2024-2025学年初中上学期八年级数学第一次月考卷（华东师大版）（解析版）【测试范围：第十一章~第十二章】

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（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
考前须知：
1．本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题。
2．测试范围：第十一章~第十二章（华东师大版）。
第Ⅰ卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）36的平方根是（ ）
A．6B．±6C．6D．±6
【分析】先计算出36的值，再求其平方根．
【解答】解：∵36=6，
∴6的平方根为±6，
故选：D．
2．（3分）在227，2π3，2，-3，3-8，-16，3.14，0.5757757775……（相邻两个5之间7的个数逐次加1）中，无理数的个数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【分析】无理数即无限不循环小数，据此进行判断即可．
【解答】解：2π3，2，-3，0.5757757775……（相邻两个5之间7的个数逐次加1）是无限不循环小数，它们均为无理数，
即无理数的个数是4个，
故选：C．
3．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．b3⋅b3＝2b3B．（ab2）3＝a3b6
C．a10÷a2＝a5D．a2+a3＝a5
【分析】根据同底数幂的乘法和除法，积的乘方，合并同类项的运算法则计算即可．
【解答】解：A、b3⋅b3＝b6，故选项A错误，不符合题意；
B、（ab2）3＝a3b6，故选项B正确，符合题意；
C、a10÷a2＝a8，故选项C错误，不符合题意；
D、a2和a3不是同类项，不能合并，故选项D错误，不符合题意；
故选：B．
4．（3分）下列变形是因式分解的是（ ）
A．x（x+1）＝x2+xB．x2+2x+1＝（x+1）2
C．x2+xy﹣3＝x（x+y）﹣3D．x2+6x+4＝（x+3）2﹣5
【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，可得答案．
【解答】解：A、是整式的乘法，故A错误；
B、把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，故B正确；
C、没把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，故C错误；
D、没把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，故D错误；
故选：B．
5．（3分）已知M•4x2y3＝8x4y6，则整式M＝（ ）
A．4x2y2B．2x2y2C．4x2y3D．2x2y3
【分析】先根据乘数＝积÷另一个乘数，列出算式，然后根据单项式除以单项式法则和同底数幂相除法则进行计算即可．
【解答】解：∵M•4x2y3＝8x4y6，
∴M＝8x4y6÷4x2y3
＝（8÷4）•（x4÷x2）•（y6÷y3）
＝2x2y3，
故选：D．
6．（3分）若x2+2（k﹣2）x+1是完全平方式，则k的值为（ ）
A．﹣1B．3或1C．﹣3D．﹣1或﹣3
【分析】根据a2±2ab+b2＝（a±b）2可得k﹣2＝±1，进一步求解即可．
【解答】解：∵x2+2（k﹣2）x+1是完全平方式，
∴k﹣2＝±1，
解得k＝3或k＝1，
故选：B．
7．（3分）计算24046×（﹣0.25）2024的结果为（ ）
A．﹣22022B．22022C．14D．-14
【分析】先根据幂的乘方进行计算，再根据积的乘方进行计算，最后求出答案即可．
【解答】解：24046×（﹣0.25）2024
＝（22）2023×（-14）2024
＝42023×（-14）2024
＝[4×（-14）]2023×（-14）
＝（﹣1）2023×（-14）
＝﹣1×（-14）
=14．
故选：C．
8．（3分）若直角三角形的两边长分别为a，b，且满足a2-6a+9+|b﹣4|＝0，则该直角三角形的第三边长为（ ）
A．5B．7C．4D．5或7
【分析】根据非负数的性质列出方程求出a、b的值，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：∵a2-6a+9+|b﹣4|＝0，
∴a2﹣6a+9＝0，b﹣4＝0，
∴a＝3，b＝4，
∴直角三角形的第三边长=42+32=5，或直角三角形的第三边长=42-32=7，
∴直角三角形的第三边长为5或7，
故选：D．
9．（3分）将边长分别为2和4的长方形如图剪开，拼成一个与长方形的面积相等的正方形，则该正方形的边长最接近整数（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】先根据面积求出正方形的边长，再估计结果．
【解答】解：2×4＝8，
∵4＜8＜9，
∴2＜8＜3，
∴8最接近的整数为3．
故选：C．
10．（3分）设a，b为实数，多项式（x+a）（2x+b）展开后x的一次项系数为p，多项式（2x+a）（x+b）展开后x的一次项系数为q：若p+q＝6，且p，q均为正整数，则（ ）
A．ab与ab的最大值相等，ab与ab的最小值也相等
B．ab与ab的最大值相等，ab与ab的最小值不相等
C．ab与ab的最大值不相等，ab与ab的最小值相等
D．ab与ab的最大值不相等，ab与ab的最小值也不相等
【分析】先利用多项式乘多项式的法则进行运算，从而可表示出p，q，再分析即可．
【解答】解：（x+a）（2x+b）
＝2x2+bx+2ax+ab
＝2x2+（b+2a）x+ab，
（2x+a）（x+b）
＝2x2+2bx+ax+ab
＝2x2+（2b+a）x+ab，
∵多项式（x+a）（2x+b）展开后x的一次项系数为p，多项式（2x+a）（x+b）展开后x的一次项系数为q，
∴p＝b+2a，q＝2b+a，
∵p+q＝6，且p，q均为正整数，
∴b+2a+2b+a＝6，
整理得：a+b＝2．
又p＝b+2a，q＝2b+a，
∴p＝a+2，q＝b+2．
∴a＝p﹣2，b＝q﹣2．
∴ab＝（p﹣2）（q﹣2）＝pq﹣2（p+q）+4＝p（6﹣p）﹣2×6+4＝﹣p2+6p﹣8＝﹣（p﹣3）2+1．
∵p，q均为正整数，
∴p的取值为1，2，3，4，5．
∴ab的最大值为1，ab的最小值为﹣3．
∵a＝p﹣2，b＝q﹣2，
∴ab=p-2q-2=6-q-2q-2=4-qq-2=-q+2-2+4q-2=-1+2q-2（q≠2）．
∵p，q均为正整数，
∴q的取值为1，2，3，4，5．
∴ab的最大值为1，ab的最小值为﹣3．
故选项A正确，符合题意．
故选：A．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）分解因式：3a3﹣12a＝ 3a（a+2）（a﹣2） ．
【分析】先提取公因式3a，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
【解答】解：3a3﹣12a
＝3a（a2﹣4），
＝3a（a+2）（a﹣2）．
故答案为：3a（a+2）（a﹣2）．
12．（3分）比较大小：5-1 ＜ 2．（填“＞”、“＜”或“＝”）
【分析】先估算出5和2的取值范围，再求出5-1的取值范围，再比较即可．
【解答】详解：∵5≈2.236，2≈1.414，
∴5-1≈1.236＜1.414，
∴5-1＜2．
故答案为：＜．
13．（3分）已知2n＝a，5n＝b，20n＝c，那么a、b、c之间满足的等量关系是 c＝a2b ．
【分析】逆用积的乘方和幂的乘方，即可得出结论．
【解答】解：20n＝（4×5）n＝（22×5）n＝22n×5n＝（2n）2×5n＝a2b＝c，
∴a、b、c之间满足的等量关系是c＝a2b．
故答案为：c＝a2b．
14．（3分）如图，现有A，B类两类正方形卡片和C类长方形卡片各若干张，如果要拼成一个长为（m+2n），宽为（2m+n）的大长方形，那么需要C类卡片张数为 5 ．
【分析】先根据多项式乘多项式运算法则计算（m+2n）（2m+n），进一步即可确定需要C类卡片的张数．
【解答】解：∵（m+2n）（2m+n）
＝m2+mn+4mn+2n2
＝m2+5mn+2n2，
∴需要C类卡片张数是5，
故答案为：5．
15．（3分）若a2﹣3a+1＝0，则a2+1a2的值为 7 ．
【分析】根据完全平方公式，可以将所求式子变形，然后根据a2﹣3a+1＝0，可以得到a+1a的值，然后即可求得所求式子的值．
【解答】解：a2+1a2
＝（a+1a）2﹣2，
∵a2﹣3a+1＝0，
∴a﹣3+1a=0，
∴a+1a=3，
∴（a+1a）2﹣2＝32﹣2＝9﹣2＝7，
即a2+1a2的值为7，
故答案为：7．
16．（3分）我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”．这个三角形给出了（a+b）n（n＝1，2，3，4…）的展开式的系数规律（按a的次数由大到小的顺序）：
请依据上述规律，写出（x-2x）2016展开式中含x2014项的系数是 ﹣4032 ．
【分析】首先确定x2014是展开式中第几项，根据杨辉三角即可解决问题．
【解答】解：（x-2x）2016展开式中含x2014项的系数，
由（x-2x）2016＝x2016﹣2016•x2015•（2x）+…
可知，展开式中第二项为﹣2016•x2015•（2x）＝﹣4032x2014，
∴（x-2x）2016展开式中含x2014项的系数是﹣4032，
故答案为﹣4032．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（6分）计算：
（1）(-1)2022+327+|1-3|；
（2）（2x2y）3•（5xy2）÷（﹣10x2y4）．
【分析】（1）先算乘方，去绝对值，计算立方根，再合并即可；
（2）先算幂的乘方和积的乘方，再算乘除．
【解答】解：（1）原式＝1+3+3-1
＝3+3；
（2）原式＝8x6y3•（5xy2）÷（﹣10x2y4）
＝40x7y5÷（﹣10x2y4）
＝﹣4x5y．
18．（6分）先化简，再求值：[(2a+b)2-(2a+b)(2a-b)]÷(-12b)，其中a＝1，b＝﹣2．
【分析】利用平方差公式，完全平方公式计算括号里，再算括号外，然后把a，b的值代入化简后的式子进行计算，即可解答．
【解答】解：[(2a+b)2-(2a+b)(2a-b)]÷(-12b)
＝[4a2+4ab+b2﹣（4a2﹣b2）]÷（-12b）
＝（4a2+4ab+b2﹣4a2+b2）÷（-12b）
＝（4ab+2b2）÷（-12b）
＝﹣8a﹣4b，
当a＝1，b＝﹣2时，原式＝﹣8×1﹣4×（﹣2）＝﹣8+8＝0．
19．（8分）（1）已知（a+b）2＝25，ab＝10，求a2+b2的值．
（2）已知（a+b）2＝17，（a﹣b）2＝13，求ab的值．
【分析】利用完全平方公式解答各题即可．
【解答】解：（1）∵（a+b）2＝25，
∴a2+2ab+b2＝25，
∵ab＝10，
∴a2+b2＝25﹣2×10＝5；
（2）∵（a+b）2＝17，（a﹣b）2＝13，
∴（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4，
∴a2+2ab+b2﹣a2+2ab﹣b2＝4，
即4ab＝4，
则ab＝1．
20．（8分）已知2a+4的立方根是2，3a+b﹣1的算术平方根是3，13的小数部分为c．
（1）分别求出a，b，c的值；
（2）求c2+ac+bc+1的平方根．
【分析】（1）根据立方根、算术平方根、估算无理数的大小得出2a+4＝8，3a+b﹣1＝9，c=13-3，求出a、b即可；
（2）求出c2+ac+bc+1的值，再求出平方根即可．
【解答】解：（1）∵2a+4的立方根是2，3a+b﹣1的算术平方根是3，13的小数部分为c，
∴2a+4＝8，3a+b﹣1＝9，c=13-3，
解得：a＝2，b＝4，c=13-3；
（2）c2+ac+bc+1＝（13-3）2+2（13-3）+4（13-3）+1＝5，
即c2+ac+bc+1的平方根为±5．
21．（10分）如图，半径为1个单位长度的圆上有一点A与数轴上﹣1这个点重合．
（1）若圆从﹣1点沿数轴向右滚动一周，圆上的点A恰好与点B重合，设点B对应的实数是b，则b＝ ﹣1+2π ．（结果保留π）
（2）求-(b-9)+π的算术平方根．（结果保留π）
（3）若圆从数轴上A点开始滚动，向右滚动的周数记为正数，向左滚动的周数记为负数，依次运动的情况记录如下：+2，﹣4，+3，﹣2．当圆结束运动时，点A运动的路程共有多少？此时点A所表示的数是多少？（结果保留π）
【分析】（1）根据题意得，向右滚动一周，即向右滚动2π个单位长度，即可求解；
（2）先把b＝﹣1+2π代入求值，即可求解；
（3）根据正负数的意义求解即可．
【解答】解：（1）∵半径为1个单位长度的圆的周长为2π，
∴向右滚动一周，即向右滚动2π个单位长度，
∵点A从﹣1向右滚动一周与B重合，
∴b＝﹣1+2π，
故答案为：﹣1+2π；
（2）由（1）可得，b＝﹣1+2π，
∴-(b-9)+π=-(-1+2π-3)+π=1-2π+3+π=4-π，
∴4﹣π的算术平方根为4-π；
（3）由题意得，点A运动路程为|+2|+|﹣4|+|+3|+|﹣2|＝11（周），
即11×2π＝22π个单位长度，
∵+2﹣4+3﹣2＝﹣1，
∴点A向左滚动一周，即2π的单位长度，
∴此时，点A表示的数为﹣1﹣2π．
22．（10分）从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．
（1）上述操作能验证的等式是 B ；（请选择正确的一个）
A、a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2
B、a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
C、a2+ab＝a（a+b）
（2）应用你从（1）选出的等式，完成下列各题：
①已知x2﹣4y2＝12，x+2y＝4，求x﹣2y的值．
②计算：（1-122）（1-132）（1-142）…（1-1192）（1-1202）．
【分析】（1）用两种方法表示阴影部分的面积即可得出所验证的等式；
（2）①将x2﹣4y2＝（x﹣2y）（x+2y），再整体代入计算即可；
②将原式转化为（1-12）（1+12）（1-13）（1+13）（1-14）（1+14）…（1-120）（1+120）=12×32×23×43×34×54×⋯×1920×2120即可．
【解答】解：（1）图1中阴影部分的面积为a2﹣b2，
图2阴影部分的长为（a+b），宽为（a﹣b），
因此图2阴影部分的面积为（a+b）（a﹣b），
由于图1、图2的阴影部分的面积相等可得a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
故答案为：B；
（2）①∵x2﹣4y2＝12，即（x﹣2y）（x+2y）＝12，
又x+2y＝4，
∴x﹣2y＝3；
②原式＝（1-12）（1+12）（1-13）（1+13）（1-14）（1+14）…（1-120）（1+120）
=12×32×23×43×34×54×⋯×1920×2120
=12×2120
=2140．
23．（12分）先阅读材料，再解答下列问题：
材料：分解因式（x+y）2+2（x+y）+1．
解：令x+y＝A，
则（x+y）2+2（x+y）+1
＝A2+2A+1
＝（A+1）2，
故（x+y）2+2（x+y）+1＝（x+y+1）2．
上述阶梯过程用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题：
（1）分解因式：1+2（x﹣y）+（x﹣y）2＝ （1+x﹣y）2 ；
（2）分解因式：（a+b）（a+b﹣4）+4；
（3）证明：若n为整数，则式子（n+1）（n+2）（n2+3n）+1的值一定是某一个整数的平方．
【分析】（1）将（x﹣y）看作一个整体进行因式分解；
（2）将（a+b）看作一个整体进行因式分解；
（3）先计算（n+1）（n+2）得n2+3n+2，再将n2+3n看作整体因式分解得原式＝（n2+3n+1）2，继而由n2+3n+1为正整数可得答案．
【解答】（1）解：1+2（x﹣y）+（x﹣y）2＝（1+x﹣y）2；
故答案为：（1+x﹣y）2；
（2）解：令A＝a+b，
则原式变为A（A﹣4）+4＝A2﹣4A+4＝（A﹣2）2，
∴（a+b）（a+b﹣4）+4＝（a+b﹣2）2；
（3）证明：（n+1）（n+2）（n2+3n）+1
＝（n2+3n）[（n+1）（n+2）]+1
＝（n2+3n）（n2+3n+2）+1
＝（n2+3n）2+2（n2+3n）+1
＝（n2+3n+1）2．
∵n为正整数，
∴n2+3n+1也为正整数，
∴代数式（n+1）（n+2）（n2+3n）+1的值一定是某一个整数的平方．
24．（12分）王老师在讲完乘法公式（a±b）2＝a2±2ab+b2的多种运用后，要求同学们运用所学知识求代数式x2+4x+5的最小值．同学们经过交流讨论，最后总结出如下解答方法：
x2+4x+5＝x2+4x+4+1＝（x+2）2+1因为（x+2）2≥0，
所以当x＝﹣2时，（x+2）2的值最小，最小值是0．
所以（x+2）2+1≥1．
所以当（x+2）2＝0时，（x+2）2+1的值最小，最小值是1．
所以x2+4x+5的最小值是1．
依据上述方法，解决下列问题
（1）当x＝ ﹣3 时，x2+6x﹣15有最小值是 ﹣24 （2）多项式﹣x2+2x+18有最 大 （填“大”或“小”）值，该值为 19 （3）已知﹣x2+5x+y+20＝0，求y+x的最值
（4）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a2+b2﹣2a﹣8b+17＝0，求△ABC的周长．
【分析】（1）化成完全平方公式和的形式计算即可；
（2）化成完全平方公式和的形式计算即可；
（3）把原式化成y＝x2﹣5x﹣20再利用完全平方公式计算y+x即可；
（4）化成完全平方公式和的形式计算出a、b的值，再根据三角形三边关系判断即可．
【解答】解：（1）x2+6x﹣15＝（x+3）2﹣24，
∵（x+3）2≥0，
∴当x＝﹣3时，（x+3）2的值最小，最小值是0，
∴（x+3）2﹣24≥﹣24，
∴当（x+3）2＝0时，（x+3）2﹣24的值最小，最小值是﹣24，
∴x2+6x﹣15的最小值是﹣24；
故答案为：﹣3，﹣24；
（2）﹣x2+2x+18＝﹣（x﹣1）2+19，
∵（x﹣1）2≥0，
∴当x＝1时，﹣（x﹣1）2的值最大，最大值是0，
∴﹣（x﹣1）2+19≤19，
∴当（x﹣1）2＝0时，﹣（x﹣1）2+19的值最大，最大值是19；
故答案为：大，19；
（3）∵﹣x2+5x+y+20＝0，
∴y＝x2﹣5x﹣20，
∴y+x＝x2﹣5x﹣20+x＝x2﹣4x﹣20＝（x﹣2）2﹣24，
∵（x﹣2）2≥0，
∴当x＝2时，（x﹣2）2的值最小，最小值是0，
∴（x﹣2）2﹣24≥﹣24，
∴当（x﹣2）2＝0时，（x﹣2）2﹣24的值最小，最小值是﹣24；
∴y+x的最小值是﹣24；
（4）∵a2+b2﹣2a﹣8b+17＝0，
∴（a﹣1）2+（b﹣4）2＝0，
∴a＝1，b＝4，
∴边长c的范围为4﹣1＜c＜4+1．
∵a，b，c都是正整数，
∴边长c的值为4，
∴△ABC的周长为1+4+4＝9．