沪科版九年级数学上册精品专练23.2解直角三角形【十大题型】(学生版+解析)

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专题23.2 解直角三角形【十大题型】【沪科版】TOC \o "1-3" \h \u  HYPERLINK \l "_Toc16739" 【题型1 直角三角形中直接解直角三角形】  PAGEREF _Toc16739 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc3250" 【题型2 构造直角三角形解直角三角形】  PAGEREF _Toc3250 \h 2 HYPERLINK \l "_Toc26191" 【题型3 网格中解直角三角形】  PAGEREF _Toc26191 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc20815" 【题型4 坐标系中解直角三角形】  PAGEREF _Toc20815 \h 5 HYPERLINK \l "_Toc26997" 【题型5 四边形中解直角三角形】  PAGEREF _Toc26997 \h 6 HYPERLINK \l "_Toc4991" 【题型6 利用解直角三角形求不规则图形的面积】  PAGEREF _Toc4991 \h 7 HYPERLINK \l "_Toc1054" 【题型7 解直角三角形的应用之坡度坡比问题】  PAGEREF _Toc1054 \h 8 HYPERLINK \l "_Toc21372" 【题型8 解直角三角形的应用之俯角仰角问题】  PAGEREF _Toc21372 \h 10 HYPERLINK \l "_Toc31076" 【题型9 解直角三角形的应用之方向角问题】  PAGEREF _Toc31076 \h 12 HYPERLINK \l "_Toc9367" 【题型10 解直角三角形的应用之实物建模问题】  PAGEREF _Toc9367 \h 13【知识点 解直角三角形】【题型1 直角三角形中直接解直角三角形】【例1】（2023秋·上海青浦·九年级校考期中）如果AD是Rt△ABC的斜边BC上的高，BC=a，∠B=β，那么AD等于（    ）A．asinβcosβ B．acos2β C．asin2β D．asinβtanβ【变式1-1】（2023秋·陕西西安·九年级校考期中）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，E是BC边上一点，过点E作ED⊥AC，垂足为D，AB=4，DE=3，∠C=30°，求BE的长．  【变式1-2】（2023·福建泉州·校联考模拟预测）如图，在△ABC中，∠B=90°，∠A=30°．D为线段AB上的动点．  (1)若D运动到某个位置时，∠CDB=60°，CD=10米，求BC的长度．(2)若点D运动到某个位置时，∠CDB=45°，AD=6米．求BC的长度．（结果可保留根号）【变式1-3】（2023秋·广西梧州·九年级统考期末）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，sinB=45，D为线段BC上一点，并且CD=2，求BD及cos∠DAC的值．  【题型2 构造直角三角形解直角三角形】【例2】（2023秋·广西梧州·九年级统考期末）已知在△ABC中，AB=122，AC=13 ，cosB=22，则BC的长（   ）A．7 B．8 C．8或17 D．7或17【变式2-1】（2023秋·上海静安·九年级上海市市北初级中学校考期末）如图，已知将△ABC沿角平分线BE所在直线翻折，点A恰好落在边BC的中点M处，且AM=BE，那么∠EBC的余弦值为 .  【变式2-2】（2023·江苏·统考中考真题）如图，3个大小完全相同的正六边形无缝隙、不重叠的拼在一起，连接正六边形的三个顶点得到△ABC，则tan∠ACB的值是 ．  【变式2-3】（2023秋·上海静安·九年级上海市民办扬波中学校考期中）如图，△ABC中，AB=AC=5，BC=6，BD⊥AC于点D，将△BCD绕点B逆时针旋转，旋转角的大小与∠CBA相等，如果点C、D旋转后分别落在点E、F的位置，那么∠EFD的正切值是 ．  【题型3 网格中解直角三角形】【例3】（2023·湖北武汉·统考三模）如图是由小正方形组成的8×8网格，每个小正方形的顶点叫做格点，A，C两个点是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．(1)在图中，点B是格点，先画线段AB的中点D，再在AC上画点E，使AD=DE；  (2)在图中，点B在格线上，过点C作AB的平行线CF；  (3)在图中，点B在格线上，在AB上画点G，使tan∠ACG=47．  【变式3-1】（2023秋·江苏苏州·九年级统考期中）如图，A，B，C，D均为网格图中的格点，线段AB与CD相交于点P，则∠APD的正切值为 ．【变式3-2】（2023秋·福建泉州·九年级统考期末）如图，A、B、C、D是正方形网格的格点，AB、CD交于点O，则cos∠BOD的值为 ． 【变式3-3】（2023·湖北武汉·统考模拟预测）如图是由小正方形组成的8×6网格，每个小正方形的顶点叫做格点，△ABC的三个顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．  (1)在图（1）中，D，E分别是边AB，AC与网格线的交点．先将点C绕点D旋转180°得到点F，画出点F；再在边AB上画点G，使EG∥BC；(2)在图（2）中，在边AB上找一点P，使PA=PC；再在线段AC上找一点Q，使tan∠ABQ=34【题型4 坐标系中解直角三角形】【例4】（2023·河南洛阳·校联考一模）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABOC的顶点O在坐标原点，∠BOC=60°，顶点C的坐标为(a,3)，y=kx的图象与菱形对角线AO交于点D，连接BD，当DB⊥x轴时，k的值是（　　）  A．−23 B．−33 C．−43 D．−63【变式4-1】（2023·广东湛江·岭师附中校联考一模）如图，在△ABO中，AB⊥OB，AB=3，OB=1，把△ABO绕点O顺时针旋转120°后，得到△A1B1O，则点A1的坐标为 ．  【变式4-2】（2023秋·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨市第十七中学校校考开学考试）如图：已知一次函数图像与x轴、y轴分别交于点A、点B．OB=3，tan∠BAO=12．  (1)求直线AB的解析式；(2)若点C在x轴上方的直线AB上，△AOC的面积为15，求tan∠BOC．【变式4-3】（2023秋·黑龙江哈尔滨·九年级校考开学考试）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y=kx+6k交x轴于点B，交y轴于点A，AB=2AO．  (1)如图1，求k的值；(2)如图2，点H在AB上，点F在OB上，连接FH、OH，且FH=OH，过点F作AB的垂线，垂足为点S，设点H的横坐标为t，−3367.5，即能在2分钟内到达C地．【详解】（1）解：如图所示，过点A作AE⊥BC交CB的延长线于点E，过点D作DF⊥AB于点F，  ∵在A的北偏东45°方向上，在B处测得C在B的正北方向上，且B在A的北偏东75°方向上．∴∠CAE=45°,∠DAB=75°−45°=30°，∠BAE=90°−75°=15°，在Rt△ABE中，∠ABE=90°−∠BAE=90°−15°=75°,∵小亮从B地出发，小亮沿着北偏西60°以150m/min的速度跑了2分钟到达D∴BD=150×2=300 m，∠CBD=60°，∴∠DBF=45°，∴BF=DF=22DB=1502 m，在Rt△DAF中，AF=3DF=1506m，∴AB=AF+FB=1502+1506 (m)（2）解：如图所示，过点D作DG⊥CE于点G，  ∵∠EAC=45°，∠E=90°，∴∠C=45°，∴CD=2DG，∵Rt△BDG中，DG=DB×sin∠DBC=32DB=1503∴CD=2DG=1506 ≈150×2.45=367.5 m∵200×2=400>367.5，∴他们能在19：00之前到达C地．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，方向角问题，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．【变式9-1】（2023·江苏宿迁·统考三模）宿迁骆马湖两岸风光如画，大家都喜欢坐游船游览观光．如图，在某两段平行航道（不考虑其他因素），甲游船由西向东慢速航行，同时乙游船由东向西航行．喜爱数学的小华在甲游船到达点A处时测得C处的乙游船在甲游船的北偏东67.4°方向，向前行驶156m到点B处测得行驶到D处的乙游船在甲游船的北偏东37°方向，CD=240m，求第二次测量时甲、乙两游船之间的距离．（参考数据sin22.6°≈513，cos22.6°≈1213，tan22.6°≈512，sin53°≈45，cos53°≈35，tan53°≈43）【答案】300m【分析】根据题意构造直角三角形，在直角三角形利用三角函数值求出对应的边长关系，设参数建立方程求出参数，即可求出DM和BM长度，最后利用勾股定理即可求出答案.【详解】解：过点D作DM⊥AB于点M，过点C作CN⊥AB于N，如图所示， 根据题意得：∠1=90°−67.4°=22.6°，∠2=90°−37°=53°，∵DM⊥AB，CN⊥AB，AB∥CD，∴∠3=∠4=∠MDC=∠DCN=90°，∴四边形CDMN为矩形.∴MN=CD=240m，DM=CN.∴在Rt△DBM中，tan∠2=tan53°=DMBM=43.设DM=4xm则BM=3xm，CN=4xm，∴在Rt△ACN中，tan∠1=tan22.6°=CNAN=125.∴4x156+3x+240=125.∴48x=1980+15x.∴x=60.∴DM=4×60=240m，BM=3×60=180m.∴在Rt△DBM中，BD=BM2+DM2=1802+2402=300m.∴第二次测量时甲、乙两游船之间的距离约是300m.【点睛】本题考查的是解直角三角形中的实际应用，涉及到有锐角三角函数、勾股定理、矩形的面积，解题的关键在于正确理解题意，合理运用相关数学知识.【变式9-2】（2023春·安徽合肥·九年级校考开学考试）如图，某巡逻艇在海上例行巡逻，上午10时在C处接到海上搜救中心从B处发来的救援任务，此时事故船位于B处的南偏东25°方向上的A处，巡逻艇位于B处的南偏西28°方向上1260米处，事故船位于巡逻艇的北偏东58°方向上，巡逻艇立刻前往A处救援，已知巡逻艇每分钟行驶120米，请估计几分钟可以到达事故船A处．（结果保留整数．参考数据：3≈1.73，sin53°≈45，cos53°≈35，tan53°≈43）．【答案】估计8分钟可以到达事故船A处【分析】过点A作AD⊥BC，垂足为D，由题意得：BC=1260m，∠ABD=53°，∠ACB=30°，然后设AD=xm，分别在Rt△ABD和Rt△ADC中，利用锐角三角函数的定义求出BD和CD的长，从而根据CD+BD=BC，列出关于x的方程，进行计算可求出AD的长，进而求出AC的长，即可求出结果．【详解】解：过点A作AD⊥BC，垂足为D，由题意得：BC=1260m，∠ABD=28°+25°=53°，∠ACB=58°−28°=30°，设AD=xm，在Rt△ABD中，BD=ADtan53°≈x43=34xm，在Rt△ADC中，CD=ADtan30°=x33=3xm，∵CD+BD=BC，∴3x+34x=1260，解得：x≈508.1，∴AD≈508.1m，在Rt△ADC中，∠ACD=30°，∴AC=2AD=1016.2m，∴1016.2÷120≈8（分钟），∴估计8分钟可以到达事故船A处．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用−方位角问题，根据已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．【变式9-3】（2023秋·河北石家庄·九年级统考期末）期中测试临近学生都在紧张的复习中，小甘和小西相约周末去图书馆复习，如图，小甘从家A地沿着正东方向走900m到小西家B地，经测量图书馆C地在B地的北偏东15°，C地在A地的东北方向．(1)求AC的距离：(2)两人准备从B地出发，实然接到疾控中心通知，一名确诊的新冠阳性患者昨天经过了C地，并沿着C地南偏东22°走了1800m到达D地，根据相关要求，凡是确诊者途径之处800m区域以内都会划为管控区，问：小西家会被划为管控区吗？请说明理由（参考数据：3≈1.73,2≈1.41,6≈2.45,sin37°≈0.6,cos37°≈0.8,tan37°≈0.75）．【答案】(1)1737m;(2)小西家会被划为管控区，理由见解析．【分析】（1）过点B作BE⊥AC于点E，根据题意可得∠BAE=45°,∠CBA=90°+15°=105°,AB=900m，然后利用含30度角的直角三角形即可解决问题；(2)过点B作BF⊥CD于点F，根据题意可得∠GBC=∠BCH=15°,∠DCH=22°，所以∠BCF=15°+22°=37°，然后根据锐角三角函数即可解决问题．【详解】（1）如图，过点B作BE⊥AC于点E，根据题意可知：∠BAE=45°，∠CBA=90°+15°=105°，AB=900m，∴∠BCE=180°−45°−105°=30°，∴BE=AE=22AB=4502m，∴CE=3BE=4506m，∴AC=AE+CE=4502+4506=450(2+6)≈450×3.86≈1737(m)；∴AC的距离约为1737m;（2）小西家会被划为管控区，理由如下：如图，过点B作BF⊥CD于点F，根据题意可知∶∠GBC=∠BCH=15°,∠DCH=22°，∴∠BCF=15°+22°=37°,在Rt△CBF中，CB=2BE=2×4502=9002(m)，∴BF=CB⋅sin37°≈9002×0.6≈764(m),∵764<800,∴小西家会被划为管控区．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，解决本题的关键是掌握解直角三角形的应用．【题型10 解直角三角形的应用之实物建模问题】【例10】（2023·河南南阳·校联考三模）如图1是某工厂生产的某种多功能儿童车，根据需要可变形为滑板车或三轮车，图2、图3是其示意图，已知前后车轮半径相同，车杆AB的长为60cm，点D是AB的中点，前支撑板DE=30cm，后支撑板EC=40cm，车杆AB与BC所成的∠ABC=53°．  (1)如图2，当支撑点E在水平线BC上时，支撑点E与前轮轴心B之间的距离BE的长；(2)如图3，当座板DE与地面保持平行时，问变形前后两轴心BC的长度有没有发生变化？若不变，请通过计算说明；若变化，请求出变化量．（参考数据：sin53°≈45，cos53°≈35，tan53°≈43）【答案】(1)36cm；(2)变化了，长度增加了4cm．【分析】（1）如图1，过点D作DF⊥BE于点F，由题意知BD=DE=30cm，根据三角函数的定义即可得到结论；（2）如图2，过点D作DM⊥BC于M，过点E作EN⊥BC于点N，由题意知四边形DENM是矩形，求得MN=DE=30cm，解直角三角形即可得到结论．【详解】（1）解：如图1，过点D作DF⊥BE于点F，由题意知BD=DE=30cm，∴BF=BDcos∠ABC=30×35=18cm，BF=EF，∴BE=2BF=36cm．（2）如图2，过点D作DM⊥BC于M，过点E作EN⊥BC于点N，由题意知四边形DENM是矩形，∴MN=DE=30cm，在Rt△DBM中，BM=BDcos∠ABC=30×35=18cm，EN=DM=BDsin∠ABC=30×45=24cm，在Rt△CEN中，CE=40cm，∴由勾股定理可得CN=CE2−EN2=402−242=32cm，则BC=18+30+32=80cm，原来BC=36+40=76cm，80−76=4cm，∴变形前后两轴心BC的长度增加了4cm．  【点睛】本题主要考查解直角三角形的应用，解题的关键是结合题意构建出合适的直角三角形，并熟练掌握三角函数的应用．【变式10-1】（2023·广东揭阳·校考一模）“和谐号”高铁列车的小桌板收起时近似看作与地面垂直，展开小桌板使桌面保持水平时如图，小桌板的边沿O点与收起时桌面顶端A点的距离OA=75厘米，此时CB⊥AO，∠AOB=∠ACB=37°，且支架长OB与支架长BC的长度之和等于OA的长度，求支架BC的长．（参考数据sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）  【答案】支架BC的长为37.5厘米【分析】延长OB交AC于F，设BC=x厘米，则OB=OA−BC=75−x厘米，在Rt△BCF中求出BF，再在Rt△AOF中根据cos37°=FOAO，列出方程即可解决问题．【详解】解：延长OB交AC于F，设BC=x厘米，则OB=OA−BC=75−x厘米，  ∵∠AOB=∠ACB，∠OBE=∠CBF，∠AOB+∠OBE=90°，∴∠ACB+∠CBF=90°，∴∠BFC=90°，在Rt△BCF中，∵sin37°=BFBC，∴BF=0.6x厘米，OF=75−0.4x厘米，在Rt△AOF中，cos37°=FOAO，∴75−0.4x75=0.8，∴x=37.5，∴BC=37.5厘米，∴支架BC的长为37.5厘米．【点睛】本题考查解直角三角形的应用、锐角三角函数等知识，解题的关键是添加辅助线构造直角三角形解决问题，学会设未知数，用方程的思想思考问题，属于中考常考题型．【变式10-2】（2023秋·河北石家庄·九年级校联考期中）下图是测温员使用测温枪的侧面示意图，其中枪柄BC与手臂MC始终在同一直线上，枪身BA与额头保持垂直．量得胳膊MN=28cm，MB=42cm，肘关节M与枪身端点A之间的水平宽度为25.3cm（即MP的长度），枪身BA=8.5cm．  (1)求∠PMB的度数；(2)测温时规定枪身端点，A与额头距离范围为3~5cm，若测得∠BMN=68.6°，小红与测温员之间距离为50cm．问此时枪身端点A与小红额头的距离是否在规定范围内？并说明理由．（结果保留小数点后一位）（参考数据：sin66.4°≈0.92,cos66.4°≈0.40,sin23.6≈0.40,2≈1.41）【答案】(1)∠PMB=66.4°(2)端点A与额头距离在规定范围，理由见解析【分析】（1）过点B作BH⊥MP．可得四边形ABHP是矩形，求出MH，再求出∠BMH的余弦值，结合参考数据可得答案；（2）延长PM交FG于Q，求出∠NMQ的度数，解Rt△NMQ求出MQ，进而求出端点A与小红额头的距离，即可判断．【详解】（1）解：如图，过点B作BH⊥MP．  可得四边形ABHP是矩形，∴HP=AB=8.5，∴MH=MP−HP =25.3−8.5=16.8，在Rt△BMH中，cos∠BMH=MHBM=16.842=0.4，∵ cos66.4°≈0.40∴∠BMH=66.4°，即∠PMB=66.4°；（2）解：端点A与额头距离在规定范围．理由如下：如图，延长PM交FG于Q，  ∵ ∠PMB=66.4°，∠BMN=68.6°，∴∠NMQ=180°−∠PMB−∠BMN=180°−66.4°−68.6°=45°，∵ Rt△NMQ中cos45°=MQMN，∴MQ=MN⋅22=28×22=142≈19.796≈19.8，∴端点A与小红额头的距离为50−MQ−MP=50−19.8−25.3=4.9，∵ 3<4.9<5，∴端点A与额头距离在规定范围．【点睛】本题主要考查解直角三角形的实际应用，解题的关键是通过添加辅助线构造直角三角形．【变式10-3】（2023·山西忻州·统考模拟预测）随着人们生活水平的日益提高，大家对运动健身的需求日益凸显，小明家新买了一台折叠式跑步机（如图1），为了合理规划收纳空间，小明特地测量了该跑步机的一些数据，并且画出了示意图（如图2）．已知支架AB=116 cm，跑带BC=170 cm，控制面板AD=56 cm，∠B=75°，∠DAB=105°，护架AE与跑带BC平行于地面．如图3，闲置时，跑带BC可以向上折叠，∠CBF=60°，支架BF放置于地面支撑整个跑步机．请你帮助小明计算这台跑步机折叠存放时的最大高度．（结果精确到1 cm．参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73，3≈1.73，2≈1.41）  【答案】这台跑步机折叠存放时的最大高度约为147 cm【分析】过点D作DM⊥EA，交EA的延长线于点M，过点A作AG⊥BF于点G，由题意可知，AM∥BF，从而得到∠MAB=∠ABG=75°，∠DAM=30°，利用三角函数计算出AG、DM的长度，从而得到点D到地面的距离，过点C作CH⊥BF，交BF的延长线于点H，再利用三角函数求出CH的长即可．【详解】解：如图，过点D作DM⊥EA，交EA的延长线于点M，过点A作AG⊥BF于点G，，由题意可知，AM∥BF，∴∠MAB=∠ABG=75°，∠DAM=∠DAB−∠MAB=105°−75°=30°，在Rt△ABG中，sin∠ABG=AGAB，即0.97≈AG116，∴AG≈112.5，在Rt△ADM中，sin∠DAM=DMAD，即12=DM56，∴DM=28，∴点D到地面的距离为：112.5+28≈141cm，过点C作CH⊥BF，交BF的延长线于点H，在Rt△BCH中，sin∠CBH=CHCB，即32=CH170，∴CH≈147，∵141<147，∴这台跑步机折叠存放时的最大高度约为147 cm．【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，添加适当的辅助线，构造直角三角形，准确进行计算是解题关键．已知条件图形解法对边邻边斜边ACBb已知一直角边和一个锐角已知斜边和一个锐角已知两直角边已知斜边和一条直角边已知条件图形解法对边邻边斜边ACBb已知一直角边和一个锐角已知斜边和一个锐角已知两直角边已知斜边和一条直角边