福建省宁德第一中学2024-2025学年高三上学期第一次月考数学试卷

这是一份福建省宁德第一中学2024-2025学年高三上学期第一次月考数学试卷，共16页。试卷主要包含了已知集合，则等内容，欢迎下载使用。

一､单选题
1.已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2.已知是两个平面，是两条直线，则下列命题正确的是（ ）
A.若，则
B.若，则
C.若，则
D.若，则
3.设函数，则曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（ ）
A. B. C. D.
4.在扇形中，，且弦，则扇形的面积为（ ）
A. B. C. D.
5.下列图像中，不可能成为函数的图像的是（ ）
A. B.
C. D.
6.教室通风的目的是通过空气的流动，排出室内的污浊空气和致病微生物，降低室内二氧化碳和致病微生物的浓度，送进室外的新鲜空气.按照国家标准，教室内空气中二氧化碳日平均最高容许浓度应小于.经测定，刚下课时，空气中含有的二氧化碳，若开窗通风后教室内二氧化碳的浓度为，且随时间（单位：分钟）的变化规律可以用函数描述，则该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准需要的时间（单位：分钟）的最小整数值为（ ）（参考数据）
A.7 B.9 C.10 D.11
7.已知三次函数的图象如图，则不正确的是（ ）
A.
B.
C.的解集为
D.若，则
8.已知当表示不超过的最大整数，则称为取整函数，也叫高斯函数，例如，若定义在上的函数的图象关于轴对称，且当，则方程的解得和为（ ）
A.1 B. C. D.
二､多选题
9.（多选）下列说法不正确的是（ ）
A.已知，若，则组成集合为
B.不等式对一切实数恒成立的充分不必要条件是
C.的定义域为，则的定义域为
D.不等式解集为，则
10.（多选）如图，在底面为等边三角形的直三棱柱中，分别为棱的中点，则（ ）
A.平面
B.
C.异面直线与所成角的余弦值为
D.平面与平面的夹角的正切值为
11.（多选）已知函数是定义在上的可导函数，其导函数为和都是奇函数，，则下列说法正确的是（ ）
A.关于点对称 B.
C. D.
三､填空题
12.已知，则的值为__________.
13.已知函数是定义在上的减函数，则实数的取值范围是__________.
14.已知正数满足，则的最小值为__________.
四､解答题
15.如图，以为始边作角与，它们的终边分别与单位圆相交于点，已知点的坐标为.
（1）求的值；
（2）若，求的坐标.
16.已知函数
（1）若，求的值；
（2）证明：函数的图像关于对称；
（3）现在已经得知函数在上是严格减函数，在上是严格增函数，关于的不等式恒成立，求的取值范围.
17.目前AI技术蓬勃发展，某市投放了一批AI无人驾驶出租车.为了了解不同年龄的人对无人驾驶出租车的使用体验､随机选取了100名使用无人驾驶出租车的体验者，让他们根据体验效果进行评分.
（1）现将100名消费者的年龄划分为“青年”和“中老年”，评分划分为“好评”和“差评”，整理得到如下数据，请将列联表补充完整，并判断是否有的把握认为对无人驾驶出租车的评价与年龄有关.
（2）设消费者的年龄为，对无人驾驶出租车的体验评分为.若根据统计数据，用最小二乘法得到关于的线性回归方程为，且年龄的方差为，评分的方差为，求与的相关系数，并据此判断对无人驾驶出租车使用体验的评分与年龄的相关性强弱（当时，认为相关性强，否则认为相关性弱）.
附：.独立性检验中的，其中.
临界值表：
18.如图，在梯形中，为线段上靠近点的三等分点，将沿着折叠，得到四棱锥使平面平面为线段上的点.
（1）求证：；
（2）是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出线段的长；若不存在，请说明理由.
19.帕德近似是法国数学家亨利•帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法.给定两个正整数，函数在处的阶帕德近似定义为：，且满足：，.注：，为的导数）.已知在处的阶帕德近似为.
（1）求实数的值；
（2）比较与的大小；
（3）若有3个不同的零点，求实数的取值范围.
高三（上）月考2数学参考答案：
12. 13. 14.2
1.C 【详解】即，解得，
由题意得，则.故选：C.
2.B 【详解】对于A，若，则与相交或，故A错误；
对于B，若，则，又，则，故B正确；
对于C，若，则与相交或或，故C错误；
对于D，若，则或，故D错误.故选：B.
3.A 【详解】，则，
即该切线方程为，即，令，则，令，则，
故该切线与两坐标轴所围成的三角形面积.故选：A.
4.B 【详解】解：设扇形的圆心角大小为，半径为，扇形的面积为.
，且弦可得扇形的面积为.故选：B
5.D 【详解】因为，所以
当时无解，且
此时在单调递增，C选项符合此种情况.
当时有两个解，且
此时在单调递增，B选项符合此种情况.
当时当时易知时所以函数图像不可能是D.故选：D
6.A 【详解】由题意知：当时，，解得：；
令，即，即，
所需时间（单位：分钟）的最小整数值为7.故选：A.
7.D 【详解】解：由图可知，在上单调递减且为上凸函数，
（3），故A正确；由图可知，分别为的两个极值点，
，则，故B正确；
由，得或，即或，得或.
的解集为，故C正确；
由，得，取，可得，则，
可得，则极大值，故D错误.故选：D.
8.D 【详解】因为为整数，所以，
又因为函数的图象关于轴对称且，所以是偶函数，
当时，，所以，
作出与图象如下图：（红色的点为交点）
当时，令，解得：（舍）；令，解得：（舍）；
当时，令，解得：（舍）；令，解得：舍）；
综上：所有解的和为.故选D.
9.ACD 【详解】A选项，，又，
当时，，满足，当时，，
当时，，满足，当时，，满足，
综上，组成集合为，A说法不正确；
B选项，中，，B说法正确；
C选项，因为的定义域为，所以，解得，故的定义域为，C说法不正确；
D选项，不等式解集为，
则且为方程的两个根，故，
则，故，D说法不正确.故选：ACD
10.【答案】ABD
【详解】选项A：如图连接交于，连接，
由题意可知为的中点，又为的中点，故，
又平面平面，故平面，故A正确；
选项B：由题意为等边三角形，为的中点，
故，又棱柱为直三棱柱，故，
又平面平面，
故平面，又平面，故，故B正确；
选项C：
如图建立空间直角坐标系，则，
因，故，
所以，
设异面直线与所成角为，则
选项D：由题意平面的一个法向量为，
，
设平面的法向量为，则
，即，设，则，故，
设平面与平面的夹角为，则，
故，故，故D正确，故选：ABD
11.ABD 【详解】对于A：把的图象向左平移1个单位，可得的图象，
又为奇函数，图象关于原点对称，所以的图象关于点对称，故A正确；
对于B：由为奇函数，则，
又为的导函数，所以，即，则，
又为奇函数，所以，即，
由上得，故，故，
即，即是奇函数，故B正确；
对于C：由于，
故，即，故4是的一个周期，
又，即，所以为周期为4的周期函数，
因为，令可得，即，
所以，故C错误；
对于D：因为是上的奇函数，故，结合得，
，
故，故D正确.故选：ABD
12.【详解】，则，则.故答案为：
13.【详解】函数是定义在上的减函数，则，解得，所以实数的取值范围是.故答案为：.
14.【详解】由题意知，当时取等号，故，当时取等号，
综上，当时，的最小值为2.故答案为：2
15.【详解】（1）因为点在单位圆上且，所以且，得
即，且由三角函数定义知，
故原式.
（2）由题意：，
故
16.【详解】（1），解得；
（2），
，
故，
即函数的图像关于对称；
（3）函数的图像关于对称，
函数在上是严格减函数，在上是严格增函数，不等式恒成立，
等价于，整理得
当时，不等式成立；此时
当时，，
当时等号成立，
故，即；
综上所述：的取值范围为.
17.【详解】（1）根据题意可得列联表如下：
因为
所以有的把握认为对无人驾驶出租车的评价与年龄有关.
（2）因为，所以，
因为，所以，
因为，
所以，
所以相关系数，
因为，所以判断对无人驾驶出租车使用体验的评分与年龄的相关很强.
18.【详解】（1），故为等腰直角三角形，
，故.
在中，，
故，
平面平面，平面平面平面，
故平面
平面，故，
又平面，
故平面，
又平面，故
（2）存在，，理由如下：
如图，以点为坐标原点，以所在的直线分别为轴､轴，
以过点垂直于平面的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，
取中点点，连接，易证面
则.
设平面的法向量为，则，
令，则，
设，则，
设直线与平面所成的角为，
则，
解得（舍），
故存在点使得直线与平面所成角的正弦值为，则.
19.【详解】（1）由，
知，
由题意，
所以，所以.
（2）由（1）知，，令，
则，
所以在其定义域内为增函数，
又
时，；
时，，
所以时，时，时，.
（3）由（1）知，，
注意到，则除1外还有2个零点，设为，
，
令，
当时，在上恒成立，则，
所以在上单调递减，不满足，舍去，
当时，除1外还有2个零点，设为，则不单调，
所以存在两个零点，，解得，
当时，设的两个零点分别为，
则，
，当时，，则单调递增，
当时，，则单调递减；
当时，，则单调递增，
又，不妨设，
而，且，且，
所以存在，满足，
即有3个零点，
综上所述，的取值范围为.好评
差评
合计
青年
20
中老年
10
合计
40
100
0.050
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
C
B
A
B
D
A
D
D
ACD
ABD
ABD
好评
差评
合计
青年
20
30
50
中老年
40
10
50
合计
60
40
100