北京市第十三中学2023-2024学年高二下学期期中测试数学试卷（Word版附解析）

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本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第1页至第2页；第Ⅱ卷第2页至第6页，答题纸第1页至第3页．共150分，考试时间120分钟．请在答题纸上侧密封线内书写班级、姓名、准考证号．考试结束后，将本试卷的答题纸交回．
第Ⅰ卷（选择题 共40分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．）
1. 函数在处的瞬时变化率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据给定条件，求出函数在处导数值即得.
【详解】由，求导得，所以.
故选：D
2. 设函数的导函数图象如图所示，则的解析式可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由图象可得导函数的定义域及单调性，再逐项求导并判断得解.
【详解】观察图象知，函数的导函数定义域为，且在上单调递增，有一个正零点，
对于A，，其定义域为R，无零点，不符合题意，A不是；
对于B，定义域为，求导得，函数在上单调递减，不符合题意，B不是；
对于C，定义域为R，而零点为，不符合题意，C不是；
对于D，函数定义域为，在上单调递增，
有唯一零点，符合题意，D是.
故选：D
3. 设的分布列如表所示，又设，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据分布列求出，再根据期望的性质计算可得.
【详解】解：依题意可得，
所以．
故选：D．
4. 已知函数，为的导函数，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据基本初等函数的求导公式结合导数的加法运算法则即可得出答案.
【详解】解：因为，
所以，
所以，.
故选：B.
5. 从1，2，3，4，5中不放回地抽取2个数，则在第1次抽到偶数的条件下，第2次抽到奇数的概率是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设事件为“第i次抽到偶数”，i＝1，2，则所求概率为
【详解】设事件为“第i次抽到偶数”，i＝1，2，
则事件“在第1次抽到偶数的条件下，第2次抽到奇数”的概率为：
.
故选：D.
6. 某校高二年级计划举办篮球比赛，采用抽签的方式把全年级10个班分为甲、乙两组，每组5个班，则高二（1）班、高二（2）班恰好都在甲组的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用概率的古典概型计算公式结合组合的应用即可求得结果.
【详解】易知将10个班分为甲、乙两组共有种分组方式，
其中高二（1）班、高二（2）班恰好都在甲组的情况共有种，
所以高二（1）班、高二（2）班恰好都在甲组概率是.
故选：B
7. 投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为
A. 0.648B. 0.432C. 0.36D. 0.312
【答案】A
【解析】
【详解】试题分析：该同学通过测试的概率为，故选A．
考点：次独立重复试验．
8. 设函数的极小值为－8，其导函数的图象过点（－2，0），如图所示，则＝（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题设，根据所过的点可得，结合图象求出极小值点并代入求参数，即可得解析式，注意验证所得参数是否符合题设.
【详解】由题设，，则，故，
所以，
令，可得或，由图知：且处有极小值，
所以，即，，经验证满足题设，
故.
故选：B
9. 一道考题有4个答案，要求学生将其中的一个正确答案选择出来．某考生知道正确答案的概率为，而乱猜时，4个答案都有机会被他选择，则他答对正确答案的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】依题意分两种情况对答对正确答案进行讨论，再利用全概率公式计算可得结论.
【详解】根据题意可设“知道正确答案”为事件，“他答对正确答案”为事件；
易知；
而；
因此他答对正确答案的概率是.
故选：C
10. 设P为曲线上一点，Q为曲线上一点，则|PQ|的最小值为（ ）
A. B. 1C. D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】由导数求出两曲线的切线
【详解】，，时，，，所以是图象的一条切线，切点为，
，，时，，，所以是的图象的一条切线，切点为，
，
这两条切线平行，两切点连线恰好与切线垂直，
|PQ|的最小值即为两切点间的距离．
所以，
故选：C．
第Ⅱ卷（非选择题 共110分）
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．）
11. 设函数，则___．
【答案】
【解析】
【分析】求出函数导函数，代入计算可得；
【详解】解：因为，所以，所以；
故答案为：
12. 某不透明纸箱中共有8个小球，其中2个白球，6个红球，它们除颜色外均相同．一次性从纸箱中摸出4个小球，摸出红球个数为，则______．
【答案】3
【解析】
【分析】根据给定条件，可得服从超几何分布，再利用超几何分布的期望公式计算即得.
【详解】依题意，摸出红球个数服从超几何分布，，
所以.
故答案为：3
13. 已知随机变量的分布列如下：
若，则______；当______时，最大．
【答案】 ①. 0.1## ②. 0.2##
【解析】
【分析】根据给定条件，利用分布列的性质，期望公式计算得值；利用方差与期望的关系建立关于的函数，探讨函数的最大值即可.
【详解】由，得，因此；
依题意，，，
因此，
则当时，取得最大值.
故答案为：0.1；0.2
14. 李明自主创业，经营一家网店，每售出一件商品获利8元．现计划在“五一”期间对商品进行广告促销，假设售出商品的件数（单位：万件）与广告费用（单位：万元）符合函数模型．若要使这次促销活动获利最多，则广告费用应投入_______万元．
【答案】
【解析】
【分析】设李明获得的利润为万元，求出关于的表达式，利用基本不等式可求得的最小值及其对应的的值.
【详解】设李明获得的利润为万元，则，
则
，
当且仅当，因为，即当时，等号成立.
故答案为：.
【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
15. 函数（为常数）的图象可能为______．（选出所有可能的选项）
①②③④
【答案】①②③
【解析】
【分析】求导可得，并构造函数，对参数的取值进行分类讨论并得出函数的最值，进而求得函数的单调性，即可求得结论.
【详解】易知函数的定义域为，
则，
令，可得；
显然当时，，没有对应函数图象；
因此，当时，易知在恒成立，
可知在上单调递减，
易知，即；当趋近于时，趋近于；
即存在，使得，也即;
所以当时，，此时单调递增，
当时，，此时单调递减，
又易知，且时，时，此时图象可能为③；
当时，令，解得；
当时，，此时在上单调递减；
当时，，此时在上单调递增；
即，
若时，，即恒成立，
此时函数单调递增，且，此时图象可能为①；
若时，，
即存在两个实数根，且满足，
不妨取，
因此可得当时，，此时在上单调递增；
当时，，此时在上单调递减；
当时，，此时在上单调递增；
且，因此图象可能为②.
由于时，，函数不可能有2个零点，故④不可能，
故答案为：①②③
【点睛】关键点点睛：本题关键在于对函数求导，构造函数并对参数的取值进行分类讨论，进而得出函数单调性即可得出结论.
三、解答题：（本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
16. 已知函数
（1）求的图象在点处的切线方程；
（2）求的单调区间.
【答案】（1）；
（2）单调递增区间是，单调递减区间是.
【解析】
【分析】（1）求出函数的导数，利用导数的几何意义求出切线方程即得.
（2）由（1）的导函数，解导函数大于0，小于0的不等式即可.
【小问1详解】
函数，求导得，则，而，
所以的图象在点处的切线方程为，即.
【小问2详解】
函数的定义域为R，由（1）得，
由，得或，由，得，
所以函数的单调递增区间是，单调递减区间是.
17. 某地区组织所有高一学生参加了“科技的力量”主题知识竟答活动，根据答题得分情况评选出一二三等奖若干，为了解不同性别学生的获奖情况，从该地区随机抽取了500名参加活动的高一学生，获奖情况统计结果如下：
假设所有学生的获奖情况相互独立．
（1）分别从上述200名男生和300名女生中各随机抽取1名，求抽到的2名学生都获一等奖的概率；
（2）用频率估计概率，从该地区高一男生中随机抽取1名，从该地区高一女生中随机抽取1名，以X表示这2名学生中获奖的人数，求X的分布列和数学期望；
（3）用频率估计概率，从该地区高一学生中随机抽取1名，设抽到的学生获奖的概率为；从该地区高一男生中随机抽取1名，设抽到的学生获奖的概率为；从该地区高一女生中随机抽取1名，设抽到的学生获奖的概率为，试比较与的大小．（结论不要求证明）
【答案】（1）
（2）分布列见解析，期望
（3）
【解析】
【分析】（1）直接计算概率；
（2）的所有可能取值为0,1,2，求出高一男生获奖概率和高一女生获奖概率，再计算概率得到分布列，最后计算期望即可；
（3）计算出，，比较大小即可.
【小问1详解】
设事件为“分别从上述200名男生和300名女生中各随机抽取1名,
抽到的2名学生都获一等奖”，
则，
【小问2详解】
随机变量的所有可能取值为0,1,2.
记事件为“从该地区高一男生中随机抽取1名,该学生获奖”,
事件为“从该地区高一女生中随机抽取1名,该学生获奖”.由题设知,事件,相互独立,
且估计为估计为.
所以,
,
.
所以的分布列为
故的数学期望
【小问3详解】
，理由：根据频率估计概率得
，由（2）知，，
故，
则.
18. 为了解甲、乙两厂的产品质量，从甲、乙两厂生产的产品中分别抽取了几件测量产品中的微量元素的含量（单位：毫克）．规定微量元素的含量满足：（单位：毫克）为优质品．甲企业的样本频率分布直方图和乙企业的样本频数分布表如下：
（1）从乙厂抽取的产品中随机抽取2件，求抽取的2件产品中优质品数的分布列及其数学期望；
（2）从甲乙两厂的产品中各随机抽取2件，求其中优质品数之和为2的概率；
（3）在（2）的条件下，写出甲乙两厂的优质品数之和的数学期望．（结论不要求证明）
【答案】（1）分布列见解析，
（2）；
（3）.
【解析】
【分析】（1）求出的可能值及对应的概率，列出分布列并求出数学期望.
（2）利用频率估计概率，求出甲乙厂产品中优质品率，再分别求出抽出的2件产品中优质品数的概率，进而求出优质品数和为2的概率.
（3）由（2）信息求出的分布列及数学期望.
【小问1详解】
乙厂抽取的10件产品中优质品数有6件，的可能取值为，
，
所以的分布列为：
数学期望为.
【小问2详解】
记甲乙两厂的优质品数分别为，
由样本频率估计：甲厂产品中优质品率为，乙厂产品中优质品率为，
，
，
，
所以优质品数之和为2的概率为.
【小问3详解】
由（2）知，的可能值为，
，
，
所以的数学期望.
19. 已知函数
（1）当时，求的极值；判断此时是否有最值，如果有请写出最值（结论不要求证明）
（2）若是单调函数，求的取值范围．
【答案】（1）的极小值为，无极大值；最小值为，无最大值；
（2）
【解析】
【分析】（1）求函数求导，代入得出函数在定义域内的单调性可得在处取得极小值，也是最小值；
（2）对参数的取值范围进行分类讨论，得出不同情况下的单调性，满足是单调函数即可得出结论.
【小问1详解】
易知的定义域为，
由可得，
当时，，令可得；
因此当时，，此时在上单调递减，
当时，，此时在上单调递增，
因此可得在处取得极小值；
所以的极小值为，无极大值；
根据极值与最值得关系可得，此时在处也取得最小值，无最大值；
【小问2详解】
由（1）可知，，
显然当时，恒成立，此时为上单调递减函数，满足题意；
当时，令，解得；
由一次函数的性质可知，
当时，为单调递减，
若，，此时为上单调递增函数；
若，，此时为上单调递减函数；
显然此时不是单调函数，不满足题意；
当时，为单调递增，
若，，此时为上单调递减函数；
若，，此时为上单调递增函数；
显然此时不是单调函数，不满足题意；
综上可知，;
即的取值范围为.
20. 已知函数，.
（1）若，求在区间上的最大值和最小值；
（2）设，求证：恰有2个极值点；
（3）若，不等式恒成立，求的最小值.
【答案】（1）.
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）求得，令，可得，求得函数的单调区间，结合极值的概念与计算，即可求解；
（2）求得，结合，得到方程有两个不同的根，结合极值点的定义，即可求解；
（3）根据题意转化为，不等式恒成立，设，利用导数求得函数的单调性与最大值，即可求解.
【小问1详解】
解：由函数，可得，
令，可得，
则的关系，如图下表：
综上可得，函数.
【小问2详解】
解：由函数，
可得，
因为，
所以方程有两个不同的根，设为且，则有
综上可得，函数恰有2个极值点.
【小问3详解】
解：因为，所以，不等式恒成立，
设，可得，
所以的关系，如图下表：
所以，所以实数的最小值为.
【点睛】方法技巧：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：
1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．
21. 对任意正整数n，记集合，．，，若对任意都有，则记．
（1）写出集合和；
（2）证明：对任意，存在，使得；
（3）设集合．求证：中的元素个数是完全平方数．
【答案】（1），
（2）证明见解析 （3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据集合与的定义，写出集合和即可；
（2）任取，令，只需证明，即可证明结论成立；
（3）通过集合、、的定义，说明满足条件的解对与方程的两解组成对是一一对应的关系.进而证明中的元素个数是完全平方数.
【小问1详解】
，
【小问2详解】
任取，令，则，
同时，且，
则，所以对任意，存在，使得；
【小问3详解】
设方程：①，②
是方程①的解，是方程②的解；
若，，，
即是一个满足条件的解对，
令（，2，…，n），则，
则（，，…，）是方程①的解，
即当是满足条件的解对时，
是方程①的一对解对；
反之是方程①的解时，
令，则是满足条件的解对．
即满足条件的解对与方程①的两解组成对
是一一对应的关系．
所以满足条件解对个数，即中的元素个数是完全平方数．
1
2
3
4
0
1
2
0.6
性别
人数
获奖人数
一等奖
二等奖
三等奖
男生
200
10
15
15
女生
300
25
25
40
0
1
2
含量
频数
1
2
4
2
1
0
1
2
1
2
0
极大值

极小值
极大值
1
0
极大值