2024-2025学年广东省深圳市龙华区新华中学数学九年级第一学期开学经典试题【含答案】

这是一份2024-2025学年广东省深圳市龙华区新华中学数学九年级第一学期开学经典试题【含答案】，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）下列命题是假命题的是（ ）
A．四边都相等的四边形为菱形B．对角线互相平分的四边形为平行四边形
C．对角线相等的平行四边形为矩形D．对角线互相垂直且相等的四边形为正方形
2、（4分）设函数（≠0）的图象如图所示，若，则关于的函数图象可能为（ ）
A．B．C．D．
3、（4分）把分式中的x、y的值同时扩大为原来的2倍，则分式的值（ ）
A．不变B．扩大为原来的2倍
C．扩大为原来的4倍D．缩小为原来的一半
4、（4分）下列各式正确的是（ ）
A．B．C．D．
5、（4分）实数的值在（ ）
A．0和1之间B．1和1.5之间
C．1.5和2之间D．2和4之间
6、（4分）生活处处有数学：在五一出游时，小明在沙滩上捡到一个美丽的海螺，经仔细观察海螺的花纹后画出如图所示的蝶旋线，该螺旋线由一系列直角三角形组成，请推断第n个三角形的面积为（ ）
A．B．C．D．
7、（4分）下列实数中,无理数是( )
A．B．C．D．
8、（4分）若△ABC中，AB＝13，BC＝5，AC＝12，则下列判断正确的是（ ）
A．∠A＝90°B．∠B＝90°
C．∠C＝90°D．△ABC是锐角三角形
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）如图，在矩形中，，，是边的中点，点是边上的一动点，将沿折叠，使得点落在处，连接，，当点落在矩形的对称轴上，则的值为______．
10、（4分）某学校为了解本校学生课外阅读的情况，从全体学生中随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成统计表，如下表.已知该校学生人数为1200人，由此可以估计每周课外阅读时间在1～2（不含1）小时的学生有_________人．
11、（4分）关于x的方程=1的解是正数，则m的取值范围是________ ．
12、（4分）一次函数不经过第_________象限；
13、（4分）已知：如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，AC＝4cm，CD⊥AB于D，求CD的长及三角形的面积．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）总书记说：“读可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”某校为响应全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆128人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆608人次，若进馆人次的月平均增长率相同，求进馆人次的月平均增长率．
15、（8分）解方程
；
.
16、（8分）把下列各式因式分解：
（1）（x2﹣9）+3x（x﹣3）
（2）3ax2+6axy+3ay2
17、（10分）解答题．
某校学生积极为地震灾区捐款奉献爱心．小颖随机抽查其中30名学生的捐款情况如下：（单位：元）2、5、35、8、5、10、15、20、15、5、45、10、2、8、20、30、40、10、15、15、30、15、8、25、25、30、15、8、10、1．
（1）这30名学生捐款的最大值、最小值、极差、平均数各是多少？
（2）将30名学生捐款额分成下面5组，请你完成频数统计表：
（3）根据上表，作出频数分布直方图．
18、（10分）已知一次函数的图象经过点 和.
（1）求该函数图像与x轴的交点坐标；
（2）判断点是否在该函数图像上.
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）准备在一块长为30米，宽为24米的长方形花圃内修建四条宽度相等，且与各边垂直的小路，(如图所示)四条小路围成的中间部分恰好是一个正方形，且边长是小路宽度的4倍，若四条小路所占面积为80平方米，则小路的宽度为_____米．
20、（4分）如图，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC∥OA，PD⊥OA，若PD＝3cm，则PC的长为_____cm．
21、（4分）计算：_______．
22、（4分）如图，身高1.6米的小明站在处测得他的影长为3米，影子顶端与路灯灯杆的距离为12米，则灯杆的高度为_______米．
23、（4分）如图，在一张长为7cm，宽为5cm的矩形纸片上，现在剪下一个腰长为4cm的等腰三角形，要求等腰三角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合，其余的两个顶点在矩形的边上，则剪下的等腰三角形一腰上的的高为_____________．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）某超市出售甲、乙、丙三种糖果，其售价分别为5元/千克，12元/千克，20元/千克，为满足客多样化需求，超市打算把糖果混合成杂拌糖出售，如果按照如图所示的扇形统计图中甲、乙、丙三种糖果的比例混合，这种新混合的杂排糖的售价应该为多少元/千克？
25、（10分）一个多边形的外角和是内角和的，求这个多边形的边数．
26、（12分）4月23日是“世界读书日”，某校在“世界读书日”活动中，购买甲、乙两种图书共150本作为活动奖品，已知乙种图书的单价是甲种图书单价的1.5倍．若用180元购买乙种图书比要购买甲种图书少2本．
（1）求甲、乙两种图书的单价各是多少元？
（2）如果购买图书的总费用不超过5000元，那么乙种图书最多能买多少本？
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、D
【解析】
根据矩形、平行四边形、菱形、正方形的判定定理判断即可.
【详解】
A、根据菱形的判定定理可知是真命题；
B、根据平行四边形的判定定理可知是真命题；
C、根据矩形的的判定定理可知是真命题；
D、根据正方形的判定定理可知是假命题.
故选D
本题考查假命题的定义，涉及了矩形、平行四边形、菱形、正方形的判定定理.
2、D
【解析】
根据反比例函数解析式以及，即可找出z关于x的函数解析式，再根据反比例函数图象在第一象限可得出k＞1，结合x的取值范围即可得出结论．
【详解】
∵（k≠1，x＞1），
∴（k≠1，x＞1）．
∵反比例函数（k≠1，x＞1）的图象在第一象限，
∴k＞1，
∴＞1．
∴z关于x的函数图象为第一象限内，且不包括原点的正比例的函数图象．
故选D．
本题考查了反比例函数的图象以及正比例函数的图象，解题的关键是找出z关于x的函数解析式．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据分式的变换找出z关于x的函数关系式是关键．
3、D
【解析】
根据分式的基本性质即可求出答案．
【详解】
解：原式=，
∴分式的值缩小为原来的一半；
故选择：D.
本题考查分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．
4、D
【解析】
对于选项A，给的分子、分母同时乘以a可得，由此即可作出判断；
对于选项B、C，只需取一对特殊值代入等式两边，再判断两边的值是否相等即可；
对于选项D，先对的分子、分母分别因式分解，再约分即可判断.
【详解】
对于A选项，只有当a=b时，故A选项错误；
对于B选项，可用特殊值法，令a=2、b=3，则，因此B选项是错误；
同样的方法，可判断选项C错误；
对于D选项，=，因此D选项是正确.
故选D
本题可以根据分式的基本性质和因式分解的知识进行求解。
5、B
【解析】
根据，，即可判断．
【详解】
解：∵，，，
∴实数的值在1和1.5之间，
故选：B．
此题主要考查了估算无理数，关键是掌握用有理数逼近无理数，求无理数的近似值．
6、D
【解析】
根据勾股定理分别求出、，根据三角形的面积公式分别求出第一个、第二个、第三个三角形的面积，总结规律，根据规律解答即可．
【详解】
解：第1个三角形的面积，
由勾股定理得，，
则第2个三角形的面积，
，
则第3个三角形的面积，
则第个三角形的面积，
故选：．
本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么．
7、D
【解析】
根据无理数、有理数的定义即可判定选择项．
【详解】
解：A、是分数，属于有理数，本选项不符合题意；
B、是有限小数，属于有理数，本选项不符合题意；
C、是整数，属于有理数，本选项不符合题意；
D、=是无理数，本选项不符合题意；
故选：D．
此题主要考查了无理数定义---无理数是无限不循环小数．初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
8、C
【解析】
13，12，5正好是一组勾股数，根据勾股定理的逆定理即可判断△ABC是直角三角形，从而求解．
【详解】
∵52+122＝169，132＝169，
∴52+122＝132，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°．
故选：C．
本题主要考查了勾股定理的逆定理，两边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形是直角三角形．对于常见的勾股数如：3，4，5或5，12，13等要注意记忆．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、2
【解析】
根据旋转的性质在三角形EHG中,利用30°角的特殊性得到∠EGH=30°,再利用对称性进行解题即可.
【详解】
解：如下图过点E作EH垂直对称轴与H，连接BG，
∵，，
∴BE=EG=1,EH=,
∴∠EGH=30°,
∴∠BEG=30°,
由旋转可知∠BEF=15°,BG⊥EF,
∴∠EBG=75°,∠GBF=∠BCG=15°,即
∴m=2
故答案是:2
本题考查了图形旋转的性质,中垂线的性质,直角三角形中30°的特殊性,熟悉30°角的特殊性是解题关键.
10、1
【解析】
试题分析：先求出每周课外阅读时间在1～2（不含1）小时的学生所占的百分比，再乘以全校的人数，即可得出答案．
解：根据题意得：
1200×=1（人），
答：估计每周课外阅读时间在1～2（不含1）小时的学生有1人；
故答案为1．
考点：用样本估计总体．
11、m＜﹣2且m≠﹣1
【解析】
首先根据=1，可得x=-m-2；然后根据关于x的方程=1的解是正数，求出m的取值范围即可．
【详解】
∵=1，
∴x=-m-2，
∵关于x的方程=1的解是正数，
∴-m-2＞0，
解得m＜-2，
又∵x=-m-2≠2，
∴m≠-1，
∴m的取值范围是：m＜-2且m≠-1．
故答案为：m＜-2且m≠-1．
此题主要考查了分式方程的解，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解．
12、三
【解析】
根据一次函数的图像与性质即可得出答案.
【详解】
∵一次函数解析式为：y=-x+1
其中k=-1<0，b=1>0
∴函数图像经过一、二、四象限，不经过第三象限
故答案为：三.
本题考查的是一次函数的图像与性质，熟练掌握一次函数的图像与性质是解决本题的关键.
13、S△ABC=6cm2，CD=cm．
【解析】
利用勾股定理求得BC=3cm，根据直角三角形的面积等于两直角边乘积的一半即可求得△ABC的面积，再利用直角三角形的面积等于斜边乘以斜边上高的一半可得AB•CD=6，由此即可求得CD的长.
【详解】
∵∠ACB=90°，AB=5cm，AC=4cm，
∴BC==3cm，
则S△ABC=×AC×BC=×4×3=6（cm2）．
根据三角形的面积公式得：AB•CD=6，
即×5×CD=6，
∴CD=cm．
本题考查了勾股定理、直角三角形面积的两种表示法，根据勾股定理求得BC=3cm是解决问题的关键.
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、进馆人次的月平均增长率为50%
【解析】
先分别表示出第二个月和第三个月的进馆人次，再根据第一个月的进馆人次加第二和第三个月的进馆人次等于608，列方程求解．
【详解】
设进馆人次的月平均增长率为x，则由题意得：
128+128(1+x)+128(1+x)2=608，
化简得：4x2+12x-7=0，
∴(2x-1)(2x+7)=0，
∴x=0.5=50%或x=-3.5（舍），
答：进馆人次的月平均增长率为50%．
本题属于一元二次方程的应用题，列出方程是解题的关键．本题难度适中，属于中档题．
15、（1），；（2），．
【解析】
根据解一元二次方程的方法因式分解法解方程即可．
【详解】
解：因式分解得，
或，
，；
，
，
或，
，．
本题考查了解一元二次方程因式分解法，熟练掌握因式分解法是解题的关键．
16、 (1) （x﹣3）（4x+3）；(1) 3a（x+y）1．
【解析】
（1）原式利用平方差公式变形，再提取公因式即可；
（1）原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．
【详解】
（1）原式＝（x+3）（x﹣3）+3x（x﹣3）＝（x﹣3）（4x+3）；
（1）原式＝3a（x1+1xy+y1）＝3a（x+y）1．
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
17、 (1) 最大值为1，最小值为2，极差为48，平均数为17.7元．(2)填表见解析；（3）补图见解析.
【解析】
分析：（1）根据给出的数据以及极差、平均数的计算方法直接计算即可解答．
（2）分别找出各组的人数填表即可解答．
（3）根据频数分布表画出频数分布直方图即可解答．
详解：（1）这30名学生捐款的最大值为1，
最小值为2，
极差为1﹣2=48，
平均数为
（2+5+35+8+5+10+15+20+15+5+45+10+2+8+20+30+40+10+15+15+30+15+8+25+25+30+15+8+10+1）÷30=17.7元．
（2）填表如下：
．
（3）画图如下：
点睛：本题主要考查极差、平均数的定义以及画频数分布直方图的能力，正确画图是关键．
18、（1）（2，0）；（2）点不在该函数图像上.
【解析】
（1）设一次函数解析式为y=kx+b，把已知两点坐标代入求出k与b的值，即可确定出解析式，然后令y=0，解出x，即可求得交点；
（2）将x=-3代入解析式计算y的值，与6比较即可．
【详解】
解：（1）设一次函数解析式为y=kx+b，
把 和代入解析式得：，解得：，
∴一次函数解析式为，
令y=0，则，解得：，
∴该函数图像与x轴的交点坐标为（2，0）；
（2）将x=-3代入解析式得：，
∵，
∴点不在该函数图像上.
此题考查了待定系数法求一次函数解析式，以及一次函数图像上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、1.25
【解析】
设小路的宽度为，根据图形所示，用表示出小路的面积，由小路面积为80平方米，求出未知数.
【详解】
设小路的宽度为，由题意和图示可知，小路的面积为
，解一元二次方程，由，可得.
本题综合考查一元二次方程的列法和求解，这类实际应用的题目，关键是要结合题意和图示，列对方程.
20、1
【解析】
如图，作PH⊥OB于H．由角平分线的性质定理推出PH＝PD＝3cm，再证明∠PCH＝30°即可解决问题．
【详解】
解：如图，作PH⊥OB于H．
∵∠POA＝∠POB，PH⊥OB，PD⊥OA，
∴PH＝PD＝3cm，
∵PC∥OA，
∴∠POA＝∠CPO＝15°，
∴∠PCH＝∠COP+∠CPO＝30°，
∵∠PHC＝90°，
∴PC＝2PH＝1cm．
故答案为1．
本题考查角平分线的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形30度角的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．
21、2
【解析】
先把二次根式化为最简二次根式，然后将括号内的式子进行合并，最后进一步加以计算即可.
【详解】
原式
，
故答案为：2.
本题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键.
22、
【解析】
根据在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似解答．
【详解】
解：如图： ∵AB∥DE， ∴CD：BC=DE：AB，
∴1.6：AB=3：12， ∴AB=6.1米，
∴灯杆的高度为6.1米．
答：灯杆的高度为6.1米．
故答案为：6.1．
本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求出灯杆的高度，体现了方程的思想．
23、4或或
【解析】
分三种情况进行讨论：（1）△AEF为等腰直角三角形，得出AE上的高为AF=4；
（2）利用勾股定理求出AE边上的高BF即可；
（3）求出AE边上的高DF即可
【详解】
解：分三种情况：
（1）当AE=AF=4时，
如图1所示：
△AEF的腰AE上的高为AF=4；
（2）当AE=EF=4时，
如图2所示：
则BE=5-4=1，
BF=；
（3）当AE=EF=4时，
如图3所示：
则DE=7-4=3，
DF=，
故答案为4或或.
本题主要考查矩形的角是直角的性质和勾股定理的运用，要根据三角形的腰长的不确定分情况讨论，有一定的难度.
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、这种新混合的杂排糖的售价应该为10.1元/千克．
【解析】
由扇形统计图中可以得到甲、乙、丙三种糖果所占的比例，然后根据加权平均数的计算方法求出结果即可．
【详解】
丙对应的百分比为1-50%-30%=20%
∴这种新混合物的杂拌糖的售价应该为5×50%+12×30%+20×20%=10.1(元/千克)
答：这种新混合的杂排糖的售价应该为10.1元/千克．
考查扇形统计图的特征、加权平均数的计算方法，明确和理解加权平均数中“权”是正确解答的前提．
25、七边形.
【解析】
分析：多边形的内角和定理为(n－2)×180°，多边形的外角和为360°，根据题意列出方程求出n的值．
详解：根据题意可得： 解得：
点睛：本题主要考查的是多边形的内角和公式以及外角和定理，属于基础题型．明白这两个公式是解题的关键．
26、（1）甲种图书的单价为30元/本，乙种图书的单价为1元/本；（2）乙种图书最多能买2本．
【解析】
（1）设甲种图书的单价为x元/本，则乙种图书的单价为1.5x元/本，根据“用180元购买乙种图书比要购买甲种图书少2本”列分式方程即可求出结论；
（2）设乙种图书购买了m本，则甲种图书购买了（150-m）本，根据“购买图书的总费用不超过5000元”列出不等式即可得出结论．
【详解】
解：（1）设甲种图书的单价为x元/本，则乙种图书的单价为1.5x元/本，
依题意，得：-=2，
解得：x=30，
经检验，x=30是所列分式方程的解，且符合题意，
∴1.5x=1．
答：甲种图书的单价为30元/本，乙种图书的单价为1元/本．
（2）设乙种图书购买了m本，则甲种图书购买了（150-m）本，
依题意，得：30（150-m）+1m≤5000，
解得：m≤．
∵m为整数，
∴m的最大值为2．
答：乙种图书最多能买2本．
此题考查的是分式方程的应用和一元一次不等式的应用，掌握实际问题中的等量关系和不等关系是解决此题的关键．
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
批阅人
每周课外阅读时间（小时）
0～1
1～2（不含1）
2～3（不含2）
超过3
人 数
7
10
14
19