湖南省长沙市怡海中学2023届九年级上学期开学考试数学试卷(含解析)

这是一份湖南省长沙市怡海中学2023届九年级上学期开学考试数学试卷(含解析)，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题，八年级学生成绩统计表等内容，欢迎下载使用。

1. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
答案：C
解析：解：A、与不是同类项，不能合并，原计算错误，故此选项不符合题意；
B、，原计算错误，故此选项不符合题意；
C、，原计算正确，故此选项符合题意；
D、，原计算错误，故此选项不符合题意；
故选：C．
2. 以下列各组数的长为边作三角形，不能构成直角三角形的是（ ）
A. 3，4，5B. 4，5，6C. 6，8，10D. 9，12，15
答案：B
解析：解：A、32+42=52，故是直角三角形，不符合题意；
B、42+52≠62，故不是直角三角形，符合题意；
C、62+82=102，故是直角三角形，不符合题意；
D、92+122=152，故是直角三角形，不符合题意；
故选：B．
3. 下列式子中，为最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：解：A.= 被开方数含有分母，不是最简二次根式，不符合题意；
B. 是最简二次根式，符合题意；
C. =2被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意；
D. =2 被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意；
故选：B．
4. 《义务教育课程标准（2022年版）》首次把学生学会炒菜纳入劳动教育课程，并做出明确规定．某班有7名学生已经学会炒的菜品的种数依次为：3，5，4，6，3，3，4，则这组数据的众数和中位数分别是（ ）
A. 3，4B. 4，3C. 3，3D. 4，4
答案：A
解析：3出现次数最多，
众数是3；
把这组数据从小到大排序为：3，3，3，4，4，5，6，
4位于第四位，
中位数为4；
故选：A．
5. 九江某快递公司随着网络的发展，业务增长迅速，完成快递件数从六月份的10万件增长到八月份的12.1万件．假定每月增长率相同，设为x．则可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
答案：C
解析：解：设每月增长率为x，
根据题意得：10（1+x）2＝12.1．
故选：C．
6. 若一次函数y=ax+b的图象经过第一、二、四象限，则下列不等式中总是成立的是（ ）
A. ab＞0B. a﹣b＞0C. a2+b＞0D. a+b＞0
答案：C
解析：解：∵一次函数y=ax+b的图象经过第一、二、四象限，
∴a＜0，b＞0，
∴ab＜O，故A错误，
a﹣b＜0，故B错误，
，故C正确，
a+b不一定大于0，故D错误．
故选C．
7. 关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是（ ）
A. B. C. 且D. 且
答案：D
解析：解：根据一元二次方程一元二次方程有两个实数根，
解得：，
根据二次项系数 可得：
故选D．
8. 当ab＜0时，y＝ax与y＝ax＋b的图象大致是（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：解：根据题意，ab＜0，
当a＞0时，b＜0，y=ax2开口向上，过原点，y=ax+b过一、三、四象限；
此时，A选项符合，
当a＜0时，b＞0，y=ax2开口向下，过原点，y=ax+b过一、二、四象限；
此时，没有选项符合．
故选：A．
9. 抛物线y＝x2+3上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），若y1＜y2，则下列结论正确的是( )
A. 0≤x1＜x2B. x2＜x1≤0
C. x2＜x1≤0或0≤x1＜x2D. 以上都不对
答案：D
解析：∵抛物线y＝x2+3开口向上，在其图象上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），且y1＜y2，
∴|x1|＜|x2|，
∴0≤x1＜x2，或x2＜x1≤0，或x2故选：D．
10. 已知二次函数y=ax2−4ax−5a+1(a>0)下列结论正确的是（ ）
①已知点M(4，y1)，点N(−2，y2)在二次函数的图象上，则y1>y2；
②该图象一定过定点（5，1）和（－1，1）；
③直线y=x−1与抛物线y=ax2−4ax−5a+1一定存在两个交点；
④当−3≤x≤1时，y的最小值是a，则a=
A. ①④B. ②③C. ②④D. ①②③④
答案：B
解析：解：二次函数y=ax2−4ax−5a+1(a>0)，开口向上，
且对称轴为x=-=2，
①点N(−2，y2)关于对称轴对称的点为(6，y2) ，
∵a>0，∴y随x的增加而增加，
∵4<6，∴y1②当y=1时，ax2−4ax−5a+1=1，即x2−4x−5=0，
解得：x=5或x=-1，
该图象一定过定点（5，1）和（-1，1）；故②正确；
③由题意得方程：ax2−4ax−5a+1= x−1，
整理得：ax2−(4a+1)x−5a+2=0，
16a2+8a+1+20a2-8a
=36a2+1>0，
直线y=x−1与抛物线y=ax2−4ax−5a+1一定存在两个交点；故③正确；
④当−3≤x≤1时，y随x的增加而减少，
∴当x=1时，y有最小值为a，
即a−4a−5a+1=a，
解得：a=，故④错误；
综上，正确的有②③，
故选：B．
二、填空题（本大题共6个小题；每小题3分，共18分．）
11. 在函数中，自变量x的取值范围_________．
答案：
解析：根据题意得：
，解得
∴自变量x的取值范围是．
故答案为：．
12. 已知m和n是方程2x2﹣5x﹣3=0的两根，则=_______．
答案：
解析：∵m和n是方程2x2﹣5x﹣3=0的两根，
∴．
∴．
故答案为：．
13. 某工厂一共有1200人，为选拔人才，提出了一些选拔的条件，并进行了抽样调查．从中抽出400人，发现有300人是符合条件的，那么则该工厂1200人中符合选拔条件的人数为________________．
答案：900人
解析：解：（人）．
故答案是：900人．
14. 将抛物线向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度，所得到的拋物线为________________．
答案：
解析：解：由“上加下减”的原则可知，将抛物线y=x2向上平移3个单位所得抛物线的解析式为：y=x2+3；
由“左加右减”的原则可知，将抛物线y=x2+3向右平移5个单位所得抛物线的解析式为：y=（x-5）2+3；
故答案为：y=（x-5）2+3．
15. 如图，将一矩形纸片ABCD折叠，使两个顶点A，C重合，折痕为FG．若AB=4，BC=8，则CF的长为________．
答案：5
解析：解：∵将一矩形纸片ABCD折叠，使两个顶点A，C重合，
∴AF＝CF，
设AF＝FC＝x，
在Rt△ABF中，由勾股定理得：AB2＋BF2＝AF2，
即42＋（8−x）2＝x2，
解得：x＝5，
即CF＝5，
故答案为：5．
16. 将二次函数在x轴下方的图像沿x轴翻折到x轴上方，图像的其余部分不变，得到一个新的图像，若直线y＝x+b与这个图像恰好有3个公共点，则b的值为 _____．

答案：或﹣1
解析：解：当直线y＝x+b与抛物线只有一个交点时满足题意，
令，整理得，
∴Δ＝﹣4×（﹣1）（﹣5﹣b）＝0，
解得b＝，

令，
解得，，
∴抛物线与x轴交点坐标为（1，0），（5，0），
当直线经过（1，0）时符合题意．
将（1，0）代入y＝x+b得0＝1+b，
解得b＝﹣1，

故答案为：或﹣1．
三、解答题（本题共9道题，满分102分）
17. 计算：﹣|﹣1|+．
答案：﹣1+
解析：解：﹣|﹣1|+
＝﹣1+2﹣3++1
＝﹣1+．
18. 先化简，再求值：，其中x满足x2﹣4x+3＝0．
答案：化简结果是，求值结果是：．
解析：解：原式＝
＝
＝
＝，
∵x满足x2﹣4x+3＝0，
∴(x-3)(x-1)＝0，
∴x1＝3，x2＝1，
当x＝3时，原式＝﹣＝；
当x＝1时，分母等于0，原式无意义．
∴分式的值为．
故答案为：化简结果是，求值结果是：.
19. 如图是某货站传送货物的平面示意图，为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角，使其由改为．已知原传送带长为．
（1）求新传送带的长度；
（2）如果需要在货物着地点的左侧留出的通道，试判断距离点的货物是否需要挪走，并说明理由．
答案：（1）新传送带的长度为；（2）货物需要挪走，理由见解析．
解析：解：（1）在中，，

在中，，
，
答：新传送带的长度为；
（2）在中，，
，
在中，，
，
，
货物需要挪走．
20. 五一放假前，我市某中学举行了“喜迎二十大，筑梦向未来”知识竞赛，数学王老师从七．八年级各随机抽取了10名学生的竞赛成绩（百分制），进行整理．描述和分析如下：成绩得分用x表示（x为整数），共分成四组：
A.；B.；C.；D.．
七年级10名学生的成绩是：96，80，96，86，99，96，90，100，89，82．
八年级10名学生的成绩在C组中的数据是：90，92，94．
抽取的七、八年级学生成绩统计表

根据以上信息，解答下列问题：
（1）这次比赛中 年级成绩更平衡，更稳定．
（2）直接写出图表中a，b，c的值： ， ， •
（3）该校八年级共180人参加了此次竞赛活动，估计八年级参加此次竞赛活动成绩优秀（）的学生人数是多少？
答案：（1）八 （2）40，93，96
（3）估计八年级参加此次竞赛活动成绩优秀（）的学生人数是126人
小问1解析：
∵七年级成绩的方差为52，八年级成绩的方差为50.4，
∴八年级成绩的方差小于七年级成绩的方差，
∴八年级成绩更平衡，更稳定；
故答案为：八；
小问2解析：
∵八年级学生成绩落在C组人数所占百分比为，
∴，即；
将七年级成绩重新排列为：80，82，86，89，90，96，96，96，99，100，
则这组数据的中位数，，
故答案为：40，93，96；
小问3解析：
（人），
答：估计八年级参加此次竞赛活动成绩优秀（）的学生人数是126人．
21. 已知一次函数y=kx+b的图象经过点A（-4，0），B（2，6）两点．
（1）求一次函数y=kx+b的表达式；
（2）在直角坐标系中，画出这个函数的图象；
（3）求这个一次函数与坐标轴围成的三角形面积．
答案：（1）；（2）函数图像见详解；（3）8
解析：（1）∵一次函数y=kx+b的图象经过两点A（-4，0）、B（2，6）
，解得，
∴函数解析式为：；
（2）函数图像如图：
（3）∵一次函数与y轴的交点为C（0，4），
∴△AOC的面积=4×4÷2=8.
22. 如图，在ABCD中，E是对角线BD上的一点，过点C作CF∥DB，且CF＝DE，连接AE，BF，EF

（1）求证：△ADE≌△BCF；
（2）若∠ABE+∠BFC＝180°，则四边形ABFE是什么特殊四边形？说明理由．
答案：（1）证明见解析；（2）四边形ABFE是菱形
解析：证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC．
∵CF∥DB，
∴∠BCF=∠DBC，
∴∠ADB=∠BCF
在△ADE与△BCF中

∴△ADE≌△BCF（SAS）．
（2）四边形ABFE是菱形
理由：∵CF∥DB，且CF=DE，
∴四边形CFED是平行四边形，
∴CD=EF，CD∥EF．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴AB=EF，AB∥EF，
∴四边形ABFE是平行四边形．
∵△ADE≌△BCF，
∴∠AED=∠BFC．
∵∠AED+∠AEB=180°，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AB=AE，
∴四边形ABFE是菱形．
23. 喜迎元旦，某商店销售一种进价为50元/件的商品，售价为60元/件，每星期可卖出200件，若每件商品的售价每上涨1元，则每星期就会少卖出10件．
（1）假设设每件商品的售价上涨元（为正整数），每星期销售该商品的利润为元，求与之间的函数关系式．
（2）每件商品的售价上涨多少元时，该商店每星期销售这种商品可获得最大利润?此时，该商品的定价为多少元?获得的最大利润为多少?
答案：（1）；（2）每件商品的售价上涨5元时，该商店每星期销售这种商品可获得最大利润，此时，该商品的定价为65元，获得的最大利润为2250元
解析：（1）
．
（2）
所以，当时，y取得最大值为2250．
答：每件商品的售价上涨5元时，该商店每星期销售这种商品可获得最大利润，此时，该商品的定价为65元，获得的最大利润为2250元．
24. 定义：若函数与轴的交点的横坐标为，，与轴交点的纵坐标为，若，中至少存在一个值，满足（或），则称该函数为友好函数．如图，函数与轴的一个交点的横坐标为-3，与轴交点的纵坐标为-3，满足，称为友好函数．

（1）判断是否为友好函数，并说明理由；
（2）请探究友好函数表达式中的与之间的关系；
（3）若是友好函数，且为锐角，求的取值范围．
答案：（1）是，理由见解析；（2）；（3）或，且
解析：解：（1）是友好函数．理由如下：
当时，；当时，或3，
∴与轴一个交点的横坐标和与轴交点的纵坐标都是3．
故是友好函数．
（2）当时，，即与轴交点的纵坐标为．
∵是友好函数．
∴时，，即在上．
代入得：，而，∴．
（3）（ⅰ）当在轴负半轴上时，由（2）可得：，
即，显然当时，，
即与轴的一个交点为．
则，∴只需满足，即．
∴．

（ⅱ）当在轴正半轴上时，且与不重合时，
∴显然都满足为锐角．
∴，且．

（ⅲ）当与原点重合时，不符合题意．
综上所述，或，且．
25. 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线：经过点和点．
（1）求抛物线解析式；
（2）如图2，作抛物线，使它与抛物线关于原点成中心对称，请直接写出抛物线的解析式；
（3）如图3，将（2）中抛物线向上平移2个单位，得到抛物线，抛物线与抛物线相交于，两点（点在点的左侧）．
①求点和点的坐标；
②若点，分别为抛物线和抛物线上，之间的动点（点，与点，不重合），试求四边形面积的最大值．
答案：（1）
（2）
（3）①或；②16
小问1解析：
解：将点和点代入，
∴，解得，
∴．
小问2解析：
∵，
∴抛物线的顶点，
∵顶点关于原点对称点为，
∴抛物线的解析式为，
∴．
小问3解析：
由题意可得，抛物线的解析式为，
①联立方程组，
解得或，
∴或；
②设直线的解析式为，
∴，解得，
∴，
过点作轴交于点，过点作轴交于点，如图所示：
设，，
则，，
∴，
，
∵，，
∴当时，有最大值，
当时，有最大值，
∵，
∴当最大时，四边形面积的最大值为16．年级
平均数
中位数
众数
方差
七年级
92
b
c
52
八年级
92
93
100
50.4