北京市第十九中学2023-2024学年高二下学期5月月考数学试卷（Word版附解析）

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一、单选题（共36分）
1. 在的展开式中，的系数为 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用二项式定理的性质.
【详解】设的通项，则，化简得，
令，则的系数为，即A正确.
故选：A
2. 某人射击一次击中的概率是，经过次射击，此人至少有两次击中目标的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据独立重复试验的概率公式即可求解.
【详解】由题意可得：此人至少有两次击中目标的概率为：
，
故选：A.
3. 袋中有个外形相同的球，其中个白球，个黑球，个红球，从中任意取出一球，已知它不是白球，求它是黑球的概率
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是从盒子中取出一个不是白球的小球，共有5种结果，满足条件的事件是取出的球是一个黑球，共有3种结果，得到概率．
【详解】由题意知本题是一个等可能事件的概率，
试验发生包含的事件是从盒子中取出一个不是白球的小球，共有5种结果，
满足条件的事件是取出的球是一个黑球，共有3种结果，
∴根据等可能事件的概率得到P=．
故选C．
【点睛】本题考查等可能事件的概率，对于一个事件是否是等可能事件，要看对概率的理解，若出现的基本事件是等可能的就可以按照等可能事件来理解和解题．
4. 若，则（ ）
A. B. 1C. 15D. 16
【答案】C
【解析】
【分析】利用赋值法结合条件即得.
【详解】因为，
令得，，
令得，，
所以，．
故选：C.
5. 袋子里有个红球和个黄球，从袋子里有放回地随机抽取个球，用表示取到红球的个数，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】分析可知，利用二项分布的方差公式可求得.
【详解】袋子里有个红球和个黄球，从袋子里随机抽取一个球，该球为红球的概率为，
所以，，因此，.
故选：B.
6. 一个圆的周上有8个点，连接任意两点画出弦.如果有一对弦不相交且没有共同的端点，我们称它们为一组“自由弦对”.则此圆上的“自由弦对”总组数为（ ）
A. 70B. 140C. 210D. 280
【答案】B
【解析】
【分析】根据圆内接四边形的每一组对边为一组“自由弦对”的事实，从8个点中任取4点可构成四边形个数即可作答.
【详解】因顺次连接一组“自由弦对”的两条弦的4个端点构成的四边形是圆内接四边形，
并且这个四边形的每一组对边都是一组“自由弦对”，
从而得每个圆内接四边形都有两组“自由弦对”，
从圆周上8个点中任取4点可以构成个圆内接四边形，
所以圆上的“自由弦对”总组数为.
故选：B.
二、填空题（共24分）
7. 若的展开式中含有常数项，则正整数的一个取值为_________.
【答案】3（只要是3正整数倍即可）
【解析】
【分析】根据二项式通项公式即可求出结果.
【详解】的展开式的通项为，
的展开式中含有常数项需要满足，
即，所以只要是3正整数倍即可.
故答案为：3（只要是3正整数倍即可）.
8. 从，，，，这个数中任取个不同数，记“两数之积为正数”为事件，“两数均为负数为事件．则________．
【答案】##
【解析】
【分析】根据古典概型的概率公式求出，，再由条件概率的概率公式计算可得.
【详解】从，，，，这个数中任取个不同的数有种取法，
其中满足两数之积为正数的有种取法，
满足两数之积为正数且两数均为负数的有种取法，
所以，，
所以.
故答案为：
9. 某校开展“迎奥运阳光体育”活动，共设踢毽、跳绳、拔河、推火车、多人多足五个集体比赛项目，各比赛项目逐一进行.为了增强比赛的趣味性，在安排比赛顺序时，多人多足不排在第一场，拔河排在最后一场，则不同的安排方案种数为______．
【答案】
【解析】
【分析】由题意得多人多足不排在第一场，拔河排在最后一场，得到多人多足有3种安排方法，再将踢毽、跳绳、推火车、安排在剩下的3个位置即可.
【详解】由题意得多人多足不排在第一场，拔河排在最后一场，则多人多足有种安排方法，
将踢毽、跳绳、推火车、安排在剩下的个位置，有种安排方法，
所以共有种安排方法.
故答案为：.
10. 算筹是一根根同样长短和粗细的小棍子，是中国古代用来记数、列式和进行各种数与式演算的一种工具，是中国古代的一项伟大、重要的发明．在算筹计数法中，以“纵式”和“横式”两种方式来表示数字，如下表：
用算筹计数法表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，遇零则置空，则“ ”表示的三位数为________；如果把5根算筹以适当的方式全部放入下面的表格中，那么可以表示能被5整除的三位数的个数为________．
【答案】 ①. 621 ②.
【解析】
【分析】利用题中表格中的信息结合分类计数原理与分步计数原理进行分析求解，即可得到答案．
【详解】解：由题意，结合表格中的数据和图形，则“ ”表示的三位数为621；
共有5根算筹，要能被5整除，则个位数必须为0或5，
①当个位数为5时，不符合题意；
②当个位数为0时，则5根算筹全部放在十位和百位，
若百位有1根，十位4根，则共有个三位数；
若百位有2根，十位3根，则共有个三位数；
若百位有3根，十位有2根，则共有个三位数；
若百位有4根，十位有1根，则共有个三位数；
若百位有5根，十位有0根，则共有2个三位数．
所以共有个．
故答案为：621；．
三、解答题（共40分）
11. 根据《国家学生体质健康标准》，高三男生和女生立定跳远单项等级如下（单位：cm）：
从某校高三男生和女生中各随机抽取名同学，将其立定跳远测试成绩整理如下（精确到）：
假设用频率估计概率，且每个同学的测试成绩相互独立．
（1）分别估计该校高三男生和女生立定跳远单项的优秀率；
（2）从该校全体高三男生中随机抽取人，全体高三女生中随机抽取人，设为这人中立定跳远单项等级为优秀的人数，估计的数学期望；
（3）从该校全体高三女生中随机抽取人，设“这人的立定跳远单项既有优秀，又有其它等级”为事件，“这人的立定跳远单项至多有个是优秀”为事件．判断与是否相互独立．（结论不要求证明）
【答案】（1）
（2）
（3）与相互独立
【解析】
【分析】（1）样本中立定跳远单项等级获得优秀的男生人数为，获得优秀的女生人数为，计算频率得到优秀率的估计值；
（2）由题设，的所有可能取值为．算出对应概率的估计值，得到的数学期望的估计值；
（3）利用两个事件相互独立的定义判断即可.
【小问1详解】
样本中立定跳远单项等级获得优秀的男生人数为，获得优秀的女生人数为，
所以估计该校高三男生立定跳远单项的优秀率为；估计高三女生立定跳远单项的优秀率为．
【小问2详解】
由题设，的所有可能取值为．
估计为；
估计；
估计为；
估计．
估计的数学期望．
【小问3详解】
估计为；
估计为；
估计为，
，所以与相互独立．
12. 网购生鲜蔬菜成为很多家庭日常消费的新选择.某小区物业对本小区三月份参与网购生鲜蔬菜的家庭的网购次数进行调查，从一单元和二单元参与网购生鲜蔬菜的家庭中各随机抽取10户，分别记为A组和B组，这20户家庭三月份网购生鲜蔬菜的次数如下：
A组：8，9，11，13，15，17，18，26，29，30
B组：5，12，14，21，24，27，28，33，35，39
假设用频率估计概率，且各户网购生鲜蔬菜的情况互不影响.
（1）从一单元参与网购生鲜蔬菜的家庭中随机抽取1户，估计该户三月份网购生鲜蔬菜次数大于20的概率；
（2）从一单元和二单元参与网购生鲜蔬菜的家庭中各随机抽取1户，记这两户中三月份网购生鲜蔬菜次数大于20的户数为，估计的数学期望；
（3）从组和组中分别随机抽取2户家庭，记为A组中抽取两户家庭三月份网购生鲜蔬菜次数大于20的户数，为B组中抽取的两户家庭三月份网购生鲜蔬菜次数大于20的户数，比较方差与的大小.（结论不要求证明）
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据古典概型的概率公式即可求出；
（2）由题可知，X的可能取值为0，1，2，再分别求出对应的概率，由期望公式即可求出；
（3）根据方差公式计算可知，．
【小问1详解】
设“该户三月份网购生鲜蔬菜次数大于20”为事件，在组10户中超过20次的有3户，由样本频率估计总体概率，则.
【小问2详解】
由样本频率估计总体概率，一单元参与网购家庭随机抽取1户的网购生鲜蔬菜次数超过20次概率为，
二单元参与网购家庭随机抽取1户网购生鲜蔬菜次数超过20次概率为，
可知：X的可能取值为0，1，2，则有：
，，
，
所以．
【小问3详解】
依题可知，，的可能取值为0，1，2，且，服从超几何分布，
，，，
，，，
因为，，
可得，
，
所以．
立定跳远单项等级
高三男生
高三女生
优秀
及以上
及以上
良好
~
~
及格
~
~
不及格
及以下
及以下
男生
女生