2.【答案】D
【解析】解：由4x−3y−6z=0x+2y−7z=0
解得{x=3zy=2z,
代入5x2+2y2−z22x2−3y2−10z2=45z2+8z2−z218z2−12z2−10z2=−13，
故选：D．
先由4x−3y−6z=0x+2y−7z=0解得x=3zy=2z.，再代入5x2+2y2−z22x2−3y2−10z2即可．
本题的实质是考查三元一次方程组的解法，通过解方程组，了解把“三元”转化为“二元”、把“二元”转化为“一元”的消元的思想方法，从而进一步理解把“未知”转化为“已知”和把复杂问题转化为简单问题的思想方法．解三元一次方程组的关键是消元．解题之前先观察方程组中的方程的系数特点，认准易消的未知数，消去未知数，组成该未知数的二元一次方程组．
3.【答案】D
【解析】解：x+2y+z=0①2x−y−z=1②3x−y−z=2③，
①+②得：
3x+y=1④，
①+③得：
4x+y=2⑤，
⑤−④得：
x=1，
把x=1代入④中，
3+y=1，
解得：y=−2，
把x=1，y=−2代入①中，
1−4+z=0，
解得：z=3，
∴原方程组的解为：x=1y=−2z=3，
故选：D．
先通过加减消元法，将三元一次方程组转化为二元一次方程组，再进行计算即可解答．
本题考查了解三元一次方程组，熟练掌握加减消元法是解题的关键．
4.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了三元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，找准等量关系，正确列出三元一次方程组是解题的关键．设原有产品为m件，每个人的包装速度为x件，每小时流水线的生产为y件，根据“若安排9人包装，则5小时可以包装完所有产品；若安排6人包装，则需要10小时才能包装完所有产品”，即可得出关于x，y，m的三元一次方程组，解之即可用含x的代数式表示出y，m的值，设需要n人2小时内完成产品包装的任务，利用工作数量=工作效率×工作时间，结合要在2小时内完成产品包装的任务，即可得出关于n的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．
【解答】
解：设原有产品为m件，每个人的包装速度为x件，每小时流水线的生产为y件，
依题意得：5×9x=m+5y10×6x=m+10y,
解得：y=3xm=30x．
设需要n人2小时内完成产品包装的任务，
依题意得：2nx≥m+2y，
解得：n≥m+2y2x=30x+2×3x2x=18，
即至少需要安排的人数是18．
故选C．
5.【答案】B
【解析】解：由题意得：a+x=b+90①b+x=a+60②,
①+②得：a+b+2x=a+b+150，
解得：x=75，
故选：B．
根据两个图形分别可得a+x=b+90，b+x=a+60，联立方程组求解即可．
本题考查了三元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出三元一次方程组是解题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：设每根跳绳x元，每个乒乓球y元，每个羽毛球z元，
由题意可得：3x+5y+z=16①2x+3y+z=12②，
①−②得：x+2y=4，
∴4x+8y=16，
②×2−①得：x+y+z=8，
∴5x+9y+z=(x+y+z)+4(x+2y)=8+4×4=24，
故选：B．
设x根跳绳，y个乒乓球，z个羽毛球，根据已知条件列出方程组，利用加减法分别求出x+2y=4，x+y+z=8，再将5x+9y+z拆分成(x+y+z)+4(x+2y)，代入计算即可．
本题考查了三元一次方程组的应用，解题的关键是灵活运用加减消元法，整体思想较为明显．
7.【答案】D
【解析】由 x+2y+4z=0,2x−3y−13z=0 得 x=2z,y=−3z,
∴ 4x2−3y2+5z23x2+y2−3z2=16z2−27z2+5z212z2+9z2−3z2=−13 ．
8.【答案】A
【解析】解：2x+5y+4z=0①4x+y+2z=0②
①+②得到：6x+6y+6z=0，
∴x+y+z=0，
故选：A．
9.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了三元一次方程组的解法，把“三元”转化为“二元”、把“二元”转化为“一元”的消元的思想方法，从而进一步理解把“未知”转化为“已知”和把复杂问题转化为简单问题的思想方法．解三元一次方程组的关键是消元．
根据解三元一次方程组的步骤先消去一个未知数，得到一个二元一次方程组，从而得出答案．
【解答】
解：方程组3x−y+z=4①2x+3y−z=12②x+y−2z=3③，
A.由①，②消去z，再由①，③消去z ，正确；
B.由①，③消去z，再由②，③消去z，正确；
C.由①，③消去y，再由①，②消去y ，正确；
D.由①，②消去z，再由①，③消去y，错误．
故选D．
10.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查三元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组进行解答．
根据题意可以列出相应的三元一次方程组，利用加减消元法消去y，从而可以求得桌子的高度h，本题得以解决．
【解答】
解：设长方体的长为xcm，宽为ycm，
60+y=h+x①h+y=20+x②，
①−②，得
60−h=h−20，
解得，h=40，
故选C．
11.【答案】A
【解析】解：因为x=x+y−z2，
所以2x=x+y−z，
所以y=x+z，
因为z=x−y+z2，
所以2z=x−y+z，
所以y=x−z，
所以x+z=x−z，
所以z=0，
把z=0代入z=x−y+z2中得：x=y，
因为x+y+z≠0，
所以x=y≠0．
A.x2−y2=x2−x2=0=z2，所以A选项正确，符合题意；
B.xy≠0，z=0，所以B选项错误，不符合题意；
C.x2+y2≠0，z2=0，所以C选项错误，不符合题意；
D.x+y≠0，z=0，所以D选项错误，不符合题意．
分别化简这两个等式，得到y=x+z和y=x−z，所以x+z=x−z，所以z=0，代入z=x−y+z2中得x=y，因为x+y+z≠0，所以x=y≠0，然后分别判断各选项即可．
本题考查了三元一次方程组的解法，求出z=0是解题的关键．
12.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查的是解三元一次方程组的有关知识，先将三元一次方程组进行变形，用z分别表示出x，y，最后代入x+2y+z=16求出z，进而求出x，y．
【解答】
解：∵2x=3y=6z,x+2y+z=16，
∴2x=3y①2x=6z②x+2y+z=16③,
由②得x=3z，
将x=3z代入①得y=2z，
将x=3z，y=2z代入③得3z+4z+z=16，
解得z=2，
将z=2代入x=3z得x=6，
将x=6代入①得y=4．
则该方程组的解为x=6,y=4,z=2.
13.【答案】6
【解析】解：∵x+y−z=2，s=2x+y−z，
∴s=x+2，
∵3x+2y+z=5①x+y−z=2②，
①+②得：4x+3y=7，
∴y=7−4x3，
②×2得：2x+2y−2z=4③，
①−③得：x+3z=1，
∴z=1−x3，
∵x、y、z是三个非负实数，
∴7−4x3≥0①1−x3≥0②，
由①得：7−4x≥0，
−4x≥−7，
x≤74，
由②得：1−x≥0，
−x≥−1，
x≤1，
∴不等式组的解集为：x≤1，
∵x，y，z是三个非负整数，
∴0≤x≤1，
∴x的最大值为1，最小值为0，
∴s的最大值为3，最小值为2，
∴s的最大值与最小值的积为：3×2=6，
故答案为：6．
先根据已知条件得到s=x+2，然后把利用加减法把y和z用含有x的式子表示出来，然后根据x、y、z是三个非负实数，列出关于x的不等式组，求出x的取值范围，并求出x的最大值和最小值，从而求出s的最大值和最小值，进而求出答案即可．
本题主要考查了解三元一次方程组和不等式的性质，解题关键是熟练掌握利用加减消元法解三元一次方程组和一元一次不等式组．
14.【答案】22：27
【解析】解：设A型设备的单价为x，C型设备的单价为y，则B型设备的单价为2x，
根据题意得：10×(1+20%)x+10×(1+20%)×2x+15×(1+40%)y=(1+13)(10x+10×2x+15y)，
∴y=4x．
设第三批购进a台A型设备，b台B型设备，c台C型设备，
根据题意得：a+b+c=7435×(10+10+15)ax+2bx+4cx=1.5×(1+13)(10x+10×2x+15×4x)，
即a+b+c=74a+2b+4c=180，
解得：a=116−2b3c=106−b3，
∵a∴116−2b3∴1165又∵a，b，c均为正整数，
即116−2b3，b，106−b3均为正整数，
∴b=25，
∴a=116−2b3=116−2×253=22(台)，c=106−b3=106−253=27(台)，
∴a：c=22：27．
故答案为：22：27．
设A型设备的单价为x，C型设备的单价为y，则B型设备的单价为2x，利用总价=单价×数量，结合第二批采购总价比第一批采购总价提高了13，可列出关于x，y的二元一次方程，解之可得出y=4x，设第三批购进a台A型设备，b台B型设备，c台C型设备，利用总价=单价×数量，结合第三批的采购总价是第二批采购总价的1.5倍，可列出关于a，b，c的三元一次方程组，解之可用含b的代数式表示出a，c的值，由a本题考查了三元一次方程组的应用、列代数式以及二元一次方程的应用，根据第三批购进三种设备数量间的关系，求出第三批购进B型设备的数量是解题的关键．
15.【答案】−3
【解析】【分析】
此题考查了解三元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．方程组两方程左右相减表示出x+y，代入x+y=3中计算即可求出z的值．
【解答】
解：2x+3y=z①3x+4y=2z+6②，
②−①得：x+y=z+6，
代入x+y=3得：z+6=3，
解得：z=−3．
故答案为−3．
16.【答案】3
【解析】解：由题意将代入方程组得：
a+2b=2①2b+3c=3②c+3a=7③，
∴①+②+③得：a+2b+2b+3c+c+3a=2+3+7，
即4a+4b+4c=4(a+b+c)=12，
则a+b+c=3．
故答案为：3．
依据题意，可将x，y及z的值代入方程组得到关于a，b，c的方程组，将方程组中三个方程左右两边相加，变形后即可求出a+b+c的值．
本题主要考查了解三元一次方程组，解题的关键是求a+b+c不要求出a，b及c的值，而是整体求出．
17.【答案】解：设夫妇现在的年龄和为x，子女年龄和为y，共有n个子女，
由夫妇现在年龄的和是其子女年龄和的6倍可知：x=6y，
由他们两年前年龄和是子女两年前年龄和的10倍可知：x−2×2=10×(y−2n)，
由6年后他们的年龄和是子女6年后年龄和的3倍可知：x+2×6=3×(y+6n)，
列出方程组x−2×2=10×(y−2n)x+2×6=3×(y+6n)，
将x=6y代入方程组中
解得：n=3．
答：这对夫妇共有3个子女．
【解析】设夫妇现在的年龄的和是x，子女年龄和为y，共有n个子女，建立关于x，y，n的方程组求解．
本题有多个未知量，通过设多个未知量再根据题中等量关系列方程式，最后解出要求的未知量．此外，本题中要考虑夫妇，以及子女年龄变化时的倍数情况．
18.【答案】解：这个三位数的百位数字为x，十位数字为y，个位数字为z．
由题意列方程组100x+10y+z−(100z+10y+x)=99①x+y+z=14②x+z=y③
②−③得 y=14−y，即y=7，
由①得x−z=1⑤，
将y=7代入③得x+z=7⑥，
⑤+⑥得2x=8，
即x=4，那么z=3，
答：这个三位数是473．
【解析】首先假设这个三位数的百位数字为x，十位数字为y，个位数字为z.根据题目说明，以及百位数是百位数字的100倍，十位数是十位数字的10倍，个位数就是个位数字列出方程组100x+10y+z−(100z+10y+x)=99 x+y+z=14 x+z=y
通过加减消元法、代入法求得x、y、z的值，那么这个三位数也就确定．
解决本题的关键是根据百位数字、十位数字、个位数字与数值间的关系列出方程组，用代入消元法或加减消元法求出方程组的解．
19.【答案】解：(1)根据题意列方程组：
0=a−b+c① 3=4a+2b+c② 60=25a+5b+c③ ，
①×2+②得，1=2a+c④，
①×5+③得，10=5a+c⑤，
④、⑤组成方程组：1=2a+ c10=5a+c，
解得，a=3c=−5，
把a、c的值代入①得，0=3−b−5，b=−2，
所以a=3，b=−2，c=−5；
(2)∵m≠n，当x=m与x=n时，y的值相等，
∴an2+bn+c=am2+bm+c，
∴(n−m)[a(n+m)+b]=0，
∵m≠n，
∴n−m≠0，a(n+m)+b=0，
当x=m+n时，
y=a(m+n)2+b(m+n)+c，
把b=−a(m+n)代入上式得，
y=a(m+n)2−a(m+n)2+c，
y=c=−5．
【解析】(1)代入数值组成方程组，解方程组；
(2)根据题意列等式，可得到以代数式的值为0，整理后，整体代入当x=m+n时的等式中就可以求出y的值．
本题考查了解三元一次方程组和代数式求值，解题的关键是掌握三元一次方程组的解法，代数式的化简求值．
20.【答案】解：(1)把x=1，y=8；x=0，y=2；x=−2，y=4分别代入y=ax2+bx+c中，
得：{a+b+c=8①c=2②4a−2b+c=4③，将②分别代入到①③中，
得方程组为{a+b=64a−2b=2
解得{a=73b=113,
∴{a=73b=113c=2；
(2)当x=−3时，y=73x2+113x+2=73×9+113×(−3)+2=12
答：当x=−3时，y=12．
【解析】本题主要考查求代数式知识，解答本题的关键是知道解三元一次方程组、二元一次方程组的方法．
(1)把x=1，y=8；x=0，y=2；x=−2，y=4分别代入y=ax2+bx+c中，然后解方程组即可；
(2)当x=−3时，y=73x2+113x+2=73×9+113×(−3)+2=12．
21.【答案】解：(1)x=3y+1①−2x+5y=2②，
把①代入②得−2(3y+1)+5y=2，
解得y=−4，
把y=−4代入①得x=−11，
∴方程组的解为x=−11y=−4；
(2)a−b=−1①3a+b+c=2②a−2b+c=−6③，
②−③得2a+3b=8④，
④−①×2得5b=10，即b=2，
把b=2代入①得a=1，
把a=1，b=2代入②得，3+2+c=2，
解得c=−3，
∴方程组的解为a=1b=2c=−3．
【解析】(1)利用代入消元法求解即可；
(2)利用加减消元法求解即可．
本题考查了解三元一次方程组的应用，解此题的关键是能正确消元，即把三元一次方程组转化成二元一次方程组．
22.【答案】解：设蛋白质的质量为x g，脂肪的质量为y g，碳水化合物的质量为z g，则矿物质的质量为2y g，
根据题意得：
x+y+z+2y=300x+y=300×50%x+z=300×85%，
解得x=135y=15z=120，
所以2y=30，
答：蛋白质的质量是135g，矿物质的质量是30g．
【解析】设蛋白质的质量为x g，脂肪的质量为y g，碳水化合物的质量为z g，则矿物质的质量为2y g，根据“快餐总质量为300g”、“蛋白质和脂肪含量占50%”和“蛋白质和碳水化合物含量占85%”列出方程组，解之即可．
本题考查三元一次方程组的应用，解题的关键是找出合适的等量关系，列出方程组．