2023-2024学年四川省巴中市平昌县第二中学高二上学期第二次月考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年四川省巴中市平昌县第二中学高二上学期第二次月考数学试题含答案，共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．椭圆的焦点坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】先将椭圆化为标准方程，判断出焦点的位置以及与的值，从而求解出，可得焦点坐标.
【详解】椭圆，化为标准方程为，可知焦点在轴上，且，所以，即，所以焦点坐标为.
故选：C.
2．已知向量分别是直线的方向向量.若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由空间中两直线平行的向量关系即可求解．
【详解】因为，所以，即，解得.
故选: D.
3．在新的高考改革方案中规定：每位考生的高考成绩是按照3（语文、数学、英语）（物理、历史）选（化学、生物、地理、政治）选2的模式设置的，则在选考的科目中甲、乙两位同学恰有两科相同的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先求出甲、乙两位同学选考的总数为种，选考的科目中甲、乙两位同学恰有两科相同有两种情况，一是相同科目为4选2的科目，另一个是相同的科目为2选1和4选2中的1个，然后利用古典概型的概率公求解即可
【详解】解：由题意得出甲、乙两位同学选考的总数为种，
若相同的科目为4选2的科目，则有种；
若相同的科目为2选1和4选2中的1个，则有种，
所以所求概率为，
故选：C
4．已知直线的方向向量，直线的方向向量，若且，则的值是（ ）
A．B．或C．D．或
【答案】D
【分析】根据向量模长运算可求得，根据向量垂直关系可求得，进而得到结果.
【详解】，或，
当时，，，解得：，；
当时，，，解得：，；
综上所述：的值为或.
故选：D.
5．若直线与圆有两个不同的交点，则（ ）
A．B．C．或D．
【答案】D
【解析】直线与圆相交，利用圆心到直线的距离小于半径即可求解.
【详解】解：设圆心到直线的距离为，
由题意知：，
解得：.
故选：D.
6．已知平行六面体中，，，，，．则的长为（ ）
A．B．C．12D．
【答案】A
【分析】由，可得，再利用数量积运算性质即可得出．
【详解】，，，，
，．
，
，
，
即的长为.
故选：A．
7．光线从点射出，到轴上的点后，被轴反射到轴上的点，又被轴反射，这时反射线恰好过点，则所在直线的方程是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】根据题意做出光线传播路径，求关于轴的对称点，点关于轴的对称点，进而得所在直线的方程即为直线方程，再根据两点式求方程即可.
【详解】解：根据题意，做出如图的光线路径，
则点关于轴的对称点，
点关于轴的对称点，
则所在直线的方程即为直线方程，
由两点是方程得直线方程为：，整理得：
故选：A.
【点睛】本题解题的关键在于做出光线传播路径，将问题转化为求关于轴的对称点与关于轴的对称点所在直线的方程，考查运算求解能力，是中档题.
8．四棱锥中，底面ABCD是一个平行四边形，底面ABCD，，，．则四棱锥的体积为（ ）
A．8B．48C．32D．16
【答案】D
【分析】由题设易知、，利用空间向量夹角、模的坐标表示求夹角的余弦值、，进而求，再由三角形面积公式求，即可求体积.
【详解】由题设，易知，而，
∵，且， 若夹角为，则，
∴，则，即，又，
∴.
故选：D
二、多选题
9．若是空间任意三个向量，，下列关系中，不成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【解析】根据空间向量加法法则、数量积的运算律、向量数乘法则和共线向量定理分别判断各选项．
【详解】由向量加法的平行四边形法则，只有，即时，都有，A不成立；
由数量积的运算律有，，与不一定相等，B不成立；
向量数乘法则，C一定成立；
只有共线且时，才存在，使得，D这成立．
故选：ABD．
10．已知直线，则下列结论正确的是（ ）
A．直线的倾斜角是
B．若直线，则
C．点到直线的距离是2
D．过与直线平行的直线方程是
【答案】CD
【分析】求出直线的斜率可得倾斜角，即可判断A；利用两直线垂直的条件可判断B；利用点到直线的距离公式可判断C；利用两直线平行的条件可判断D，进而可得正确选项.
【详解】由可得，所以直线的斜率为，
对于A：因为直线的斜率为，设直线的倾斜角为，则，可得，
故选项A不正确；
对于B：直线的斜率为，因为，所以不成立，故选项B不正确；
对于C：点到直线的距离是，故选项C正确；
对于D：设与直线平行的直线方程是，则，
可得，所以过与直线平行的直线方程是，故选项D正确；
故选：CD.
11．已知平面上一点，若直线上存在点P使，则称该直线为点M的“相关直线”，下列直线中是点M的“相关直线”的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BC
【分析】分别计算点M到四条直线的距离,结合点M相关直线的定义，即可得到答案.
【详解】对于A，,直线为,所以点到直线的距离为:,
即点到直线的最小值距离大于4,所以直线上不存在点使成立.故A错误，
对于B，,直线为,所以点到直线的距离为,
所以点到直线的最小值距离小于4,
所以直线上存在点使成立.故B正确，
对于C，,直线为,所以点到直线的距离为:,
所以点到直线的最小值距离等于4,
所以直线上存在点使成立，故C正确，
对于D，,直线为,所以点到直线的距离为:,
即点到直线的最小值距离大于4,
所以直线上不存在点使成立.故D错误，
故选：BC.
12．设椭圆的右焦点为，直线与椭圆交于两点，则（ ）
A．为定值
B．的周长的取值范围是
C．当时，为直角三角形
D．当时，的面积为
【答案】ACD
【分析】对选项进行逐一判断.由椭圆的定义判断A；由为定值以及的范围判断B；求出坐标，由数量积公式得出，得出为直角三角形判断C；求出坐标，由面积公式得出的面积判断D.
【详解】设椭圆的左焦点为，则
所以为定值，A正确；
的周长为，因为为定值6，
所以的范围是，所以的周长的范围是，B错误；
将与椭圆方程联立，可解得，
又因为，∴
所以为直角三角形，C正确；
将与椭圆方程联立，解得，，所以，D正确.
故选：ACD
三、填空题
13．若椭圆的离心率为，则 ．
【答案】3
【解析】由已知得，求出，由离心率可求得．
【详解】由题意，，．
故答案为：3．
14．已知三点不共线，为平面外一点，若由向量确定的点与共面，那么
【答案】
【分析】
15．已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是 ．
【答案】
【解析】设向量在向量上的投影向量是，由题意可得，求得实数的值，即可得解.
【详解】设向量在向量上的投影向量是，
由题意可得，即，解得，
因此，向量在向量上的投影向量是.
故答案为：.
16．过点作直线的垂线，垂足为，已知点，则的取值范围是 ．
【答案】
【解析】将直线转化为易得直线过定点．由，得到点在以为直径的圆上，然后由线段MN长度的最大值，线段MN长度的最小值求解.
【详解】直线化为

令，解得，
∴直线过定点．
∴点在以为直径的圆上，
圆心为线段的中点，半径．
线段MN长度的最大值
线段MN长度的最小值
故答案为：.
四、解答题
17．某中学组织了一次数学学业水平模拟测试，学校从测试合格的男、女生中各随机抽取100人的成绩进行统计分析，分别制成了如图所示的男生和女生数学成绩的频率分布直方图．
注：分组区间为，，，
(1)若所得分数大于等于80分认定为优秀，求男、女生优秀人数各有多少人？
(2)在（1）中的优秀学生中用分层抽样的方法抽取5人，从这5人中任意选取2人，求至少有一名男生的概率．
【答案】(1)男生优秀人数为30，女生优秀人数为45
(2)
【分析】（1）根据频率分布直方图，结合频数、频率以及样本容量的关系，即可求得答案；
（2）确定抽取5人中男女生的人数，列举出任意选取2人的所有可能情况，确定至少有一名男生的的情况，根据古典概型的概率公式即可求得答案.
【详解】（1）由题意可得，男生优秀人数为，
女生优秀人数为．
（2）因为样本容量与总体中的个体数的比是，
所以样本中包含男生人数为，女生人数为，
设两名男生为，，三名女生为，，，
则从5人中任意选取2人构成的所有基本事件为：
，，，，，
，，，，共10个，
每个样本被抽到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．
记事件C：“选取的2人中至少有一名男生”，
则事件C包含的基本事件有：
，，，，，，共7个，
所以，即选取的2人中至少有一名男生的概率为.
18．已知三角形的三个顶点是，，．
（1）求边上的中线所在直线的方程；
（2）求边上的高所在直线的方程．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）先求出BC的中点坐标，再利用两点式求出直线的方程；
（2）先求出BC边上的高所在直线的斜率，再利用点斜式求出直线的方程.
【详解】（1）设线段的中点为．
因为，，
所以的中点，
所以边上的中线所在直线的方程为，
即．
（2）因为，，
所以边所在直线的斜率，
所以边上的高所在直线的斜率为，
所以边上的高所在直线的方程为，
即．
【点睛】本题主要考查直线方程的求法，属于基础题.
19．已知，，动点M满足，设动点M的轨迹为C，
（1）求动点M的轨迹方程；
（2）求的最小值．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）设，利用两点间距离公式将化简即可求解；
（2）表示曲线上的点与点连线的斜率，由圆的性质可知相切时取得最值.
【详解】（1）设动点，
根据题意得，，即，
整理得：，即，
化简得，，
所以动点M的轨迹方程为．
（2）表示曲线上的点与点连线的斜率，
由圆的性质可知相切的时候取得最值.
设过点的圆的切线方程为，
圆心到直线的距离，解得，
所以的最小值为．
【点睛】方法点睛：过圆外一点圆的切线方程
（1）几何法：当斜率存在时，设切线为，利用圆心到直线的距离等于半径即可求出的值，进而写出切线方程；
（2）代数法：当斜率存在时，设切线为，与圆的方程联立，利用判别式等于即可求出的值，进而写出切线方程；
20．已知椭圆C：的左、右焦点分别是，，且该椭圆过点．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若椭圆上的点满足，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意确定c的值，根据椭圆上的点，结合椭圆定义求得a的值，即可求得，即得答案；
（2）利用数量积的坐标表示，结合椭圆方程，即可求得答案.
【详解】（1）依题意，设所求椭圆方程为，其半焦距．
∵点在椭圆上，
∴，
∴，从而，
故所求椭圆的标准方程是．
（2）由得，，
即，
代入椭圆方程得，故.
21．如图,四边形ABCD是正方形，平面ABCD，，，分别为的中点．
（1）求证：平面PED；
（2）求平面与平面夹角的大小．
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】（1）因为分别为中点，得到，结合线面平行的判定定理，即可求解；
（2）以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，分别求得平面和平面的一个法向量，结合向量的夹角公式，即可求解.
【详解】（1）因为分别为中点，所以，
又因为平面，平面，平面.
（2）因为平面，且，所以平面，
又因为四边形为矩形，所以两两垂直，
故以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，
则，
可得
设平面的法向量为，则，即，
取，可得，所以平面的一个法向量为，
同理可取平面的法向量为，
设平面与平面的夹角为，
则，又由，所以平面与平面夹角为.
【点睛】利用空间向量计算二面角的常用方法：
1、法向量法：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小；
2、方向向量法：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小.
22．已知关于x，y的方程．
（1）若圆C与圆外切，求m的值；
（2）若圆C与直线相交于M，N两点，且，求m的值．
【答案】（1）4；（2）4.
【解析】（1）利用圆心距等于半径之和求参数；
（2）求出圆心到直线的距离，由勾股定理列出关于的方程解之可得．
【详解】（1）把圆，
化为标准方程得，
所以圆心坐标为，半径为，
则两圆心间的距离，
因为两圆的位置关系是外切，
所以，即，解得，
故m的值为4；
（2）因为圆心C的坐标为，
所以圆心C到直线l的距离，
所以，
即，解得，
故m的值为4．
【点睛】方法点睛：本题考查两圆位置关系，求直线与圆相交弦长．求弦长方法：
（1）代数法，求出直线与圆交点坐标，由两点间距离公式计算；
（2）几何法：求出圆心到弦所在直线的距离，由勾股定理求得弦长．