2024-2025学年湖北省武汉青山区九年级数学第一学期开学教学质量检测试题【含答案】

这是一份2024-2025学年湖北省武汉青山区九年级数学第一学期开学教学质量检测试题【含答案】，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）如图顺次连接等腰梯形四边中点得到一个四边形，再顺次连接所得四边形四边的中点得到的图形是（ ）
A．等腰梯形B．直角梯形C．菱形D．矩形
2、（4分）如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC，BD 交于点 O，AO＝3，∠ABC＝60°，则菱形 ABCD 的面积是（ ）
A．18B．18C．36D．36
3、（4分）如图，直线与相交于点P，点P的横坐标为-1，则关于x的不等式的解集在数轴上表示为（ ）
A．B．
C．D．
4、（4分）下列说法正确的是（ ）
A．是二项方程B．是二元二次方程
C．是分式方程D．是无理方程
5、（4分）如图，已知一次函数y=ax+b的图象为直线，则关于x的方程ax+b=1的解x的值为（ ）
A．1B．4C．2D．-0.5
6、（4分）已知点，、，是直线上的两点，下列判断中正确的是（ ）
A．B．C．当时，D．当时，
7、（4分）使有意义的的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8、（4分）下列方程中有实数根的是（ ）
A．；B．=；C．；D．=1+．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）小聪让你写一个含有字母的二次根式.具体要求是：不论取何实数，该二次根式都有意义，且二次根式的值为正.你所写的符合要求的一个二次根式是______.
10、（4分）2x-3>- 5的解集是_________.
11、（4分）将代入反比例函数中，所得函数值记为，又将代入函数中，所得函数值记为，再将代入函数中，所得函数值记为，如此继续下去，则________.
12、（4分）商家花费760元购进某种水果80千克，销售中有5%的水果正常损耗，为了避免亏本，售价至少应定为_______元/千克．
13、（4分）如图，在平行四边形ABCD中，P是CD边上一点，且AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA，若AD=5，AP=8，则△APB的周长是 ．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）如图，点E是正方形ABCD的BC延长线上一点，连接ED，过点B作交ED的延长线于点F，连接CF．
（1）若，，求BF的长；（2）求证：.
15、（8分）已知在中，是的中点，，垂足为，交于点，且．
（1）求的度数；
（2）若,，求的长．
16、（8分）如图，某港口P位于东西方向的海岸线上.“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号以每小时16海里的速度向北偏东40°方向航行，“海天”号以每小时12海里的速度向北偏西一定的角度的航向行驶，它们离港口一个半小时后分别位于Q、R处，且相距30海里（即RQ=30）.解答下列问题:
（1）求PR、PQ的值；
（2）求“海天”号航行的方向.(即求北偏西多少度？)
17、（10分）由边长为1的小正方形组成的格点中,建立如图平面直角坐标系,△ABC的三个顶点坐标分别为A(−2,1),B(−4,5),C(−5,2).
(1)请画出△ABC关于y轴对称的△ABC；
(2)画出△ABC关于原点O成中心对称的△ABC；
(3)请你判断△AAA与△CCC的相似比;若不相似,请直接写出△AAA的面积.
18、（10分）关于x、y的方程组的解满足x﹣2y≥1，求满足条件的k的最大整数值．
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）已知直线与直线平行且经过点，则__．
20、（4分）如图所示，一次函数y=ax+b的图象与x轴相交于点（2，0），与y轴相交于点（0，4），结合图象可知，关于x的方程ax+b=0的解是_____．
21、（4分）如图，四边形ABCD是平行四边形，O是对角线AC与BD的交点，AB⊥AC，若AB=8，AC=12，则BD的长是．
22、（4分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x－1与矩形OABC的边BC、OC分别交于点E、F，已知OA＝3，OC＝4，则的面积是_________．
23、（4分）如图，在中，，，，点在上，以为对角线的所有中，的最小值是____．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）如图，线段与相交于点，，，，，且，求线段的长.
25、（10分）如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形ABCO是菱形，点A的坐标为（﹣3，4），点C在x轴的正半轴上，直线AC交y轴于点M，AB边交于y轴于点H．
（1）连接BM，动点P从点A出发，沿折线ABC方向以1个单位/秒的速度向终点C匀速运动，设△PMB的面积为S（S≠0），点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式（要求写出自变量t的取值范围）；
（2）在（1）的情况下，当点P在线段AB上运动时，是否存在以BM为腰的等腰三角形BMP？如存在，求出t的值；如不存在，请说明理由．
26、（12分）（1）分解因式：a3－2a2b＋ab2；
（2）解方程：x2＋12x＋27＝0
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、D
【解析】
首先作出图形，根据三角形的中位线定理，可以得到，，，再根据等腰梯形的对角线相等，即可证得四边形EFGH的四边相等，即可证得是菱形，然后根据三角形中位线定理即可证得四边形OPMN的一组对边平行且相等，则是平行四边形，在根据菱形的对角线互相垂直，即可证得平行四边形的一组临边互相垂直，即可证得四边形OPMN是矩形．
【详解】
解：连接AC，BD．
∵E，F是AB，AD的中点，即EF是的中位线．
，
同理：，，．
又等腰梯形ABCD中，．
．
四边形EFGH是菱形．
是的中位线，
∴EF EG，，
同理，NMEG，
∴EFNM，
四边形OPMN是平行四边形．
，，
又菱形EFGH中，，
平行四边形OPMN是矩形．
故选：D．
本题考查了等腰梯形的性质，菱形的判定，矩形的判定，以及三角形的中位线定理，关键的应用三角形的中位线定理得到四边形EFGH和四边形OPMN的边的关系．
2、B
【解析】
由菱形的性质可求AC，BD的长，由菱形的面积公式可求解．
【详解】
∵四边形ABCD是菱形
∴AO=CO=3，BO=DO=3，AC⊥BD
∴AC=6，BD=6
∴菱形ABCD的面积=
故选B．
本题考查了菱形的性质，熟练运用菱形面积公式是本题的关键．
3、A
【解析】
观察函数图象得到当x＞-1时，函数y=x+b的图象都在y=kx-1的图象上方，所以不等式x+b＞kx-1的解集为x＞-1，然后根据用数轴表示不等式解集的方法对各选项进行判断．
【详解】
当x＞-1时，x+b＞kx-1，
即不等式x+b＞kx-1的解集为x＞-1．
故选A．
本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=ax+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．也考查了在数轴上表示不等式的解集．
4、A
【解析】
根据整式方程、分式方程和无理方程的概念逐一判断即可得．
【详解】
A．方程是一般式，且方程的左边只有2项，此方程是二项方程，此选项正确；
B．x2y−y＝2是二元三次方程，此选项错误；
C．是一元一次方程，属于整式方程，此选项错误；
D．是一元二次方程，属于整式方程；
故选A．
本题主要考查无理方程，解题的关键是掌握整式方程、分式方程和无理方程的定义．
5、B
【解析】
根据一次函数图象可得一次函数y=ax+b的图象经过(4，1)点，进而得到方程的解．
【详解】
根据图象可得，一次函数y=ax+b的图象经过(4，1)点，
因此关于x的方程ax+b=1的解x=4，
故选B．
本题考查了一次函数与方程，关键是正确利用数形结合的方法从图象中找到正确答案．
6、D
【解析】
根据一次函数图象的增减性，结合一次函数图象上点的横坐标的大小关系，即可得到答案．
【详解】
解：一次函数上的点随的增大而减小，
又点，、，是直线上的两点，
若，则，
故选：．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，正确掌握一次函数图象的增减性是解题的关键．
7、B
【解析】
根据二次根式有意义的条件得到关于x的不等式，解不等式即得答案.
【详解】
解：要使有意义，则，解得.
故选B.
本题考查了二次根式有意义的条件，明确二次根式中被开方数非负是求解的关键.
8、B
【解析】
【分析】根据算术平方根意义或非负数性质以及分式方程的意义，可以判断方程的根的情况.
【详解】A. ,算术平方根不能是负数，故无实数根；
B. =，两边平方可化为二元一次方程，有实数根，故可以选；
C.方程化为 ，平方和不能是负数，故不能选；
D.由 =1+得x=1,使分母为0，故方程无实数根．
故选：B
【点睛】本题考核知识点：方程的根.解题关键点：根据方程的特殊形式判断方程的根的情况.
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、
【解析】
根据二次根式的定义即可求解.
【详解】
依题意写出一个二次根式为.
此题主要考查二次根式的定义，解题的关键是熟知二次根式的特点.
10、x>-1．
【解析】
先移项，再合并同类项，化系数为1即可．
【详解】
移项得，2x>-5+3，
合并同类项得，2x>-2，
化系数为1得，x>-1．
故答案为：x>-1．
本题考查的是解一元一次不等式，熟知解一元一次不等式的基本步骤是解答此题的关键．
11、2
【解析】
可依次求出y的值，寻找y值的变化规律，根据规律确定的值.
【详解】
解：将代入反比例函数中得；
将代入函数得；
将代入函数得；
将代入函数得
由以上计算可知：y的值每三次重复一下
故y的值在重复670次后又计算了2次，所以
故答案为：2
本题属于反比例函数的求值规律题，找准函数值的变化规律是解题的关键.
12、1．
【解析】
解：设售价至少应定为x元/千克，
依题可得方程x（1-5%）×80≥760，
解得x≥1
故答案为1．
本题考查一元一次不等式的应用．
13、24.
【解析】
试题分析： ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥CB，AB∥CD，∴∠DAB+∠CBA=180°，又∵AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA，∴∠PAB=∠DAB，∠PBA=∠ABC，∴∠PAB+∠PBA=（∠DAB+∠CBA）=90°，∴∠APB=180°﹣（∠PAB+∠PBA）=90°；∵AB∥CD，∴∠PAB=∠DPA，∴∠DAP=∠DPA，∴AD=DP=5，同理：PC=CB=5，
即AB=DC=DP+PC=10，在Rt△APB中，AB=10，AP=8，∴BP==6，∴△APB的周长=6+8+10=24.
考点：1平行四边形；2角平分线性质；3勾股定理；4等腰三角形.
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（1）；（2）见解析.
【解析】
（1）由直角三角形的性质可求CD=4=BC，再由直角三角形的性质可求BF的长；
（2）过点C作CG⊥CF，交DE于点G，通过证明△FBC≌△GDC，可得FC=CG，BF=DG，即可得结论．
【详解】
解：（1）正方形ABCD中：，，
∵
∵
∴
∴
∴
∴
∴
∴
（2）证明：过点C作交DE于G
∴ ∴
又∵ ∴
在四边形BCDF中
∵
∴
∵
∴
∴，
∴在中.
∴
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
15、（1）90°（1）1.4
【解析】
（1）连接CE，根据线段垂直平分线的性质转化线段BE到△AEC中，利用勾股定理的逆定理可求∠A度数；
（1）设AE＝x，则AC可用x表示，在Rt△ABC中利用勾股定理得到关于x的方程求解AE值．
【详解】
（1）连接CE，∵D是BC的中点，DE⊥BC，
∴CE＝BE．
∵BE1−AE1＝AC1，
∴AE1＋AC1＝CE1．
∴△AEC是直角三角形，∠A＝90°；
（1）在Rt△BDE中，BE＝＝2．
所以CE＝BE＝2．
设AE＝x，则在Rt△AEC中，AC1＝CE1−AE1，
所以AC1＝12−x1．
∵BD＝4，
∴BC＝1BD＝3．
在Rt△ABC中，根据BC1＝AB1＋AC1，
即64＝（2＋x）1＋12−x1，
解得x＝1.4．
即AE＝1.4．
本题主要考查了勾股定理及其逆定理，解题的关键是利用勾股定理求解线段长度，选择直角三角形借助勾股定理构造方程是解这类问题通用方法．
16、（1）18海里、24海里；（2）北偏西
【解析】
（1）根据路程=速度×时间分别求得PQ、PR的长；
（2）再进一步根据勾股定理的逆定理可以证明三角形PQR是直角三角形，从而求解．
【详解】
（1）PR的长度为:12×1.5=18海里，
PQ的长度为:16×1.5=24海里；
（2）∵
∴，
∵“远航”号向北偏东方向航行，即，
∴，即 “海天”号向北偏西方向航行．
本题主要考查勾股定理的应用和方位角的相关计算，解题的重点是能够根据勾股定理的逆定理发现直角三角形，关键是从实际问题中抽象出直角三角形.
17、（1）见解析；（2）见解析；（3）4.
【解析】
（1）利用关于y轴对称点的性质得出对应点位置求出即可；
（2）利用关于原点对称点的性质得出对应点坐标进而求出即可；
（3）利用相似三角形的判定方法得出即可，再利用三角形面积求法得出答案．
【详解】
(1)如图所示：△ABC，即为所求；
(2)如图所示：△ABC，即为所求；
(3)∵ ，
∴△AAA与△CCC不相似，
S = ×2×4=4.
此题考查作图-旋转变换，作图-轴对称变换，相似三角形的判定，解题关键在于掌握作图法则.
18、满足条件的k的最大整数值为1．
【解析】
将两方程相减得出x,y的值，再把x,y的值代入x﹣1y≥1，即可解答
【详解】
解关于x，y的方程组 ，得 ，
把它代入x﹣1y≥1得，3﹣k﹣1（3k﹣6）≥1，
解得k≤1，
所以满足条件的k的最大整数值为1．
此题考查二元一次方程组的解和解一元一次不等式，解题关键在于求出x,y的值再代入
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、2
【解析】
由一次函数y=kx+b的图象与正比例函数y=2x的图象平行得到k=2，然后把点A（1，2）代入一次函数解析式可求出b的值．
【详解】
直线与直线平行，
，
，
把点代入得，解得；
，
故答案为：2
本题主要考查了两条直线相交或平行问题，待定系数法，解答此类题关键是掌握若直线y=k1x+b1与直线y=k2x+b2平行，则k1=k2；若直线y=k1x+b1与直线y=k2x+b2相交，则由两解析式所组成的方程组的解为交点坐标．
20、x=1
【解析】
【分析】一次函数y=ax+b的图象与x轴交点横坐标的值即为方程ax+b=0的解．
【详解】∵一次函数y=ax+b的图象与x轴相交于点（1，0），
∴关于x的方程ax+b=0的解是x=1，
故答案为：x=1．
【点睛】本题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系．任何一元一次方程都可以转化为ax+b=0 （a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值．从图象上看，相当于已知直线y=ax+b确定它与x轴的交点的横坐标的值．
21、1
【解析】
试题分析：由四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的对角线互相平分，可得OA的长，然后由AB⊥AC，AB=8，AC=12，根据勾股定理可求得OB的长，继而求得答案．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，AC=12，
∴OA=AC=6，BD=2OB，
∵AB⊥AC，AB=8，
∴OB===10，
∴BD=2OB=1．
故答案为：1．
22、
【解析】
先根据直线的解析式求出点F的坐标，从而可得OF、CF的长，再根据矩形的性质、OC的长可得点E的横坐标，代入直线的解析式可得点E的纵坐标，从而可得CE的长，然后根据直角三角形的面积公式即可得．
【详解】
对于一次函数
当时，，解得
即点F的坐标为
四边形OABC是矩形
点E的横坐标为4
当时，，即点E的坐标为
则的面积是
故答案为：．
本题考查了一次函数的几何应用、矩形的性质等知识点，利用一次函数的解析式求出点E的坐标是解题关键．
23、6
【解析】
由平行四边形的对角线互相平分、垂线段最短知，当OD⊥BC时，DE线段取最小值．
【详解】
∵四边形ADCE是平行四边形，
∴OD=OE，OA=OC．
∴当OD取最小值时，DE线段最短，此时OD⊥BC．
∴OD是△ABC的中位线，
∴，，
∴，
∵在Rt△ABC中，∠B=90°，
，，
∴，
∴.
故答案为：6.
本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线的性质以及垂线段最短的知识．正确理解DE最小的条件是关键．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、
【解析】
结合BD=CD，AD=ED，以及对顶角∠BDE=∠ADC，可证得△ADC和△EDB全等，再利用全等三角形的性质，易得∠E=∠DAC=90°；
根据∠1=30°，∠E=90°，利用直角三角形30°所对的边的性质，易得BE和AB的关系；结合AB=4cm，即可得到BE的长.
【详解】
在和中，，,
，
在中，
，，
本题主要考查了全等三角形的判定及性质和直角三角形的性质．三角形全等的判定定理有:边边边(SSS)、边角边(SAS)、角边角(ASA)、角角边(AAS)．全等三角形的性质:全等三角形的对应边相等,对应角相等;全等三角形的对应线段(角平分线、中线、高)、周长、面积相等，以及直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半．掌握全等三角形的判定和性质及直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键.
25、（1）详见解析；（2）当t=1或时，△PMB为以BM为腰的等腰三角形．
【解析】
（1）设点M到BC的距离为h，由△ABC的面积易得h，利用分类讨论的思想，三角形的面积公式①当P在直线AB上运动；②当P运动到直线BC上时分别得△PBM的面积；
（2）分类讨论：①当MB=MP时，PH=BH，解得t；②当BM=BP时，利用勾股定理可得BM的长，易得t．
【详解】
解：
（1）设点M到BC的距离为h，
由S△ABC=S△ABM+S△BCM，
即 ，
∴h=，
①当P在直线AB上运动时△PBM的面积为S与P的运动时间为t秒关系为：
S=（5﹣t）×，即S=﹣ （0≤t＜5）；
②当P运动到直线BC上时△PMB的面积为S与P的运动时间为t秒关系为：
S= [5﹣（10﹣t）]×，即S=t-（5＜t≤10）；
（2）存在①当MB=MP时，
∵点A的坐标为（﹣3，4），AB=5，MB=MP，MH⊥AB，
∴PH=BH，即3﹣t=2，
∴t=1；
②当BM=BP时，即5﹣t= ，
∴
综上所述，当t=1或时，△PMB为以BM为腰的等腰三角形．
此题考查四边形综合题，解题关键在于利用三角形面积公式进行计算
26、a(a-b)2，x=-3或x=-9.
【解析】
（1）先提取公因式，在运用公式法因式分解即可。
（2）运用因式分解法，即可解方程。
【详解】
解：（1）a3－2a2b＋ab2
= a(a2－2ab＋b2)
=a(a-b)2
(2) x2＋12x＋27＝0
(x+3)(x+9)=27
即：x+3=0或x+9=0
解得：x=-3或x=-9
本题考查了因式分解及其应用，特别是用因式分解解一元二次方程是常用的方法。
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
批阅人