四川省巴中市平昌中学2024-2025学年高二上学期入学考试数学试题

这是一份四川省巴中市平昌中学2024-2025学年高二上学期入学考试数学试题，共16页。试卷主要包含了命题“”的否定是，函数的部分图像大致是，下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。
考试时间：120分钟 总分：150分
注意事项：
1．答题前在答题卡上填写好自己的姓名、班级、考号等信息．
2．答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．
3、回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
一、单选题：本题共8个小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．
1．设集合则（ ）
A．B．C．D．
2．复数，若为实数，为纯虚数，则（ ）
A．6B．C．2D．
3．命题“”的否定是（ ）
A．B．
C．D．
4．已知平面α，β，直线，直线m不在平面α内，下列说法正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则．D．若，则
5．已知一个样本容量为7的样本的平均数为6，方差为2，现在样本中插入三个新的数据5，6，7，若新样本的平均数为，方差为，则（ ）
A．B．C．D．
6．函数的部分图像大致是（ ）
A．B．
C．D．
7．已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足，点D为AC的中点，交AB于E，且，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
8．在棱长为1的正方体中，E、F分别为AB、BC的中点，则下列说法中不正确的是（ ）
A．当三棱锥的所有顶点都在球O的表面上时，球O的表面积为
B．异面直线与所成的角的余弦值为
C．点P为正方形内一点，当平面时，DP的最小值为
D．过点，E，F的平面截正方体所截得的截面周长为
二、多选题：本题共3个小题，每小题6分，共18分．在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列说法正确的是（ ）
A．“射击运动员射击一次，命中靶心”是必然事件
B．事件发生的可能性越大，它的概率越接近1
C．某种彩票中奖的概率是1%，因此买100张该种彩票一定会中奖
D．任意投掷两枚质地均匀的骰子，则点数和是3的倍数的概率是
10．的内角A，B，C的对边为a，b，c则下列说法正确的是（ ）
A．，则是锐角三角形
B．若，则是直角三角形
C．若，则
D．若，则
11．如图所示，在边长为3的等边三角形ABC中，，且点P在以AD中点O为圆心，OA为半径的圆上，，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在答题卡上．
12．已知与平行，则实数___________．
13．函数满足对任意实数都有成立，则实数a的取值范围为___________．
14．已知为方程的两个实数根，且，则的最大值为___________．
四、解答题：本题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤．
15．（13分）为了落实习主席提出的“绿水青山就是金山银山”的环境治理要求，平昌县政府积极鼓励居民节约用水．计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x（吨），一位居民的月用水量不超过x的部分按平价收费，超出x的部分按议价收费．为了了解居民用水情况，通过抽样，获得某年200位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照分成9组，制成如图所示的频率分布直方图．
（1）直方图中a的值；
（2）由频率分布直方图估计平昌县居民月用水量的平均数是多少；
（3）若平昌县政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x（吨），求x的估计值．
16．（15分）如图所示，在三棱锥中，．
（1）求证：；
（2）若点D为AP的中点，且，求二面角的大小．
17．（15分）如图所示，在中，，点D，E分别在AB，AC上且满足，P为线段DE上一动点．
（1）若，求的值；
（2）求的最小值．
18．（17分）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，且．
（1）求角C的值；
（2）若为锐角三角形，且，求的取值范围．
19．（17分）已知函数；
（1）判断函数奇偶性，并说明理由；
（2）求函数的反函数；
（3）若函数的定义域为，值域为，并且在上为减函数．求a的取值范围；
四川省平昌中学高2023级第三学期入学考试答案（数学）
一、单选题
1．【答案】D
【解析】由题意得：，所以
2．【答案】B
【解析】因为为实数，所以；
又因为为虚数，所以，所以，故选B．
3．【答案】A
【解析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题，
则命题“”的否定为“”，故选A．
4．【答案】D
【解析】因为，
对于A，若，则有可能在内，故A错误；
对于B，若，则有可能在内，故B错误．
对于C，若，则的情形比较多，不一定垂直，故C错误；
对于D，若，则，又，则，故D正确；
5．【答案】A
【解析】设原样本的7个数据分别为，
插入的三个新数据分别为．
由题意得，，
所以，
6．【答案】D
【解析】因为，
，所以是奇函数，图象关于原点对称，由此排除AC选项．
当时，，排除B选项，所以D选项正确．
7．【答案】C
【解析】因为，
所以由正弦定理得：，所以，
由余弦定理得：，又因为，所以．
又因为点为的中点且，所以，
在中，由正弦定理得：，得，
在中，由正弦定理得：，化简得：，
所以，所以，所以，所以
8．【答案】D
【解析】对于A：三棱锥的外接球为以为邻边的长方体的外接球．
因为，
可得外接球的半径，
所以外接球的表面积，故A正确；
对于B：因为，则异面直线与所成角为，且，可得，所以，
所以异面直线与所成角的余弦值为，故B正确；
对于C：取的中点，连接，
由题意可得：，则四边形为平行四边形，所以．
因为四边形为正方形，分别为的中点，则，
所以四边形为平行四边形，所以．
又因为，可得，
则四边形为平行四边形，所以，可得．
因为平面平面，则平面．
因为，则四边形为平行四边形，则．
因为分别为的中点，则，
同理可得，则，可得．
因为平面平面，则平面．
因为平面，所以平面平面，
则点在线段上，可得．
故当点为线段的中点时，取到最小值，
此时最小值为，故C正确；
对于D：连接．
因为为的中点，则，
又因为，则四边形为平行四边形，
可得，则．
过作，设，则．
可得．
连接，设，连接．
可得过点的平面截正方体所得的截面为五边形，
因为，则，
可得，
所以截面周长为，故D错误；
二、多选题
9．【答案】BD
【分析】根据事件发生的随机性可以判断A，C选项，根据频率与概率的关系可以判断B选项，应用古典概型判断D选项．
【详解】随机事件的不确定性可以确定A，C选项错误，
事件发生的可能性越大，它的概率越接近1，B选项正确；
任意投掷两枚质地均匀的骰子基本事件有36种情况，
点数和是3的倍数的情况有
个基本事件，概率是，故D选项正确．
10．【答案】BCD
【解析】选项A：因为，所以为钝角，故A错误；
选项B：因为，所以，化简得：
，
由正弦定理得：，所以为直角三角形，故B正确；
选项C：因为，所以，可得：，
又因为在上单增，所以，
所以，故C正确；
选项D：因为，所以为锐角，
又因为，所以为锐角，
所以，可得，所以
同理可得：．
所以，所以，故D正确．
11．【答案】B C D
【解析】对A：过作直线的平行线交于点，则，
所以当与重合时，取得最小值，最小值为；
当与半圆相切时，取得最大值，此时，所以A错误；
对B：因为，且点在以的中点为圆心，为半径的半圆上，
所以，
则，故B正确；
对C：过作交于，则，
则当与重合时，取得最小值，最小值为；
当与半圆相切时，取得最大值，最大值为3，
所以，C正确；
对D：用等和线知识可得，当位于与平行且与半圆相切的直线上时，最大．
设此线与交于点，则，
所以的最大值为，即D正确．
或者建系：对C，D：如图，以点为原点建立平面直角坐标系，
则．
因为点在以的中点为圆心，为半径的半圆上，
所以由三角函数的定义，可设，
则，
所以．
因为，所以，所以，故C正确；
因为，所以，
即，
所以，所以．
因为，所以当时，取得最大值，故D正确．
三、填空题
12．【答案】6
【解析】因为，则，
又因与平行，于是得，解得．
13．【答案】
【解析】由题意，函数在和上分别单调递增，且在上的最高点不高于其在上的最低点，即解得
14．【答案】
【解析】因为为方程的两个实数根，且，
所以，解得，或．
记，所以，
即，
而此方程有解需满足．
因为，所以，当时取到等号．故答案为．
四、解答题
15．【解析】（1）由，解得：．
（2）长寿区居民月用水量的平均数
（吨）．
（3）因的频率为的频率，
由题意得，得吨．所以有的居民每月的用水量不超过标准5.8（吨）．
16．【解析】（1）取的中点，连接．
因为为中点，所以．
又因为为中点，所以．
又因为，所以面．
又因为面，所以．
（2）由（1）知：，
又因为且，所以面．
又因为面，所以面面．
又因为且，所以面，所以．
所以二面角的平面角为．
又因为且，所以，所以为等腰直角三角形．
又因为点为的中点，所以，
所以二面角的大小为．
17．【解析】（1）因为，且，
所以．
又因为三点共线，所以，所以．
（2）由（1）知：，得到，
因为，
，
所以
．
又因为，所以，
所以．
又因为，所以，
又因为，所以当时，．
18．【解析】（1）因为，且，
所以
利用正弦定理化简得：即，
由余弦定理可得，
又因为，所以．
（2）由（1）得，即，
又因为为锐角三角形，所以，解得：，
因为，由正弦定理得：，所以，
所以
，
因为，所以，
所以，则的取值范围为．
19．解析：（1）定义域为关于原点对称，又，
所以为奇函数
（2）
（3）按题意，得
即
又
关于的方程．
在内有二不等实根关于的二次方程在内有二异根
．故