2024-2025学年广西大学附中九年级（上）开学数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年广西大学附中九年级（上）开学数学试卷（含答案），共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列方程是一元二次方程的是( )
A. x2+y=3B. 3x+y−5=0C. x+1x=3D. x2−8=0
2.下列垃圾分类的标志图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
3.如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠C=125°，则∠A的度数为( )
A. 25°
B. 30°
C. 50°
D. 55°
4.若二次函数y=ax2的图象经过点P(−2,4)，则该图象必经过点( )
A. (2,4)B. (−2,−4)C. (−4,2)D. (4,−2)
5.若x1，x2是方程x2−6x−7=0的两个根，则( )
A. x1+x2=6B. x1+x2=−6C. x1x2=76D. x1x2=7
6.将抛物线y=(x−1)2+2向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到的抛物线为( )
A. y=(x−1)2+4B. y=(x−4)2+4C. y=(x+2)2+6D. y=(x−4)2+6
7.据国家统计局发布的《2022年国民经济和社会发展统计公报》显示，2020年和2022年全国居民人均可支配收入分别为3.2万元和3.7万元.设2020年至2022年全国居民人均可支配收入的年平均增长率为x，依题意可列方程为( )
A. 3.2(1−x)2=3.7B. 3.2(1+x)2=3.7C. 3.7(1−x)2=3.2D. 3.7(1+x)2=3.2
8.如图，在△ABC中，∠B=80°，∠C=65°，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB′C′.当AB′落在AC上时，∠BAC′的度数为( )
A. 65° B. 70°
C. 80° D. 85°
9.关于x的一元二次方程x2+4x−k=0有两个相等的实数根，则k的值为( )
A. −4B. 4C. 0D. 16
10.已知A(−1,y1)，B(2,y2)，C(4,y3)是二次函数y=−x2+2x+c的图象上的三个点，则y1，y2，y3的大小关系为( )
A. y111.数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点A，B，连接AB，作AB的垂直平分线CD交AB于点D，交AB于点C，测出AB=40cm，CD=10cm，则圆形工件的半径为( )
A. 50cm
B. 35cm
C. 25cm
D. 20cm
12.如图，抛物线m：y=ax2+b(a<0,b>0)与x轴于点A、B(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C.将抛物线m绕点B旋转180°，得到新的抛物线n，它的顶点为C1，与x轴的另一个交点为A1.若四边形AC1A1C为矩形，则a，b应满足的关系式为( )
A. ab=−2B. ab=−3C. ab=−4D. ab=−5
二、填空题：本题共6小题，每小题2分，共12分。
13.抛物线y=(x−2)2+5的顶点坐标是______．
14.一元二次方程2x2=9x+5化为一般形式之后，则一次项的系数为______．
15.抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示，其与x轴的一个交点坐标为(−3,0)，对称轴为直线x=−1，抛物线与x轴的另一个交点坐标为______．
16.一元二次方程4x(x−2)=x−2的解为______．
17.点F是正五边形ABCDE边DE的中点，连接BF并延长与CD延长线交于点G，则∠BGC的度数为 ．
18.《九章算术》中记载：“今有勾六步，股八步.问勾中容圆径几何？”译文：今有一个直角三角形，勾(短
直角边)长为6步，股(长直角边)长为8步，则该直角三角形内切圆的直径是等于______步.
三、计算题：本大题共1小题，共6分。
19.解一元二次方程：x2−4x+3=0
四、解答题：本题共7小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
20.(本小题6分)
计算：−12+( 3−π)0−(12)−1+3−8．
21.(本小题10分)
如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(1,4)，B(4,2)，C(3,5)．
(1)画出△ABC关于原点O成中心对称的△A1B1C1，并写出点C1的坐标；
(2)将△ABC绕原点O逆时针旋转90°得到△A2B2C2，画出△A2B2C2，并写出点A2的坐标．
22.(本小题10分)
如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E．
(1)求证：BE=CE；
(2)若AB=6，∠BAC=54°，求AD的长．
23.(本小题10分)
一次足球训练中，小明从球门正前方8m的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线.当球飞行的水平距离为6m时，球达到最高点，此时球离地面3m.已知球门高OB为2.44m，现以O为原点建立如图所示直角坐标系．
(1)求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门(忽略其他因素)；
(2)对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点O正上方2.25m处？
24.(本小题10分)
如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点E在⊙O上，点C是BE的中点，AE⊥CD，垂足为点D，DC的延长线交AB的延长线于点F．
(1)求证：CD是⊙O的切线；
(2)若CD= 3，∠ABC=60°，求线段AF的长．
25.(本小题10分)
课堂上，数学老师组织同学们围绕关于x的二次函数y=x2+2ax+a−3的最值问题展开探究．
【经典回顾】二次函数求最值的方法．
(1)老师给出a=−4，求二次函数y=x2+2ax+a−3的最小值．
①请你写出对应的函数解析式；
②求当x取何值时，函数y有最小值，并写出此时的y值；
【举一反三】老师给出更多a的值，同学们即求出对应的函数在x取何值时，y的最小值.记录结果，并整理成如表：
注：∗为②的计算结果．
【探究发现】老师：“请同学们结合学过的函数知识，观察表格，谈谈你的发现.”
甲同学：“我发现，老师给了a值后，我们只要取x=−a，就能得到y的最小值.”
乙同学：“我发现，y的最小值随a值的变化而变化，当a由小变大时，y的最小值先增大后减小，所以我猜想y的最小值中存在最大值”
(2)请结合函数解析式y=x2+2ax+a−3，解释甲同学的说法是否合理？
(3)你认为乙同学的猜想是否正确？若正确，请求出此最大值；若不正确，说明理由．
26.(本小题10分)
如图1，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，AC=1，D为△ABC内部的一动点(不在边上)，连接BD，将线段BD绕点D逆时针旋转60°，使点B到达点F的位置；将线段AB绕点B顺时针旋转60°，使点A到达点E的位置，连接AD，CD，AE，AF，BF，EF．
(1)求证：△BDA≌△BFE；
(2)当CD+DF+FE取得最小值时，求证：AD//BF；
(3)如图2，M，N，P分别是DF，AF，AE的中点，连接MP，NP，在点D运动的过程中，请判断∠MPN的大小是否为定值．若是，求出其度数；若不是，请说明理由．
参考答案
1.D
2.B
3.D
4.A
5.A
6.B
7.B
8.B
9.A
10.D
11.C
12.B
13.(2,5)
14.−9
15.(1,0)
16.x1=2，x2=14
17.18°
18.4
19.解：(x−3)(x−1)=0，
x−3=0或x−1=0，
所以x1=3，x2=1．
20.解：−12+( 3−π)0−(12)−1+3−8，
=−1+1−2−2，
=−4．
21.解：(1)如图：△A1B1C1即为所求；点C1的坐标(−3,−5)．
(2)如图：△A2B2C2即为所求；点A2的坐标(−4,1)．
22.(1)证明：如图，连接AE．
∵AB是圆O的直径，
∴∠AEB=90°，
即AE⊥BC．
又∵AB=AC，
∴AE是边BC上的中线，
∴BE=CE；
(2)解：∵AB=6，
∴OA=3．
又∵OA=OD，∠BAC=54°，
∴∠AOD=180°−2×54°=72°，
∴AD的长为：72×π×3180=6π5．
23.解：(1)∵8−6=2，
∴抛物线的顶点坐标为(2,3)，
设抛物线为y=a(x−2)2+3，
把点A(8,0)代入得：36a+3=0，
解得a=−112，
∴抛物线的函数表达式为y=−112(x−2)2+3；
当x=0时，y=−112×4+3=83>2.44，
∴球不能射进球门．
(2)设小明带球向正后方移动m米，则移动后的抛物线为y=−112(x−2−m)2+3，
把点(0,2.25)代入得：2.25=−112(0−2−m)2+3，
解得m=−5(舍去)或m=1，
∴当时他应该带球向正后方移动1米射门，才能让足球经过点O正上方2.25m处．
24.(1)证明：连接OC，
∵点C是BE的中点，
∴BC=CE，
∴∠BAC=∠CAE，
∵OC=OA，
∴∠OCA=∠OAC，
∴∠OCA=∠CAD，
∴OC//AD，
∵AE⊥CD，
∴OC⊥DF，
∵OC是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线；
(2)解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠ABC=60°，
∴∠BAC=30°，
∴∠CAD=∠BAC=30°，
∵∠D=90°，CD= 3，
∴AD= 3CD=3，
∵∠F=180°−∠D−∠BAD=30°，
∴AF=2AD=6．
25.解：(1)①a=−4，y=x2+2ax+a−3=x2−8x−7；
②当x=−b2a=4时，y取得最小值为：16−32−7=−23；
(2)合理，理由：
∵1>0，故函数有最小值，
当x=−b2a=−a时，y取得最小值，
故甲同学的说法合理；
(3)正确，理由：
当x=−a时，y=x2+2ax+a−3=−a2+a−3，
∵−1<0，故y有最大值，
当a=12时，y的最大值为：−14+12−3=−114．
26.解：(1)证明：由旋转的性质可得DB=DF，∠BDF=60°，AB=EB，∠ABE=60°，
∴△BDF是等边三角形，BD=BF，
∴∠DBF=∠ABE=60°，
∴∠DBF−∠ABF=∠ABE−∠ABF，
∴∠ABD=∠EBF，
在△BDA与△BFE中，
{BD=BF∠ABD=∠EBFAB=EB,
∴△BDA≌△BFE(SAS)；
(2)证明：由(1)可知△BDF是等边三角形，
∴∠BFD=∠BDF=60°，
∵当C，D，F，E共线时，CD+DF+FE最小，
∴∠BFE=180°−∠BFD=120°，
∵△BDA≌△BFE，
∴∠BDA=∠BFE=120°，
∴∠ADF=∠BDA−∠BDF=120°−60°=60°，
∴∠ADF=∠BFD，
∴AD//BF；
(3)∠MPN的大小是定值，理由如下：
∵M，N，P分别是DF，AF，AE的中点，
∴MN//AD，MN=12AD，PN//EF，PN=12EF，
∵△BDA≌△BFE，
∴∠BEF=∠BAD，AD=EF，
∴MN=PN，
∵AB=EB，∠ABE=60°，
∴△ABE为等边三角形，∠AEB=∠BAE=60°，
设∠BEF=∠BAD=α，∠PAN=β，
∴∠AEF=∠AEB−∠BEF=60°−α=∠APN，∠EAD=∠BAE+∠BAD=60°+α，
∴∠PNF=∠APN+∠PAN=60°−α+β，
∴∠FNM=∠FAD=∠BAF+∠BAD=∠BAE−∠PAN+∠BAD=60°−β+α，
∴∠PNM=∠PNF+∠FNM
=60°−α+β+60°−β+α
=120°，
∴∠MPN=12(180°−∠PNM)=30°，
∴∠MPN的大小为定值，且∠MPN=30°．
a
…
−4
−2
0
2
4
…
x
…
∗
2
0
−2
−4
…
y的最小值
…
∗
−9
−3
−5
−15
…