2023年中考复习数学最值问题第51讲面积最值的处理

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第51讲： 面积最值处理【例题精讲】例1、如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝4，D为边AC上一动点（C点除外），把线段BD绕着点D沿着顺时针的方向旋转90°至DE，连接CE，则△CDE面积的最大值为　   　。             解析提示：  总结：【解答】解：如图，过点E作EF⊥AC于F，作BH⊥AC于点H，∴∠EFD＝∠BHD＝90°，∵BH2＝BC2﹣CH2，BH2＝AB2﹣AH2，∴80﹣（5+AH）2＝25﹣AH2，∴AH＝3，∵将线段BD绕D点顺时针旋转90°得到线段ED，∴BD＝DE，∠BDE＝90°，∴∠BDF+∠EDF＝90°，且∠EDF+∠DEF＝90°，∴∠DEF＝∠BDF，在△BDH和△DEF中，，∴△BDH≌△DEF（AAS），∴EF＝DH，∵△CDE面积＝CD×EF＝×CD×（8﹣CD）＝﹣（CD﹣4）2+8，∴当CD＝4时，△CDE面积的最大值为8， 例2、如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，BC＝4，点D为边AC上一动点（点C除外），将线段BD绕点D顺时针旋转90°至ED，连接CE，则△CDE面积的最大值为　   　。              解析提示： 【解答】解：过A点作AM⊥BC于M，BH⊥AC于H，EF⊥AC于F，如图，∵AB＝AC＝4，BC＝4，∴BM＝CM＝2，在Rt△ACM中，∵cos∠ACM＝＝＝，∴∠ACM＝30°，∴BH＝BC＝2，∴AH＝＝2，∵线段BD绕点D顺时针旋转90°至ED，∴∠BDE＝90°，DB＝DE，∵∠BDH+∠EDF＝90°，∠EDF+∠DEF＝90°，∴∠BDH＝∠DEF，在△BDH和△DEF中，，∴△BDH≌△DEF（SAS），∴DH＝EF，设CD＝x，则AD＝4﹣x，DH＝2+4﹣x＝6﹣x，∴EF＝6﹣x，∴S△CDE＝•x•（6﹣x）＝﹣（x﹣3）2+，当x＝3时，S△CDE有最大值．故答案为． 例3、如图，△ABC中，∠BAC＝90°，∠ACB＝30°，AB＝a，点D在边AC上运动（不与A，C重合），以BD为边作正方形BDEF，使点A在正方形BDEF内，连接EC，则下列结论：①△BCD≌△ECD；                       ②当∠ADE＝30°时，CD＝2AD；③点F到直线AB的距离为a；            ④△CDE面积的最大值是．其中正确的结论是　   　（填写所有正确结论的序号）．  解析提示： 总结：【解答】解：①∵四边形BDEF是正方形，∴BD＝ED，∠BDE＝90°，∵CD＝CD，当∠ADB≠45°时，∠ADB≠∠ADE，此时∠BDC≠∠EDC，则△BCD不全等于△ECD，故①错误；②∵△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝BC＝a，∴AC＝a，∵CD＝2AD，∴AD＝a，∴tan∠ADB＝＝，∴∠ADB＝60°，∴∠ADE＝∠BDE﹣∠ADB＝30°，故②正确；③过F作FG⊥AB于点G，∵四边形BDEF是正方形，∴BD＝FB，∠DBF＝∠BAD＝∠FGB＝90°，∴∠ABD+∠ABF＝∠ABF+∠GFB＝90°，∴∠ABD＝∠GFB，∴△ABD≌△GFB（AAS），∴AB＝GF＝a，∴点F到直线AB的距离为a，故③正确；④过点E作EH⊥AC于点H，∵四边形BDEF是正方形，∴BD＝DE，∠BDE＝∠BAD＝∠DHE＝90°，∴∠ABD+∠BDA＝∠BDA+∠HDE＝90°，∴∠ABD＝∠HDE，∴△ABD≌△HDE（AAS），∴AD＝HE，∵AD＝AB•tan∠ABD＝a•tan∠ABD，AC＝a，∴CD＝AC﹣AD＝（﹣tan∠ABD）a，∴S△CDE＝CD•HE＝（﹣tan∠ABD）a•a•tan∠ABD＝（﹣tan2∠ABD+tan∠ABD）a2＝[﹣（tan∠ABD﹣）2]a2≤a2，∴△CDE面积的最大值是a2，故④正确；故答案为：②③④． 针对训练1、如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，，点D为边AC上一动点（点C除外），将线段BD绕点D顺时针旋转90°至ED，连接CE，则△CDE面积的最大值为　   　。【解答】解：过A点作AM⊥BC于M，BH⊥AC于H，EF⊥AC于F，如图，∵AB＝AC＝4，BC＝4，∴BM＝CM＝2，在Rt△ACM中，∵cos∠ACM＝＝＝，∴∠ACM＝30°，∴BH＝BC＝2，∴AH＝＝2，∵线段BD绕点D顺时针旋转90°至ED，∴∠BDE＝90°，DB＝DE，∵∠BDH+∠EDF＝90°，∠EDF+∠DEF＝90°，∴∠BDH＝∠DEF，在△BDH和△DEF中，，∴△BDH≌△DEF（SAS），∴DH＝EF，设CD＝x，则AD＝4﹣x，DH＝2+4﹣x＝6﹣x，∴EF＝6﹣x，∴S△CDE＝•x•（6﹣x）＝﹣（x﹣3）2+，当x＝3时，S△CDE有最大值．故答案为． 2、如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝8，D为边AC上一动点（C点除外），把线段BD绕着点D沿着顺时针的方向旋转90°至DE，连接CE，则△CDE面积的最大值为　   　。【解答】解：如图，过点E作EF⊥AC于F，作BH⊥AC于点H，∴∠EFD＝∠BHD＝90°，∵BH2＝BC2﹣CH2，BH2＝AB2﹣AH2，∴320﹣（10+AH）2＝100﹣AH2，∴AH＝6，∵将线段BD绕D点顺时针旋转90°得到线段ED，∴BD＝DE，∠BDE＝90°，∴∠BDF+∠EDF＝90°，且∠EAF+∠AEF＝90°，∴∠AEF＝∠BDF，又∵∠EFD＝∠BHD＝90°，BD＝DE，∴△BDH≌△DEF（AAS），∴EF＝DH，∵△CDE面积＝CD×EF＝×CD×（16﹣CD）＝﹣（CD﹣8）2+32，∴当CD＝8时，△CDE面积的最大值为32， 3、如图，△ABC中，AB＝10，AC＝6，BC＝14，D为AC边上一动点（D不与A、C重合），将线段BD绕D点顺时针旋转90°得到线段ED，连接CE，则△CDE面积的最大值为　   　。【解答】解：如图，过点E作EF⊥AC于F，作BH⊥AC于点H，∴∠EFD＝∠BHD＝90°，∵BH2＝BC2﹣CH2，BH2＝AB2﹣AH2，∴196﹣（6+AH）2＝100﹣AH2，∴AH＝5∵将线段BD绕D点顺时针旋转90°得到线段ED，∴BD＝DE，∠BDE＝90°，∴∠BDF+∠EDF＝90°，且∠EAF+∠AEF＝90°，∴∠AEF＝∠BDF，且∠EFD＝∠BHD＝90°，BD＝DE，∴△BDH≌△DEF（AAS）∴EF＝DH，∵△CDE面积＝CD×EF＝（6﹣AD）×（5+AD）＝﹣（AD﹣）2+15∴△CDE面积的最大值为15， 4、如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D为AB边上一点（不与点B重合），连接CD，将线段CD绕点D逆时针旋转90°，点C的对应点为E，连接BE．若AB＝2，则△BDE面积的最大值为　   　。【解答】解：作CM⊥AB于M，EN⊥AB于N，∴∠EDN+∠DEN＝90°，∵∠EDC＝90°，∴∠EDN+∠CDM＝90°，∴∠DEN＝∠CDM，在△EDN和△DCM中∴△EDN≌△DCM（AAS），∴EN＝DM，∵∠BAC＝120°，∴∠MAC＝60°，∴∠ACM＝30°，∴AM＝AC＝2＝1，∴BM＝AB+AM＝2+1＝3，设BD＝x，则EN＝DM＝3﹣x，∴S△BDE＝＝（3﹣x）＝﹣（x﹣1.5）2+，∴当BD＝1.5时，S△BDE有最大值为，故答案为． 5、如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝BC＝a，点D在边AC上运动（不与点A，C重合），以BD为边作正方形BDEF，使点A在正方形BDEF内，连接EC，则下列结论：①△BCD≌△ECD；②当CD＝2AD时，∠ADE＝30°；③点F到直线AB的距离为a；④△CDE面积的最大值是a2．其中正确的结论是　    　（填写所有正确结论的序号）。【解答】解：①∵四边形BDEF是正方形，∴BD＝ED，∠BDE＝90°，∵CD＝CD，当∠ADB≠45°时，∠ADB≠∠ADE，此时∠BDC≠∠EDC，则△BCD不全等于△ECD，故①错误；②∵△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝BC＝a，∴AC＝a，∵CD＝2AD，∴AD＝a，∴，∴∠ADB＝60°，∴∠ADE＝∠BDE﹣∠ADB＝30°，故②正确；③过F作FG⊥AB于点G，∵四边形BDEF是正方形，∴BD＝FB，∠DBF＝∠BAD＝∠FGB＝90°，∴∠ABD+∠ABF＝∠ABF+∠GFB＝90°，∴∠ABD＝∠GFB，∴△ABD≌△GFB（AAS），∴AB＝GF＝a，∴点F到直线AB的距离为a，故③正确；④过点E作EH⊥AC于点H，∵四边形BDEF是正方形，∴BD＝DE，∠BDE＝∠BAD＝∠DHE＝90°，∴∠ABD+∠BDA＝∠BDA+∠HDE＝90°，∴∠ABD＝∠HDE，∴△ABD≌△HDE（AAS），∴AD＝HE，∵AD＝AB•tan∠ABD＝a•tan∠ABD，AC＝a，∴，∴tan∠ABD）a2＝[]a2，∴△CDE面积的最大值是a2，故④正确；故答案为：②③④．