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沪科版八年级数学上册精品专练11.1平面直角坐标系【八大题型】(学生版+解析)
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这是一份沪科版八年级数学上册精品专练11.1平面直角坐标系【八大题型】(学生版+解析)，共36页。
专题11.1 平面直角坐标系【八大题型】【沪科版】TOC \o "1-3" \h \u HYPERLINK \l "_Toc801" 【题型1 用有序数对表示位置或路线】 PAGEREF _Toc801 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc31647" 【题型2 平面内点的坐标特征】 PAGEREF _Toc31647 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc25474" 【题型3 由点到坐标轴的距离确定点的坐标】 PAGEREF _Toc25474 \h 4 HYPERLINK \l "_Toc2165" 【题型4 由点的位置确定坐标系中字母的取值】 PAGEREF _Toc2165 \h 4 HYPERLINK \l "_Toc20923" 【题型5 坐标系内求图形的面积】 PAGEREF _Toc20923 \h 4 HYPERLINK \l "_Toc9144" 【题型6 图形在坐标系中的平移】 PAGEREF _Toc9144 \h 6 HYPERLINK \l "_Toc25024" 【题型7 利用平面直角坐标系解决探究性问题】 PAGEREF _Toc25024 \h 7 HYPERLINK \l "_Toc4957" 【题型8 建立适当的直角坐标系解决实际问题】 PAGEREF _Toc4957 \h 8【知识点1 有序数对】有顺序的两个数a与b组成的数对叫做有序数对. 点的坐标: 有了平面直角坐标系，平面内的点就可以用一个有序数对来表示，a点对应x轴的数值为横坐标，b点对应y轴的数值为纵坐标，有序数对就叫做点A的坐标，记作（a,b）. 【题型1 用有序数对表示位置或路线】【例1】（2023春·甘肃陇南·八年级统考期中）一个小伙伴拿着如图的密码表玩听声音猜单词的游戏，若听到“咚咚一咚咚，咚一咚，咚咚咚一咚”表示的是“DOG”，则听到“咚咚一咚，咚咚咚一咚咚，咚一咚咚咚”时，表示的是___________．【变式1-1】（2023春·福建福州·八年级福州三牧中学校考开学考试）小李、小王、小张、小谢原有位置如图（横为排、竖为列），小李在第2排第4列，小王在第3排第3列，小张在第4排第2列，小谢在第5排第4列．撤走第一排，仍按照原有确定位置的方法确定新的位置，下列说法正确的是（ ）．A．小李现在位置为第1排第2列 B．小张现在位置为第3排第2列C．小王现在位置为第2排第2列 D．小谢现在位置为第4排第2列【变式1-2】（2023春·重庆渝中·八年级统考期末）从2，3，5三个数中任选两个组成有序数对，一共可以组成有序数对有（ ）A．3对 B．4对 C．5对 D．6对【变式1-3】（2023春·浙江杭州·八年级开学考试）如图，一只甲虫在5×5的方格（每小格边长为1）上沿着网格线运动，它从A处出发去看望B、C、D处的其它甲虫，规定：向上向右走为正，向下向左走为负．例如从A到B记为：A→B(+1，+4)，从D到C记为：D→C(-1，+2)，其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向．（1）图中A→C（______，______），B→C（______，______），D→______（-4，-2）；（2）若这只甲虫从A处去P处的行走路线依次为（+2，+2），（+2，-1），（-2，+3），（-1，-2），请在图中标出P的位置；【知识点2 坐标平面内点的坐标特征】1.坐标平面内点的坐标特征:①坐标原点的坐标为（0，0）；②第一象限内的点，x、y同号，均为正； ③第二象限内的点，x、y异号，x为负，y为正； ④第三象限内的点，x、y同号，均为负； ⑤第四象限内的点，x、y异号，x为正，y为负； ⑥横轴（x轴）上的点，纵坐标为0，即（x，0），所以，横轴也可写作：y=0 （表示一条直线） ⑦纵轴（y轴）上的点，横坐标为0，即（0，y）,所以，纵横也可写作：x=0 （表示一条直线）2.平行于坐标轴的直线的表示:在平面直角坐标系中，与x轴平行的直线上的所有点的纵坐标相同，与y轴平行的直线上的所有点的横坐标相同.3.象限角平分线的特点:①第一、三象限的角平分线上的点的纵坐标与横坐标相等（同号）②第二、四象限的角平分线的点的纵坐标与横坐标互为相反数(异号)【题型2 平面内点的坐标特征】【例2】（2023春·广东珠海·八年级珠海市紫荆中学桃园校区校考期中）如图，若在象棋盘上建立平面直角坐标系，使“兵”位于点(1，−1)，则“炮”位于点（ ） A．(0，0) B．(0，−1) C．(−1，1) D．(−1，0)【变式2-1】（2023春·广东珠海·八年级珠海市紫荆中学桃园校区校考期中）点P(1，−4)，则点P在（ ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【变式2-2】（2023春·湖北武汉·八年级统考期中）在平面直角坐标系中，下列各点在x轴上的是（ ）A．1，2 B．3，0 C．0，−1 D．−5，6【变式2-3】（2023春·天津滨海新·八年级校考期中）在平面直角坐标系中，点A−1,m2+1一定在第（ ）象限A．一 B．二 C．三 D．四【知识点3 点到坐标轴的距离】坐标平面内的点的横坐标的绝对值表示这点到纵轴（y轴）的距离，而纵坐标的绝对值表示这点到横轴（x轴）的距离.注: ①已知点的坐标求距离，只有一个结果，但已知距离求坐标，则因为点的坐标有正有负，可能有多个解的情况，应注意不要丢解.【题型3 由点到坐标轴的距离确定点的坐标】【例3】（2023春·上海黄浦·八年级统考期末）在直角坐标平面内，A是第二象限内的一点，如果它到x轴、y轴的距离分别是3和4，那么点A的坐标是（ ）A．3,−4 B．−3,4 C．4,−3 D．−4,3【变式3-1】（2023春·北京朝阳·八年级校考期中）直角坐标平面内的点Pa,b到x轴的距离为______，到y轴的距离为______．【变式3-2】（2023春·天津西青·八年级校联考期中）在平面直角坐标系的第四象限内有一点M，到x轴的距离为4，到y轴的距离恰为到x轴距离的2倍，则点M的坐标为（ ）A．(8,−4) B．−4,8 C．(2,4) D．−4,2【变式3-3】（2023春·黑龙江鹤岗·八年级校考期中）已知点P坐标为2+a,3a−6且点P到两坐标轴的距离相等，则点P的坐标是（ ）A．6,6 B．3,−3 C．−6,−6或−3,−3 D．6,6或3,−3【知识点4 坐标平面内对称点坐标的特点】①一个点A（a,b）关于x轴对称的点的坐标为A＇（a,-b）,特点为：x不变，y相反；②一个点A（a,b）关于y轴对称的点的坐标为A＇（-a,b）,特点为：y不变，x相反； ③一个点A（a,b）关于原点对称的点的坐标为A＇（-a,-b），特点为：x、y均相反.【题型4 由点的位置确定坐标系中字母的取值】【例4】（2023春·上海宝山·八年级统考期末）已知点A的坐标为a,a−2，点B的坐标为5,a+3，AB∥y轴，则线段AB的长为（ ）A．5 B．6 C．7 D．13【变式4-1】（2023春·湖北武汉·八年级统考期中）若点Ma+3，a−2在x轴上，则a=______．【变式4-2】（2023春·八年级校考期中）若A（x，4）关于y轴的对称点是B（﹣3，y），则x=____，y=____．点A关于x轴的对称点的坐标是____．【变式4-3】（2023春·广东肇庆·八年级校考期中）在平面直角坐标系中，已知点M2−m,1+2m.(1)若点M到y轴的距离是3，求M点的坐标；(2)若点M在第一、三象限的角平分线上，求M点的坐标.【题型5 坐标系内求图形的面积】【例5】（2023春·辽宁丹东·八年级校考期中）如图所示，在平面直角坐标系中点A−3,0，B5,0，C3,4，D−2,3．（1）求四边形ABCD的面积（2）点P为y轴上一点，且△ABP的面积等于四边形ABCD的面积的一半，求点P的坐标．【变式5-1】（2023春·辽宁沈阳·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，已知A(−1,1)，B(3,2)，C(3,4)．（1）请在平面直角坐标系中描出A，B，C三点，再连接AB，BC，AC，并求△ABC的面积；（2）连接OA，OB，请直接写出△ABO面积的值．【变式5-2】（2023春·河北承德·八年级统考期中）已知A(a,0)和点B(0,5)两点，则直线AB与坐标轴围成的三角形的面积等于10，则a的值是（ ）A．−4 B．4 C．±4 D．±5【变式5-3】（2023春·青海西宁·八年级校考期中）已知点A(－2，3)，B(4，3)，C(－1，－3)．（1）在平面直角坐标系中标出点A，B，C的位置；（2）求线段AB的长；（3）求点C到x轴的距离，点C到AB的距离；（4）求三角形ABC的面积；（5）若点P在y轴上，且三角形ABP的面积与三角形ABC的面积相等，求点P的坐标．【知识点5 点的平移】在平面直角坐标系中，将点（x,y）向右平移a个单位长度，可以得到对应点（x＋a ，y）； 将点（x,y）向左平移a个单位长度，可以得到对应点（x－a，y）；“左减右加”将点（x,y）向上平移b个单位长度，可以得到对应点（x，y＋b）； 将点（x,y）向下平移b个单位长度，可以得到对应点（x，y－b）.“下减上加”【题型6 图形在坐标系中的平移】【例6】（2023春·广东东莞·八年级校考期中）如图，在单位正方形网格中，建立了平面直角坐标系xOy，试解答下列问题： (1)若将△ABC向右平移6个单位，再向下平移2个单位后得到△A1B1C1，请画出平移后的△A1B1C1；(2)求△ABC的面积；(3)已知第一象限内有两点P3， n+2，Q6， n．平移线段PQ，使点P，Q分别落在两条坐标轴上．请直接写出点P平移后的对应点的坐标．【变式6-1】（2023春·上海普陀·八年级统考期末）在直角坐标平面内，△ABC经过平移，其顶点A2,−1 的对应点A1的坐标是−2,3，那么其内部任意一点Dx,y的对应点D1的坐标一定是（ ）A．−x,−y B．−x,y+4 C．x−4,y+4 D．x+4,y−4【变式6-2】（2023春·广东汕尾·八年级校考期中）把平面直角坐标系中的一点P(3，m)向上平移2个单位长度后，点P的对应点P'刚好落在x轴上，则m的值为( )A．−2 B．0 C．1 D．2【变式6-3】（2023春·陕西宝鸡·八年级统考期中）在平面直角坐标系内，已知点Aa−5,2b−1在y轴上，点B3a+2,b+3在x轴上，则点Ca,b向右平移2个单位长度再向下平移3个单位长度后的坐标为______．【题型7 利用平面直角坐标系解决探究性问题】【例7】（2023春·河南郑州·八年级校考期末）如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到1,1，第2次接着运动到点2,0，第3次接着运动到点3,2，按这样的运动规律，经过第2023次运动后，动点P的坐标是（ ）A．2023,0 B．2023,1 C．2023,2 D．2024,0【变式7-1】（2023春·八年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，有若干个整点，按图中→方向排列，即0,0→0,1→1,1→2,2→2,3→3,3→4,4，……，则按此规律排列下去第23个点的坐标为（ ）A．(13,13) B．(14,14) C．(15,15) D．(14,15)【变式7-2】（2023春·山东泰安·八年级肥城市实验中学校考期中）如图，长方形ABCD的两边BC，CD分别在x轴，y轴上，点C与原点重合，点A−1,2，将长方形ABCD沿x轴无滑动向右翻滚，经过一次翻滚，点A对应点记为A1；经过两次翻滚，点A对应点记为A2；…；经过第2023次翻滚，点A对应点A2023坐标为___________．【变式7-3】（2023春·山西·八年级期末）在平面直角坐标系中，某点按向下、向右、向上、向右的方向依次不断移动，每次移动1个单位长度，其运动路线如图所示，根据图形规律，解决下列问题．(1)点A5的坐标为___________，点A9的坐标为___________，点A13的坐标为___________，点A4n+1的坐标为___________．(2)直接写出点A1到点A2025的距离：___________．【题型8 建立适当的直角坐标系解决实际问题】【例8】（2023春·山西晋中·八年级统考期中）我们出门旅游经常利用平面图确定位置，如图是某地火车站及周围场所的简单平面图，（图中每个小正方形的边长代表1千米）．(1)请以图中某一场所所在的位置为坐标原点，以小正方形的边长为单位长度，建立平面直角坐标系，并直接写出体育场A、超市B、市场C、文化宫D的坐标；(2)在（1）中所建的坐标平面内，相关部门计划兴建一所学校，请你选择某一格点为学校E的位置，请在图中标出学校E的位置并写出E的坐标，简要说明你的选址理由.【变式8-1】（2023春·山西太原·八年级统考期中）直升机除了可以正常飞行，还可以悬停在空中进行作业，这也是直升机区别于一般固定翼飞机的一种特有飞行状态．如图，训练中的三架直升机按要求悬停在同一高度，若甲、乙的位置分别表示为1,0，−1,−2，则丙直升机的位置表示为______．【变式8-2】（2023春·江西景德镇·八年级统考期中）景德镇市第十六中学为全面保障校庆五十周年的整体效果，在操场中标记了几个关键位置，如图是利用平面直角坐标系画出的关键位置分布图，若表示点A的坐标为(−1,−2)，点B的坐标为(1,1)，则表示其他位置的点的坐标正确的是（ ）A．C(−1,−2) B．D(−3,1) C．E(−7,−3) D．F(4,−1)【变式8-3】（2023春·河南平顶山·八年级统考期中）园林部门为了对市内某旅游景区内的古树名木进行系统养护，建立了相关的地理信息系统，其中重要的一项工作就是要确定这些古树的位置．已知该旅游区有树龄百年以上的古松树4棵S1,S2,S3,S4，古槐树6棵H1,H2,H3,H4,H5,H6．为了加强对这些古树的保护，园林部门根据该旅游景区地图，将4棵古松树的位置用坐标表示为S1（2，8），S2(4， 9)，S3(10， 5)，S4(11，10)．（1）根据S1的坐标为(2， 8)，请在图中补充画出平面直角坐标系；（2）在所建立的平面直角坐标系中，写出6棵古槐树的坐标；（3）已知H5在S1，的南偏东41°，且相距5．4米处，试用方位角和距离描述S1；相对于H5的位置？ 11.1 平面直角坐标系【八大题型】【沪科版】TOC \o "1-3" \h \u HYPERLINK \l "_Toc801" 【题型1 用有序数对表示位置或路线】 PAGEREF _Toc801 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc31647" 【题型2 平面内点的坐标特征】 PAGEREF _Toc31647 \h 4 HYPERLINK \l "_Toc25474" 【题型3 由点到坐标轴的距离确定点的坐标】 PAGEREF _Toc25474 \h 6 HYPERLINK \l "_Toc2165" 【题型4 由点的位置确定坐标系中字母的取值】 PAGEREF _Toc2165 \h 8 HYPERLINK \l "_Toc20923" 【题型5 坐标系内求图形的面积】 PAGEREF _Toc20923 \h 9 HYPERLINK \l "_Toc9144" 【题型6 图形在坐标系中的平移】 PAGEREF _Toc9144 \h 14 HYPERLINK \l "_Toc25024" 【题型7 利用平面直角坐标系解决探究性问题】 PAGEREF _Toc25024 \h 17 HYPERLINK \l "_Toc4957" 【题型8 建立适当的直角坐标系解决实际问题】 PAGEREF _Toc4957 \h 20【知识点1 有序数对】有顺序的两个数a与b组成的数对叫做有序数对. 点的坐标: 有了平面直角坐标系，平面内的点就可以用一个有序数对来表示，a点对应x轴的数值为横坐标，b点对应y轴的数值为纵坐标，有序数对就叫做点A的坐标，记作（a,b）. 【题型1 用有序数对表示位置或路线】【例1】（2023春·甘肃陇南·八年级统考期中）一个小伙伴拿着如图的密码表玩听声音猜单词的游戏，若听到“咚咚一咚咚，咚一咚，咚咚咚一咚”表示的是“DOG”，则听到“咚咚一咚，咚咚咚一咚咚，咚一咚咚咚”时，表示的是___________．【答案】CAT【分析】根据题意即可求解．【详解】解：∵咚咚－咚咚，咚－咚，咚咚咚－咚”表示的动物是“DOG”，表示2,2，1,1，3,1对应的字母为“DOG”，则“咚咚－咚，咚咚咚－咚咚，咚－咚咚咚”表示2,1，3,2，1,3，对应表格中的“CAT”，故答案为：CAT．【点睛】本题考查了有序数对表示位置，理解题意是解题的关键．【变式1-1】（2023春·福建福州·八年级福州三牧中学校考开学考试）小李、小王、小张、小谢原有位置如图（横为排、竖为列），小李在第2排第4列，小王在第3排第3列，小张在第4排第2列，小谢在第5排第4列．撤走第一排，仍按照原有确定位置的方法确定新的位置，下列说法正确的是（ ）．A．小李现在位置为第1排第2列 B．小张现在位置为第3排第2列C．小王现在位置为第2排第2列 D．小谢现在位置为第4排第2列【答案】B【分析】由于撤走一排，则四人所在的列数不变、排数减一，据此逐项排除即可．【详解】解：A. 小李现在位置为第1排第4列，故A选项错误，不符合题意；B. 小张现在位置为第3排第2列，故B选项正确，符合题意；C. 小王现在位置为第2排第3列，故C选项错误，不符合题意；D. 小谢现在位置为第4排第4列，故D选项错误，不符合题意．故选：B．【点睛】本题考查了位置的确定，根据题目信息、明确行和列的实际意义是解答本题的关键．【变式1-2】（2023春·重庆渝中·八年级统考期末）从2，3，5三个数中任选两个组成有序数对，一共可以组成有序数对有（ ）A．3对 B．4对 C．5对 D．6对【答案】D【分析】分别从2、3、5三个数字中选出两个组成有序实数对，然后计算出总数目即可．【详解】解：可以组成2，3，2，5，3，2，3，5，5，2，5，3共6个有序实数对， 故选D．【变式1-3】（2023春·浙江杭州·八年级开学考试）如图，一只甲虫在5×5的方格（每小格边长为1）上沿着网格线运动，它从A处出发去看望B、C、D处的其它甲虫，规定：向上向右走为正，向下向左走为负．例如从A到B记为：A→B(+1，+4)，从D到C记为：D→C(-1，+2)，其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向．（1）图中A→C（______，______），B→C（______，______），D→______（-4，-2）；（2）若这只甲虫从A处去P处的行走路线依次为（+2，+2），（+2，-1），（-2，+3），（-1，-2），请在图中标出P的位置；【答案】（1）+3，+4；+2，0；A；（2）见解析【分析】（1）根据规定及实例可知A→C记为（+3，+4）B→C记为（+2，0）D→A记为（-4，-2）；（2）按题目所示平移规律分别向右向上平移2个格点，再向右平移2个格点，向下平移1个格点；向左平移2个格点，向上平移3个格点；向左平移1个向下平移两个格点即可得到点P的坐标，在图中标出即可；【详解】解：（1）∵规定：向上向右走为正，向下向左走为负，∴A→C记为（+3，+4）B→C记为（+2，0）D→A记为（-4，-2）；（2）根据行走路线可得：P点位置如图所示．【点睛】本题主要考查了正数与负数，利用坐标确定点的位置的方法．解题的关键是正确的理解从一个点到另一个点移动时，如何用坐标表示．【知识点2 坐标平面内点的坐标特征】1.坐标平面内点的坐标特征:①坐标原点的坐标为（0，0）；②第一象限内的点，x、y同号，均为正； ③第二象限内的点，x、y异号，x为负，y为正； ④第三象限内的点，x、y同号，均为负； ⑤第四象限内的点，x、y异号，x为正，y为负； ⑥横轴（x轴）上的点，纵坐标为0，即（x，0），所以，横轴也可写作：y=0 （表示一条直线） ⑦纵轴（y轴）上的点，横坐标为0，即（0，y）,所以，纵横也可写作：x=0 （表示一条直线）2.平行于坐标轴的直线的表示:在平面直角坐标系中，与x轴平行的直线上的所有点的纵坐标相同，与y轴平行的直线上的所有点的横坐标相同.3.象限角平分线的特点:①第一、三象限的角平分线上的点的纵坐标与横坐标相等（同号）②第二、四象限的角平分线的点的纵坐标与横坐标互为相反数(异号)【题型2 平面内点的坐标特征】【例2】（2023春·广东珠海·八年级珠海市紫荆中学桃园校区校考期中）如图，若在象棋盘上建立平面直角坐标系，使“兵”位于点(1，−1)，则“炮”位于点（ ） A．(0，0) B．(0，−1) C．(−1，1) D．(−1，0)【答案】D【分析】根据题意，确定坐标系的原点，由此即可求解．【详解】解：∵“兵”位于点(1，−1)，如图所示，确定坐标系原点， ∴“炮”位于点(−1,0)，故选：D．【点睛】本题主要考查平面直角坐标系的知识，掌握平面直角坐标系原点的确定方法是解题的关键．【变式2-1】（2023春·广东珠海·八年级珠海市紫荆中学桃园校区校考期中）点P(1，−4)，则点P在（ ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【分析】根据平面直角坐标系象限的特点即可求解．【详解】解：∵点P(1，−4)中，x>0,y<0，∴点P在第四象限，故选：D．【点睛】本题主要考查平面直角坐标系的特点，掌握平面直角坐标系中象限的符号特征是解题的关键．【变式2-2】（2023春·湖北武汉·八年级统考期中）在平面直角坐标系中，下列各点在x轴上的是（ ）A．1，2 B．3，0 C．0，−1 D．−5，6【答案】B【分析】根据x轴上的点的纵坐标为0，结合各选项找到符合条件的点即可．【详解】解：因为x轴上的点的纵坐标为0，各选项中纵坐标为0的点只有选项B，故选：B．【点睛】本题考查了点的坐标，解题的关键是掌握好坐标轴上的点的坐标的特征，用到的知识点为：x轴上的点的纵坐标为0．【变式2-3】（2023春·天津滨海新·八年级校考期中）在平面直角坐标系中，点A−1,m2+1一定在第（ ）象限A．一 B．二 C．三 D．四【答案】B【分析】根据点在第二象限的坐标特点解答即可．【详解】解：点A−1,m2+1，∵横坐标−1<0，纵坐标m2+1>0，∴符合点在二象限的条件，故点A−1,m2+1一定在第二象限，故选：B．【点睛】本题主要考查平面直角坐标系中各象限内点的坐标的符号，关键是根据点在第二象限的坐标特点解答．【知识点3 点到坐标轴的距离】坐标平面内的点的横坐标的绝对值表示这点到纵轴（y轴）的距离，而纵坐标的绝对值表示这点到横轴（x轴）的距离.注: ①已知点的坐标求距离，只有一个结果，但已知距离求坐标，则因为点的坐标有正有负，可能有多个解的情况，应注意不要丢解.【题型3 由点到坐标轴的距离确定点的坐标】【例3】（2023春·上海黄浦·八年级统考期末）在直角坐标平面内，A是第二象限内的一点，如果它到x轴、y轴的距离分别是3和4，那么点A的坐标是（ ）A．3,−4 B．−3,4 C．4,−3 D．−4,3【答案】D【分析】根据第二象限内点的横坐标是负数，纵坐标是正数，点到x轴的距离等于纵坐标的长度，到y轴的距离等于横坐标的长度解答．【详解】解：∵点A在第二象限，到x轴的距离是3，到y轴的距离是4，∴点A的横坐标是−4，纵坐标是3，∴点A的坐标为−4,3．故选：D．【点睛】本题考查了点的坐标，熟记点到x轴的距离等于纵坐标的长度，到y轴的距离等于横坐标的长度是解题的关键．【变式3-1】（2023春·北京朝阳·八年级校考期中）直角坐标平面内的点Pa,b到x轴的距离为______，到y轴的距离为______．【答案】 b a【分析】根据直角坐标系内的点的坐标特点即可判断．【详解】解：∵点Pa,b到x轴的距离是其纵坐标的绝对值，点Pa,b到y轴的距离是其横坐标的绝对值，∴点Pa,b到x轴的距离为b，到y轴的距离为a．故答案为：b，a【点睛】此题主要考查点到坐标轴的距离，解题的关键是熟知点到x轴的距离是其纵坐标的绝对值，点到y轴的距离是其横坐标的绝对值．【变式3-2】（2023春·天津西青·八年级校联考期中）在平面直角坐标系的第四象限内有一点M，到x轴的距离为4，到y轴的距离恰为到x轴距离的2倍，则点M的坐标为（ ）A．(8,−4) B．−4,8 C．(2,4) D．−4,2【答案】A【分析】根据点到坐标轴的距离及点所在的象限解答即可．【详解】解：设点M的坐标为(x,y)，∵点M到x轴的距离为4，∴y=4，∴y=±4，∵点M到y轴的距离恰为到x轴距离的2倍，，∴x=2×4=8，∴x=±8，∵点M在第四象限内，∴x=8，y=−4，即点M的坐标为(8,−4)．故选：A．【点睛】此题主要考查平面直角坐标系中的点到坐标轴的距离，象限内点的坐标的符号特点等知识，解题关键是要牢记第四象限内的点的坐标符号特点为(+,−)．【变式3-3】（2023春·黑龙江鹤岗·八年级校考期中）已知点P坐标为2+a,3a−6且点P到两坐标轴的距离相等，则点P的坐标是（ ）A．6,6 B．3,−3 C．−6,−6或−3,−3 D．6,6或3,−3【答案】D【分析】分点的横坐标与纵坐标相等和互为相反数两种情况讨论求解即可．【详解】由题意得：①2+a+3a−6=0或②2+a=3a−6，解得：a=1或a=4，当a=1时，点P3,−3，当a=4时，点P6,6，综上所述：P3,−3或6,6，故选：D．【点睛】此题考查了点的坐标，解题的关键是分情况讨论点的所处象限．【知识点4 坐标平面内对称点坐标的特点】①一个点A（a,b）关于x轴对称的点的坐标为A＇（a,-b）,特点为：x不变，y相反；②一个点A（a,b）关于y轴对称的点的坐标为A＇（-a,b）,特点为：y不变，x相反； ③一个点A（a,b）关于原点对称的点的坐标为A＇（-a,-b），特点为：x、y均相反.【题型4 由点的位置确定坐标系中字母的取值】【例4】（2023春·上海宝山·八年级统考期末）已知点A的坐标为a,a−2，点B的坐标为5,a+3，AB∥y轴，则线段AB的长为（ ）A．5 B．6 C．7 D．13【答案】A【分析】根据AB∥y轴，可得A、B两点的横坐标相等，可求得a，即可求解．【详解】解：∵A点的坐标为a,a−2，B点的坐标为5,a+3，AB∥y轴，∴a=5，∴A点的坐标为5,3，B点的坐标为5,8，∴AB=8−3=5，故选：A．【点睛】本题主要考查了坐标与图形的性质，根据平行于y轴的直线上点的横坐标相等，求出a的值是解题的关键．【变式4-1】（2023春·湖北武汉·八年级统考期中）若点Ma+3，a−2在x轴上，则a=______．【答案】2【分析】直接利用x轴上点的坐标特点a−2=0，求出a的值即可．【详解】解：∵点Ma+3，a−2在x轴上，∴a−2=0，解得：a=2．故答案为2．【点睛】本题主要考查了点的坐标，掌握x轴上点的纵坐标为零是解题的关键．【变式4-2】（2023春·八年级校考期中）若A（x，4）关于y轴的对称点是B（﹣3，y），则x=____，y=____．点A关于x轴的对称点的坐标是____．【答案】 3 4 (3，﹣4)【分析】根据点关于x轴对称则横坐标不变纵坐标互为相反数，关于y轴对称则纵坐标不变横坐标互为相反数即可求解．【详解】解：∵A(x，4)关于y轴的对称点是B(-3，y)，∴x=3，y=4，∴A点坐标为(3，4)，∴点A关于x轴的对称点的坐标是(3，-4)．故答案为：3；4；(3，-4)．【点睛】本题考查了点关于坐标轴对称的特点：点关于x轴对称则横坐标不变纵坐标互为相反数，关于y轴对称则纵坐标不变横坐标互为相反数，由此即可求解．【变式4-3】（2023春·广东肇庆·八年级校考期中）在平面直角坐标系中，已知点M2−m,1+2m.(1)若点M到y轴的距离是3，求M点的坐标；(2)若点M在第一、三象限的角平分线上，求M点的坐标.【答案】(1)M3,−1或M−3,11(2)M53,53【分析】（1）根据题意得到2−m=3，解答即可；（2）根据题意得到点M横、纵坐标相等，进而即可求解.【详解】（1）解：由题意得：2−m=3，2−m=3，2−m=−3，m1=−1，m2=5，当m=−1时，M3,−1，当m=5时，M−3,11；（2）解;∵M在第一、三象限的角平分线上,∴2−m=1+2m，∴m=13，∴M53,53.【点睛】本题考查了一元一次方程的解法，点与坐标的对应关系，坐标轴上的点的特征，各个象限的点的特征，第一、三象限的角平分线上的点的特征，解题的关键是掌握点的坐标特征．【题型5 坐标系内求图形的面积】【例5】（2023春·辽宁丹东·八年级校考期中）如图所示，在平面直角坐标系中点A−3,0，B5,0，C3,4，D−2,3．（1）求四边形ABCD的面积（2）点P为y轴上一点，且△ABP的面积等于四边形ABCD的面积的一半，求点P的坐标．【答案】（1）23；（2）0,238或0,−238．【分析】（1）分别过C、D作x轴的垂线，垂足分别为E、F，分别计算AF、DF、BE的长，根据三角形面积公式、梯形面积公式分别解得S△ADF=32，S△BCE=4，S梯形CEFD=352即可解题；（2）设P0,b，根据题意，结合三角形面积公式及绝对值的性质化简解题即可．【详解】解：（1）分别过C、D作x轴的垂线，垂足分别为E、F，因为A−3，0，B5，0，C3，4，D−2，3，所以AF=1，DF=3CE=4，BE=2EF=5，所以S△ADF=12×1×3=32，所以S△BCE=12×2×4=4，所以S梯形CEFD=3+4×5=352，所以S四边形ABCD=32+4+352=23．（2）设P0，b则有S△ABP=12S四边形ABCD=232即12×AB×OP=12×8×b=232解得：|b|=238所以b=±238所以点P的坐标为0，94或0，−94．【点睛】本题考查坐标与图形的性质、三角形面积、绝对值的性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．【变式5-1】（2023春·辽宁沈阳·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，已知A(−1,1)，B(3,2)，C(3,4)．（1）请在平面直角坐标系中描出A，B，C三点，再连接AB，BC，AC，并求△ABC的面积；（2）连接OA，OB，请直接写出△ABO面积的值．【答案】（1）作图见解析，△ABC的面积为4；（2）52【分析】（1）根据A，B，C三点的坐标进行描点，从而得到△ABC，最后利用三角形面积公式进行求解；（2）用一个梯形的面积减去两个三角形的面积得到△ABO的面积．【详解】（1）如图，△ABC即为所求，S△ABC=12×(4−2)×(3+1)=4．（2）S△ABO=12×(1+2)×(3+1)−12×1×1−12×3×2=52．【点睛】本题考查了坐标与图形的性质，明确三角形的面积以及数形结合是解题的关键．【变式5-2】（2023春·河北承德·八年级统考期中）已知A(a,0)和点B(0,5)两点，则直线AB与坐标轴围成的三角形的面积等于10，则a的值是（ ）A．−4 B．4 C．±4 D．±5【答案】C【分析】根据三角形的面积公式和已知条件列等量关系式求解即可．【详解】解：假设直角坐标系的原点为O，则直线AB与坐标轴围成的三角形是以OA、OB为直角边的直角三角形，∵A(a,0)和点B(0,5)，∴OA=|a|，OB=5，∴SΔOAB=12×OA×OB=12×|a|×5=10，∴|a|=4，∴a=±4．故选：C【点睛】本题主要考查了三角形的面积和直角坐标系的相关知识，需注意坐标轴上到一个点的距离为定值的点有2个．【变式5-3】（2023春·青海西宁·八年级校考期中）已知点A(－2，3)，B(4，3)，C(－1，－3)．（1）在平面直角坐标系中标出点A，B，C的位置；（2）求线段AB的长；（3）求点C到x轴的距离，点C到AB的距离；（4）求三角形ABC的面积；（5）若点P在y轴上，且三角形ABP的面积与三角形ABC的面积相等，求点P的坐标．【答案】（1）见解析；（2）6；（3）3；6；（4）18；（5）（0，9）或（0，-3）【分析】（1）根据三个点的坐标，在坐标系中标出来对应的位置即可；（2）根据两点坐标求出两点的距离即可；（3）根据点到直线的距离和到x轴的距离为点的纵坐标的绝对值即可求解；（4）根据三角形面积=AB的长×C到直线AB的距离求解即可；（5）根据同底等高的两个三角形面积相等即可求解.【详解】解：（1）如图所示，即为所求；（2）∵A（-2，3），B（4，3），∴AB=4-（-2）=6；（3）∵C（-1，-3），∴C到x轴的距离为3，到直线AB的距离为6；（4）∵AB=6，C到直线AB的距离为6，∴S△ABC=12×6×6=18；（5）如图所示，三角形ABP与三角形ABC同底等高，即为所求∴P（0，-3）；同理当P在AB的上方还有一个到AB距离是6的点满足要求，即P（0，9）；∴P（0，-3）或（0，9）.【点睛】本题主要考查了坐标与图形，三角形面积公式，点到直线的距离，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.【知识点5 点的平移】在平面直角坐标系中，将点（x,y）向右平移a个单位长度，可以得到对应点（x＋a ，y）； 将点（x,y）向左平移a个单位长度，可以得到对应点（x－a，y）；“左减右加”将点（x,y）向上平移b个单位长度，可以得到对应点（x，y＋b）； 将点（x,y）向下平移b个单位长度，可以得到对应点（x，y－b）.“下减上加”【题型6 图形在坐标系中的平移】【例6】（2023春·广东东莞·八年级校考期中）如图，在单位正方形网格中，建立了平面直角坐标系xOy，试解答下列问题： (1)若将△ABC向右平移6个单位，再向下平移2个单位后得到△A1B1C1，请画出平移后的△A1B1C1；(2)求△ABC的面积；(3)已知第一象限内有两点P3， n+2，Q6， n．平移线段PQ，使点P，Q分别落在两条坐标轴上．请直接写出点P平移后的对应点的坐标．【答案】(1)见详解(2)6(3)P(0,2)或(−3,0)【分析】（1）求出平移后对应点的坐标为A1(5,0),B1(2,3),C1(3,−2)，再顺次连接各点即可；（2）利用割补法求△ABC的面积即可；（3）P3， n+2，Q6， n．两点的水平距离6−3=3，垂直距离n+2−n=2，再分两种情况即可．【详解】（1）解：A(−1,2),B(−4,5),C(−3,0)，平移后对应点的坐标为A1(5,0),B1(2,3),C1(3,−2)，平移后的图象如图所示： （2）解：S△ABC=3×5−12×1×5−12×2×2−12×3×3=6；（3）解：P3， n+2，Q6， n．两点的水平距离6−3=3，垂直距离n+2−n=2，平移线段PQ，使点P，Q分别落在两条坐标轴上，如图所示： 点P平移后的对应点的坐标为P(0,2)或(−3,0)．【点睛】本题考查了平面直角坐标系内图形的平移问题，本题的关键是理解图形的平移要归结为图形顶点的平移．【变式6-1】（2023春·上海普陀·八年级统考期末）在直角坐标平面内，△ABC经过平移，其顶点A2,−1 的对应点A1的坐标是−2,3，那么其内部任意一点Dx,y的对应点D1的坐标一定是（ ）A．−x,−y B．−x,y+4 C．x−4,y+4 D．x+4,y−4【答案】C【分析】先由点A的平移得到平移方式，再根据平移方式得到答案即可．【详解】解：∵△ABC的顶点A坐标是A2,−1，经平移后，得到其对应点A1 −2,3， ∴平移方式为向左平移4个单位，向上平移4个单位， ∴△ABC的内部任意一点Dx,y，则其对应点D1坐标一定是x−4,y+4． 故选：C．【点睛】此题考查的是坐标与图形变化-平移，熟知图形平移不变性的性质是解题的关键．【变式6-2】（2023春·广东汕尾·八年级校考期中）把平面直角坐标系中的一点P(3，m)向上平移2个单位长度后，点P的对应点P'刚好落在x轴上，则m的值为( )A．−2 B．0 C．1 D．2【答案】A【分析】根据平移写出点P'的坐标，根据x轴上的点的纵坐标为0即可求解．【详解】解：∵把平面直角坐标系中的一点P(3，m)向上平移2个单位长度后，点P的对应点P'为3，m+2，点P'在x轴上，∴m+2=0∴m=−2故选：A．【点睛】本题考查了点的平移，x轴上点的坐标特征，求得P'的坐标是解题的关键．【变式6-3】（2023春·陕西宝鸡·八年级统考期中）在平面直角坐标系内，已知点Aa−5,2b−1在y轴上，点B3a+2,b+3在x轴上，则点Ca,b向右平移2个单位长度再向下平移3个单位长度后的坐标为______．【答案】7,−6【分析】先根据y轴上的点的横坐标为0、x轴上的点的纵坐标为0可求出a,b的值，从而可得点C的坐标，再根据点的坐标的平移变换规律即可得．【详解】解：∵Aa−5,2b−1在y轴上，B3a+2,b+3在x轴上，∴a−5=0，b+3=0，解得a=5,b=−3，∴C5,−3，则C5,−3向右平移2个单位长度再向下平移3个单位长度后的坐标为5+2,−3−3，即为7,−6，故答案为：7,−6．【点睛】本题考查了坐标轴上的点的坐标、点的坐标的平移变换规律，熟练掌握点的坐标的平移变换规律是解题关键．【题型7 利用平面直角坐标系解决探究性问题】【例7】（2023春·河南郑州·八年级校考期末）如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到1,1，第2次接着运动到点2,0，第3次接着运动到点3,2，按这样的运动规律，经过第2023次运动后，动点P的坐标是（ ）A．2023,0 B．2023,1 C．2023,2 D．2024,0【答案】C【分析】根据图象可得出：横坐标为运动次数，纵坐标依次为1，0，2，0，每4次一轮，进而即可求出答案．【详解】解：根据动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点1,1，第2次接着运动到点2,0，第3次接着运动到点3,2，∴第4次运动到点4,0，第5次接着运动到点5,1，…，∴横坐标为运动次数，经过第2023次运动后，动点P的横坐标是2023，纵坐标依次为1，0，2，0，每4次一轮，∴2023÷4=505⋅⋅⋅⋅⋅3，∴经过第2023次运动后，动点P的坐标是2023,2；故答案为：C．【点睛】此题主要考查了点的坐标规律，培养学生观察和归纳能力，从所给的数据和图形中寻求规律进行解题是解答本题的关键．【变式7-1】（2023春·八年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，有若干个整点，按图中→方向排列，即0,0→0,1→1,1→2,2→2,3→3,3→4,4，……，则按此规律排列下去第23个点的坐标为（ ）A．(13,13) B．(14,14) C．(15,15) D．(14,15)【答案】D【分析】先由题意写出前几个点的坐标，观察发现并归纳：横坐标与纵坐标相等且为偶数的点的坐标特点，从而可得答案．【详解】解：∵ 0,0→0,1→1,1→2,2→2,3→3,3→4,4→4,5→5,5→6,6→6,7→7,7→8,8……∴ 观察发现：每三个点为一组，每组第一个点坐标为：2n−2,2n−2，23÷3=7……2，∴第23个点在第八组的第二个，∵第八组的第一个点坐标为：14,14，∴第23个点的坐标为：14,15，故选：D．【点睛】本题考查的是坐标规律的探究，解题的关键是仔细观察坐标变化规律，掌握从具体到一般的探究方法．【变式7-2】（2023春·山东泰安·八年级肥城市实验中学校考期中）如图，长方形ABCD的两边BC，CD分别在x轴，y轴上，点C与原点重合，点A−1,2，将长方形ABCD沿x轴无滑动向右翻滚，经过一次翻滚，点A对应点记为A1；经过两次翻滚，点A对应点记为A2；…；经过第2023次翻滚，点A对应点A2023坐标为___________．【答案】3033,0【分析】根据题意，确定图形从开始位置经过4次翻滚后点A进行了一次循环回到对应位置，从而结合长方形周长为6，依据2023=4×505+3即可得到答案．【详解】解：根据题意得：点A−1,2，A12,1，A23,0，A33,0，A45,2……，由此发现，经过4次翻滚后点A进行了一次循环回到对应位置， ∵长方形的周长为：2×1+2=6，∴每一次完整循环，相当于A对应点的横坐标+6，纵坐标保持不变，∵2023=4×505+3，∴经过第2023次翻滚，点A对应点A2023坐标为6×505+4−1,0，即3033,0，故答案为：3033,0．【点睛】本题考查动点坐标规律，读懂题意，理解图形从开始位置经过4次翻滚后点A进行了一次循环回到对应位置是解决问题的关键．【变式7-3】（2023春·山西·八年级期末）在平面直角坐标系中，某点按向下、向右、向上、向右的方向依次不断移动，每次移动1个单位长度，其运动路线如图所示，根据图形规律，解决下列问题．(1)点A5的坐标为___________，点A9的坐标为___________，点A13的坐标为___________，点A4n+1的坐标为___________．(2)直接写出点A1到点A2025的距离：___________．【答案】(1)2,−1；4,−1；6,−1；2n,−1(2)1012【分析】（1）根据题意可得点A5的坐标为2,−1；点A9的坐标为4,−1；点A13的坐标为6,−1；……由此发现规律，即可求解；（2）根据2025÷4=506⋯1，可得点A2025的坐标为1012,−1，即可求解．【详解】（1）解：根据题意得：点A5的坐标为2,−1；点A9的坐标为4,−1；点A13的坐标为6,−1；……由此发现，点A4n+1的坐标为2n,−1；故答案为：2,−1；4,−1；6,−1；2n,−1；（2）解：∵2025÷4=506⋯1，∴点A2025的坐标为506×2,−1，即1012,−1，∵点A1的坐标为0,−1，∴点A1到点A2025的距离1012．故答案为：1012【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系，点的坐标的规律题，明确题意，准确得到点A4n+1的坐标为2n,−1是解题的关键．【题型8 建立适当的直角坐标系解决实际问题】【例8】（2023春·山西晋中·八年级统考期中）我们出门旅游经常利用平面图确定位置，如图是某地火车站及周围场所的简单平面图，（图中每个小正方形的边长代表1千米）．(1)请以图中某一场所所在的位置为坐标原点，以小正方形的边长为单位长度，建立平面直角坐标系，并直接写出体育场A、超市B、市场C、文化宫D的坐标；(2)在（1）中所建的坐标平面内，相关部门计划兴建一所学校，请你选择某一格点为学校E的位置，请在图中标出学校E的位置并写出E的坐标，简要说明你的选址理由.【答案】(1)见解析，A的坐标为−4,3，B的坐标为0,4，C的坐标为4,3，D的坐标为2,−3(2)见解析【分析】（1）以火车站所在的位置为坐标原点，建立平面直角坐标系，即可表示出体育场A、超市B、市场C、文化宫D的坐标；（2）选址理由合理即可，根据点的坐标的意义描出点E并写出坐标．【详解】（1）解：平面直角坐标系如图所示，体育场A的坐标为−4,3、超市B的坐标为0,4、市场C的坐标为4,3、文化宫D的坐标为2,−3．（2）如图，点E即为所作学校位置．学校E坐标为−2,−3，选址理由合理即可（如：选址文化宫附近，便于组织安排一些文化活动）．【点睛】本题考查了坐标确定位置，主要是对平面直角坐标系的定义和点的坐标的写法的考查，是基础题．【变式8-1】（2023春·山西太原·八年级统考期中）直升机除了可以正常飞行，还可以悬停在空中进行作业，这也是直升机区别于一般固定翼飞机的一种特有飞行状态．如图，训练中的三架直升机按要求悬停在同一高度，若甲、乙的位置分别表示为1,0，−1,−2，则丙直升机的位置表示为______．【答案】−2,1【分析】根据甲、乙的坐标构建平面直角坐标系，即可得到丙的位置．【详解】如图所示：丙的位置为−2,1．故答案为：−2,1．【点睛】本题考查了坐标的知识点，解题的关键是根据坐标确定坐标系和点的位置．【变式8-2】（2023春·江西景德镇·八年级统考期中）景德镇市第十六中学为全面保障校庆五十周年的整体效果，在操场中标记了几个关键位置，如图是利用平面直角坐标系画出的关键位置分布图，若表示点A的坐标为(−1,−2)，点B的坐标为(1,1)，则表示其他位置的点的坐标正确的是（ ）A．C(−1,−2) B．D(−3,1) C．E(−7,−3) D．F(4,−1)【答案】C【分析】根据已知点的坐标确定平面直角坐标系，再根据平面直角坐标系，根据点的位置，写出各点的坐标即可．【详解】解：根据点A的坐标为（-1，-2），表示点B的坐标为（1，1）， 确定坐标原点如下：可得： C（-2，-1），D（-5，0），E（-7，-3），F（3，3）， 故选：C．【点睛】本题考查根据坐标确定位置，解题的关键就是确定坐标原点和x，y轴的位置及方向．【变式8-3】（2023春·河南平顶山·八年级统考期中）园林部门为了对市内某旅游景区内的古树名木进行系统养护，建立了相关的地理信息系统，其中重要的一项工作就是要确定这些古树的位置．已知该旅游区有树龄百年以上的古松树4棵S1,S2,S3,S4，古槐树6棵H1,H2,H3,H4,H5,H6．为了加强对这些古树的保护，园林部门根据该旅游景区地图，将4棵古松树的位置用坐标表示为S1（2，8），S2(4， 9)，S3(10， 5)，S4(11，10)．（1）根据S1的坐标为(2， 8)，请在图中补充画出平面直角坐标系；（2）在所建立的平面直角坐标系中，写出6棵古槐树的坐标；（3）已知H5在S1，的南偏东41°，且相距5．4米处，试用方位角和距离描述S1；相对于H5的位置？【答案】（1）见解析；（2）H1（3，5），H2（1，3），H3（7，5），H4（8，6），H5（8，1），H6（12，7）；（3）S1在H5的北偏西41°，且相距5.4米处．【分析】（1）以点S1向左2个单位，向下8个单位为坐标原点建立平面直角坐标系即可；（2）写出6棵古槐树的坐标即可；（3）根据方位角的概念，可得答案．【详解】解：（1）补充画出平面直角坐标系如图所示： ；（2）6棵古槐树的坐标分别为：H1（3，5），H2（1，3），H3（7，5），H4（8，6），H5（8，1），H6（12，7）；（3）∵H5在S1的南偏东41°，且相距5.4米处，∴S1在H5的北偏西41°，且相距5.4米处．【点睛】本题考查了坐标确定位置，信息量比较大，解题的关键是根据已知点的坐标确定出原点的位置．
专题11.1 平面直角坐标系【八大题型】【沪科版】TOC \o "1-3" \h \u HYPERLINK \l "_Toc801" 【题型1 用有序数对表示位置或路线】 PAGEREF _Toc801 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc31647" 【题型2 平面内点的坐标特征】 PAGEREF _Toc31647 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc25474" 【题型3 由点到坐标轴的距离确定点的坐标】 PAGEREF _Toc25474 \h 4 HYPERLINK \l "_Toc2165" 【题型4 由点的位置确定坐标系中字母的取值】 PAGEREF _Toc2165 \h 4 HYPERLINK \l "_Toc20923" 【题型5 坐标系内求图形的面积】 PAGEREF _Toc20923 \h 4 HYPERLINK \l "_Toc9144" 【题型6 图形在坐标系中的平移】 PAGEREF _Toc9144 \h 6 HYPERLINK \l "_Toc25024" 【题型7 利用平面直角坐标系解决探究性问题】 PAGEREF _Toc25024 \h 7 HYPERLINK \l "_Toc4957" 【题型8 建立适当的直角坐标系解决实际问题】 PAGEREF _Toc4957 \h 8【知识点1 有序数对】有顺序的两个数a与b组成的数对叫做有序数对. 点的坐标: 有了平面直角坐标系，平面内的点就可以用一个有序数对来表示，a点对应x轴的数值为横坐标，b点对应y轴的数值为纵坐标，有序数对就叫做点A的坐标，记作（a,b）. 【题型1 用有序数对表示位置或路线】【例1】（2023春·甘肃陇南·八年级统考期中）一个小伙伴拿着如图的密码表玩听声音猜单词的游戏，若听到“咚咚一咚咚，咚一咚，咚咚咚一咚”表示的是“DOG”，则听到“咚咚一咚，咚咚咚一咚咚，咚一咚咚咚”时，表示的是___________．【变式1-1】（2023春·福建福州·八年级福州三牧中学校考开学考试）小李、小王、小张、小谢原有位置如图（横为排、竖为列），小李在第2排第4列，小王在第3排第3列，小张在第4排第2列，小谢在第5排第4列．撤走第一排，仍按照原有确定位置的方法确定新的位置，下列说法正确的是（ ）．A．小李现在位置为第1排第2列 B．小张现在位置为第3排第2列C．小王现在位置为第2排第2列 D．小谢现在位置为第4排第2列【变式1-2】（2023春·重庆渝中·八年级统考期末）从2，3，5三个数中任选两个组成有序数对，一共可以组成有序数对有（ ）A．3对 B．4对 C．5对 D．6对【变式1-3】（2023春·浙江杭州·八年级开学考试）如图，一只甲虫在5×5的方格（每小格边长为1）上沿着网格线运动，它从A处出发去看望B、C、D处的其它甲虫，规定：向上向右走为正，向下向左走为负．例如从A到B记为：A→B(+1，+4)，从D到C记为：D→C(-1，+2)，其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向．（1）图中A→C（______，______），B→C（______，______），D→______（-4，-2）；（2）若这只甲虫从A处去P处的行走路线依次为（+2，+2），（+2，-1），（-2，+3），（-1，-2），请在图中标出P的位置；【知识点2 坐标平面内点的坐标特征】1.坐标平面内点的坐标特征:①坐标原点的坐标为（0，0）；②第一象限内的点，x、y同号，均为正； ③第二象限内的点，x、y异号，x为负，y为正； ④第三象限内的点，x、y同号，均为负； ⑤第四象限内的点，x、y异号，x为正，y为负； ⑥横轴（x轴）上的点，纵坐标为0，即（x，0），所以，横轴也可写作：y=0 （表示一条直线） ⑦纵轴（y轴）上的点，横坐标为0，即（0，y）,所以，纵横也可写作：x=0 （表示一条直线）2.平行于坐标轴的直线的表示:在平面直角坐标系中，与x轴平行的直线上的所有点的纵坐标相同，与y轴平行的直线上的所有点的横坐标相同.3.象限角平分线的特点:①第一、三象限的角平分线上的点的纵坐标与横坐标相等（同号）②第二、四象限的角平分线的点的纵坐标与横坐标互为相反数(异号)【题型2 平面内点的坐标特征】【例2】（2023春·广东珠海·八年级珠海市紫荆中学桃园校区校考期中）如图，若在象棋盘上建立平面直角坐标系，使“兵”位于点(1，−1)，则“炮”位于点（ ） A．(0，0) B．(0，−1) C．(−1，1) D．(−1，0)【变式2-1】（2023春·广东珠海·八年级珠海市紫荆中学桃园校区校考期中）点P(1，−4)，则点P在（ ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【变式2-2】（2023春·湖北武汉·八年级统考期中）在平面直角坐标系中，下列各点在x轴上的是（ ）A．1，2 B．3，0 C．0，−1 D．−5，6【变式2-3】（2023春·天津滨海新·八年级校考期中）在平面直角坐标系中，点A−1,m2+1一定在第（ ）象限A．一 B．二 C．三 D．四【知识点3 点到坐标轴的距离】坐标平面内的点的横坐标的绝对值表示这点到纵轴（y轴）的距离，而纵坐标的绝对值表示这点到横轴（x轴）的距离.注: ①已知点的坐标求距离，只有一个结果，但已知距离求坐标，则因为点的坐标有正有负，可能有多个解的情况，应注意不要丢解.【题型3 由点到坐标轴的距离确定点的坐标】【例3】（2023春·上海黄浦·八年级统考期末）在直角坐标平面内，A是第二象限内的一点，如果它到x轴、y轴的距离分别是3和4，那么点A的坐标是（ ）A．3,−4 B．−3,4 C．4,−3 D．−4,3【变式3-1】（2023春·北京朝阳·八年级校考期中）直角坐标平面内的点Pa,b到x轴的距离为______，到y轴的距离为______．【变式3-2】（2023春·天津西青·八年级校联考期中）在平面直角坐标系的第四象限内有一点M，到x轴的距离为4，到y轴的距离恰为到x轴距离的2倍，则点M的坐标为（ ）A．(8,−4) B．−4,8 C．(2,4) D．−4,2【变式3-3】（2023春·黑龙江鹤岗·八年级校考期中）已知点P坐标为2+a,3a−6且点P到两坐标轴的距离相等，则点P的坐标是（ ）A．6,6 B．3,−3 C．−6,−6或−3,−3 D．6,6或3,−3【知识点4 坐标平面内对称点坐标的特点】①一个点A（a,b）关于x轴对称的点的坐标为A＇（a,-b）,特点为：x不变，y相反；②一个点A（a,b）关于y轴对称的点的坐标为A＇（-a,b）,特点为：y不变，x相反； ③一个点A（a,b）关于原点对称的点的坐标为A＇（-a,-b），特点为：x、y均相反.【题型4 由点的位置确定坐标系中字母的取值】【例4】（2023春·上海宝山·八年级统考期末）已知点A的坐标为a,a−2，点B的坐标为5,a+3，AB∥y轴，则线段AB的长为（ ）A．5 B．6 C．7 D．13【变式4-1】（2023春·湖北武汉·八年级统考期中）若点Ma+3，a−2在x轴上，则a=______．【变式4-2】（2023春·八年级校考期中）若A（x，4）关于y轴的对称点是B（﹣3，y），则x=____，y=____．点A关于x轴的对称点的坐标是____．【变式4-3】（2023春·广东肇庆·八年级校考期中）在平面直角坐标系中，已知点M2−m,1+2m.(1)若点M到y轴的距离是3，求M点的坐标；(2)若点M在第一、三象限的角平分线上，求M点的坐标.【题型5 坐标系内求图形的面积】【例5】（2023春·辽宁丹东·八年级校考期中）如图所示，在平面直角坐标系中点A−3,0，B5,0，C3,4，D−2,3．（1）求四边形ABCD的面积（2）点P为y轴上一点，且△ABP的面积等于四边形ABCD的面积的一半，求点P的坐标．【变式5-1】（2023春·辽宁沈阳·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，已知A(−1,1)，B(3,2)，C(3,4)．（1）请在平面直角坐标系中描出A，B，C三点，再连接AB，BC，AC，并求△ABC的面积；（2）连接OA，OB，请直接写出△ABO面积的值．【变式5-2】（2023春·河北承德·八年级统考期中）已知A(a,0)和点B(0,5)两点，则直线AB与坐标轴围成的三角形的面积等于10，则a的值是（ ）A．−4 B．4 C．±4 D．±5【变式5-3】（2023春·青海西宁·八年级校考期中）已知点A(－2，3)，B(4，3)，C(－1，－3)．（1）在平面直角坐标系中标出点A，B，C的位置；（2）求线段AB的长；（3）求点C到x轴的距离，点C到AB的距离；（4）求三角形ABC的面积；（5）若点P在y轴上，且三角形ABP的面积与三角形ABC的面积相等，求点P的坐标．【知识点5 点的平移】在平面直角坐标系中，将点（x,y）向右平移a个单位长度，可以得到对应点（x＋a ，y）； 将点（x,y）向左平移a个单位长度，可以得到对应点（x－a，y）；“左减右加”将点（x,y）向上平移b个单位长度，可以得到对应点（x，y＋b）； 将点（x,y）向下平移b个单位长度，可以得到对应点（x，y－b）.“下减上加”【题型6 图形在坐标系中的平移】【例6】（2023春·广东东莞·八年级校考期中）如图，在单位正方形网格中，建立了平面直角坐标系xOy，试解答下列问题： (1)若将△ABC向右平移6个单位，再向下平移2个单位后得到△A1B1C1，请画出平移后的△A1B1C1；(2)求△ABC的面积；(3)已知第一象限内有两点P3， n+2，Q6， n．平移线段PQ，使点P，Q分别落在两条坐标轴上．请直接写出点P平移后的对应点的坐标．【变式6-1】（2023春·上海普陀·八年级统考期末）在直角坐标平面内，△ABC经过平移，其顶点A2,−1 的对应点A1的坐标是−2,3，那么其内部任意一点Dx,y的对应点D1的坐标一定是（ ）A．−x,−y B．−x,y+4 C．x−4,y+4 D．x+4,y−4【变式6-2】（2023春·广东汕尾·八年级校考期中）把平面直角坐标系中的一点P(3，m)向上平移2个单位长度后，点P的对应点P'刚好落在x轴上，则m的值为( )A．−2 B．0 C．1 D．2【变式6-3】（2023春·陕西宝鸡·八年级统考期中）在平面直角坐标系内，已知点Aa−5,2b−1在y轴上，点B3a+2,b+3在x轴上，则点Ca,b向右平移2个单位长度再向下平移3个单位长度后的坐标为______．【题型7 利用平面直角坐标系解决探究性问题】【例7】（2023春·河南郑州·八年级校考期末）如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到1,1，第2次接着运动到点2,0，第3次接着运动到点3,2，按这样的运动规律，经过第2023次运动后，动点P的坐标是（ ）A．2023,0 B．2023,1 C．2023,2 D．2024,0【变式7-1】（2023春·八年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，有若干个整点，按图中→方向排列，即0,0→0,1→1,1→2,2→2,3→3,3→4,4，……，则按此规律排列下去第23个点的坐标为（ ）A．(13,13) B．(14,14) C．(15,15) D．(14,15)【变式7-2】（2023春·山东泰安·八年级肥城市实验中学校考期中）如图，长方形ABCD的两边BC，CD分别在x轴，y轴上，点C与原点重合，点A−1,2，将长方形ABCD沿x轴无滑动向右翻滚，经过一次翻滚，点A对应点记为A1；经过两次翻滚，点A对应点记为A2；…；经过第2023次翻滚，点A对应点A2023坐标为___________．【变式7-3】（2023春·山西·八年级期末）在平面直角坐标系中，某点按向下、向右、向上、向右的方向依次不断移动，每次移动1个单位长度，其运动路线如图所示，根据图形规律，解决下列问题．(1)点A5的坐标为___________，点A9的坐标为___________，点A13的坐标为___________，点A4n+1的坐标为___________．(2)直接写出点A1到点A2025的距离：___________．【题型8 建立适当的直角坐标系解决实际问题】【例8】（2023春·山西晋中·八年级统考期中）我们出门旅游经常利用平面图确定位置，如图是某地火车站及周围场所的简单平面图，（图中每个小正方形的边长代表1千米）．(1)请以图中某一场所所在的位置为坐标原点，以小正方形的边长为单位长度，建立平面直角坐标系，并直接写出体育场A、超市B、市场C、文化宫D的坐标；(2)在（1）中所建的坐标平面内，相关部门计划兴建一所学校，请你选择某一格点为学校E的位置，请在图中标出学校E的位置并写出E的坐标，简要说明你的选址理由.【变式8-1】（2023春·山西太原·八年级统考期中）直升机除了可以正常飞行，还可以悬停在空中进行作业，这也是直升机区别于一般固定翼飞机的一种特有飞行状态．如图，训练中的三架直升机按要求悬停在同一高度，若甲、乙的位置分别表示为1,0，−1,−2，则丙直升机的位置表示为______．【变式8-2】（2023春·江西景德镇·八年级统考期中）景德镇市第十六中学为全面保障校庆五十周年的整体效果，在操场中标记了几个关键位置，如图是利用平面直角坐标系画出的关键位置分布图，若表示点A的坐标为(−1,−2)，点B的坐标为(1,1)，则表示其他位置的点的坐标正确的是（ ）A．C(−1,−2) B．D(−3,1) C．E(−7,−3) D．F(4,−1)【变式8-3】（2023春·河南平顶山·八年级统考期中）园林部门为了对市内某旅游景区内的古树名木进行系统养护，建立了相关的地理信息系统，其中重要的一项工作就是要确定这些古树的位置．已知该旅游区有树龄百年以上的古松树4棵S1,S2,S3,S4，古槐树6棵H1,H2,H3,H4,H5,H6．为了加强对这些古树的保护，园林部门根据该旅游景区地图，将4棵古松树的位置用坐标表示为S1（2，8），S2(4， 9)，S3(10， 5)，S4(11，10)．（1）根据S1的坐标为(2， 8)，请在图中补充画出平面直角坐标系；（2）在所建立的平面直角坐标系中，写出6棵古槐树的坐标；（3）已知H5在S1，的南偏东41°，且相距5．4米处，试用方位角和距离描述S1；相对于H5的位置？ 11.1 平面直角坐标系【八大题型】【沪科版】TOC \o "1-3" \h \u HYPERLINK \l "_Toc801" 【题型1 用有序数对表示位置或路线】 PAGEREF _Toc801 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc31647" 【题型2 平面内点的坐标特征】 PAGEREF _Toc31647 \h 4 HYPERLINK \l "_Toc25474" 【题型3 由点到坐标轴的距离确定点的坐标】 PAGEREF _Toc25474 \h 6 HYPERLINK \l "_Toc2165" 【题型4 由点的位置确定坐标系中字母的取值】 PAGEREF _Toc2165 \h 8 HYPERLINK \l "_Toc20923" 【题型5 坐标系内求图形的面积】 PAGEREF _Toc20923 \h 9 HYPERLINK \l "_Toc9144" 【题型6 图形在坐标系中的平移】 PAGEREF _Toc9144 \h 14 HYPERLINK \l "_Toc25024" 【题型7 利用平面直角坐标系解决探究性问题】 PAGEREF _Toc25024 \h 17 HYPERLINK \l "_Toc4957" 【题型8 建立适当的直角坐标系解决实际问题】 PAGEREF _Toc4957 \h 20【知识点1 有序数对】有顺序的两个数a与b组成的数对叫做有序数对. 点的坐标: 有了平面直角坐标系，平面内的点就可以用一个有序数对来表示，a点对应x轴的数值为横坐标，b点对应y轴的数值为纵坐标，有序数对就叫做点A的坐标，记作（a,b）. 【题型1 用有序数对表示位置或路线】【例1】（2023春·甘肃陇南·八年级统考期中）一个小伙伴拿着如图的密码表玩听声音猜单词的游戏，若听到“咚咚一咚咚，咚一咚，咚咚咚一咚”表示的是“DOG”，则听到“咚咚一咚，咚咚咚一咚咚，咚一咚咚咚”时，表示的是___________．【答案】CAT【分析】根据题意即可求解．【详解】解：∵咚咚－咚咚，咚－咚，咚咚咚－咚”表示的动物是“DOG”，表示2,2，1,1，3,1对应的字母为“DOG”，则“咚咚－咚，咚咚咚－咚咚，咚－咚咚咚”表示2,1，3,2，1,3，对应表格中的“CAT”，故答案为：CAT．【点睛】本题考查了有序数对表示位置，理解题意是解题的关键．【变式1-1】（2023春·福建福州·八年级福州三牧中学校考开学考试）小李、小王、小张、小谢原有位置如图（横为排、竖为列），小李在第2排第4列，小王在第3排第3列，小张在第4排第2列，小谢在第5排第4列．撤走第一排，仍按照原有确定位置的方法确定新的位置，下列说法正确的是（ ）．A．小李现在位置为第1排第2列 B．小张现在位置为第3排第2列C．小王现在位置为第2排第2列 D．小谢现在位置为第4排第2列【答案】B【分析】由于撤走一排，则四人所在的列数不变、排数减一，据此逐项排除即可．【详解】解：A. 小李现在位置为第1排第4列，故A选项错误，不符合题意；B. 小张现在位置为第3排第2列，故B选项正确，符合题意；C. 小王现在位置为第2排第3列，故C选项错误，不符合题意；D. 小谢现在位置为第4排第4列，故D选项错误，不符合题意．故选：B．【点睛】本题考查了位置的确定，根据题目信息、明确行和列的实际意义是解答本题的关键．【变式1-2】（2023春·重庆渝中·八年级统考期末）从2，3，5三个数中任选两个组成有序数对，一共可以组成有序数对有（ ）A．3对 B．4对 C．5对 D．6对【答案】D【分析】分别从2、3、5三个数字中选出两个组成有序实数对，然后计算出总数目即可．【详解】解：可以组成2，3，2，5，3，2，3，5，5，2，5，3共6个有序实数对， 故选D．【变式1-3】（2023春·浙江杭州·八年级开学考试）如图，一只甲虫在5×5的方格（每小格边长为1）上沿着网格线运动，它从A处出发去看望B、C、D处的其它甲虫，规定：向上向右走为正，向下向左走为负．例如从A到B记为：A→B(+1，+4)，从D到C记为：D→C(-1，+2)，其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向．（1）图中A→C（______，______），B→C（______，______），D→______（-4，-2）；（2）若这只甲虫从A处去P处的行走路线依次为（+2，+2），（+2，-1），（-2，+3），（-1，-2），请在图中标出P的位置；【答案】（1）+3，+4；+2，0；A；（2）见解析【分析】（1）根据规定及实例可知A→C记为（+3，+4）B→C记为（+2，0）D→A记为（-4，-2）；（2）按题目所示平移规律分别向右向上平移2个格点，再向右平移2个格点，向下平移1个格点；向左平移2个格点，向上平移3个格点；向左平移1个向下平移两个格点即可得到点P的坐标，在图中标出即可；【详解】解：（1）∵规定：向上向右走为正，向下向左走为负，∴A→C记为（+3，+4）B→C记为（+2，0）D→A记为（-4，-2）；（2）根据行走路线可得：P点位置如图所示．【点睛】本题主要考查了正数与负数，利用坐标确定点的位置的方法．解题的关键是正确的理解从一个点到另一个点移动时，如何用坐标表示．【知识点2 坐标平面内点的坐标特征】1.坐标平面内点的坐标特征:①坐标原点的坐标为（0，0）；②第一象限内的点，x、y同号，均为正； ③第二象限内的点，x、y异号，x为负，y为正； ④第三象限内的点，x、y同号，均为负； ⑤第四象限内的点，x、y异号，x为正，y为负； ⑥横轴（x轴）上的点，纵坐标为0，即（x，0），所以，横轴也可写作：y=0 （表示一条直线） ⑦纵轴（y轴）上的点，横坐标为0，即（0，y）,所以，纵横也可写作：x=0 （表示一条直线）2.平行于坐标轴的直线的表示:在平面直角坐标系中，与x轴平行的直线上的所有点的纵坐标相同，与y轴平行的直线上的所有点的横坐标相同.3.象限角平分线的特点:①第一、三象限的角平分线上的点的纵坐标与横坐标相等（同号）②第二、四象限的角平分线的点的纵坐标与横坐标互为相反数(异号)【题型2 平面内点的坐标特征】【例2】（2023春·广东珠海·八年级珠海市紫荆中学桃园校区校考期中）如图，若在象棋盘上建立平面直角坐标系，使“兵”位于点(1，−1)，则“炮”位于点（ ） A．(0，0) B．(0，−1) C．(−1，1) D．(−1，0)【答案】D【分析】根据题意，确定坐标系的原点，由此即可求解．【详解】解：∵“兵”位于点(1，−1)，如图所示，确定坐标系原点， ∴“炮”位于点(−1,0)，故选：D．【点睛】本题主要考查平面直角坐标系的知识，掌握平面直角坐标系原点的确定方法是解题的关键．【变式2-1】（2023春·广东珠海·八年级珠海市紫荆中学桃园校区校考期中）点P(1，−4)，则点P在（ ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【分析】根据平面直角坐标系象限的特点即可求解．【详解】解：∵点P(1，−4)中，x>0,y<0，∴点P在第四象限，故选：D．【点睛】本题主要考查平面直角坐标系的特点，掌握平面直角坐标系中象限的符号特征是解题的关键．【变式2-2】（2023春·湖北武汉·八年级统考期中）在平面直角坐标系中，下列各点在x轴上的是（ ）A．1，2 B．3，0 C．0，−1 D．−5，6【答案】B【分析】根据x轴上的点的纵坐标为0，结合各选项找到符合条件的点即可．【详解】解：因为x轴上的点的纵坐标为0，各选项中纵坐标为0的点只有选项B，故选：B．【点睛】本题考查了点的坐标，解题的关键是掌握好坐标轴上的点的坐标的特征，用到的知识点为：x轴上的点的纵坐标为0．【变式2-3】（2023春·天津滨海新·八年级校考期中）在平面直角坐标系中，点A−1,m2+1一定在第（ ）象限A．一 B．二 C．三 D．四【答案】B【分析】根据点在第二象限的坐标特点解答即可．【详解】解：点A−1,m2+1，∵横坐标−1<0，纵坐标m2+1>0，∴符合点在二象限的条件，故点A−1,m2+1一定在第二象限，故选：B．【点睛】本题主要考查平面直角坐标系中各象限内点的坐标的符号，关键是根据点在第二象限的坐标特点解答．【知识点3 点到坐标轴的距离】坐标平面内的点的横坐标的绝对值表示这点到纵轴（y轴）的距离，而纵坐标的绝对值表示这点到横轴（x轴）的距离.注: ①已知点的坐标求距离，只有一个结果，但已知距离求坐标，则因为点的坐标有正有负，可能有多个解的情况，应注意不要丢解.【题型3 由点到坐标轴的距离确定点的坐标】【例3】（2023春·上海黄浦·八年级统考期末）在直角坐标平面内，A是第二象限内的一点，如果它到x轴、y轴的距离分别是3和4，那么点A的坐标是（ ）A．3,−4 B．−3,4 C．4,−3 D．−4,3【答案】D【分析】根据第二象限内点的横坐标是负数，纵坐标是正数，点到x轴的距离等于纵坐标的长度，到y轴的距离等于横坐标的长度解答．【详解】解：∵点A在第二象限，到x轴的距离是3，到y轴的距离是4，∴点A的横坐标是−4，纵坐标是3，∴点A的坐标为−4,3．故选：D．【点睛】本题考查了点的坐标，熟记点到x轴的距离等于纵坐标的长度，到y轴的距离等于横坐标的长度是解题的关键．【变式3-1】（2023春·北京朝阳·八年级校考期中）直角坐标平面内的点Pa,b到x轴的距离为______，到y轴的距离为______．【答案】 b a【分析】根据直角坐标系内的点的坐标特点即可判断．【详解】解：∵点Pa,b到x轴的距离是其纵坐标的绝对值，点Pa,b到y轴的距离是其横坐标的绝对值，∴点Pa,b到x轴的距离为b，到y轴的距离为a．故答案为：b，a【点睛】此题主要考查点到坐标轴的距离，解题的关键是熟知点到x轴的距离是其纵坐标的绝对值，点到y轴的距离是其横坐标的绝对值．【变式3-2】（2023春·天津西青·八年级校联考期中）在平面直角坐标系的第四象限内有一点M，到x轴的距离为4，到y轴的距离恰为到x轴距离的2倍，则点M的坐标为（ ）A．(8,−4) B．−4,8 C．(2,4) D．−4,2【答案】A【分析】根据点到坐标轴的距离及点所在的象限解答即可．【详解】解：设点M的坐标为(x,y)，∵点M到x轴的距离为4，∴y=4，∴y=±4，∵点M到y轴的距离恰为到x轴距离的2倍，，∴x=2×4=8，∴x=±8，∵点M在第四象限内，∴x=8，y=−4，即点M的坐标为(8,−4)．故选：A．【点睛】此题主要考查平面直角坐标系中的点到坐标轴的距离，象限内点的坐标的符号特点等知识，解题关键是要牢记第四象限内的点的坐标符号特点为(+,−)．【变式3-3】（2023春·黑龙江鹤岗·八年级校考期中）已知点P坐标为2+a,3a−6且点P到两坐标轴的距离相等，则点P的坐标是（ ）A．6,6 B．3,−3 C．−6,−6或−3,−3 D．6,6或3,−3【答案】D【分析】分点的横坐标与纵坐标相等和互为相反数两种情况讨论求解即可．【详解】由题意得：①2+a+3a−6=0或②2+a=3a−6，解得：a=1或a=4，当a=1时，点P3,−3，当a=4时，点P6,6，综上所述：P3,−3或6,6，故选：D．【点睛】此题考查了点的坐标，解题的关键是分情况讨论点的所处象限．【知识点4 坐标平面内对称点坐标的特点】①一个点A（a,b）关于x轴对称的点的坐标为A＇（a,-b）,特点为：x不变，y相反；②一个点A（a,b）关于y轴对称的点的坐标为A＇（-a,b）,特点为：y不变，x相反； ③一个点A（a,b）关于原点对称的点的坐标为A＇（-a,-b），特点为：x、y均相反.【题型4 由点的位置确定坐标系中字母的取值】【例4】（2023春·上海宝山·八年级统考期末）已知点A的坐标为a,a−2，点B的坐标为5,a+3，AB∥y轴，则线段AB的长为（ ）A．5 B．6 C．7 D．13【答案】A【分析】根据AB∥y轴，可得A、B两点的横坐标相等，可求得a，即可求解．【详解】解：∵A点的坐标为a,a−2，B点的坐标为5,a+3，AB∥y轴，∴a=5，∴A点的坐标为5,3，B点的坐标为5,8，∴AB=8−3=5，故选：A．【点睛】本题主要考查了坐标与图形的性质，根据平行于y轴的直线上点的横坐标相等，求出a的值是解题的关键．【变式4-1】（2023春·湖北武汉·八年级统考期中）若点Ma+3，a−2在x轴上，则a=______．【答案】2【分析】直接利用x轴上点的坐标特点a−2=0，求出a的值即可．【详解】解：∵点Ma+3，a−2在x轴上，∴a−2=0，解得：a=2．故答案为2．【点睛】本题主要考查了点的坐标，掌握x轴上点的纵坐标为零是解题的关键．【变式4-2】（2023春·八年级校考期中）若A（x，4）关于y轴的对称点是B（﹣3，y），则x=____，y=____．点A关于x轴的对称点的坐标是____．【答案】 3 4 (3，﹣4)【分析】根据点关于x轴对称则横坐标不变纵坐标互为相反数，关于y轴对称则纵坐标不变横坐标互为相反数即可求解．【详解】解：∵A(x，4)关于y轴的对称点是B(-3，y)，∴x=3，y=4，∴A点坐标为(3，4)，∴点A关于x轴的对称点的坐标是(3，-4)．故答案为：3；4；(3，-4)．【点睛】本题考查了点关于坐标轴对称的特点：点关于x轴对称则横坐标不变纵坐标互为相反数，关于y轴对称则纵坐标不变横坐标互为相反数，由此即可求解．【变式4-3】（2023春·广东肇庆·八年级校考期中）在平面直角坐标系中，已知点M2−m,1+2m.(1)若点M到y轴的距离是3，求M点的坐标；(2)若点M在第一、三象限的角平分线上，求M点的坐标.【答案】(1)M3,−1或M−3,11(2)M53,53【分析】（1）根据题意得到2−m=3，解答即可；（2）根据题意得到点M横、纵坐标相等，进而即可求解.【详解】（1）解：由题意得：2−m=3，2−m=3，2−m=−3，m1=−1，m2=5，当m=−1时，M3,−1，当m=5时，M−3,11；（2）解;∵M在第一、三象限的角平分线上,∴2−m=1+2m，∴m=13，∴M53,53.【点睛】本题考查了一元一次方程的解法，点与坐标的对应关系，坐标轴上的点的特征，各个象限的点的特征，第一、三象限的角平分线上的点的特征，解题的关键是掌握点的坐标特征．【题型5 坐标系内求图形的面积】【例5】（2023春·辽宁丹东·八年级校考期中）如图所示，在平面直角坐标系中点A−3,0，B5,0，C3,4，D−2,3．（1）求四边形ABCD的面积（2）点P为y轴上一点，且△ABP的面积等于四边形ABCD的面积的一半，求点P的坐标．【答案】（1）23；（2）0,238或0,−238．【分析】（1）分别过C、D作x轴的垂线，垂足分别为E、F，分别计算AF、DF、BE的长，根据三角形面积公式、梯形面积公式分别解得S△ADF=32，S△BCE=4，S梯形CEFD=352即可解题；（2）设P0,b，根据题意，结合三角形面积公式及绝对值的性质化简解题即可．【详解】解：（1）分别过C、D作x轴的垂线，垂足分别为E、F，因为A−3，0，B5，0，C3，4，D−2，3，所以AF=1，DF=3CE=4，BE=2EF=5，所以S△ADF=12×1×3=32，所以S△BCE=12×2×4=4，所以S梯形CEFD=3+4×5=352，所以S四边形ABCD=32+4+352=23．（2）设P0，b则有S△ABP=12S四边形ABCD=232即12×AB×OP=12×8×b=232解得：|b|=238所以b=±238所以点P的坐标为0，94或0，−94．【点睛】本题考查坐标与图形的性质、三角形面积、绝对值的性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．【变式5-1】（2023春·辽宁沈阳·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，已知A(−1,1)，B(3,2)，C(3,4)．（1）请在平面直角坐标系中描出A，B，C三点，再连接AB，BC，AC，并求△ABC的面积；（2）连接OA，OB，请直接写出△ABO面积的值．【答案】（1）作图见解析，△ABC的面积为4；（2）52【分析】（1）根据A，B，C三点的坐标进行描点，从而得到△ABC，最后利用三角形面积公式进行求解；（2）用一个梯形的面积减去两个三角形的面积得到△ABO的面积．【详解】（1）如图，△ABC即为所求，S△ABC=12×(4−2)×(3+1)=4．（2）S△ABO=12×(1+2)×(3+1)−12×1×1−12×3×2=52．【点睛】本题考查了坐标与图形的性质，明确三角形的面积以及数形结合是解题的关键．【变式5-2】（2023春·河北承德·八年级统考期中）已知A(a,0)和点B(0,5)两点，则直线AB与坐标轴围成的三角形的面积等于10，则a的值是（ ）A．−4 B．4 C．±4 D．±5【答案】C【分析】根据三角形的面积公式和已知条件列等量关系式求解即可．【详解】解：假设直角坐标系的原点为O，则直线AB与坐标轴围成的三角形是以OA、OB为直角边的直角三角形，∵A(a,0)和点B(0,5)，∴OA=|a|，OB=5，∴SΔOAB=12×OA×OB=12×|a|×5=10，∴|a|=4，∴a=±4．故选：C【点睛】本题主要考查了三角形的面积和直角坐标系的相关知识，需注意坐标轴上到一个点的距离为定值的点有2个．【变式5-3】（2023春·青海西宁·八年级校考期中）已知点A(－2，3)，B(4，3)，C(－1，－3)．（1）在平面直角坐标系中标出点A，B，C的位置；（2）求线段AB的长；（3）求点C到x轴的距离，点C到AB的距离；（4）求三角形ABC的面积；（5）若点P在y轴上，且三角形ABP的面积与三角形ABC的面积相等，求点P的坐标．【答案】（1）见解析；（2）6；（3）3；6；（4）18；（5）（0，9）或（0，-3）【分析】（1）根据三个点的坐标，在坐标系中标出来对应的位置即可；（2）根据两点坐标求出两点的距离即可；（3）根据点到直线的距离和到x轴的距离为点的纵坐标的绝对值即可求解；（4）根据三角形面积=AB的长×C到直线AB的距离求解即可；（5）根据同底等高的两个三角形面积相等即可求解.【详解】解：（1）如图所示，即为所求；（2）∵A（-2，3），B（4，3），∴AB=4-（-2）=6；（3）∵C（-1，-3），∴C到x轴的距离为3，到直线AB的距离为6；（4）∵AB=6，C到直线AB的距离为6，∴S△ABC=12×6×6=18；（5）如图所示，三角形ABP与三角形ABC同底等高，即为所求∴P（0，-3）；同理当P在AB的上方还有一个到AB距离是6的点满足要求，即P（0，9）；∴P（0，-3）或（0，9）.【点睛】本题主要考查了坐标与图形，三角形面积公式，点到直线的距离，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.【知识点5 点的平移】在平面直角坐标系中，将点（x,y）向右平移a个单位长度，可以得到对应点（x＋a ，y）； 将点（x,y）向左平移a个单位长度，可以得到对应点（x－a，y）；“左减右加”将点（x,y）向上平移b个单位长度，可以得到对应点（x，y＋b）； 将点（x,y）向下平移b个单位长度，可以得到对应点（x，y－b）.“下减上加”【题型6 图形在坐标系中的平移】【例6】（2023春·广东东莞·八年级校考期中）如图，在单位正方形网格中，建立了平面直角坐标系xOy，试解答下列问题： (1)若将△ABC向右平移6个单位，再向下平移2个单位后得到△A1B1C1，请画出平移后的△A1B1C1；(2)求△ABC的面积；(3)已知第一象限内有两点P3， n+2，Q6， n．平移线段PQ，使点P，Q分别落在两条坐标轴上．请直接写出点P平移后的对应点的坐标．【答案】(1)见详解(2)6(3)P(0,2)或(−3,0)【分析】（1）求出平移后对应点的坐标为A1(5,0),B1(2,3),C1(3,−2)，再顺次连接各点即可；（2）利用割补法求△ABC的面积即可；（3）P3， n+2，Q6， n．两点的水平距离6−3=3，垂直距离n+2−n=2，再分两种情况即可．【详解】（1）解：A(−1,2),B(−4,5),C(−3,0)，平移后对应点的坐标为A1(5,0),B1(2,3),C1(3,−2)，平移后的图象如图所示： （2）解：S△ABC=3×5−12×1×5−12×2×2−12×3×3=6；（3）解：P3， n+2，Q6， n．两点的水平距离6−3=3，垂直距离n+2−n=2，平移线段PQ，使点P，Q分别落在两条坐标轴上，如图所示： 点P平移后的对应点的坐标为P(0,2)或(−3,0)．【点睛】本题考查了平面直角坐标系内图形的平移问题，本题的关键是理解图形的平移要归结为图形顶点的平移．【变式6-1】（2023春·上海普陀·八年级统考期末）在直角坐标平面内，△ABC经过平移，其顶点A2,−1 的对应点A1的坐标是−2,3，那么其内部任意一点Dx,y的对应点D1的坐标一定是（ ）A．−x,−y B．−x,y+4 C．x−4,y+4 D．x+4,y−4【答案】C【分析】先由点A的平移得到平移方式，再根据平移方式得到答案即可．【详解】解：∵△ABC的顶点A坐标是A2,−1，经平移后，得到其对应点A1 −2,3， ∴平移方式为向左平移4个单位，向上平移4个单位， ∴△ABC的内部任意一点Dx,y，则其对应点D1坐标一定是x−4,y+4． 故选：C．【点睛】此题考查的是坐标与图形变化-平移，熟知图形平移不变性的性质是解题的关键．【变式6-2】（2023春·广东汕尾·八年级校考期中）把平面直角坐标系中的一点P(3，m)向上平移2个单位长度后，点P的对应点P'刚好落在x轴上，则m的值为( )A．−2 B．0 C．1 D．2【答案】A【分析】根据平移写出点P'的坐标，根据x轴上的点的纵坐标为0即可求解．【详解】解：∵把平面直角坐标系中的一点P(3，m)向上平移2个单位长度后，点P的对应点P'为3，m+2，点P'在x轴上，∴m+2=0∴m=−2故选：A．【点睛】本题考查了点的平移，x轴上点的坐标特征，求得P'的坐标是解题的关键．【变式6-3】（2023春·陕西宝鸡·八年级统考期中）在平面直角坐标系内，已知点Aa−5,2b−1在y轴上，点B3a+2,b+3在x轴上，则点Ca,b向右平移2个单位长度再向下平移3个单位长度后的坐标为______．【答案】7,−6【分析】先根据y轴上的点的横坐标为0、x轴上的点的纵坐标为0可求出a,b的值，从而可得点C的坐标，再根据点的坐标的平移变换规律即可得．【详解】解：∵Aa−5,2b−1在y轴上，B3a+2,b+3在x轴上，∴a−5=0，b+3=0，解得a=5,b=−3，∴C5,−3，则C5,−3向右平移2个单位长度再向下平移3个单位长度后的坐标为5+2,−3−3，即为7,−6，故答案为：7,−6．【点睛】本题考查了坐标轴上的点的坐标、点的坐标的平移变换规律，熟练掌握点的坐标的平移变换规律是解题关键．【题型7 利用平面直角坐标系解决探究性问题】【例7】（2023春·河南郑州·八年级校考期末）如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到1,1，第2次接着运动到点2,0，第3次接着运动到点3,2，按这样的运动规律，经过第2023次运动后，动点P的坐标是（ ）A．2023,0 B．2023,1 C．2023,2 D．2024,0【答案】C【分析】根据图象可得出：横坐标为运动次数，纵坐标依次为1，0，2，0，每4次一轮，进而即可求出答案．【详解】解：根据动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点1,1，第2次接着运动到点2,0，第3次接着运动到点3,2，∴第4次运动到点4,0，第5次接着运动到点5,1，…，∴横坐标为运动次数，经过第2023次运动后，动点P的横坐标是2023，纵坐标依次为1，0，2，0，每4次一轮，∴2023÷4=505⋅⋅⋅⋅⋅3，∴经过第2023次运动后，动点P的坐标是2023,2；故答案为：C．【点睛】此题主要考查了点的坐标规律，培养学生观察和归纳能力，从所给的数据和图形中寻求规律进行解题是解答本题的关键．【变式7-1】（2023春·八年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，有若干个整点，按图中→方向排列，即0,0→0,1→1,1→2,2→2,3→3,3→4,4，……，则按此规律排列下去第23个点的坐标为（ ）A．(13,13) B．(14,14) C．(15,15) D．(14,15)【答案】D【分析】先由题意写出前几个点的坐标，观察发现并归纳：横坐标与纵坐标相等且为偶数的点的坐标特点，从而可得答案．【详解】解：∵ 0,0→0,1→1,1→2,2→2,3→3,3→4,4→4,5→5,5→6,6→6,7→7,7→8,8……∴ 观察发现：每三个点为一组，每组第一个点坐标为：2n−2,2n−2，23÷3=7……2，∴第23个点在第八组的第二个，∵第八组的第一个点坐标为：14,14，∴第23个点的坐标为：14,15，故选：D．【点睛】本题考查的是坐标规律的探究，解题的关键是仔细观察坐标变化规律，掌握从具体到一般的探究方法．【变式7-2】（2023春·山东泰安·八年级肥城市实验中学校考期中）如图，长方形ABCD的两边BC，CD分别在x轴，y轴上，点C与原点重合，点A−1,2，将长方形ABCD沿x轴无滑动向右翻滚，经过一次翻滚，点A对应点记为A1；经过两次翻滚，点A对应点记为A2；…；经过第2023次翻滚，点A对应点A2023坐标为___________．【答案】3033,0【分析】根据题意，确定图形从开始位置经过4次翻滚后点A进行了一次循环回到对应位置，从而结合长方形周长为6，依据2023=4×505+3即可得到答案．【详解】解：根据题意得：点A−1,2，A12,1，A23,0，A33,0，A45,2……，由此发现，经过4次翻滚后点A进行了一次循环回到对应位置， ∵长方形的周长为：2×1+2=6，∴每一次完整循环，相当于A对应点的横坐标+6，纵坐标保持不变，∵2023=4×505+3，∴经过第2023次翻滚，点A对应点A2023坐标为6×505+4−1,0，即3033,0，故答案为：3033,0．【点睛】本题考查动点坐标规律，读懂题意，理解图形从开始位置经过4次翻滚后点A进行了一次循环回到对应位置是解决问题的关键．【变式7-3】（2023春·山西·八年级期末）在平面直角坐标系中，某点按向下、向右、向上、向右的方向依次不断移动，每次移动1个单位长度，其运动路线如图所示，根据图形规律，解决下列问题．(1)点A5的坐标为___________，点A9的坐标为___________，点A13的坐标为___________，点A4n+1的坐标为___________．(2)直接写出点A1到点A2025的距离：___________．【答案】(1)2,−1；4,−1；6,−1；2n,−1(2)1012【分析】（1）根据题意可得点A5的坐标为2,−1；点A9的坐标为4,−1；点A13的坐标为6,−1；……由此发现规律，即可求解；（2）根据2025÷4=506⋯1，可得点A2025的坐标为1012,−1，即可求解．【详解】（1）解：根据题意得：点A5的坐标为2,−1；点A9的坐标为4,−1；点A13的坐标为6,−1；……由此发现，点A4n+1的坐标为2n,−1；故答案为：2,−1；4,−1；6,−1；2n,−1；（2）解：∵2025÷4=506⋯1，∴点A2025的坐标为506×2,−1，即1012,−1，∵点A1的坐标为0,−1，∴点A1到点A2025的距离1012．故答案为：1012【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系，点的坐标的规律题，明确题意，准确得到点A4n+1的坐标为2n,−1是解题的关键．【题型8 建立适当的直角坐标系解决实际问题】【例8】（2023春·山西晋中·八年级统考期中）我们出门旅游经常利用平面图确定位置，如图是某地火车站及周围场所的简单平面图，（图中每个小正方形的边长代表1千米）．(1)请以图中某一场所所在的位置为坐标原点，以小正方形的边长为单位长度，建立平面直角坐标系，并直接写出体育场A、超市B、市场C、文化宫D的坐标；(2)在（1）中所建的坐标平面内，相关部门计划兴建一所学校，请你选择某一格点为学校E的位置，请在图中标出学校E的位置并写出E的坐标，简要说明你的选址理由.【答案】(1)见解析，A的坐标为−4,3，B的坐标为0,4，C的坐标为4,3，D的坐标为2,−3(2)见解析【分析】（1）以火车站所在的位置为坐标原点，建立平面直角坐标系，即可表示出体育场A、超市B、市场C、文化宫D的坐标；（2）选址理由合理即可，根据点的坐标的意义描出点E并写出坐标．【详解】（1）解：平面直角坐标系如图所示，体育场A的坐标为−4,3、超市B的坐标为0,4、市场C的坐标为4,3、文化宫D的坐标为2,−3．（2）如图，点E即为所作学校位置．学校E坐标为−2,−3，选址理由合理即可（如：选址文化宫附近，便于组织安排一些文化活动）．【点睛】本题考查了坐标确定位置，主要是对平面直角坐标系的定义和点的坐标的写法的考查，是基础题．【变式8-1】（2023春·山西太原·八年级统考期中）直升机除了可以正常飞行，还可以悬停在空中进行作业，这也是直升机区别于一般固定翼飞机的一种特有飞行状态．如图，训练中的三架直升机按要求悬停在同一高度，若甲、乙的位置分别表示为1,0，−1,−2，则丙直升机的位置表示为______．【答案】−2,1【分析】根据甲、乙的坐标构建平面直角坐标系，即可得到丙的位置．【详解】如图所示：丙的位置为−2,1．故答案为：−2,1．【点睛】本题考查了坐标的知识点，解题的关键是根据坐标确定坐标系和点的位置．【变式8-2】（2023春·江西景德镇·八年级统考期中）景德镇市第十六中学为全面保障校庆五十周年的整体效果，在操场中标记了几个关键位置，如图是利用平面直角坐标系画出的关键位置分布图，若表示点A的坐标为(−1,−2)，点B的坐标为(1,1)，则表示其他位置的点的坐标正确的是（ ）A．C(−1,−2) B．D(−3,1) C．E(−7,−3) D．F(4,−1)【答案】C【分析】根据已知点的坐标确定平面直角坐标系，再根据平面直角坐标系，根据点的位置，写出各点的坐标即可．【详解】解：根据点A的坐标为（-1，-2），表示点B的坐标为（1，1）， 确定坐标原点如下：可得： C（-2，-1），D（-5，0），E（-7，-3），F（3，3）， 故选：C．【点睛】本题考查根据坐标确定位置，解题的关键就是确定坐标原点和x，y轴的位置及方向．【变式8-3】（2023春·河南平顶山·八年级统考期中）园林部门为了对市内某旅游景区内的古树名木进行系统养护，建立了相关的地理信息系统，其中重要的一项工作就是要确定这些古树的位置．已知该旅游区有树龄百年以上的古松树4棵S1,S2,S3,S4，古槐树6棵H1,H2,H3,H4,H5,H6．为了加强对这些古树的保护，园林部门根据该旅游景区地图，将4棵古松树的位置用坐标表示为S1（2，8），S2(4， 9)，S3(10， 5)，S4(11，10)．（1）根据S1的坐标为(2， 8)，请在图中补充画出平面直角坐标系；（2）在所建立的平面直角坐标系中，写出6棵古槐树的坐标；（3）已知H5在S1，的南偏东41°，且相距5．4米处，试用方位角和距离描述S1；相对于H5的位置？【答案】（1）见解析；（2）H1（3，5），H2（1，3），H3（7，5），H4（8，6），H5（8，1），H6（12，7）；（3）S1在H5的北偏西41°，且相距5.4米处．【分析】（1）以点S1向左2个单位，向下8个单位为坐标原点建立平面直角坐标系即可；（2）写出6棵古槐树的坐标即可；（3）根据方位角的概念，可得答案．【详解】解：（1）补充画出平面直角坐标系如图所示： ；（2）6棵古槐树的坐标分别为：H1（3，5），H2（1，3），H3（7，5），H4（8，6），H5（8，1），H6（12，7）；（3）∵H5在S1的南偏东41°，且相距5.4米处，∴S1在H5的北偏西41°，且相距5.4米处．【点睛】本题考查了坐标确定位置，信息量比较大，解题的关键是根据已知点的坐标确定出原点的位置．
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