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2025年中考数学二轮专题复习讲义第23讲 求面积及其最值（含解析）
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这是一份2025年中考数学二轮专题复习讲义第23讲 求面积及其最值（含解析），共13页。学案主要包含了温馨提示，一题多解等内容，欢迎下载使用。
1. 如图,在平面直角坐标系中,点A(2,3),B(5,3),( C−11,求 △ABC的面积.
【温馨提示】若题干中没有出现“平行”相关的字眼，需根据点的坐标特征，通过计算找到与坐标轴平行的边及该边上的高，再用“公式法”求解即可.
2.如图，在平面直角坐标系中，点 A−21,B−23,C22,求 △ABC的面积.
3. 如图,在平面直角坐标系中,点A(1,3),B(3,0),C(5,4),求 △ABC的面积.
【温馨提示】利用转化思想将这个三角形进行“割补”，转化为2~3 个一边在坐标轴上(或平行于坐标轴)的三角形，然后使用“公式法”进行计算.4.如图，在平面直角坐标系中，直线 l₁:y=2x+4与x轴交于点A，直线 l2:y=−25x+65与x轴交于点 B，与直线 l₁交于点C，若在y轴负半轴上有一点 D使得以A，B，C，D为顶点的四边形的面积为15，求点D的坐标.
5.如图，抛物线 y=−x²−2x+3与x轴交于A(1,0), B−30两点，与y轴交于点C.点P 为第二象限内抛物线上一动点，连接PB，PC,BC,求 △PBC面积的最大值，并求出此时点P的坐标.
二阶 设问进阶练
例 如图，抛物线 y=x²−2x−3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C,连接BC.
(1)如图①，若点P是线段BC下方抛物线上一点，连接AC，BP，CP,求四边形 ACPB 面积的最大值;
(2)设点D为该抛物线顶点，平移该抛物线，使得平移后的抛物线顶点在直线 y=−x−3上运动，平移后所得的新抛物线与y轴负半轴的交点记为点M，求 △DOM面积的最大值；
(3) 创新题·重叠图形面积最值 如图③，将 △AOC沿x轴向右平移 m个单位( (0三阶 综合强化练详解详析见答案册P60
1.如图，抛物线 y=12x2−2x−6与x轴交于A，B两点(点A在点B左侧)，交y轴于点C，点P是线段BC下方抛物线上一动点，过点 P作 PQ‖AC交BC于点Q,连接AQ,OQ.
(1)求A,B两点坐标;
(2)求 △AOQ周长的最小值；
(3)(两个图形的面积和)连接PA,PB,记 △PAQ与 △PBQ的面积分别为 S₁,S₂,设 S=S₁+S₂,求 S 的最大值，并求出此时点 P 的坐标.
作图区 答题区
2.如图，抛物线 y=x²+bx+c交x轴于A(1,0),B(3,0)两点,交y轴于点C,直线l过点C,且交抛
物线于另一点E(点E 不与点A，B重合).
(1)求抛物线的解析式；
(2)过点A作 AF⊥x轴,交直线l于点F,连接OF,BE,求证:( OF//BE;
(3)点G是直线l下方抛物线上的动点，且直线l经过点(6，0)，设点G的横坐标为m，试用含m的代数式表示 △GCE的面积，并求出 △GCE面积的最大值.
作图区 答题区
3.如图①,抛物线 y=ax²+bx+3a≠0与x轴交于A(-1,0),B(3,0)两点,与y轴交于点C,连接BC，抛物线的顶点为 D.
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图②，将抛物线沿x轴向右平移得到抛物线 W',设抛物线 W'的对称轴与直线 BC 交于点M,连接MA,当 ∠MAC=90°时，求点 M的坐标；
(3) 创新题·重叠图形面积最值P是线段BC上一点，当 DP+22BP取得最小值时，将 △ADP沿x轴正方向平移t个单位长度( 0≤t≤4得到 △A'D'P',设 △A'D'P'与 △BOC重叠部分的面积为S，求S的最大值.
作图区 答题区
一阶 方法突破练
1. 解:∵A(2,3),B(5,3),∴AB∥x轴(判断三角形的边
与坐标轴关系),且AB=3,
∴SABC=12×AB×(点 C 到AB 的距离)(利用公式
直接求面积)
=12×3×2=3.
2. 解:∵A(-2,1),B(-2,3),∴AB∥y轴,且AB=2, ∴SABC=12×AB×(点C到AB的距离)
=12×2×4=4.
3. 解：如解图①，过点 B作y轴的平行线交AC 于点 D(将三边均不平行于坐标轴的三角形分割成底边垂直于x轴的两个三角形).
∵A(1,3),C(5,4),
∴直线 AC 的解析式为 y=14x+114.
当x=3时, y=72,∴BD=72(求出公共底的长).
∴SABC=12BD⋅|xc−xA|=12×72×5−1=7(求出不规则三角形的面积).
【一题多解】如解图②，分别过点 A，C 作 x轴的垂线，垂足分别为E，F，则 SBCF=7.
4. 解:∵直线 l₁:y=2x+4与x轴交于点A,∴A(-2,0),
∵ 直线 l2:y=−25x+65与x轴交于点 B,∴B(3,0),
∵两直线交于点 C，
∴联立 y=2x+4y=−25x+65
解得 x=−76y=53,
∴C−7653.
设点 D的坐标为(0,-h),∴点D 到x轴的距离为h.∵A(-2,0),B(3,0),∴AB=5,
遇到四边形面积，首先想到分割成两个三角形面积和计算.
如解图， S四边形ACBD=SABC+SABD=12×5×53+12×5h=15,解得 ℎ=133,
∴点D 的坐标为 0−133.
5. 解:如解图①,过点 P 作PE⊥x轴于点 E,交 BC 于点 F.
∵ 抛物线与y轴交于点 C，
∴C(0,3).
∵ B(-3,0),∴BC 所在直线的解 第5题解图①析式为y=x+3.
设点 Px−x²−2x+3(−3 ∴PF=−x²−2x+3−x+3,
∴SPBC=12PF⋅OB=32−x2−2x+3−x+3= −32x+322+278,
∵−32<0,−3∴当 x=−32时，S△FBC的值最大，最大值为2 78.
当 x=−32时, −x2−2x+3=154,
∴此时点P的坐标为 −32154.
【一题多解】
解法一：利用和差法求面积，如解图②，连接OP，则 SPBC=SOCP+SOBP−SOBC.
由抛物线解析式可知，当x=0时，y=3，∴C(0,3).
设 Pm−m²−2m+3(−3 ∴SPBC=SOCP+SOBP−SOBC=12OC⋅|xP|+12OB.
|yP|−12OB⋅OC=12×3×−m+12×3×(−m2−2m+
3)−12×3×3=32−m2−3m=−32m+322+278,
∵−32<0,−3∴当 m=−32时，S△PBC的值最大，最大值为 278.当 m=−32时, −m2−2m+3=154,
∴ 此时点 P的坐标为 −32154;
解法二：利用底边平行线法求面积，如解图③，过点P 作BC的平行线l，作x轴的平行线交 y轴于点E，过点 B作y轴的平行线交直线 PE于点 F，
∵抛物线与y轴交于点C,∴C(0,3),
由题意可知BC所在直线的解析式为y=x+3，
设直线l的解析式为y=x+b，
联立 y=x+by=−x2−2x+3,
得 −x²−3x+3−b=0,
令 b²−4ac=−3²−4×−1×3−b=0,解得 b=214,
∴ 直线l的解析式为 y=x+214,
联立 y=x+214y=−x2−2x+3,解得 x=−32y=154,
∴点P的坐标为 −32154(求出 P 点坐标).
12×34×32−12×32×154=278.
二阶 设问进阶练
例 解:(1)由抛物线的解析式可得 A(-1,0),B(3,0),C(0,-3),
∴BC所在直线的解析式为y=x-3.
如解图①，过点 P作y轴的平行线交BC于点 F，
∵SBCP=12FP⋅OB=32FP,SABC=12AB⋅OC=6,
∴S四边形ACPB=SBCP+SABC=32FP+6,
∴ 当FP 最大时,S四边形ACPB 最大.
设 Ppp²−2p−3(0 ∴FP=p−3−p2−2p−3=−p2+3p=−p−322+94,
∵-1<0,0∴ 当 p=32时，FP有最大值，最大值为 94,
∴四边形ACPB 面积的最大值为 32×94+6=758;
(2)设平移后新抛物线的解析式为 y=x²+bx+c,则其顶点坐标为 −b24c−b24.
当x=0时,y=c,∴M(0,c).
将 −b24c−b24代入γ=-x-3,得 c=b2+2b−124.
∵点 M 在y轴负半轴上， :OM=−c=−b2+2b−124.
∵ 原抛物线 y=x²−2x−3=x−1²−4,∴D1−4.如解图②,过点 D 作DG⊥y轴于点 G,则DG=1, ∴SDM=12OM⋅DG=12×−b2+2b−124×1= −18b2+2b−12=−18b+12+138,
∴当b=-1 时,此时c<0,△DOM 面积有最大值，最大值为 138;
(3)如解图③,设A'C'交y轴于点 Q,交 BC 于点G,O'C'交 BC于点K,过点G作GH⊥y轴于点 H,延长HG交O'C'于点 N.
设CH=n.∵C(0,-3),B(3,0),∴OB=OC,
∴∠OBC=∠OCB=45°,∴∠HGC=∠OCG=45°.
∴HG=CH=n,∠O'KB=∠O'BK=45°.
∴O'B=O'K.
∵OB=O'C',
∴KC'=OO'=HN=m.
∵ A'C'是由AC 平移得来的,
∴A'C'∥AC.
∴∠A'QO=∠ACO=∠GQH.
又∵∠AOC=∠QHG=90°,
∴△ACO∽△A'QO∽△GQH. ∴OAOC=OA'OQ=HGHQ,即 13=1−mOQ=nHQ.
∴OQ=3(1-m),HQ=3n.
∵OQ+HQ+CH=OC,
∴31−m+3n+n=3,∴n=34m.
∴GN=m−34m=14m.
∴S=SO'A'C'−SOA'Q−SKCC=12×1×3−12⋅1−m
31−m−12m⋅14m=−138m2+3m=−138(m− 1213)2+1813.
∵−138<0,0∴ 当 m=1213时，S有最大值，最大值为 1813
三阶 综合强化练
1. 解:(1)A(-2,0),B(6,0);
2∵CAOQ=AO+OQ+AQ,由(1)知AO=2,
∴当OQ+AQ最小时,△AOQ 周长最小,如解图①,作点O关于线段BC的对称点 O'，连接AO'交BC于点Q,此时点 Q 即为 OQ+AQ最小值的情况,
∵ QA+QO=QA+QO'≥AO',
∴QO+QA 的最小值为AO'的长,
∵ 抛物线 y=12x2−2x−6与y轴交于点 C，
∴C(0,-6),∴OB=OC=6,∠BOC=90°,
∴∠BCO=45°,
∵0,O'关于线段BC对称,
∴线段BC垂直平分OO',
∴四边形 BOCO'是正方形,∴O'(6,-6),在 Rt△ABO'中, AO'=AB2+O'B2=82+62=10,
∴AO+AO'=12.
∴△AOQ 周长的最小值为 12;
(3)如解图②,连接PC,过点 P作PH⊥BO于点H,
∵ PQ∥AC,∴S△PAQ=S△PCQ,
SPBH−SBOC,
设 Pm12m2−2m−6,
则 S=m2−12m2+2m+6+6+126−m(−12m2+
2m+6)−12×6×6=−32m2+9m=−32m−32+272,
∵−32<0,0∴当m=3 时，S有最大值，最大值为 272,12m2− 2m−6=12×32−2×3−6=−152,
即点P 的坐标为 3−152时，S有最大值 272.
2.(1)解：抛物线的解析式为 y=x²−4x+3;
(2)证明:如解图,过点E作EH⊥x轴于点 H,
∵y=x²-4x+3,∴C(0,3),
∴设直线 CE的解析式为y=kx+3(k≠0),
∵A(1,0),AF⊥x轴,
∴ F(1,k+3),∴OA=1,AF=k+3.
∵E 是直线CE 与抛物线的交点，
联立 y=kx+3y=x2−4x+3,
解得 x=k+4y=k+1k+3, 或 x=0y=3(舍去),
∴点E(k+4,(k+1)(k+3)),
∴ BH=OH-OB=k+1,EH=(k+1)(k+3),
∴OABH=AFEH=1k+1.
∵∠OAF=∠BHE=90°,
∴△OAF∽△BHE,
∴∠AOF=∠HBE,
∴OF∥BE;
(3)解:由(2)得直线l的解析式为y=kx+3(k≠0),∵直线l过点(6,0).
∴6k+3=0,解得 k=−12,
∴ 直线l的解析式为 y=−12x+3.
由(2)得点 E的横坐标为 k+4=−12+4=72,如解图,过点G作G'G⊥x轴,交直线l于点 G'.
则点 Gmm2−4m+3(0 ∴G'G=−12m+3−m2+4m−3=−m2+72m.
∵SGCE=12G'G⋅xE−xc=12G'G⋅xE,
∴SGCE=12−m2+72m×72=−74m2−72m= −74m−742+34364,
∴−74<0,0∴ 当 m=74时，△GCE的面积最大，最大值为 34364.
3.解：(1)抛物线的解析式为 y=−x²+2x+3;
(2)如解图①,当∠MAC=90°时,设抛物线 W'的对称轴交x轴于点 E，
易知直线 BC的解析式为y=-x+3,则可设点M的坐标为(m,-m+3).
∵A(-1,0),C(0,3),
∴OA=1,OC=3,AE=m+1,ME=m-3.
∵∠MAE+∠CAO=90°,∠CAO+∠ACO =90°,
∴∠ACO =∠MAE.
又∵∠AOC=∠AEM=90°,
∴△ACO∽△MAE,∴ 00 ⊂=EA ,即 13=m−3m+1,
∴m=5,∴点M的坐标为(5,-2);
(3)如解图②,过点 P 作 PF⊥x轴于点 F,
∵B(3,0),C(0,3),∴△BCO为等腰直角三角形,
∵直线 BC的解析式为y=-x+3,PF∥y轴,
∴PF=22BP,∴DP+22BP最小即 DP+PF最小,故D，P，F共线且垂直于x轴时最小，
∵抛物线 y=−x²+2x+3=−x−1²+4的顶点为D(1,4),
∴DP+22BP最小时,点P的坐标为(1,2),将△ADP沿x轴正方向平移t个单位长度(0≤t≤4)
得到△A'D'P',分两种情况:
①当0≤t<1时,A'D'与OC,BC分别交于 E,M,A'P'与OC,BC分别交于G,N,如解图③,由A(-1,0),D(1,4)可得直线AD的解析式为y=2x+2,
∵△ADP沿x轴正方向平移t个单位长度，
∴A'(-1+t,0),A'D'∥AD,
∴ 直线 A'D'的解析式为y=2x+2-2t,
∴令x=0,得y=2-2t,即E(0,2-2t),CE=OC-OE=1+2t,
联立 y=2x+2−2ty=−x+3,解得 x=1+2t3y=8−2t3
∴M1+2t38−2t3,∴SCEM=12CE⋅xM=161+2t2,由A(-1,0),P(1,2)得直线AP的解析式为y=x+1,而A'(-1+t,0),A'P'∥AP得直线A'P'的解析式为y=x+1-t,
∴A'P'与y 轴交点 G(0,1-t),与直线 BC 交点 N1+12t2−12t,
∴OG=1−t,SA'G=12A'⋅OG=121−t2, SA'NB=12A'B⋅yN=124−t2−12t,
∴S=SBOC−SCEM−SA'NB−SA'c=12×3×3− 161+2t2−124−t2−12t+121−t2=−512t2+ 13t+56=−512t−252+910,∴−512<0,0≤t<1,
∴当 t=25时，S有最大值，最大值为 910;
②当1≤t≤4时,A'D'交BC于点 H,A'P'交BC于点Q,如解图④,
∵直线AD 的解析式为y=2x+2,A'D'∥AD,A'(t-1,0),
∴直线 A'D'的解析式为y=2x+2-2t,
联立 y=2x+2−2ty=−x+3,得点 H 的坐标为 23t+13−23t+83,
∵ 直线AP 的解析式为y=x+1,而A'(t-1,0),A'P'∥AP 得直线A'P'的解析式为y=x+1-t,
联立 y=x+1−ty=−x+3,得点 Q的坐标为 12t+1−12t+2, ∴S=SHA'B−SQA'B=124−t−23t+83−124−t −12t+2=112t2−23t+43=112t−42.
∵112>0,1≤t≤4,
∴当t=1时，S有最大值，最大值为 34.
∴910>34,∴S的最大值为 910.
1. 如图,在平面直角坐标系中,点A(2,3),B(5,3),( C−11,求 △ABC的面积.
【温馨提示】若题干中没有出现“平行”相关的字眼，需根据点的坐标特征，通过计算找到与坐标轴平行的边及该边上的高，再用“公式法”求解即可.
2.如图，在平面直角坐标系中，点 A−21,B−23,C22,求 △ABC的面积.
3. 如图,在平面直角坐标系中,点A(1,3),B(3,0),C(5,4),求 △ABC的面积.
【温馨提示】利用转化思想将这个三角形进行“割补”，转化为2~3 个一边在坐标轴上(或平行于坐标轴)的三角形，然后使用“公式法”进行计算.4.如图，在平面直角坐标系中，直线 l₁:y=2x+4与x轴交于点A，直线 l2:y=−25x+65与x轴交于点 B，与直线 l₁交于点C，若在y轴负半轴上有一点 D使得以A，B，C，D为顶点的四边形的面积为15，求点D的坐标.
5.如图，抛物线 y=−x²−2x+3与x轴交于A(1,0), B−30两点，与y轴交于点C.点P 为第二象限内抛物线上一动点，连接PB，PC,BC,求 △PBC面积的最大值，并求出此时点P的坐标.
二阶 设问进阶练
例 如图，抛物线 y=x²−2x−3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C,连接BC.
(1)如图①，若点P是线段BC下方抛物线上一点，连接AC，BP，CP,求四边形 ACPB 面积的最大值;
(2)设点D为该抛物线顶点，平移该抛物线，使得平移后的抛物线顶点在直线 y=−x−3上运动，平移后所得的新抛物线与y轴负半轴的交点记为点M，求 △DOM面积的最大值；
(3) 创新题·重叠图形面积最值 如图③，将 △AOC沿x轴向右平移 m个单位( (0
1.如图，抛物线 y=12x2−2x−6与x轴交于A，B两点(点A在点B左侧)，交y轴于点C，点P是线段BC下方抛物线上一动点，过点 P作 PQ‖AC交BC于点Q,连接AQ,OQ.
(1)求A,B两点坐标;
(2)求 △AOQ周长的最小值；
(3)(两个图形的面积和)连接PA,PB,记 △PAQ与 △PBQ的面积分别为 S₁,S₂,设 S=S₁+S₂,求 S 的最大值，并求出此时点 P 的坐标.
作图区 答题区
2.如图，抛物线 y=x²+bx+c交x轴于A(1,0),B(3,0)两点,交y轴于点C,直线l过点C,且交抛
物线于另一点E(点E 不与点A，B重合).
(1)求抛物线的解析式；
(2)过点A作 AF⊥x轴,交直线l于点F,连接OF,BE,求证:( OF//BE;
(3)点G是直线l下方抛物线上的动点，且直线l经过点(6，0)，设点G的横坐标为m，试用含m的代数式表示 △GCE的面积，并求出 △GCE面积的最大值.
作图区 答题区
3.如图①,抛物线 y=ax²+bx+3a≠0与x轴交于A(-1,0),B(3,0)两点,与y轴交于点C,连接BC，抛物线的顶点为 D.
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图②，将抛物线沿x轴向右平移得到抛物线 W',设抛物线 W'的对称轴与直线 BC 交于点M,连接MA,当 ∠MAC=90°时，求点 M的坐标；
(3) 创新题·重叠图形面积最值P是线段BC上一点，当 DP+22BP取得最小值时，将 △ADP沿x轴正方向平移t个单位长度( 0≤t≤4得到 △A'D'P',设 △A'D'P'与 △BOC重叠部分的面积为S，求S的最大值.
作图区 答题区
一阶 方法突破练
1. 解:∵A(2,3),B(5,3),∴AB∥x轴(判断三角形的边
与坐标轴关系),且AB=3,
∴SABC=12×AB×(点 C 到AB 的距离)(利用公式
直接求面积)
=12×3×2=3.
2. 解:∵A(-2,1),B(-2,3),∴AB∥y轴,且AB=2, ∴SABC=12×AB×(点C到AB的距离)
=12×2×4=4.
3. 解：如解图①，过点 B作y轴的平行线交AC 于点 D(将三边均不平行于坐标轴的三角形分割成底边垂直于x轴的两个三角形).
∵A(1,3),C(5,4),
∴直线 AC 的解析式为 y=14x+114.
当x=3时, y=72,∴BD=72(求出公共底的长).
∴SABC=12BD⋅|xc−xA|=12×72×5−1=7(求出不规则三角形的面积).
【一题多解】如解图②，分别过点 A，C 作 x轴的垂线，垂足分别为E，F，则 SBCF=7.
4. 解:∵直线 l₁:y=2x+4与x轴交于点A,∴A(-2,0),
∵ 直线 l2:y=−25x+65与x轴交于点 B,∴B(3,0),
∵两直线交于点 C，
∴联立 y=2x+4y=−25x+65
解得 x=−76y=53,
∴C−7653.
设点 D的坐标为(0,-h),∴点D 到x轴的距离为h.∵A(-2,0),B(3,0),∴AB=5,
遇到四边形面积，首先想到分割成两个三角形面积和计算.
如解图， S四边形ACBD=SABC+SABD=12×5×53+12×5h=15,解得 ℎ=133,
∴点D 的坐标为 0−133.
5. 解:如解图①,过点 P 作PE⊥x轴于点 E,交 BC 于点 F.
∵ 抛物线与y轴交于点 C，
∴C(0,3).
∵ B(-3,0),∴BC 所在直线的解 第5题解图①析式为y=x+3.
设点 Px−x²−2x+3(−3
∴SPBC=12PF⋅OB=32−x2−2x+3−x+3= −32x+322+278,
∵−32<0,−3
当 x=−32时, −x2−2x+3=154,
∴此时点P的坐标为 −32154.
【一题多解】
解法一：利用和差法求面积，如解图②，连接OP，则 SPBC=SOCP+SOBP−SOBC.
由抛物线解析式可知，当x=0时，y=3，∴C(0,3).
设 Pm−m²−2m+3(−3
|yP|−12OB⋅OC=12×3×−m+12×3×(−m2−2m+
3)−12×3×3=32−m2−3m=−32m+322+278,
∵−32<0,−3
∴ 此时点 P的坐标为 −32154;
解法二：利用底边平行线法求面积，如解图③，过点P 作BC的平行线l，作x轴的平行线交 y轴于点E，过点 B作y轴的平行线交直线 PE于点 F，
∵抛物线与y轴交于点C,∴C(0,3),
由题意可知BC所在直线的解析式为y=x+3，
设直线l的解析式为y=x+b，
联立 y=x+by=−x2−2x+3,
得 −x²−3x+3−b=0,
令 b²−4ac=−3²−4×−1×3−b=0,解得 b=214,
∴ 直线l的解析式为 y=x+214,
联立 y=x+214y=−x2−2x+3,解得 x=−32y=154,
∴点P的坐标为 −32154(求出 P 点坐标).
12×34×32−12×32×154=278.
二阶 设问进阶练
例 解:(1)由抛物线的解析式可得 A(-1,0),B(3,0),C(0,-3),
∴BC所在直线的解析式为y=x-3.
如解图①，过点 P作y轴的平行线交BC于点 F，
∵SBCP=12FP⋅OB=32FP,SABC=12AB⋅OC=6,
∴S四边形ACPB=SBCP+SABC=32FP+6,
∴ 当FP 最大时,S四边形ACPB 最大.
设 Ppp²−2p−3(0
∵-1<0,0
∴四边形ACPB 面积的最大值为 32×94+6=758;
(2)设平移后新抛物线的解析式为 y=x²+bx+c,则其顶点坐标为 −b24c−b24.
当x=0时,y=c,∴M(0,c).
将 −b24c−b24代入γ=-x-3,得 c=b2+2b−124.
∵点 M 在y轴负半轴上， :OM=−c=−b2+2b−124.
∵ 原抛物线 y=x²−2x−3=x−1²−4,∴D1−4.如解图②,过点 D 作DG⊥y轴于点 G,则DG=1, ∴SDM=12OM⋅DG=12×−b2+2b−124×1= −18b2+2b−12=−18b+12+138,
∴当b=-1 时,此时c<0,△DOM 面积有最大值，最大值为 138;
(3)如解图③,设A'C'交y轴于点 Q,交 BC 于点G,O'C'交 BC于点K,过点G作GH⊥y轴于点 H,延长HG交O'C'于点 N.
设CH=n.∵C(0,-3),B(3,0),∴OB=OC,
∴∠OBC=∠OCB=45°,∴∠HGC=∠OCG=45°.
∴HG=CH=n,∠O'KB=∠O'BK=45°.
∴O'B=O'K.
∵OB=O'C',
∴KC'=OO'=HN=m.
∵ A'C'是由AC 平移得来的,
∴A'C'∥AC.
∴∠A'QO=∠ACO=∠GQH.
又∵∠AOC=∠QHG=90°,
∴△ACO∽△A'QO∽△GQH. ∴OAOC=OA'OQ=HGHQ,即 13=1−mOQ=nHQ.
∴OQ=3(1-m),HQ=3n.
∵OQ+HQ+CH=OC,
∴31−m+3n+n=3,∴n=34m.
∴GN=m−34m=14m.
∴S=SO'A'C'−SOA'Q−SKCC=12×1×3−12⋅1−m
31−m−12m⋅14m=−138m2+3m=−138(m− 1213)2+1813.
∵−138<0,0
三阶 综合强化练
1. 解:(1)A(-2,0),B(6,0);
2∵CAOQ=AO+OQ+AQ,由(1)知AO=2,
∴当OQ+AQ最小时,△AOQ 周长最小,如解图①,作点O关于线段BC的对称点 O'，连接AO'交BC于点Q,此时点 Q 即为 OQ+AQ最小值的情况,
∵ QA+QO=QA+QO'≥AO',
∴QO+QA 的最小值为AO'的长,
∵ 抛物线 y=12x2−2x−6与y轴交于点 C，
∴C(0,-6),∴OB=OC=6,∠BOC=90°,
∴∠BCO=45°,
∵0,O'关于线段BC对称,
∴线段BC垂直平分OO',
∴四边形 BOCO'是正方形,∴O'(6,-6),在 Rt△ABO'中, AO'=AB2+O'B2=82+62=10,
∴AO+AO'=12.
∴△AOQ 周长的最小值为 12;
(3)如解图②,连接PC,过点 P作PH⊥BO于点H,
∵ PQ∥AC,∴S△PAQ=S△PCQ,
SPBH−SBOC,
设 Pm12m2−2m−6,
则 S=m2−12m2+2m+6+6+126−m(−12m2+
2m+6)−12×6×6=−32m2+9m=−32m−32+272,
∵−32<0,0
即点P 的坐标为 3−152时，S有最大值 272.
2.(1)解：抛物线的解析式为 y=x²−4x+3;
(2)证明:如解图,过点E作EH⊥x轴于点 H,
∵y=x²-4x+3,∴C(0,3),
∴设直线 CE的解析式为y=kx+3(k≠0),
∵A(1,0),AF⊥x轴,
∴ F(1,k+3),∴OA=1,AF=k+3.
∵E 是直线CE 与抛物线的交点，
联立 y=kx+3y=x2−4x+3,
解得 x=k+4y=k+1k+3, 或 x=0y=3(舍去),
∴点E(k+4,(k+1)(k+3)),
∴ BH=OH-OB=k+1,EH=(k+1)(k+3),
∴OABH=AFEH=1k+1.
∵∠OAF=∠BHE=90°,
∴△OAF∽△BHE,
∴∠AOF=∠HBE,
∴OF∥BE;
(3)解:由(2)得直线l的解析式为y=kx+3(k≠0),∵直线l过点(6,0).
∴6k+3=0,解得 k=−12,
∴ 直线l的解析式为 y=−12x+3.
由(2)得点 E的横坐标为 k+4=−12+4=72,如解图,过点G作G'G⊥x轴,交直线l于点 G'.
则点 Gmm2−4m+3(0
∵SGCE=12G'G⋅xE−xc=12G'G⋅xE,
∴SGCE=12−m2+72m×72=−74m2−72m= −74m−742+34364,
∴−74<0,0
3.解：(1)抛物线的解析式为 y=−x²+2x+3;
(2)如解图①,当∠MAC=90°时,设抛物线 W'的对称轴交x轴于点 E，
易知直线 BC的解析式为y=-x+3,则可设点M的坐标为(m,-m+3).
∵A(-1,0),C(0,3),
∴OA=1,OC=3,AE=m+1,ME=m-3.
∵∠MAE+∠CAO=90°,∠CAO+∠ACO =90°,
∴∠ACO =∠MAE.
又∵∠AOC=∠AEM=90°,
∴△ACO∽△MAE,∴ 00 ⊂=EA ,即 13=m−3m+1,
∴m=5,∴点M的坐标为(5,-2);
(3)如解图②,过点 P 作 PF⊥x轴于点 F,
∵B(3,0),C(0,3),∴△BCO为等腰直角三角形,
∵直线 BC的解析式为y=-x+3,PF∥y轴,
∴PF=22BP,∴DP+22BP最小即 DP+PF最小,故D，P，F共线且垂直于x轴时最小，
∵抛物线 y=−x²+2x+3=−x−1²+4的顶点为D(1,4),
∴DP+22BP最小时,点P的坐标为(1,2),将△ADP沿x轴正方向平移t个单位长度(0≤t≤4)
得到△A'D'P',分两种情况:
①当0≤t<1时,A'D'与OC,BC分别交于 E,M,A'P'与OC,BC分别交于G,N,如解图③,由A(-1,0),D(1,4)可得直线AD的解析式为y=2x+2,
∵△ADP沿x轴正方向平移t个单位长度，
∴A'(-1+t,0),A'D'∥AD,
∴ 直线 A'D'的解析式为y=2x+2-2t,
∴令x=0,得y=2-2t,即E(0,2-2t),CE=OC-OE=1+2t,
联立 y=2x+2−2ty=−x+3,解得 x=1+2t3y=8−2t3
∴M1+2t38−2t3,∴SCEM=12CE⋅xM=161+2t2,由A(-1,0),P(1,2)得直线AP的解析式为y=x+1,而A'(-1+t,0),A'P'∥AP得直线A'P'的解析式为y=x+1-t,
∴A'P'与y 轴交点 G(0,1-t),与直线 BC 交点 N1+12t2−12t,
∴OG=1−t,SA'G=12A'⋅OG=121−t2, SA'NB=12A'B⋅yN=124−t2−12t,
∴S=SBOC−SCEM−SA'NB−SA'c=12×3×3− 161+2t2−124−t2−12t+121−t2=−512t2+ 13t+56=−512t−252+910,∴−512<0,0≤t<1,
∴当 t=25时，S有最大值，最大值为 910;
②当1≤t≤4时,A'D'交BC于点 H,A'P'交BC于点Q,如解图④,
∵直线AD 的解析式为y=2x+2,A'D'∥AD,A'(t-1,0),
∴直线 A'D'的解析式为y=2x+2-2t,
联立 y=2x+2−2ty=−x+3,得点 H 的坐标为 23t+13−23t+83,
∵ 直线AP 的解析式为y=x+1,而A'(t-1,0),A'P'∥AP 得直线A'P'的解析式为y=x+1-t,
联立 y=x+1−ty=−x+3,得点 Q的坐标为 12t+1−12t+2, ∴S=SHA'B−SQA'B=124−t−23t+83−124−t −12t+2=112t2−23t+43=112t−42.
∵112>0,1≤t≤4,
∴当t=1时，S有最大值，最大值为 34.
∴910>34,∴S的最大值为 910.
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