[数学][一模]湖北省黄冈市学海园大联考2024届高三信息预测试题(解析版)

这是一份[数学][一模]湖北省黄冈市学海园大联考2024届高三信息预测试题(解析版)，共16页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 某企业举办冬季趣味运动会，在跳绳比赛中，名参赛者的成绩(单位：个)分别是、、、、、、、、、，则这组数据的中位数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】将这10个数据从小大大排列为，
所以这组数据的中位数是.
故选：C.
2. 鞋匠刀形是一种特殊的图形，古希腊数学家阿基米德发现该图形有许多优美的性质，如图是一个鞋匠刀形. 若，，点在以为直径的半圆弧上，以的中点为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系（在第一象限），则直线的斜率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】设，则A-2,0、、B4,0，
则中点为1,0，且，
则以为直径的半圆弧的方程为，
令，有，又，故，
即，则.
故选：A.
3. 若5个正数之和为2，且依次成等差数列，则公差的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】设5个正数组成数列，
则，
则，解得.
故选：D.
4. 下列说法中正确的是（ ）
A. 没有公共点的两条直线是异面直线
B. 若两条直线a，b与平面α所成的角相等，则
C. 若平面α，β，γ满足，，则
D. 已知a，b是不同直线，α，β是不同的平面.若，，，则
【答案】D
【解析】对A，没有公共点的两条直线是异面直线或平行直线，故A错误；
对B，若两条直线a，b与平面α所成的角相等，
则a，b可以平行、相交或异面，故B错误；
对C，若平面α，β，γ满足，，则α，γ不一定垂直，故C错误；
对D，两个平面垂直等价于这两个平面的垂线垂直，故D正确.
故选：D.
5. 天文专家表示，“十五的月亮十四圆”这种现象比较罕见.21世纪这100年中，这种情况仅会出现6次，其中一次是2020年的8月3日（农历六月十四），下一次则要等到2037年．若某同学计划从这6次“十四月圆”中随机选取3次，研究其发生的时间，则其中至少包含2020年与2037年这两次中的一次的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题意，从这6次“十四月圆”中随机选取3次，基本事件的总数为种，
其中不包含2020年与2037年这两次所包含的基本事件有种，
所以至少包含2020年与2037年这两次中的一次的概率为.
故选：D.
6. 已知一个玻璃酒杯盛酒部分的轴截面是抛物线，其通径长为1，现有一个半径为的玻璃球放入该玻璃酒杯中，要使得该玻璃球接触到杯底（盛酒部分），则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】以轴截面抛物线的顶点为原点，对称轴为轴建立平面直角坐标系，
当玻璃球能够与杯底接触时，该玻璃球的轴截面的方程为．
因为抛物线的通径长为1，则抛物线的方程为，
代入圆的方程消元得：，
所以原题等价于方程在上只有实数解．
因为由，得或，
所以需或，即或．
因为，所以，故选：C．
7. 已知，则（ ）
A. B. C. D. -
【答案】D
【解析】因为，
所以
.
故选：D.
8. 古希腊数学家阿波罗尼斯采用平面切割圆锥面的方法来研究圆锥曲线，如图1，设圆锥轴截面的顶角为，用一个平面去截该圆锥面，随着圆锥的轴和所成角的变化，截得的曲线的形状也不同．据研究，曲线的离心率为，比如，当时，，此时截得的曲线是抛物线．如图2，在底面半径为，高为的圆锥中，、是底面圆上互相垂直的直径，是母线上一点，，平面截该圆锥面所得的曲线的离心率为（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】在圆锥中，，，易知，
由圆锥的几何性质可知，平面，因为平面，则，
所以，，则，
圆锥中，、是底面圆上互相垂直的直径，
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，

则、、、、，
因为是母线上一点，，
则，,，
设平面的法向量为，则，
取，可得，且，
所以，，
所以，，
故该圆锥曲线的离心率为，
故选：D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．
9. 若函数的最小值为，则（ ）
A. 当时，的图象关于点对称
B. 当时，
C. 存在实数与，使得
D. 当时，将曲线向左平移个单位长度，得到曲线
【答案】BCD
【解析】由题意，
A项，当时，，
当即时，函数关于对称，
∴的图象关于点对称，所以A错误．
B项，当时，，则，所以B正确．
C项，当时，，，
此时，所以C正确．
D项，当时，，将曲线向左平移个单位长度，得到曲线，
因为，所以D正确．
故选：BCD
10. 以下结论中,正确的是（ ）
A. 若复数,则
B. 若复数满足,则的最大值为
C. 已知复数,其中,,则复数是纯虚数的概率为
D. 五名学生按任意次序站成一排,则和站两端的概率为
【答案】BC
【解析】对于A,由,得,,故A错误;
对于B,可以看作复数对应的点到的距离为,故复数对应在复平面内的轨迹为以点为圆心,以为半径的圆,故当点运动到与轴的交点,且向上的位置时,此时最大,最大值为,故B正确;
对于C,在中,,,因为复数为纯虚数,所以,此时有共组,所以复数是纯虚数的概率为,故 C正确;
对于D,首先将和排两端共有种情况,再将其余三人全排列共有种情况,所以共有种情况,
因为五名学生按任意次序站成一排,共有种情况,
故和站两端的概率为,选项D错误.
故选:BC.
11. 已知，，，则满足关系式的函数可以为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】由于，所以．
由于，所以，
因此，所以．
因为，所以，
又，所以．
选项A：若，则，，不满足，所以A选项错误；
选项B：若，易知在R上单调递增，
所以，满足题意，故B选项正确；
选项C：若，则上单调递减，在0,+∞上单调递增，
但由于，
所以，满足题意，故C选项正确；
选项D：若，则，
而在上单调递增，，
所以，满足题意，故D选项正确．
故选：BCD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知集合，则__________．
【答案】
【解析】因为，
又，所以．
13. 如图，高度均为3的封闭玻璃圆锥和圆柱容器内装入等体积的水，此时水面高度均为，若，记圆锥的底面半径为，圆柱的底面半径为，则________.

【答案】
【解析】如图，作出圆锥的轴截面，设为水面，O为圆锥底面中心，为水面中心，

则，则∽，故，
故圆锥内水的体积为，
圆柱内水的体积为，由，得，故.
14. 人们很早以前就开始探索高次方程的数值求解问题.牛顿（1643-1727）给出了牛顿法——用“作切线”的方法求方程的近似解如图，方程的根就是函数的零点r，取初始值处的切线与x轴的交点为在处的切线与x轴的交点为，一直这样下去，得到，它们越来越接近r.若，则用牛顿法得到的r的近似值约为___________（结果保留两位小数）.
【答案】
【解析】由，，
所以在处的切线方程为：，令，
可得：，
所以在处的切线方程为：，令.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）已知时，直线为曲线的切线，求实数的值．
解：（1）．
令，得或．
若，则当时，；当时，．
故在上单调递增，在上单调递减；
若时，，在上单调递增；
若，则当时，；当时，．
故在上单调递增，在上单调递减．
综上所述：当时，在上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递增；
时，在单调递增，在单调递减．
（2）当时，，
设切点，则切线方程为，
因为切线过原点，故，即，解得或，
所以或.
16. 2023年12月11日至12日中央经济工作会议在北京举行，会议再次强调要提振新能源汽车消费.发展新能源汽车是我国从“汽车大国”迈向“汽车强国”的必由之路.我国某地一座新能源汽车工厂对线下的成品车要经过多项检测，检测合格后方可销售，其中关键的两项测试分别为碰撞测试和续航测试，测试的结果只有三种等次：优秀、良好、合格，优秀可得5分、良好可得3分、合格可得1分，该型号新能源汽车在碰撞测试中结果为优秀的概率为，良好的概率为；在续航测试中结果为优秀的概率为，良好的概率为，两项测试相互独立，互不影响，该型号新能源汽车两项测试得分之和记为.
（1）求该型号新能源汽车参加两项测试仅有一次为合格的概率；
（2）求离散型随机变量的分布列与期望.
解：（1）记事件为“该型号新能源汽车参加碰撞测试的得分为分”，
则，，.
记事件为“该型号新能源汽车参加续航测试的得分为分”，
则，，
记事件为“该型号新能源汽车参加两项测试仅有一次为合格”，
则
，
则该型号新能源汽车参加两项测试仅有一次为合格的概率为.
（2）由题知离散型随机变量的所有可能取值分别为2，4，6，8，10，
，
，
，
，
，
则离散型随机变量的分布列为
所以数学期望
17. 如图，现有三棱锥和E-BCD，其中三棱锥的棱长均为2，三棱锥E-BCD有三个面是全等的等腰直角三角形，一个面是等边三角形，现将这两个三棱锥的一个面完全重合组成一个组合体.
（1）求这个组合体的体积；
（2）若点F为AC的中点，求二面角的余弦值.
解：（1）因为三棱锥E-BCD有三个面是全等的等腰直角三角形，是等边三角形，
所以，
所以；
因为三棱锥的棱长均为2，
所以正三棱锥体积为一个棱长为的正方体减去四个三棱锥，
即，
.
（2）如图所示，以E为坐标原点，EC，ED，EB分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，
则，，，，
，，
设平面EBC的法向量为，易得，
设平面BCF的法向量为，
因为，得，
取，可得，
设二面角的平面角大小为，由图易知，二面角为钝角，
则，
故二面角的余弦值为.
18. 如图所示，已知双曲线与抛物线有相同的焦点F，它们在第一象限内的交点为M.
（1）写出抛物线的焦点坐标和准线方程；
（2）若双曲线的焦距为其实轴长的2倍，求点M到双曲线两个焦点的距离之和.
解：（1）因为抛物线，
所以抛物线的焦点坐标为，准线方程为；
（2）设双曲线的方程为，
则，，∴，，
∴双曲线的方程为；
由，可得或(舍去)
所以，
由抛物线的定义可知，
由双曲线的定义可知，点M到左焦点的距离为7，
∴点M到双曲线两个焦点的距离之和为.
19. 射影几何学中，中心投影是指光从一点向四周散射而形成的投影，如图，为透视中心，平面内四个点经过中心投影之后的投影点分别为．对于四个有序点，定义比值叫做这四个有序点的交比，记作．

（1）证明：；
（2）已知，点为线段的中点，，求．
（1）证明：在、、、中，
，
，
所以，
又在、、、中，
，
，
所以，
又，，，，
所以，
所以.
（2）解：由题意可得，所以，
即，所以，
又点为线段的中点，即，
所以，又，则，，
设，且，
由，所以，
即，解得①，
在中，由正弦定理可得②，
在中，由正弦定理可得③，
且，
②③得，即④
由①④解得，（负值舍去），即，
所以.2
4
6
8
10