2024-2025学年江苏省常州市金坛区白塔中学数学九上开学综合测试试题【含答案】

这是一份2024-2025学年江苏省常州市金坛区白塔中学数学九上开学综合测试试题【含答案】，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）等式成立的x的取值范围在数轴上可表示为（ ）
A．B．C．D．
2、（4分）下列各图中a、b、c为三角形的边长，则甲、乙、丙三个三角形和左侧△ABC全等的是（ ）
A．甲和乙B．乙和丙C．甲和丙D．只有丙
3、（4分）用反证法证明命题：“四边形中至少有一个角是钝角或直角”时，首先应该假设这个四边形中（ ）
A．有一个角是钝角或直角B．每一个角都是钝角
C．每一个角都是直角D．每一个角都是锐角
4、（4分）如图，在正方形中，点为上一点，与交于点，若，则
A．60°B．65°C．70°D．75°
5、（4分）下列变形正确的是（ ）
A．B．C．D．
6、（4分）如图，在正方形中，点是的中点，点是的中点，与相交于点，设.得到以下结论：
①；②；③则上述结论正确的是（ ）
A．①②B．①③
C．②③D．①②③
7、（4分）下列运算正确的是（ ）
A．-=B．=2C．-=D．=2-
8、（4分）若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是( )
A．x≥﹣2B．x＞﹣2C．x≥2D．x≤2
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）计算：______________
10、（4分）已知在等腰梯形中，，，对角线，垂足为，若，，梯形的高为______．
11、（4分）在平行四边形ABCD中，AD=13，BAD和ADC的角平分线分别交BC于E，F，且EF=6，则平行四边形的周长是____________________
12、（4分）如图所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第n个图形需要黑色棋子的个数是．
13、（4分）如图，含45°角的直角三角板DBC的直角顶点D在∠BAC的角平分线AD上，DF⊥AB于F，DG⊥AC于G，将△DBC沿BC翻转，D的对应点落在E点处，当∠BAC＝90°，AB＝4，AC＝3时，△ACE的面积等于_____．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）如图，平面直角坐标系中，已知点，若对于平面内一点C，当是以AB为腰的等腰三角形时，称点C时线段AB的“等长点”．
请判断点，点是否是线段AB的“等长点”，并说明理由；
若点是线段AB的“等长点”，且，求m和n的值．
15、（8分）如图1，在△ABC中，AB=BC=5，AC=6，△ECD是△ABC沿BC方向平移得到的，连接AE、BE，且AC和BE相交于点O.
(1)求证：四边形ABCE是菱形；
(2)如图2,P是线段BC上一动点(不与B．C重合)，连接PO并延长交线段AE于点Q，过Q作QR⊥BD交BD于R.
①四边形PQED的面积是否为定值?若是，请求出其值；若不是，请说明理由；
②以点P、Q、R为顶点的三角形与以点B．C．O为顶点的三角形是否可能相似?若可能，请求出线段BP的长；若不可能，请说明理由.
16、（8分）（1）计算：；
（2）当时，求代数式的值
17、（10分）如图，正方形网格中每个小正方形的边长都是1个单位长度，每个小正方形的顶点叫做格点，已知△ABC的三个顶点都是格点，请按要求画出三角形.
（1）将△ABC先上平移1个单位长度再向右平移2个单位长度，得到△A'B'C'；
（2）将△A'B'C'绕格点O顺时针旋转90°，得到△A''B''C''.
18、（10分）阅读理解：我们知道因式分解与整式乘法是互逆关系，那么逆用乘法公式，即，是否可以因式分解呢？当然可以，而且也很简单。如；.请你仿照上述方法分解因式：
（1） （2）
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）某校为了提升初中学生学习数学的兴趣，培养学生的创新精神，举办了“玩转数学”比赛．评委从研究报告、小组展示、答辩三个方面为每个参赛小组打分，按照研究报告占40%，小组展示占30%，答辩占30%计算各小组的成绩，各项成绩均按百分制记录．甲小组的研究报告得85分，小组展示得90分，答辩得80分，则甲小组的参赛成绩为_____．
20、（4分）如图，的对角线、交于点，则图中成中心对称的三角形共有______对．
21、（4分）如图，在中，，，，点为的中点，在边上取点，使．绕点旋转，得到（点、分别与点、对应），当时，则___________．
22、（4分）如图，四边形ABCd为边长是2的正方形，△BPC为等边三角形，连接PD、BD，则△BDP的面积是_____．
23、（4分）在学习了平行四边形的相关内容后，老师提出这样一个问题：“四边形ABCD是平行四边形，请添加一个条件，使得▱ABCD是矩形．”经过思考，小明说：“添加AC=BD．”小红说：“添加AC⊥BD．”你同意______的观点，理由是______．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）如下4个图中，不同的矩形ABCD，若把D点沿AE对折，使D点与BC上的F点重合；
（1）图①中，若DE︰EC=2︰1，求证：△ABF∽△AFE∽△FCE；并计算BF︰FC；
（2）图②中若DE︰EC=3︰1，计算BF︰FC= ；图③中若DE︰EC=4︰1，计算BF︰FC= ；
（3）图④中若DE︰EC=︰1，猜想BF︰FC= ；并证明你的结论
25、（10分）中央电视台的“朗读者”节目激发了同学们的读书热情，为了引导学生“多读书，读好书”，某校对八年级部分学生的课外阅读量进行了随机调查，整理调查结果发现，学生课外阅读的本书最少的有5本，最多的有8本，并根据调查结果绘制了不完整的图表，如图所示：
(1)统计表中的________，________，________；
(2)请将频数分布表直方图补充完整；
(3)求所有被调查学生课外阅读的平均本数；
(4)若该校八年级共有1200名学生，请你分析该校八年级学生课外阅读7本及以上的人数.
26、（12分）如图，在中，点是的中点，连接并延长，交的延长线于点F．
求证：．
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、B
【解析】
根据二次根式有意义的条件即可求出的范围．
【详解】
由题意可知： ,
解得：,
故选：．
考查二次根式的意义，解题的关键是熟练运用二次根式有意义的条件.
2、B
【解析】
分析：根据三角形全等的判定方法得出乙和丙与△ABC全等，甲与△ABC不全等．
详解：乙和△ABC全等；理由如下：
在△ABC和图乙的三角形中，满足三角形全等的判定方法：SAS，
所以乙和△ABC全等；
在△ABC和图丙的三角形中，满足三角形全等的判定方法：AAS，
所以丙和△ABC全等；
不能判定甲与△ABC全等；
故选B．
点睛：本题考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
3、D
【解析】
假设与结论相反，可假设“四边形中没有一个角是直角或钝角”.
【详解】
假设与结论相反；
可假设“四边形中没有一个角是直角或钝角”；
与之同义的有“四边形中每一个角都是锐角”；
故选:D
本题考查了反证法，解题的关键在于假设与结论相反.
4、C
【解析】
先证明△ABE≌△ADE，得到∠ADE＝∠ABE＝90°﹣25°＝65°，在△ADE中利用三角形内角和180°可求∠AED度数．
【详解】
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝90°，BA＝DA，∠BAE＝∠DAE＝45°．
又AE＝AE，
∴△ABE≌△ADE（SAS）．
∴∠ADE＝∠ABE＝90°﹣25°＝65°．
∴∠AED＝180°﹣45°﹣65°＝70°．
故选：C．
本题主要考查了正方形的性质，解决正方形中角的问题一般会涉及对角线平分对角成45°．
5、C
【解析】
依据分式的基本性质进行判断，即可得到结论．
【详解】
解：A. ，故本选项错误；
B. ，故本选项错误；
C. ，故本选项正确；
D. ，故本选项错误；
故选：C．
本题考查分式的基本性质，分式的分子、分母及分式本身的三个符号，改变其中的任何两个，分式的值不变，注意分子、分母是多项式时，分子、分母应为一个整体，改变符号是指改变分子、分母中各项的符号．
6、D
【解析】
由正方形的性质和全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质进行推理即可得出结论．
【详解】
解：如图，
（1）
所以①成立
(2)如图延长交延长线于点，
则：
∴为直角三角形斜边上的中线，是斜边的一半，即
所以②成立
(3) ∵
∴
∵
∴
所以③成立
故选：D
本题考查的正方形的性质，直角三角形的性质以及全等三角形的判定和性质，解答此题的关键是熟练掌握性质和定理．
7、A
【解析】
A. -= ，正确；B. =，故B选项错误；C. 与不是同类二次根式，不能合并，故C选项错误；D. =-2，故D选项错误，
故选A.
【点睛】本题考查了二次根式的加减运算以及二次根式的化简，熟练掌握运算法则和性质是解题的关键.
8、C
【解析】
根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，就可以求解．
【详解】
解：根据题意得：x﹣1≥0，
解得：x≥1．
故选：C．
本题考查了二次根式有意义的条件，知识点为：二次根式的被开方数是非负数．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、3
【解析】
根据负整数指数幂，零指数幂进行计算即可解答
【详解】
原式=2×2-1=3
故答案为：3
此题考查负整数指数幂，零指数幂，掌握运算法则是解题关键
10、
【解析】
过作交的延长线于，构造．首先求出是等腰直角三角形，从而推出与的关系．
【详解】
解：如图：过作交的延长线于，过作于．
，，
四边形是平行四边形，
，，
等腰梯形中，，
，
，，
，
是等腰直角三角形，
，
又，
，
即梯形的高为．
故答案为：．
本题考查了等腰梯形性质，作对角线的平行线将上下底和对角线移到同一个三角形中是解题的关键，也是梯形辅助线常见作法．
11、41或33.
【解析】
需要分两种情况进行讨论.由于平行四边形的两组对边互相平行，又AE平分∠BAD，由此可以推出所以∠BAE=∠DAE，则BE=AB；同理可得，CF=CD=1．而AB+CD=BE+CF=BC+FE=13+6=19，或 AB+CD=BE+CF=BC-FE=13-6=7由此可以求周长．
【详解】
解：分两种情况，（1）如图，当AE、DF相交时：
∵AE平分∠BAD，
∴∠1=∠2
∵平行四边形ABCD中，AD∥BC,BC=AD=13，EF=6
∴∠1=∠3
∴∠2=∠3
∴AB=BE
同理CD=CF
∴AB+CD=BE+CF=BC+FE=13+6=19
∴平行四边形ABCD的周长= AB+CD+ BC+AD=19+13×2=41；
（二）当AE、DF不相交时：
由角平分线和平行线，同（1）方法可得AB=BE，CD=CF
∴AB+CD=BE+CF=BC-FE=13-6=7
∴平行四边形ABCD的周长= AB+CD+ BC+AD=7+13×2=33；
故答案为：41或33.
本题考查角平分线的定义、平行四边形的性质、平行线的性质等知识，解题关键“角平分线+一组平行线=等腰三角形”．
12、n2+2n
【解析】
试题分析：第1个图形是2×3﹣3，第2个图形是3×4﹣4，第3个图形是4×5﹣5，按照这样的规律摆下去，则第n个图形需要黑色棋子的个数是（n+1）（n+2）﹣（n+2）=n2+2n．
解：第n个图形需要黑色棋子的个数是n2+2n．
故答案为：n2+2n．
13、
【解析】
根据勾股定理得到BC=5,由折叠的性质得到△BCE是等腰直角三角形,过E作EH⊥AC交CA的延长线于H,根据勾股定理得到EH=,于是得到结论
【详解】
∵在△ABC中,∠BAC=90°,AB=4,AC=3,
∴BC=5,
∵△BCE是△DBC沿BC翻转得到得
∴△BCE是等腰直角三角形,
∴∠BEC=90°,∠BCE=45°,CE= ，BC=
过E作EH⊥AC交CA的延长线于H,
易证△CEH≌△DCG,△DBF≌△DCG
∴EH=CG, BF=CG,
∵四边形AFDG和四边形BECD是正方形
∴AF=AG,
设BF=CG=x,则AF=4-x,AG=3+x
∴4-x=3+x,
∴x=
∴EH=CG=
∴△ACE的面积=××3= ,
故答案为:
此题考查折叠问题和勾股定理，等腰直角三角形的性质，解题关键在于做辅助线
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、是线段AB的“等长点”，不是线段AB的“等长点”，理由见解析；，或，．
【解析】
先求出AB的长与B点坐标，再根据线段AB的“等长点”的定义判断即可；
分两种情况讨论，利用对称性和垂直的性质即可求出m，n．
【详解】
点，，
，，，
．
点，
，
，
是线段AB的“等长点”，
点，
，，
，，
不是线段AB的“等长点”；
如图，
在中，，，
，
．
分两种情况：
当点D在y轴左侧时，
，
，
点是线段AB的“等长点”，
，
，
，；
当点D在y轴右侧时，
，
，
，
点是线段AB的“等长点”，
，
．
综上所述，，或，．
本题考查了新定义，锐角三角函数，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，坐标与图形性质解的关键是理解新定义，解的关键是画出图形，是一道中等难度的中考常考题．
15、（1）见解析；（2）①24，②；
【解析】
（1）利用平移的性质以及菱形的判定得出即可；
（2）①首先过E作EF⊥BD交BD于F，则∠EFB=90°，证出△QOE≌△POB，利用QE=BP，得出四边形PQED的面积为定值；
②当∠QPR=∠BCO时，△PQR∽△CBO，此时有OP=OC=3，过O作OG⊥BC交BC于G，得出△OGC∽△BOC，利用相似三角形的性质得出CG的长，进而得出BP的长．
【详解】
(1)证明：∵△ABC沿BC方向平移得到△ECD，
∴EC=AB，AE=BC，
∵AB=BC，
∴EC=AB=BC=AE，
∴四边形ABCE是菱形；
(2)①四边形PQED的面积是定值，理由如下：
过E作EF⊥BD交BD于F,则∠EFB=90°，
∵四边形ABCE是菱形，
∴AE∥BC，OB=OE，OA=OC，OC⊥OB，
∵AC=6，
∴OC=3，
∵BC=5，
∴OB=4,sin∠OBC= ，
∴BE=8，
∴EF=BE⋅sin∠OBC=8×，
∵AE∥BC，
∴∠AEO=∠CBO，四边形PQED是梯形，
在△QOE和△POB中
，
∴△QOE≌△POB，
∴QE=BP，
∴S = (QE+PD)×EF= (BP+DP)×EF=×BD×EF=×2BC×EF=BC×EF=5× =24；
②△PQR与△CBO可能相似，
∵∠PRQ=∠COB=90°，∠QPR>∠CBO，
∴当∠QPR=∠BCO时,△PQR∽△CBO，此时有OP=OC=3.
过O作OG⊥BC交BC于G.
∵∠OCB=∠OCB，∠OGC=∠BOC，
∴△OGC∽△BOC，
∴CG:CO=CO:BC，
即CG:3=3:5，
∴CG= ，
∴BP=BC−PC=BC−2CG=5−2×= .
此题考查相似形综合题,涉及了相似三角形的判定与性质，解直角三角形，菱形的性质，平移的性质等，综合性较强，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.
16、（1）；（2）
【解析】
（1）根据题意先化简二次根式，再计算乘法，最后合并同类二次根式即可得；
（2）由题意分别将x、y的值代入原式=（x+y）（x-y）+xy计算即可求出答案．
【详解】
解：
当时，
可得.
本题主要考查二次根式的化简求值，解题的关键是熟练掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则．
17、（1）见解析；（2）见解析.
【解析】
（1）先找出平移后的点A′、B′、C′，再顺次连接即可；
（2）根据网格的特点和旋转的性质，找出A′′、B′′、C′′，再顺次连接即可；
【详解】
（1）如图，即为所求；
（2）如图，即为所求；
本题考查了平移的性质，旋转的性质，根据性质找出对应点是解答本题的关键.
18、①；②
【解析】
（1）逆用乘法公式（x+a） （x+b）=x2+（a+b）x+ab即可．
（2）逆用乘法公式（x+a） （x+b）=x2+（a+b）x+ab即可．
【详解】
（1）x2-7x-18=（x+2）（x-9）；
（2）x2+12xy-13y2=（x+13y）（x-y）．
本题考查因式分解的应用，解题的关键是学会逆用乘法公式（x+a） （x+b）=x2+（a+b）x+ab，进行因式分解，属于中考常考题型．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、85分
【解析】
根据加权平均数的定义计算可得．
【详解】
根据题意知，甲小组的参赛成绩为85×40%+90×30%+80×30%=85（分），
故答案为：85分．
本题考查的是加权平均数的求法，根据某方面的需要选拔时往往利用加权平均数更合适．
20、4
【解析】
▱ABCD是中心对称图形，根据中心对称图形的性质，对称点的连线到对称中心的距离相等，即对称中心是对称点连线的中点，并且中心对称图形被经过对称中心的直线平分成两个全等的图形，据此即可判断．
【详解】
解：图中成中心对称的三角形有△AOD和△COB，△ABO与△CDO，△ACD与△CAB，△ABD和△CDB共4对．
本题主要考查了平行四边形是中心对称图形，以及中心对称图形的性质．掌握中心对称图形的特点是解题的关键．
21、2或4
【解析】
根据题意分两种情况，分别画出图形，证明△是等边三角形，根据直角三角形的性质求出OD，即可得到答案.
【详解】
若绕点D顺时针旋转△AED得到△，连接,
∵，，
∴∠A=30°，
∵,
∴AB=4，
∵点D是AB的中点，
∴AD=2，
∵,
∴AD==2，∠=60°，
∴△是等边三角形，
∴=，∠D=60°，且∠EAD=30°，
∴AE平分∠D，
∴AE是的垂直平分线，
∴OD=AD=，
∵AE=DE，
∴∠EAD=∠EDA=30°，
∴DE，
∴2；
若绕点D顺时针旋转△AED得到△，
同理可求=4，
故答案为：2或4.
此题考查旋转的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边一半的性质，等边三角形的判定及性质，三角函数.
22、1-1
【解析】
如图，
过P作PE⊥CD，PF⊥BC，
∵正方形ABCD的边长是1，△BPC为正三角形，
∴∠PBC=∠PCB=60°，PB=PC=BC=CD=1，
∴∠PCE=30°
∴PF=PB•sin60°=1×=，PE=PC•sin30°=2，
S△BPD=S四边形PBCD﹣S△BCD=S△PBC+S△PDC﹣S△BCD=×1×+×2×1﹣×1×1=1+1﹣8=1﹣1．
故答案为1﹣1．
点睛：本题考查正方形的性质以及等积变换，解答此题的关键是作出辅助线，利用锐角三角函数的定义求出PE及PF的长，再根据三角形的面积公式得出结论.
23、小明 对角线相等的平行四边形是矩形．
【解析】
根据矩形的判定定理可知谁的说法是正确的，本题得以解决．
【详解】
解：根据是对角线相等的平行四边形是矩形，故小明的说法是正确的，
根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故小红的说法是错误的，
故答案为小明、对角线相等的平行四边形是矩形．
本题考查矩形的判定，解题的关键是明确矩形的判定定理的内容．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（1）根据折叠的性质及矩形的性质可证得△ABF∽△AFE∽△FCE，再根据相似三角形的性质求解即可，1:1；（2）1:2，1:3；（3）1︰（n-1）
【解析】
试题分析：根据折叠的性质及矩形的性质可证得△ABF∽△AFE∽△FCE，再根据相似三角形的性质求解即可.
解：（1）∵∠BAF+∠AFB=90°，∠CFE+∠AFB=90°
∴∠BAF=∠CFE
∵∠B=∠C=90°
∴△ABF∽△FCE
∴BF︰CE=AB︰FC=AF︰FE
∴AB︰AF=BF︰FE
∵∠B=∠AFE=90°
∴△ABF∽△AFE
∴△ABF∽△AFE∽△FCE
∵DE︰EC=2︰1
∴FE︰EC=2︰1
∴BF︰FC=1︰1
（2）若DE︰EC=3︰1，则BF︰FC=1︰2；若DE︰EC=4︰1，计算BF︰FC=1︰3；
（3）∵DE︰EC=︰1
∴FE︰EC=︰1
∴BF︰FC=1︰（n-1）.
考点：相似三角形的综合题
点评：相似三角形的综合题是初中数学的重点和难点，在中考中极为常见，一般以压轴题形式出现，难度较大.
25、（1）10，0.28，50（2）图形见解析（3）6.4（4）528
【解析】
分析：（1）首先求出总人数，再根据频率，总数，频数的关系即可解决问题；
（2）根据a的值画出条形图即可；
（3）根据平均数的定义计算即可；
（4）用样本估计总体的思想解决问题即可；
详解：（1）由题意c==50，
a=50×0.2=10，b==0.28，c=50；
故答案为10，0.28，50；
（2）将频数分布表直方图补充完整，如图所示：
（3）所有被调查学生课外阅读的平均本数为：
（5×10+6×18+7×14+8×8）÷50=320÷50=6.4（本）．
（4）该校七年级学生课外阅读7本及以上的人数为：
（0.28+0.16）×1200=528（人）．
点睛：本题考查频数分布直方图、扇形统计图、样本估计总体等知识，解题的关键是熟练掌握基本概念，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
26、，证明略．
【解析】
证明：四边形是平行四边形，
．
．
又，
．
．
．
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
批阅人
本数(本)
频数(人数)
频率
5
0.2
6
18
0.36
7
14
8
8
0.16
合计
1