山东省青岛市2024年高三年级上学期9月期初调研检测 数学

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2024.09
本试卷共 4 页，19 题．全卷满分 150 分．考试用时 120 分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上，并将准考证
号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需要
改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在
本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
A. {5} B. {1, 2, 3} C. {1, 2, 3, 4} D. {1, 2,3, 4,5}
2. 已知复数 z 满足(1+ 2i)z = 4 +3i，则 z 的虚部为（ ）
A. 1 B. −1 C. i D. −i
4. 等差数列{ }的首项为 −1，公差不为 0，若 a2 ,a3,a6 成等比数列，则{ }的前 6 项和为（ ）
A. −1 B. 3 C. −24 D. 24
5. 在平面直角坐标系 xOy 中，角 α 与角 β 均以 x 轴的非负半轴为始边，它们的终边关于 x 轴对称．若
1
cs
3
α = − ，则 cs(α − β )= （ ）
司1. 已知集合
{ ln 4 }
( )
A = x y = − x ， B = {1, 2,3, 4,5}，则 A B = （ ）
， B = {1, 2,3, 4,5}，则 A B = （ ）
 π −α  =  π +α 
3. 已知命题 p：∀α ∈R ，sin cs
   
 4   4 
，则¬p 为（ ）
 π −α  ≠  π +α 
A. ∀α ∈R ，sin cs
   
 4   4 
 π −α  ≠  π +α 
B. ∃α ∈R ，sin cs
   
 4   4 
 π −α  =  π +α 
C. ∀α ∉R ， sin cs
   
 4   4 
 π −α  =  π +α 
D. ∃α ∉R ，sin cs
 4   4 
6. 两个粒子 A，B 从同一发射源发射出来，在某一时刻，它们 位移分别为 S = (1, 2) ，S = (4, 3) ．粒子
的
A B
B 相对粒子 A 的位移为 S ，则 S 在 SA 上的投影向量为（ ）
A [−1, 0] B. [−1, 2] C. [−2,−1] D. [−2, 0]
x y
2 2
8. 已知双曲线C : − = 1(a > 0,b > 0)的左、右焦点分别为 F1，F2．以 F1F2 为直径的圆和 C 的渐近线
a b
2 2
A. 2 B. 3 C. 2 D. 3
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的四个选项中，有多项符
合题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
9. 一组数据：x1，x2，…，x10 是公差为－2 的等差数列，去掉首末两项 x1，x10 后得到一组新数据，则（ ）
A. 两组数据的极差相同 B. 两组数据的中位数相同
C. 两组数据的平均数相同 D. 两组数据的标准差相同
列{ }构成的集合为C ．已知数列{A }和{ }
B 为C 中的两个元素，项数均为 m ，下列正确的有（ ） n n
A. 数列1,3,5, 7 和数列 2, 4, 6,8 距离为 4
的
司A.
1
9
B.
− C. 1 D. 7
7
9 9
A.
 
5 2 5
 
,
 
5 5
 
B. ( 5,2 5) C. (1, 2) D. (2,1)
7. 设 ( )
f x
( + )2 , ≤ 0
x a x

=  ，若 f (0)是 f (x)的最小值，则 a 的取值范围为（ ）
1
x + + a, x > 0

 x
在第一象限交于 A 点，直线 AF1 交 C 的另一条渐近线于点 B，
F B = BA，则 C 的离心率为（ ）
1
10. 平面α 过正方体
ABCD − A B C D 的顶点 A ，平面α / / 平面CB D ，平面α  平面 ABCD = m ，平
1 1 1 1 1 1
面α  平面
ABB A = n ，则（ ）
1 1
A. B1D1 / /m B. A1B / / 平面α C. n ⊥ 平面
ADC B D. m,n 所成的角为 π
1 1
3
11. 设数列{ }和{ }的项数均为 m ，称
m
∑
i=1
a −b
i i
a
为数列{ }和{ }的距离．记满足 1
n+
=
1+
1−
a
a
n
n
的所有数
B. 若 ( )
m = 4p p∈ N ，则
*
A A  A = B B B
1 2 m 1 2 m
三、填空题：本题共 3 个小题，每小题 5 分，共 15 分．
12. 若曲线 y = axcs x在点(0, 0)处的切线斜率为 −1，则 a =______．
14. 正方体 ABCD－A1B1C1D1 棱长为3， P 是侧面 ADD1A1 （包括边界）上一动点， E 是棱CD上一点，
的
若 ∠APB = ∠DPE ，且 △APB 的面积是DPE 面积的9倍，则三棱锥 P－ABE 体积的最大值是______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语，若一方猜对且另一方猜错，则猜对的一方获胜，否则本次
动也互不影响．
（1）求在一次猜谜活动中，有一方获胜的概率；
（2）若有一方获胜则猜谜活动结束，否则猜谜继续，猜谜最多进行 3 次，求猜谜次数 X 的分布列和期
望．
a
16. 已知ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ， 2 ( cs + cs )= ．
c B b C
cs A
（1）求 A ；
17. 如图，在四棱锥 P − ABCD 中，底面四边形 ABCD 是正方形，PD = DC ， PD ⊥ 底面 ABCD ， E 是
线段 PC 的中点， F 在线段 PB 上， EF ⊥ PB ．
（1）证明： PB ⊥ 平面 DEF ；
（2）G 在线段 PB 上， EG 与 PA 所成的角为 45 ，求平面 DEF 与平面 DEG 夹角的余弦值．
司m
C. 若 ( )
∑
m = 4p p∈ N ，则
*
i=1
A ≤ m
i
D. 若 A1 = 2 ，
B = ，数列{A }和{ }
1 3 B 的距离小于 2017 ，则 m 的最大值为3456
n n
13. 若
π
x = ，
1
3
x = 是函数 f (x) = sinωx(ω > 0)的两个相邻极值点，则ω =______．
2 π
平局．已知每次活动中，甲、乙猜对的概率分别为
2
3
和
1
2
，且每次活动甲、乙猜对与否互不影响，各次活
（2）若 AB 边上的高等于
1
3
c ，求sinC ．
18. 已知双曲线C : 4x2 − y2 = m ，点 P ( )在C 上．按如下方式构造点 Pn （ n ≥ 2 ）；过点 Pn−1 作斜率为1
1 1,1
（1）求点 P2 , P3 的坐标；
a = x − y ，证明：数列{ }
（2）记 2 a 为等比数列；
n n n n
19. 已知函数 f (x)定义域为 I ，D ⊆ I ，若∀x∈ D ，∃t ∈ D ，当 x < t 时，都有 f (x)< f (t)．则称t 为 f (x)
在 D 上 “Ω 点”．
的
（1）设函数 f (x)= (2 + ax)ln(1+ x)− 2x ．
（i）当 a = 0 时，求 f (x)在(−1,+∞)上的最大“Ω 点”；
（ii）若 f (x)在[0,1]上不存在“Ω 点”，求 a 的取值范围；
（2）设 D = {  m}(m∈ )，且 f (1)= 0 ， f (x)− f (x −1)≤1．证明： f (x)在 D 上的“Ω 点”个
1, 2, , N
*
数不小于 f (m)．
司的直线与C 的左支交于点Qn−1 ，点 Qn−1 关于 y 轴的对称点为
P ，记点
n
P 的坐标为( , )
x y ．
n n n
（3）O 为坐标原点，G, H 分别为线段
P P + ， Pn+1Pn+3 的中点，记△OPn+1Pn+2 ，OGH 的面积分别为
n n 2
S
S1, S2 ，求 1
S
2
的值．