2024-2025学年湖北省黄冈中学九年级数学第一学期开学质量检测试题【含答案】

这是一份2024-2025学年湖北省黄冈中学九年级数学第一学期开学质量检测试题【含答案】，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）若一个直角三角形的两直角边长分别为3和4，则下列说法不正确的是（ ）
A．这个直角三角形的斜边长为5
B．这个直角三角形的周长为12
C．这个直角三角形的斜边上的高为
D．这个直角三角形的面积为12
2、（4分）如图，正方形ABCD中，AE垂直于BE，且AE＝3，BE＝4，则阴影部分的面积是（ ）
A．16B．18C．19D．21
3、（4分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，AB=8，将△ABC沿CB方向向右平移得到△DEF.若四边形ABED的面积为8，则平移距离为 （ ）
A．2B．4C．8D．16
4、（4分）如图，函数和的图像交于点，则根据图像可得不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
5、（4分）如图，矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O，过点O作BD的垂线分别交AD，BC于E，F两点．若AC＝2，∠DAO＝30°，则FC的长度为( )
A．1B．2
C．D．
6、（4分）若关于的不等式组有三个整数解，且关于的分式方程有整数解，则满足条件的所有整数的和是（ ）
A．B．C．D．
7、（4分）如图，矩形内三个相邻的正方形面积分别为4,3和2，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．2B．
C．D．
8、（4分）函数中自变量x的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）如图，把一张矩形的纸沿对角线BD折叠，若AD=8，AB=6，则BE=__．
10、（4分）为了估计湖里有多少鱼，我们从湖里捕上150条鱼作上标记，然后放回湖里去，经过一段时间再捕上300条鱼，其中带标记的鱼有30条，则估计湖里约有鱼_______条．
11、（4分）几个同学包租一辆面包车去旅游，面包车的租价为180元，后来又增加了两名同学，租车价不变，结果每个同学比原来少分摊了3元车费．若设原参加旅游的同学有x人，则根据题意可列方程___________________________ .
12、（4分）定义运算“★”：对于任意实数 ，都有 ，如：．若，则实数 的值是_____．
13、（4分）在一个不透明的布袋中装有8个白球和4个红球，它们除了颜色不同外，其余均相同.从中随机摸出一个球，投到红球的概率是__________.
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）小明家饮水机中原有水的温度为20℃，通电开机后，饮水机自动开始加热（此过程中水温y（℃）与开机时间x（分）满足一次函数关系），当加热到100℃时自动停止加热，随后水温开始下降（此过程中水温y（℃）与开机时间x（分）成反比例关系），当水温降至20℃时，饮水机又自动开始加热，重复上述程序（如图所示），根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）当0≤x≤10时，求水温y（℃）与开机时间x（分）的函数关系式；
（2）求图中t的值；
（3）若小明在通电开机后即外出散步，请你预测小明散步57分钟回到家时，饮水机内的温度约为多少℃？
15、（8分）直线与轴、轴分别交于两点，以为边向外作正方形，对角线交于点，则过两点的直线的解析式是__________．
16、（8分）在“母亲节”前夕，店主用不多于900元的资金购进康乃馨和玫瑰两种鲜花共500枝，康乃馨进价为2元/枝，玫瑰进价为1.5元/枝，问至少购进玫瑰多少枝？
17、（10分）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点坐标为，点在边上从点运动到点，以为边作正方形，连，在点运动过程中，请探究以下问题：
（1）的面积是否改变，如果不变，求出该定值;如果改变，请说明理由;
（2）若为等腰三角形，求此时正方形的边长.
18、（10分）解不等式组：，并把解集表示在数轴上；
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）为了解我市中学生的视力情况，从我市不同地域，不同年级中抽取1000名中学生进行视力测试，在这个问题中的样本是_____．
20、（4分）如图，正方形ABCD的边长是18，点E是AB边上的一个动点，点F是CD边上一点，，连接EF，把正方形ABCD沿EF折叠，使点A，D分别落在点，处，当点落在直线BC上时，线段AE的长为________．
21、（4分）若是正整数，则整数的最小值为__________________。
22、（4分）试写出经过点，的一个一次函数表达式：________.
23、（4分）当___________________时，关于的分式方程无解
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）在学习一元一次不等式与一次函数中，小明在同一个坐标系中分别作出了一次函数和的图象，分别与x轴交于点A、B，两直线交于点C． 已知点，，观察图象并回答下列问题：
（1）关于x的方程的解是______；关于x的不等式的解集是______；
（2）直接写出关于x的不等式组的解集；
（3）若点，求关于x的不等式的解集和△ABC的面积．
25、（10分） “保护环境,人人有责”，为了更好的利用水资源,某污水处理厂决定购买、两型号污水处理设备共10台,其信息如下表.(1)设购买型设备台,所需资金共为万元,每月处理污水总量为吨,试写出与之间的函数关系式,与之间的函数关系式；(2)经预算,该污水处理厂购买设备的资金不超过88万元, 每月处理污水总量不低于2080吨,请你列举出所有购买方案,并指出哪种方案最省钱,需多少资金？
26、（12分）如图，在四边形中，，、相交于点，为中点，延长到点，使.
（1）求证：；
（2）求证：四边形为平行四边形；
（3）若，，，直接写出四边形的面积.
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、D
【解析】
先根据勾股定理求出斜边长，再根据三角形面积公式，三角形的性质即可判断.
【详解】
解：根据勾股定理可知，直角三角形两直角边长分别为3和4，
则它的斜边长是 ，
周长是3+4+5＝12，
斜边长上的高为 ，
面积是3×4÷2＝1．
故说法不正确的是D选项．
故选：D．
本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力，即：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.但本题也用到了三角形的面积公式，和周长公式.
2、C
【解析】
由已知得△ABE为直角三角形，用勾股定理求正方形的边长AB，用S阴影部分=S正方形ABCD-S△ABE求面积．
【详解】
∵AE⊥BE，且AE=3，BE=4，
∴在Rt△ABE中，AB3=AE3+BE3=35，
∴S阴影部分=S正方形ABCD﹣S△ABE=AB3﹣×AE×BE=35﹣×3×4=3．
故选C．
考点：3．勾股定理；3．正方形的性质．
3、A
【解析】
试题分析：在Rt△ABC中，∵∠ABC=30°，
∴AC=AB=4，
∵△ABC沿CB向右平移得到△DEF，
∴AD=BE，AD∥BE，
∴四边形ABED为平行四边形，
∵四边形ABED的面积等于8，
∴AC•BE=8，即4BE=8，
∴BE=1，
即平移距离等于1．
故选A．
考点：平移的性质．
4、C
【解析】
根据一次函数的图象和两函数的交点坐标即可得出答案
【详解】
解:从图象得到，当x＞-2时，的图象在函数y=ax-3的图象上
∴不等式3x+b>ax-3的解集是x>-2,
故选:C
此题考查一次函数和一元一次不等式的应用,解题关键在于看懂函数图象
5、A
【解析】
由矩形的性质可得OA=OB=OC=OD=AC=，∠ABC=90°，即可得∠ADO=∠DAO=∠OBC=∠ACB＝30°，在Rt△ABC中求得 BC=3；在Rt△BOF中，求得BF=2，所以CF=BC-BF=1.
【详解】
∵四边形ABCD是矩形，AC＝2，
∴OA=OB=OC=OD=AC=，∠ABC=90°，
∴∠ADO=∠DAO=∠OBC=∠ACB＝30°，
在Rt△ABC中，AC＝2，∠ACB＝30°，
∴BC=3；
∵EF⊥BD，
∴∠BOF=90°，
在Rt△BOF中，OB=，∠OBC=30°，
∴BF=2，
∴CF=BC-BF=1，
故选A．
本题考查了矩形的性质及解直角三角形，正确求得BC=3、BF=2是解决问题的关键.
6、B
【解析】
先解不等式组，根据有三个整数解，确定a的取值-1≤a＜3，根据a是整数可得a符合条件的值为：-1，0，1，2，根据关于y的分式方程，得y=1-a，根据分式方程有意义的条件确定a≠-1，从而可得a的值并计算所有符合条件的和．
【详解】
解：，解得： ，
∴不等式组的解集为： ，
∵关于x的不等式组有三个整数解，
∴该不等式组的整数解为：1，2，3，
∴0≤＜1，
∴-1≤a＜3，
∵a是整数，
∴a=-1，0，1，2，
，
去分母，方程两边同时乘以y-2，得，
y=-2a-（y-2），
2y=-2a+2，
y=1-a，
∵y≠2，
∴a≠-1，
∴满足条件的所有整数a的和是：0+1+2=3，
故选：B．
本题考查一元一次不等式组组的解、分式方程的解，此类题容易出错，根据整数解的个数确定字母系数a的值有难度，要细心．
7、D
【解析】
将面积为2和3的正方形向下平移至下方边长和长方形的长边重合，可得两个阴影部分的图形的长和宽，计算可得答案.
【详解】
将面积为2和3的正方形向下平移至下方边长和长方形的长边重合，如下图所示：
则阴影面积=
=
=
故选：D
本题考查算术平方根，解答本题的关键是明确题意，求出大小正方形的边长，利用数形结合的思想解答．
8、B
【解析】
试题分析：根据二次根式的意义，被开方数是非负数．所以1﹣x≥0，解得x≤1．
故选B．
考点：函数自变量的取值范围．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、
【解析】
试题解析：∵AD∥BC，
∴∠EDB=∠CBD，又∠EBD=∠CBD，
∴∠EBD=∠EDB，
∴EB=ED，又BC′=BC=AD，
∴EA=EC′，
在Rt△EC′D中，
DE2=EC′2+DC′2，即DE2=（8-DE）2+62，
解得DE=．
10、1500
【解析】
300条鱼里有30条作标记的，则作标记的所占的比例是30÷300=10%，即所占比例为10%．而有标记的共有150条，据此比例即可解答．
【详解】
150÷（30÷300）=1500（条）．
故答案为：1500
本题考查的是通过样本去估计总体．
11、
【解析】
分析: 等量关系为：原来人均单价-实际人均单价=3，把相关数值代入即可．
详解: 原来人均单价为，实际人均单价为，
那么所列方程为,
故答案为：
点睛: 考查列分式方程；得到人均单价的关系式是解决本题的关键.
12、3或﹣1．
【解析】
根据新定义运算法则得到关于x的方程，通过解方程来求x的值．
【详解】
解：依题意得：（x﹣1）2+3=7，
整理，得（x﹣1）2=4，
直接开平方，得x﹣1=±2，
解得x1=3，x2=﹣1．
故答案是：3或﹣1．
本题主要考查了直接开平方法解一元二次方程的知识，解答本题的关键是掌握新定义a★b=a2+b，此题难度不大．
13、
【解析】
由在一个不透明的布袋中装有8个白球和4个红球，它们除了颜色不同外，其余均相同，直接利用概率公式求解即可求得答案．
【详解】
∵在一个不透明的布袋中装有8个白球和4个红球，它们除了颜色不同外，其余均相同．
∴从中随机摸出一个球，摸到红球的概率是：
故答案为：
此题考查概率公式，掌握运算法则是解题关键
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（1）y=8x+20；（2）t=50；（3）饮水机内的温度约为76℃
【解析】
（1）利用待定系数法代入函数解析式求出即可；
（2）首先求出反比例函数解析式进而得出t的值；
（3）利用已知由x=7代入求出饮水机内的温度即可．
【详解】
解：（1）当0≤x≤10时，设水温y（℃）与开机时间x（分）的函数关系为：y=kx+b，
依据题意，得，
解得：，
故此函数解析式为：y=8x+20；
（2）在水温下降过程中，设水温y（℃）与开机时间x（分）的函数关系式为：y=，
依据题意，得：100=，
即m=1000，
故y=，
当y=20时，20=，
解得：t=50；
（3）∵57-50=7≤10，
∴当x=7时，y=8×7+20=76，
答：小明散步57分钟回到家时，饮水机内的温度约为76℃．
此题主要考查了一次函数以及反比例函数的应用，根据题意得出正确的函数解析式是解题关键．
15、
【解析】
分别过点E作EF⊥x轴于F，过点E作EG⊥y轴于点G,再证明△BEG≌△AEF，得出EG=EF，从而可得出结论.
【详解】
解：过点E作EF⊥x轴于F，过点E作EG⊥y轴于点G,
∵四边形ABCD为正方形，
∴BE=AE,且∠AEB=90°，
∴∠BEG+∠AEG=∠AEG+∠AEF,
∴∠BEG=∠AEF,
又∠BGE=∠AFE=90°，
∴△BEG≌△AEF（ASA）,
∴EF=EG.
所以设过OE两点的直线的函数解析式为y=kx(k≠0),点E的坐标为(a,a),
代入可得a=ak,解得k=1,
∴过两点的直线的解析式是为y=x.
故答案为：y=x.
本题主要考查解析式的求法，正方形的性质以及全等三角形的判定与性质，正确构造全等三角形是解题的关键.
16、至少购进玫瑰200枝．
【解析】
由康乃馨和玫瑰共500枝，可设玫瑰x枝，康乃馨（500-x）枝，可求出每种花的总进价，再利用两种花总进价和“不多于900元”列出不等式并解答．
【详解】
解：设购进玫瑰x枝，则购进康乃馨（500-x）枝，列不等式得：
1.5x+2（500-x）≤900
解得：x≥200
答：至少购进玫瑰200枝．
本题考查了一元一次不等式的应用，关键是找准不等关系列不等式，是常考题型．
17、（1）不变，；(2)正方形ADEF的边长为或或.
【解析】
(1)作交延长线于，证明，从而可得 ，继而根据三角形面积公式进行计算即可；
(2)分、、三种情况分别讨论求解即可.
【详解】
(1)作交延长线于，
∵正方形中，，，
∴，
∵，∴，
∴，
∵矩形中，，
∴，∴，
∴，
∴；
(2)①当时，作 ，
∵正方形中，，
∴，∴，
同(1)可得≌，
∴， ∴，
∴；
②当时，，
∵正方形中，，，
∴，∴≌，
∴，
∵矩形中，，
∴ ；
③当时，作，
同理得， ，
∴；
综上，正方形ADEF的边长为或或.
本题考查了矩形的性质，正方形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质等，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.注意分类讨论思想的运用.
18、
【解析】
分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集并在数轴上表示出来即可．
【详解】
∵解不等式得：，
解不等式得：，
∴不等式组的解集是，
在数轴上表示不等式组的解集为：
本题考查了解一元一次不等式组以及在数轴上表示不等式组的解集的应用，求不等式的公共解，要遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、从中抽取的名中学生的视力情况
【解析】
根据从总体中取出的一部分个体叫做这个总体的一个样本解答即可．
【详解】
解：这个问题中的样本是从中抽取的1000名中学生的视力情况，
故答案为从中抽取的1000名中学生的视力情况．
本题考查的是样本的概念，掌握从总体中取出的一部分个体叫做这个总体的一个样本是解题的关键．
20、4或1
【解析】
分两种情况：①D′落在线段BC上，②D′落在线段BC延长线上，分别连接ED、ED′、DD′，利用折叠的性质以及勾股定理，即可得到线段AE的长．
【详解】
解：分两种情况：
①当D′落在线段BC上时，连接ED、ED′、DD′，如图1所示：
由折叠可得，D，D'关于EF对称，即EF垂直平分DD'，
∴DE＝D′E，
∵正方形ABCD的边长是18，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝18，
∵CF＝8，
∴DF＝D′F＝CD−CF＝10，
∴CD′＝＝6，
∴BD'＝BC−CD'＝12，
设AE＝x，则BE＝18−x，
在Rt△AED和Rt△BED'中，
由勾股定理得：DE2＝AD2＋AE2＝182＋x2，D'E2＝BE2＋BD'2＝（18−x）2＋122，
∴182＋x2＝（18−x）2＋122，
解得：x＝4，即AE＝4；
②当D′落在线段BC延长线上时，连接ED、ED′、DD′，如图2所示：
由折叠可得，D，D'关于EF对称，即EF垂直平分DD'，
∴DE＝D′E，
∵正方形ABCD的边长是18，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝18，
∵CF＝8，
∴DF＝D′F＝CD−CF＝10，CD'＝＝6，
∴BD'＝BC＋CD'＝24，
设AE＝x，则BE＝18−x，
在Rt△AED和Rt△BED'中，
由勾股定理得：DE2＝AD2＋AE2＝182＋x2，D'E2＝BE2＋BD'2＝（18−x）2＋242，
∴182＋x2＝（18−x）2＋242，
解得：x＝1，即AE＝1；
综上所述，线段AE的长为4或1；
故答案为：4或1．
本题考查了正方形的性质、折叠变换的性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理等知识；熟练掌握折叠变换的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键，注意分类讨论．
21、1.
【解析】
是正整数，则1n一定是一个完全平方数，即可求出n的最小值．
【详解】
解：∵是正整数，
∴1n一定是一个完全平方数，
∴整数n的最小值为1．
故答案是：1．
本题考查了二次根式的定义，理解是正整数的条件是解题的关键．
22、y=x+1
【解析】
根据一次函数解析式，可设y=kx+1，把点代入可求出k的值；
【详解】
因为函数的图象过点（1，2），
所以可设这个一次函数的解析式y=kx+1，把（1，2）代入得：2=k+1，
解得k=1，
故解析式为y=x+1
此题考查一次函数解析式，解题的关键是设出解析式；
23、m=1、m=-4或m=6.
【解析】
方程两边都乘以（x+2）（x-2）把分式方程化为整式方程，当分式方程有增根或分式方程化成的整式方程无解时原分式方程无解，根据这两种情形即可计算出m的值．
【详解】
解：方程两边都乘以（x+2）（x-2）去分母得，
2（x+2）+mx=3（x-2），
整理得（1-m）x=10，
∴当m=1时，此整式方程无解，所以原分式方程也无解.
又当原分式方程有增根时，分式方程也无解，
∴当x=2或-2时原分式方程无解，
∴2（1-m）=10或-2（1-m）=10，
解得：m=-4或m=6，
∴当m=1、m=-4或m=6时，关于x的方程无解．
本题考查了分式方程的无解条件.分式方程无解有两种情形：一是分式方程有增根；二是分式方程化成的整式方程无解.
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、 (1)x=-1，；（2）-1＜x＜2；（3），．
【解析】
（1）利用直线与x轴交点即为y=0时，对应x的值，进而得出答案；
（2）利用两直线与x轴交点坐标，结合图象得出答案；
（3）两条直线相交于点C，根据点C的左右两边图像的位置可确定答案；利用三角形面积公式求得即可．
【详解】
解：（1）∵一次函数y=k1x+b1和y=kx+b的图象，分别与x轴交于点A（-1，0）、B（2，0），
∴关于x的方程k1x+b1=0的解是x=-1，
关于x的不等式kx+b＜0的解集，为x＞2，
故答案为x=-1，x＞2；
（2）根据图象可以得到关于x的不等式组的解集-1＜x＜2；
（3）∵C(1, 3)，
根据图象可以得到关于x的不等式k1x+b1>kx+b的解集：
∵AB=3，
∴S△ABC=AB•yC=×3×3=．
此题主要考查了一元一次方程的解、一次函数与不等式，一次函数与不等式组，三角形面积，正确利用数形结合解题是解题关键．
25、见解析
【解析】
分析：（1）根据等量关系：所需资金=A型设备台数×单价+B型设备台数×单价，可得出W与x函数关系式；处理污水总量=A型设备台数×每台处理污水量+B型设备台数×每台处理污水量，可得出y与x函数关系式；
（2）利用w≤88，y≥2080，求出x的取值范围．再判断哪种方案最省钱及需要多少资金．
详解:(1)
∴与函数关系式为:
又
∴与函数关系式为:
（2）由得
又为整数，
∴取2,3,4
∴共有三种方案
在中，随的增大而增大，
∴当时，最小为:(万元)
∴ 方案一最省钱，需要资金84万元．
点睛：本题考查的是用一元一次不等式来解决实际问题，此类题是近年中考中的热点问题
26、（1）见解析（2）见解析（3）
【解析】
（1）由AAS证明△ADE≌△CBE，即可得出AE＝CE；
（2）先证明四边形ABCD是平行四边形，得出AB∥CD，AB＝CD，证出AB＝DF，即可得出四边形ABDF为平行四边形；
（3）由平行四边形的性质得出∠F＝∠DBA，BD＝AF＝2，AB＝DF，证出∠DBA＝∠BAC，得出AE＝BE＝DE，证出∠BAD＝90°，由勾股定理求出AD＝=,
即可得出四边形ABDF的面积．
【详解】
解答：（1）证明：∵AD∥CB，
∴∠DAC＝∠BCA，
∵E为BD中点，
∴DE＝BE，
在△ADE和△CBE中，
∴△ADE≌△CBE（AAS），
∴AE＝CE；
（2）证明：由（1）得：AE＝CE，BE＝DE，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∵DF＝CD，
∴AB∥DF，AB＝DF，
∴四边形ABDF为平行四边形；
（3）解：∵四边形ABDF为平行四边形，
∴∠F＝∠DBA，BD＝AF＝2，AB＝DF，
∵∠BEC＝2∠F，∠BEC＝∠DBA＋∠BAC，
∴∠DBA＝∠BAC，
∴AE＝BE＝DE，
∴∠BAD＝90°，
∵AB＝CD＝1，
∴AD＝=,
∵DF＝AB＝1，
∴四边形ABDF的面积＝DF×AD＝
本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、直角三角形的判定、等腰三角形的判定等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
题号
一
二
三
四
五
总分
得分